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THÉORIE
ANALYTIQUE -^ /
DES PROBABILITÉS.
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THÉORIE
ANALYTIQUE
DES PROBABILITÉS;
Par m. le comte laplace,
Pair de France; Grand-Officier de la JLégîon-d'Hooneur; Grand'Croix
de l'Ordre de la Réunion; Membre de l'Institut royal et du Bureau des "
Longitudes de France; des Sociétés royales de Londres et de Gottingue;
des AcadéDÙea des Sciences de Russie, de Danemarck , de Suède , de
Prusse, d'Italie, etc.
SECONDE ÉDmON,
^EVtlE ET AUGMENTÉE PAR L'AUTEUR.
PARIS,
M"" T" COURCIEB., Imprimeur - Libraire pour les Blathcmatiques
et la Marine, quai des Augustins, n' 67.
i8i4.
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THÉORIE ANALYTIQUE
DES PROBABILITÉS.
?,-^ INTRODUCTIOJN.
J E Tai3 présenter dans cette Introduction, les prmcipes du calcul
des probabilités, et les résultats généraux auxquels je suis paireou
dans cet ouvrage, en les appliquant aux questions le^ plus impor-
tantes de la vie , qui ne sont en e£fet, pour la plupart, que des pro-
blèmes de probabilité. On peut même dire , à parler en rigueur ,
que presque tontes nos connaissances ne sont que probables; et
dans le petit nombre des cboses que nous pouvons savoir avec
certitude , dans les sciences mathématiques elles-mêmes , les moyens
de parvenir à la vérité, sont fondés sur les probabilités; eosorta
que le système entier des connaissances faïunaines se rattache à la
théorie exposée dans cet ouvrage. On verra sans doute avec inté-
rêt, qu'en ne consid^'ant même dans les principes étemels de la
raison, de la justice et de l'humanité, que les chances heureuses
qui leur sont constamment attachées; il y a un grand avantage à
suivre ces princçes, et de graves înconvéniens à s'en écarter ; leurs
chances, comme celles qui sont fevorables aux loteries, finissant
toi^ours par prévaloir au milieu des oscillations du hasard. Je désire
que les réflexions répandues dans cette IntroducLion , puissent m^
riter l'attention des philosophes, et la diriger vers un objet si digne
de les occuper.
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^ INTRODUCTION.
De la Probabilité.
Tous les évéuemens, ceux même qui par leur petitesse, semblent
^ne pas teuir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi
ziécessaire que les révolutions du soleil Dans rignorauce des liens
qui les massent au. système entier de rumyera, on ksa &it dé-
pendre des causes Eudes, ou du hasard, suivant qu'ils anÎTaient
et se succédaient arec régularité , ou sans ordre apparent ; mais
.ces. causes imaginaires ont été successivement reculées avec les
bornes de nos connaissances , et disparaissent entièrement devant
la saine philosophie qui ne voit en elles, que l'expression de l'igno-
rance où nous sommes des véritables causes.
Les évcnemens actuels ont avec les précédens, une liaison fondée
sur le principe évident, qu'une chose ne peut pas commencer d'être,
çans une cause qui la produise. Cet axiome connu sous le nom
de principe de la raison suffisante y &%t&ûA aux actions même
les plus indifférentes. La volonté la plus libre ne peut sans un motif
détenmoaut, leur donner naissance; car si toutes les circonstances
de deux positions étant exactement les mêmes, elle agissait dan»
Fune et s'abstenait d'agir dans Tautre, sou choix serait un e£fet
sans cause ; elle serait alors, dît Leibnitz, le hasard aveugle des
^icuriens. L'opinion contraire est une illusion de ?esprit qui
perdant de vue , les raisons fugitives du choi^ de la volcûté dans
les choses indififêrentes, se persuade qu'elle s'est déterminée d'elle-
même et sans motiis.
rVous devons donc envisager l'état présent de l'univers , comme
l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va
suivre. Une intelligence qui pour un instant donné, connaîtrait
toutes les forces dont la nature est animée , et la situation re^ec-
tive des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste
pout soumettre ces donnéesà l'analyse, embrasserait dans la même
formule, les mouvemejis des plus grands corps de l'univers et ceux
du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir
comme le passé, serait présent à ses yeux. L'esprit humain offre
dans la perfection qull a su donner à l'astronomie , uue Ëiible esquisse
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INTRODUCTION. flj
i» cette intellîgesiee. Ses découvertes en mécaidqne et en géométrie ,
jointes à celle de la pesanteur unirerselle^ l'ont mis à portée de
comi^eodre dans les mêmes expressions analytiques , les étaU
passés et ûiturs d« système du monde. £n appliquant la même
méthode à quelques autres c^ets de ses connaissances, il est par-
venu à ramener à des lois générales, les phénomènes observés,
età (K^oir ceux que des drconstances données doivent fkire éclore.
Tous ses efitorts daas la recherche de la vérité , tendent à le rap-
{MTocher sans cesse de TintèingeDee que nons venons de concevoir,
mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance
propre à l'espèce humaine, est ce qui la rend supérieure aux ani-
maux; et ses progrès en ce genre, distingacot les tiatiuas et les
siècles , et ftHident leur véritable gloire.
Rappd(His-nou8 qu'autrefois et à une époque qui rfest pas encore
bien reculée , une phiie ou une sécheresse extrême , une comète
traînant après elle une queue fort étendue, les édipses , les aurores
twréales et génàalementtous les phénomènes extraordinairesétaient
regardés comme autant de signes de ht colère céleste. On taivoquait
le ciel pour détourner leur fnneste in&uence. On né le priait point
de suspendre le cours des planètes et du soleil : Pobservation eût
bientât Mt sentir lluutilité de ces prières. Mais parce que ces phé-
nomènes arrivant et disparaissant à de longs intervalles , semblaient
contrarier l'ordre de la nature j on supposait qoR le ciel les disait naître
<t les modifiait à son gré , pour punir les crimes de la terre. Ainsi la
longue queue de la comète de i456 répandit la terreur dans VEur-
rope, déjà consternée par les succès rapides des Turcs qiû venaient
de renverser le Bas-Enîpire ; et le pape Callixte ordonna des prières
publiques dans lesquellrâ on conjmvit la comète et les Turcs. Cet
astre, après quatre de ses révolutioi», a excité parmi nous un
intérêt bien ^^r^it. La counaissance des lois du système du
monde, acquise dans cet intervalle, avait dissipé les craintes en-
fentées par llgnorance des vrais rapports de l%omme avec funi-
vers ; et Halley ayant reccmnu l'identité de la comète , avec celles
des années i53i, 1607 et 168a, il annonça son prodiain retour
poyr la fin de 1768 ou te commencement de 1759. Le monde savant
attendit avec impatience, ce retoor qui devut confirmer Tune des
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if INTRODUCTION,
plus grandes découvertes que Toq eût fiiitea dans les sciences , et
accomplir la prédiction de Sénèque , lorsqu'il a dit-va parlant da
la révolution de ces astres qui descendent d'une énorme distance:
ce Le jour viendra que par une étude .slûvie de plusieurs siècles,
j> les choses actuellement cachées paraîtront avdc évidence , et I4
j> postérité s'étonnera que des vérité si claires nous aient échappé-n
Clâiraut entreprit alors de soumettre à l'analyse , les perturbations
que la comète avait éprouvée^ par l'action des deux plus grosses
planètes, Jupiter et Saturne : après d'immenses calculs, il fixa son
prochain passage au périhélie, vers le commencement d'avril 1769,
ce que rohservation ne tarda pas à vérifier. La régularité que l'astro-
nomie nous inontrp dnns le moavement des comètes , a lieu sans
aucun doute, dans tous les phénomènes. La courbe décrite par
une simple molécule d'air ou de vapeurs, est réglée d'une manière
aussi certaine, que les orbites planétaires : il, n'y 9 de diâërence
entre elles, que celle qu'y met notre ignorance.
La probabilité est relative en partie à cette i^orance, et en
partie à nos connaissance^ Nous savons que sur trois ou un plua
grand nombre d'événemens , un seul doit arriver ; mais rien ne
porte à croire que l'un d'eux arrivera plutôt que les autres. Dans
cet état d'indécision , il nous est impossible de prcuoocer avec
certitude sur leur arrivée. Il est cependant probable qu'un de ce»
événemens pris à volonté , n'arrivera pas ; parce que nous vojoos
plusieurs cas également possibles qui exduenit scm «dstence , tandis
qu'un seul la &vorise.
La théorie des hasards consiste à réduire tous les événemens du
même genre, à un certain nombre de cas également possibles, c'est-.
à-dire, tels que nous soyons également indécis sur leur existence; et.
à déterminer le nombre des cas favorables à l'événement dont on
cherche la probabilité. Le rapport de ce nombre à celui de tous les
cas possibles , est la mesure de cette probabilité qui n'est ainsi qu'une
firaction dont le numérateur est le nombre des cas fevorables , et
dont le dénominateur est le nombre de tous les cas possibles.
La notion [arécédente de la probabilité suppose qu'en Ëusant
croître dans le même rapport , le nombre des cas Ëtvorables „ et
celui de tous les cas possibles^ la probabilité reste la même. Pour
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ÎNTROl>UCTtON. *r
ft*én tontaincre, que Ton considère deux urnes A et B , dont la
première contienne quatre boules blanches et deux noires, et
dont la seconde nerenfenne que deux boules blanches et unenoire<
On peut imaginer les deux boules noires de la première urne,
attachées à un fil qui se rompt au moment où Pbn saisit Tune
d'elles , et les quatre boules blanches formant deux systèmes Sem-
blables. Toutes les chances qui feront saisir l'une des boules du
système noir, amèneront une boule noire. Si l'on conçoit main-
tenant que les fils qui unissent les boules, ne se rompent point ^
il est clair que le nombre des chances possibles ne changera pas ,
non plus que celui des chances favorables à l'extraction des boules
noires; seulement, on tirera de l'urne, deux boules à-la-fois; la
probabilité d'extraire une boule noire de l'urne , sera donc la même
qu'auparavant. Mais alors, on a évidemment le cas de l'ume B,
avec la seule différence , que les trois bonnes de cette dernière ume>
sont remplacées par trois système? de deux boules invariablement
unies. Ici les cas également possibles ne sont pas les- extractions
des boules j ce sont les chances qui les amènent et dont la somme
siçposée la même pour chaque urne , «st répartie sur six boule»
dans la première , et sur trois dans la seconde.
Quand tous les cas sont Ëivorables à un événement, sa pro-
babilité se change en certitude, et son expression devient égale à
h:imté. Sons ce rapport, la certitude et la probabilité sont com-
parables, quoiqu'il j ait une difiërence essentielle ojtre les deux
états de l'esprit , lorsqu'une vérité lui est rigoureusement démon-
trée , ou lorsqu'il aperçoit encore une petite source d'erreur.
Bans les choses qui ne sont que vraisemblables , la différence
des données que chaque homme a sur dles, est une des causes
principales de la diversité des opinions que l'on voit régner sur
les mêmes objets. Supposons , par exemple , que l'on ait trois urnes
A, B, C, dont l'une ne contienne que des boules nckes , tandis
que les deux autres ne reufenuent que des boules blanches. On
doit tirer une boule de l'urne C, et l'oia demande la probabSité que
cette boule sera noire. Si l'on ignore quelle est ceUe des troi»
urnes, qui ne renferme que des boules nwres, eusorte que l'on n'ait
aucune raison, de croire qu'elle est plutôt G , que B ou A ; ces
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vj -INTRODUCTION.
trois hypothèses paraîtront également possibles; et comme mi^
boule noire ne peut être extraite que dans la première, la pror
babiUté de l'extraire est égale à un tiers. Si Ton sait que l'unie A
ne contient que des boules blanches» Pindécision ne porte plus alors
que sur les unes B et C, et la probabiUté que la boule extraite
de Tume G sera noire y est un demu Enfin cette probalùlité se change
en certitude , si l'on est assuré que les urnes A et B ne cMitiaaneat
que des boules blandies.
C'est ainsi que le même Ëiit récité devant une nombreuse assenw
blée, obtient divers degrés de croysmce» suivant l'étendue des
connaissances des auditeurs. Si rhunnie qui le reporte , en est
intimement persuadé, «t si par sou état et ecmcaractére, il in^nre
une grande confiance; son récit, quelqn'extraordinaire qu'il soit,
aura par rapport aux auditeurs dépourvus de lumières, le même
degré de vraisemblance, qu'un fiiit ordinaire rapporté par le même
homme , et Us lui ajouteront une foi entière. Cependant si quel-:
qu'on d'eux a eu occasion d'entendre le même Ëiit rejeté par d'antrea
honunes^alement respectables, il SQia dans le doute; et le Ëdtsera
jugé faux, par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire ^
soit à des &it8 bien avérés , soât aux lois immuables de la natore.
C'est à l'influence de ropinion de ceux que la multitude juge les
plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance
sur les plus importans objets de la vie , qu'est dne la propagation
de ces erreurs qui , dans les temps d'ignorance , ont couvert la Êice
du monde. L'astrologie nous en offre un ^and exemple. Ces erreurs
inculquées dès l'enfance, adoptées sans examen,, et n'ayant pour
base que la croyance universelle , se sont maintenues pendant
très-long'temps; jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les
■ait détruites dans l'esprit des hommes édairés, dont ensuite l'opi-
nion les a. fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de
l'imitation et de l'habitude, qiù les avait si généralement répandues.
Ce pouvoir, le plus poissant ressort du monde moral, établit et
conserve dans toute une nation, des idées entièrement ctmtraires
à celles qu'il maintient ailleurs avec le même empire. Quelle indul-
gence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes
des ndtres; puisque cette d^rence ne dépend souvent que des
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TOTRODUCTION. " tîj
■ points de vue divers où les circmistances nous oat pXatéa î Éclai-
rons ceux que bous ne jugeons pas soiSBamnient instruits } mais
anparaTant, exatoinons sévèrement DM proiwes opinions, etpesons
avec impartialité, leurs probabilités respectives.
La différence des (^inions ^pend encore de la manière dont
dbacon détermine tlnèuence des données qui lui sont connues.
La théorie des prt^abitités tient à des considérations si délicates,
qu'il n'est pas suriHrenant qu'avec le» mêmes données, deux per-
sonnes trouvent des résultats difierens, surtout dans les questions
très - compliquées. Exposons ici les principes généraux de cette
théorie.
Prirtcipes généraux du Calcul des Prohabiiités.
Le premier de ces principes est la di^nition même, de la pro-i«' priocr»..
babUité qui, c<Hiime on Ta vu, est le ra[^rt du n(»nbre des cas
fevc^rables à c^ui de tous les cas possiliJes.
Mais cela suppose les divers cas , également posaiUes. S|ils,ne n< prindpc.
le sont |«s , on déterminera d'abord leurs posabilités respectives
dont la juste appréciation est nn-des points les plus délicats de la
théorie des hasards. Alors la probabilité _sera la somme des possi*
bilités de "chaque cas favorable. Édaircissons ce principe par un
exemple.
Supposons que r<m [H*0)ette en VeàCf une pièce large et très-
mince dont les deia ^-andes faces opposées, tpie nous nommerons
éroix et pile , soient parfaitement semblables. Cherchons la pro-
babilité d'amener croix , une fois au moins en deux coups. Il est
clair «pi'il peut arriver quatre caségalement possibles, savoù'jCroi*
<au premier et au second coup ; croix au premier coup et pile au
second ; pile au premier coup et croix au second ; enfin pi/e aux
deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement
dont on cherche la probabilité qui , par conséquent, est égale à ^ ;
ensorte qu'il y a trois contre un à pari^* que croix arrivera au
moins une fois en deux coups.
On peut ne compter à ce jeu, que trois cas diflfêrens, savoir ,
. croix au premier coup , ce qui dispense d'en jouef nu second ;
y Google
viij INTRODUCnON.
pile au tH:<emier coup et croix au second ; enfin pile an preilnîer
et au second coup. Cela réduirait la probabilité à f , ai Ton consi-
dérait avec d*Alembert, ces trois cas ^ comme étant également
possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au
prçmier coup est ;, tandis que celle des deux autres cas est \. Le
premier cas est un eTénement simple qui coirespond aux deux
événemens composés , croix au premier et au second coup y et
croix au premier coup, pile au second. Maintenant, si coofonné-
ment au second principe , on ajoute la possibilité ^ de croix au
prunier coup , à la possibilité ^ de pile arrivant au premier coup
et croix au second ; on aura | pour la probabilité cherchée , ce qui
s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue
les deux coups. Cette supposition ne change rien au sort de celui
qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les
divers cas , à des cas également possibles.
Z'^incipe. Un des points les plus importans de la Théorie des Probabilités,
et celui qui prête le plus aux illusions , est la manière dont les
probabilités augmentent ou diminuent par leurs combioaisons mu-
tuelles. Si les événemens sont indépendans les uns des autres , la
probabilité Te l'existence de leur ensemble, est le produit de leurs
probabilités j)articu]iérè8. .^nsi la probabilité d'amener un as avec
un seul dé , étant un sixième } celle d'amener deux as en projetant
deux dés à-Ia-fois, est un trente -sixième. En efifet, chacune des
£tce3 de l'un, pouvant se combiner avec les six faces de l'autre ;
il y a trente-six cas également possibles , parmi lesquels un seul
donne les deux as. Généralement , la probabilité qu'un événement
simple et dans les mêmes circonstances , arrivera de suite , ua
nonibre donné de fois , est égale à la probabilité de cet événement
simple , élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les
puissances successives d'une fraction moindre que l'unité , dimi^
nuant sans cesse; un événement qui dépend d'une suite de pro-
babilités fort grandes, peut devenir extrêmement peu Traîsemblable.'
Supposons, qu'un fait qui sans être extraordinaire , n'a aucune pro-
babilité par lui-même, nous soit transmis par vingt témoins^ de-
manière que le premier l'ait transmis au secobd, le second au
troJiaièine ^ et mnsi de suite. Supposonl encore que la probabilité 4?
dbyGqogle
INTRODUCTION. ix
chaque témoignage soit ^te à -^ : celle du Sût sera moindre qu'un
bnitième; c'est-à-dire qu'il y aura phis de sept à parier contre un,
qu'il est faux. On ne peut mieux ctxnparer cette diminution de la
probabilité, qifà f extinction de la clarté des objets , par l'interposi-
tioD de plusieurs mOTceaux de verre; un nombre de morceaux
peu considérable* suffisant pour dérober la rue d'un ol^et qu'un
seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les histo-
riens ne paraissent pas avoir feit assez d'attention à cette dégradation
de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand
nombre de généra lions sqcceesivesïplusieursévénemens historiques,
réputés certains, seraient au moms douteux, si on les soumettait
à cette épreuve.
Dans les «ciences purement maâiématiques , les conséquences
les plus Soignées participent de la certitude du principe dont elles
dérivent. Dans les applications de l'analyse à la physique, les con-
séquences ont toute la certitude des Ëiits mi des expériences. Mais
dans lesisdences morales, oii chaque conséquence n'«9t déduite de
ce qiB la précède , que d'une manière vraisemblable ; quelque pro-
bables que soient ces déductions, la chance de l'erreur crott arec
leuv nombre , et finit par surpasser la chance de la vérité , dans
les conséquences très-éloi|^es du principe.
Quand deux érénemens dépendait Tan de Fautre ; la probabilité iv*Ftmeipel
de l'événement composé est le produit de la pn^bitité du premier
évésonent, pw la probabilité que cet événement étant arrivé,
(l'autre aura heu. Ainsi > dans le cas précédent de trois urnes Â,
B , C , dont deux ne contiennent que dies boules blandbes , et dont
mie ne renferme que des boules noires ; la {HH>babilité de tirer une
boule -blanche de l'urne C est f; puisque sur trois urnes, deux ne
contiennent que des boules de cette couleur. Mïiis lorsqu'on a
extrait ime boule blanche, de l'urne C; rindécision relative à celle
des urnes qui ne renferme que des boules noires , ne portant plu»
que sur les urnes A et Bj la probabilité d'extraire une boule
bbnehe , de l'urne B est 1; le produit de f par ^, ou 4 est donc la
prohali^té d'extraire à-la-fois des urnes B et C, deux boules
Hanches.
Oujtroit par cet exeruple, rinBueoce des érénemens passés sur
"^ 6
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•X INTRODUCTION.
la probabflâ^d^ éré&smâj». futurs. Car la probaïâlité d'exfrft&B
une boute, blanche , de l'urne B', qui prlmitirement est f, se réduit
à j, lorsqu'on a extrait uoe boule blanche , de l'urne C : elle se
changerait en certitude, si l'on avait extrait une boule noire, de
la même urne; On déCenninera cette influence, au moyen du prin-
cipe suivant, qui est im corollaire dujgrécédenff
V* Pâaeipt. ■ Si l'on calcule à priori , la probabilité de révénement arrivé ,
et la probabilité d^ua érénement composé da cdoi-ci et d'un autre
qu'on attend^ la seomde probabilité divisée par la première^ sera
la probabilité de Tévénement attendu, tirée de l'événement observé.
Ici se présente la question agitée par quelques philosophes,
touchant l'influence du passé sur la probabilité de Tavenir. Su{>-
posons qu'au jeu de croix, et pi/e , croix swt arrivé plus souvent
que pile. Par cela seul, nous serons portés à croire que dans la
cotistitutioa de là pièce , il existe ime cause constante qui le fa-
vorise. Ainsi, dans la conduite de la vie, le honheur constant est
une preuve d'halnleté, qui doit &ire employer de {Hréférence les
personnes heureuses. Mius si par l'instabilité des circonstances,
nous sommes ramenés sans cesse, à Fétat d'une indécision absolue^
si , par exemple , on change de pièce à chaque coup , au jei%«de-
croix et pile ; le passé ne peut répandre aucune liimîère sur l'avenir,
et il serait absurde d'en tenir compte.
V[*Priaeipe. Chacnne des causes auxquelles un événement obeearvé, peut être
attribué, est indiquée avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il
est plu» probablia que cette cause étant supposée exister, l'évé-
nemeat aura lieu; laprobi^ilité de l'existeace d'une quelconque
de ces causes , est ^^c une fraction dtmt le numérateur est la
probabilité de rérénenuut, résultante de cette cause, et dout le
dénomizralieuF est la somme des probabilités semblables relatives
à toutes les fsusés : si ces. diverses causes considérées à priori,
sont inégalement jirob:tf>]es , il &ut au Ueu de la probabilité de .
^événement, résïdtanté de chaque cause, employer le produit de
cette jH-obabilité, par celle de la cause elle-^nâme. Cest le principe
fimdamental de cette branche de l'analyse des hasards , qui consiste
à remonter des événemens aux causes.
Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les évé-
dby Google
INTRODUCTION. %\
s régdlierSjà jone caïue particulière.. Quelqaes pliilosophes
ont cru qoe ces érénemens sost moins possibles que les autres ,
et qu'an jeu de croix et pile, par exemple, la combinaison dans
laquelle croàc arrive vingt fois de suite , est moins facile à la nature ,
que celles où croik et piie sont entre-mélés d'une ïàçon irrégulière.
Mais cette opimon suppose que les événemens passés influent sur
la possibilité des événemens futurs, ce qui n'est point admissible.! 'r>^.nîrci!i
Les combinaisons régulières n'arrivent ptUs rarement, que parce
qu'elles sont moins nombreuses. Si nous recherchons une cause^
là où nous apercevons de la symétrie; ce n'est pas que nous
regardions un événement symétrique , comme moins' possible que
les antres ; mais cet événement devant être Yef&t d'une cause ré-
gulière t au cehii da hasard , la première de ces snppositiona est
plus prd>able que la seconde. Vioas voyons sur une table , des
caractères dimprimerie , disposés dans cet ordre, CoTistantinople ;
-et nous iuge<His que cet arrangement n'est pas l'efifet du hasard ,
non parce qu^ est moins possible que les autres, puisque si ce
^not n'était employé dans aucune langue , nous ne lui soupçon-
nerions point de oause particulière ; mais ce mot étant en usage
parmi nous , il est incon^arablement pins probable qu'une per-
sonne aura disposé ainsi les caractères précédens , qu'il ne l'est
que cet arrangemeat est dâ au hasard.
C'est ici le lieu de définir le mot extraordinaire. Nous rangeons
par la pensée , tons les événemens possibles, en diverses classes ;
«I nous r^ardons comme extraordinaires , ceux des classes qui
en comprennent nn très-petit nombre. Ainsi , au jeu de croix et
jjjfe, Farrivée de croix cent fois de suite, nous paraît extraor-
dinaire, parce que le nondure presqu'înfini des combinaisons qui
peuvent arriver en cent coups, étant partagé en séries régulières
ou daus lesquelles nous voyons régner un ordre fecile à saisir, et
«n séries irrégukères; celles-ci sont incomparablement plus nomr
breuses. La sortie d'nne boule blanche, d'une urne qui, sur un
million de boules, n'en contient qu'une seule de cette couleur,
les autres étant noires, nous parait encore extraordÎQaire ; parce
que nous ne formons que deux classes d'événemens , relatives aux
deux couleurs. Mai» la sortie du n* 79, par exemplo, d'une urne
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jcij ïNTRODUGTieN.
qui renferme ua millioQ de numéros, nou» semble im éréoemeiit
ordinaire; parce que comparant individuellement les numéros, les-
uns aux autres, sans les partager en dasses, nous n'avons aucuoe
raison de croire que Pun d'eux sortira plutdt que les autres.
De ce qui précède , nous devons g.énéralement conclure que plu»
un ^t est extraordinaire , plus il a besoin ^*étre appuyé de fortes
preuves. Car ceux qui Fattestent, pouvant ou tromper, ou av»ir
été trompés , ces deux causes sont d'autant pbas probables que
ia réalité du Êtit l'est moins en elle-même. C'est ce que l'on verra par-
' ticulièrement , lorsque nous parlerons de là prolrâbilité des témoi-
gnages.
■\mprioape. I^ probabilité d^un_éyénement„f^tur est la somme des produite
de la prohabilité do cliaqae cause, tirée de l'événement observé,
par la probabilité que cette cause existant , l'événement lutur aura
ïieu.'L'exempIe suivant éclaircira ce principe.
Imaginons une urne qui ne renferme que deux boules dont cha-
cune soit ou blancbe, ou noire. On extrait une de ces boules, que
Ton remet ensuite dans Turne , pour procéder à un nouveau tirage.
Supposons que dans les deux premiers tirages , on ait amené de»
boules blanches ; on demande la probabilité d'amener encore une
boule blanche au troisième tirage.
On ne peut Ëiire ici que ces deux hjpotiiéses ; ou l'une des
boules est blanche,, et l'autre^noire; ou toutes deux sont blanches.
Dans la première hypothèse, la probabilité de l'év^ement observé
est f ; elle est l'unité ou la certitude dans la seconde. Ainsi, em
regardant ces hypothèses , comme autant de causes, on aura par
le sixième principe , ? et ^ pour leurs probabilités respectives. Or
si la première hypothèse a lieU, la probabilité d'extraire une boule
blanche au troisième tirage est j; elle égale l'unité , dans la seconde
hypothèsQ : en multipliant ces dernières probabilité»,, par celles des
hypothèses correspondantes, la somme des produits, ou-^ sera
la probalûlité d'extraire une boule blanche au troisième tirage.
Quand la probabilité d'un événement simple est inconnue , on
peut lui supposer également toutes les valeurs depuis zéro jusqu'à
l'unité. La probabilité de chacune de ces hypothèses-, tirée de
l'événement observé , est par le sixième princ^e, une fraction dont
y Google
INTROBUCTIOTir. - tiiï
l6 nmnératenr est là probabilité de révénement dans ceUe bypo-
tbèse, et dont le dcnominateor est la somme des probabilités
semblables relatives à toutes les hypothèses. Ainsi la probabilité
que la possibilité de rérénement est comprise dans des limites
données, est la somme des fractions comprises dans ces limites.
Maintenant, si Fon multiplie chaque fraction, par la probabilité de
l'événement futur , déterminée dans l'hypothèse correspondante ;
la somme dçs produits relatif à toutes les hypothèses sera par le
septième principe , la probabilité de l'événement futur , tirée de
l'événement observé. On trouve ainsi qu'un événement étant arrivé
de suite, un nombre quelcon<pie de Ibis; la probabilité quil arrivera
encore la fois suivante, est égale à ce nombre augmipté de l'unité ,
divisé par le mênie nombre augmenté de deux unités. En faisant,
par exemple, remonterla plus ancienne époqae de l'histoire, à
cinq mille ans, ou à i8a63i3 jours, elle soleÛ s'étant levé constam-
ment dans cet intervalle, à chaque révolution de vingt-quatre heures;
il y a i836ai4 à parier contre un, qu'il se lèvera encore demain.
Mais ce nombre est incomparablement plus fort pour celui qui
connaissant par l'ensemble des phénoméiies, le principe r^ulateur
des jours et des saisons, voit que rien dans te moment actuel, ne
peut en arrêter le cours.
Bufïon, dans son Arithmétique politique, calcule diffâ'emment
la probabilité précédente. Il suppose qu'elle ne dilfêre de l'unité ,
que d'une ^acâon dont le numérateur t»t Funité, et dont le déno-
minateur est le nombre deux élevé à une puissance égale au nombre
des jours écoulés depuis l'époque. Mais la vraie manière de i%m«i-
ter des événemens passés, à la probabilité des causes et des évé-
nemens futur», était inconnue à cet illustre écrivain.
De l'Espérance.
La probabilité des événemens sert à déterminer Tespérance ou
la crainte des personnes intéressées à leur existence. Le mot
espérance a diverses acceptions: il exprime généralement Tavan-
tage de celui qui attend un bien quelconque , dans des suppositions
qui ne sont que probables. Cet avantage, dans \& théorie des fia-
,y Google
xiv nn'RODUCTiON.
sards, est jejp&doit de la somme eapéree, par la probabilité dé
retenir: c'est la scnnine partielle qui doit reTenir^ lorequ'oD ne veut
point courir les risques de FéTénemeut, en supposant que la réparti-
tion se &sse proporti<xineUemeiit aux probabUÙés. Cette répartîtioa
est la 9eule équitable, lorsqu'on &it abstraction de toutes circoDS-
tances étrai^res; parce qu'avec un égal degré de probabilité, on
a un drok égal sur la 8(xnme espérée. Nous nommerons cet avan-
tage, eip«rance ma£A^ina<ijV«.
vmipriai^. Lorsqu'il dépend de plusieurs événemens ; on l'obtient , en pre^
nant la sonime^d^_prodmt8^eJ[a probat^té.de.dbaque év^ement ,
par le biwi^attaçhé à s.Q!iLârcif é.e.
Appîiquon^;^ principe à des exemples. St^posons qu'au jeu de
cwîx et pi70 , Paul reçoive deux francs, s'il amène CTvix au pre-
mier coup , et cinq francs , s'il ne l'amène qu'au second. En multi-
pliant deux francs, par la probabilité -È du premier cas , et cinq francs,
par la. probabilité j du second cas; la somme des produits, ou
deux franca et un quart sera l'avantage de PauL C'est la somme
qu'il doit donner d'avance à celui qui kd feit cet avantage ; car pour
l'égalité du jeu, la mise doit être ^ale k l'avantage qu'il procure.
Si Paul reçoit deux francs, en amenant croix au premier coup,
et cinq francs en l'amenant au second coup, soit qu'il l'ait ou non ,
amené au premier; alors la probabilité d'amener croix au second
coup y étant ;; en multipliant deux francs et cinq francs par |, la
somme de ces produits , donnera trois francs et demi pour t'avan-
tage de Paul , et par •conséquent pour sa mise an jen,
a*pRiidpr. Dans une série d'événemens probables , dont les uns produisent
un bien , et les autres , une perte; on aura l'avantage qui en ré-
sulte , en faisant une somme des produits de la probabilité de
chaque événement favorable , par le bien qu'il procure ; et en re-
tranchant de cette somme , celle des produits de la probabilité de
chaque événement défavorable , par la perte qui y est attachée. Si
la seconde somme r«mporte sur la première, le bénéfice devient
perte, et Ve^érance se change en crainte.
On doit toujours , dans la conduite de la vie , feire ensorte d'éga-
ler au moins, le produit du bien qae l'on espère, parsa probabilité,
au produit semblable relatif à la perte. Mais il est nécessaire pour
dby Google
INTRODTJCnOJÎ. Tf
j parvenir, d'apprécier exactement, le» avantages, I^ pertts,
et leurs probabilités respectives. Il fout poor cela , une graiide joa'.
tesse d'esprit, un tact délicat, et une grande expérience des choses:
il faut savoir se garantir des préjogés , des illiosions de la crainte
et de l'espérance, et de ces-Ëiusses idées de fortune et de bonheur,
dont la plupart des hommes bercmt leur arnoop-propre.
L'application des principes précédent , à la question suivante ,
a beaucoup exercé les géomètres. Faul joue à croix et pile, Avec
la condition de recevoir , deux francs , s'il amène croix au premier
coup; quatre francs^ s'il ne l'amène qu'au second ; huit francs, .
s'il ne l'amène qu'au troisième , et ainsi de suite. Sa mise an jeu ,
doit être par le huitième principe, égale au nombre des coups ;
ensorte qoe û la partie contioue à l'infini, la nuse doit être infinie.
Cependant, aucun homme raisonnable ne voudrait exposer à ce
jeu, une somme même modique, cinquante francs, par exemple.
D'où vient cette différence entre le résultat du .calciil, et l'indica-
tion du sens commun? On reconnut bientôt, qu'elle tenait à ce
que l'avantage moral qu'un bieu nous procure, n'est pas propor-
tionnel à ce bien, et qu'il dépend de mille circonstances souvent
très-difficiles à définir , mais dont la plus générale et la plus im-
portante est celle de la fortune. En e&èt, il est visible qu'un franc
a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que cent, que pour
un millionuaire. On dût donc dans le bien espéré , distingua- sa
valeur absolqe, de sa valeur relative. CeKe-ci se règle sur les motifs
qui le font désirer; au lieu que la première en est indépendante.
On ne peut pas drainer de principe g^éral, pour apprécier cette
valeur relative. En voici cependant un proposé par Daniel Banoulli,
et qui pent servûr dans beaucoup de cas. La valeur relative d'usé x< Pnocip*^
somme infiniment petite, est égale à sa valeur absolue divisée par
le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout
homme a un bien quelconque dont la- valeur ne peut jamais être
supposée nulle. £n effet, celui même qui ne possède rien, donne
toujours à son existence , une valeur au menus égale à ce qui lui
est rigoureusement nécessaire pour vivre.
Si l'on applique l'analyse, au prihc^ que nous venons d'exposer;
on <^tient la règle suivante),
dby Google
x¥j INTRODUCTION.
En daignant par l'onité, la partie de la fortune d*Dn indîridu, indé-
pendante de ses expectatives ; si l'on détermine l,es diverses vtileurs
que cettefortuaepeutreceToiren vertu deceaexpectatiTes, etleurs
probabilités j le produit de ces valeurs élevées respectivement aux .
puissances indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique
qui procurerait à l'individu , le même avantage moral qu'il reçoit
de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives;
en retranchant donc l'unité , de ce produit ; la di£fêrence sera t'ac-
croissonent de la fortune physique , dû aux expectatives : nous
nommerons cet accroissement , espérance morale. XI est facile de
voir qu'elle coïncide avec l'e^Fance mathématique, lorsque la
fortune prise pour unité, devient infinie par rapport aux variations
qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une
partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent di£fêrer
très-sensiblement entre elles.
Cette règle conduit à des résultats conformes aux indîcatioDS
du sens commun, que l'on peut à ce moyen, apprécier avec qnel-
qu'exaditude: Ainsi dans la question précédente, on trouve que si
la fortune de Paul est de deux cents irancs, il ne doit pas raison-
nablement mettre au jeu plus de neuf francs. La même régie conduit
encore à répartir le danger, sur plusieurs parties S\m. bien que Ton
espère , plutdt que d'e^>oser ce bien tout entier au même danger.
Il en résulte pareillement, qu'au jeu le plus égal , la perte est tou-
jours relativement plus grande que le gain; car le produit de la
fortune prise pour unité , augmentée du gain et élevée à une puis-
sance égale à la probabilité du gain , par cette unité diminuée de la
perte; et âevée à une puissance égale à. la probabilité de la perte,
est toujours moindre que la fortune du joueur avant sa mise au
jeu. En supposant par ex^nple, cette fortune, de cent francs,
et que le joueur en expose cinquante au jeu de crom et pUef
sa fortune après sa mise au jeu ,, peut être en vertu de son
expectative, ou de cent cinquante fran<^, ou seulement de cin-r
quante; la probdbiljté de chacun de ces deux cas est \; cette
fortune est donc par la règle précédente , égale a la radne cairée
du produit de cent cinquante, par oinquante; elle est ainsi réduite
À quatre-TÎngt-sept francs , c'eat-à-dirç que cette derniers somme
dby Google
BSTRODUCriON. xvu
parocnrerait au jonenr , le même avantage moral , qae Tétat de sa
fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas
même où la mise est égale an produit de la somme espérée par
sa probaHIité. On peut jager par là de rimmoralité des jeux dans
lesquels la somme espérée est au-dessoas de ce produit. Us ne
subsistent que par les Ëiux raisonnemens et la cupidité qu'ils fo-
mentent^ et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire , à
des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier lln-
vraisemblauce , sont la source d'une infinité de maux.
Des Méthodes analytiques du Calcul des Probabilités.
L'application des principes que nous venons d'exposer , aux
diverses questions de probabilités , exige d^ méthodes dont la re-
cherche a donné naissance à pluàeurs branches de l'analyse , et
spécialement à la théorie des combinaisons, et an calcul des d^é-
rences finies.
' Si l'on forme le produit des binômes, rooité plus une première
lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième
lettre , et ainsi de suite jusqu'à n lettres ; en retranchant l'unité de
.ce produit développé^ on aura la sonune des combinaisons de toutes
ces lettres prises une à une , deux à deux , trois à trois, etc. : chaque
.combinaison aura pour coefficient, l'unité. Pour avoir le nombre des
combinaisons de ces n lettres prises r à r, oh observera que si on
suppose les lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra
la puissance n'*»" du binôme, un plus la première lettre ; et le nombre
des combinaisons des n lettres prises r k r, sera le coe£Qcient de
la puissance r*"" de la première lettre , dans le développement de
ce binôme; on aura donc ce nombre, par la formule connue du
binôme.
Si Ton veut avoir Égard à la situation respective des lettres, dans
chaque combinaison; on doit observer qu'en joignant une seconde
lettre à la première, on peut la placer au premier et au second
rang; ce qui donne deux combinaisons. Si Ton joint à ces combi-
naisons , une troisième lettre ; on peut lui donner dans chaque com-r
binaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme
dby Google
iriij INTRODUCTION.
trois combinaisons relatires à chacune des deux autres, en tout, six
combinaisons. De là, il est aisé de conclure que le nombre dea
arrangemens differens que Ton peut donner à r lettres , est le pro-
duit dea nombres depuis l'unité jusqu'à r. U Eut donc pour avoir
égard à la situation re^ective des lettres , multiplier par ce pro-
duit, le uomlo^ des combinaisons des niettres prises r à r; ce qui
revient à supprimer le désominateur du coefficient du terme du
binôme, qui exprime ce nombre.
Supposons une loterie c<»Qpo8ée de n numéros , et qu'il en sorte
r à chaque tirage ; on demande la probabilité de la sortie de s numé-
ros donnés., dans un tirage. Four y parv^iir, on déterminera d'abord
Je nombre des combinaisons. des autres numéros pris r moins j, àr
moius S'y car il est dair qu'en ajoutant les $ numéros donnés, à cha-
cune de ces combinaisons, on aura la sonune de toutesles comlônai-
sons des n lettrespriaes r à r, et dans lesquels les s numérosdonnés
entrent. ^ l'on divise ce nombre, par celui des combinaisons de
toutes les lettres prises r à r; on aura la probabilité demandée. On
trouve ainsi que cette probabilité est le rapport du nombre des
combinaisons.de r lettres prises « à «, au nombre des çMnbinaisons
de n lettres prises s k&.
On peut d'après ce théorème, calculer les cjiances de la loterie
de France, et en conclure ses bénéfices. Cette loterie est, comme
on sait, composée de 90 numéros , dont cinq sortent à chaque
tirage. La probabilité de la sortie d'an extrait donné, est en vertu
de ce théorème, égale à^ ou-^; la loterie devrait donc alors pour
l'égalité du jeu , rendre dix-huit fois la mise. Le nombre total dea
combinaisons deux à deux, de 90 numéros est 4qo5, et il en sort
dix à chaque tirage ; «insi la probabilité de la sortie d'un ambe donné
est TT^s , la loterie devrait donc pour un ambe sorti, rendre quatre
cents fois et demie , la mise. On trouve pareillement qu'elle devrait
rendre la mise^ 11748 fois pour un terne,. 6iio38 fois pour un
quateme, et 43949368 fois pour un quine. I^a loterie est loin de
faire ces avantages aux joueurs.
Supposons encore dans une urue^ n boules que l'on puisse ^;ale-
meat extraire une à une, deux, à deux, trois à trois, etc.; on a fait
une de ces extractions, et Ton demande la probabilité que le nombre
dby Google
INTRODUCTION. i&x
des boules extraites est impair. H suit de ce qui précède , que si
Ton élève le binôme, un plus un, a la puissance n; les termes,
second , troisième , etc. , exprimeront les nombres de combinaisons
des n boules , prises une à une , deux à deux , etc. ; ainsi la totelité
des combinaisons sera la puissance nf^**" de deux, moins Nnité : la
tomme des termes second , quaUlème , sixième , etc. du dévelop-
pement du binôme , 6&c& le nombre des combinaisons impaires :
elle sera visiblement, la moitié de la dîSërenoe des tv*^ puissancea
des binômes un plus un, et un moins un; ou la moitié de la n'*'^
puissance de deux. Eu retranchant Tunîté, de cette quantité, on
aura le nombre des combinaisons- paires ; et en divisant ces déox
nombres de combinaispos , par leur somme, on aura les probabi*
fités respectives des cwnbinaisons impaires et paires. Dn voit ainsi
qu'il j a de l'avantage à parier plutôt pour un ncHnlure impair ds
boules extraites, que pour un nombre pair.
Mais la méthode la plus générale et la plus directe de résoudre
les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d'équa-*
lions aux dififêrences. En comparant les états consécutîis de la
fonction des variables , qui exprime la probabilité , l^squ'on feit
crcÂtre ces variables, de leurs difiërences respectives; la question
proposée fournit le plus souvent, un rapport très-simple entre les
divers états de cette fonction. Ce rapport est ce que l'on nommo
équation aux différences ordinaires ou partielles ; ordinaires ,
lorsqu'il n^ a qu'une variable ; partielles , lorsqu'il y en a plusieurs.
Donnons en quelques exemples.
Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes , jouent
ensemble aux conditions suivantes. Celui defrdeux premiers joueurs
qui gagne son adversaire ^ joue avec le troisième , et s'il le gagne ,
la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre,
et ainsi de suite , jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consé-
cutivement les deux autres ; ce qui termine la partie. On demande
la probabilité que cette partie s&sl finie dans un nombre donné de
coups. Oierchoos d'abord la probabilité qu'elle finira précisément à
un coup déterminé, par exemple, au dixième coup. Pour cela, le
joueur qui la gagne, doit entrer au jeu au neuvième coup, et le
gagner itiuqi que le coup suivant, filais si au lieu, de gagner le
dby Google
K INTRODUCTION.
neuvième coup, il était vaincu par son adversaire; comme cehù-cî
a déjà gagné l'autre joueur, hi partie finirait à ce coup; ainsi la
probabilité qu'un joueur entrera au jeu au neuvième coup, et le
gagnera, est égale à celle que la partie finira, précisément à ce
coup ; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant , pour que
la partie se termine au dixième coup , cette dernière probabilité ne
sera qu'un demi de la précédente. U suit de là que si l'on considère
cette probabilité, comme une fonction du numéro du coup auquel
elle doit finir; cette fiïnction sera la moitié de la même fonction,
dans laquelle on a diminué le numéro ou la rariable, d'une unité.
Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomn» équations
aux différences ^nies otdinaitÉs.-
On peui déténniner &cilement à son moyen, la probabilité que la
partie finira précisément à un coup quelconque. Û est visible que
la partie ne peut finir au plutôt, qu'au second coup ; et pour cda,
il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui gagne son
adversaire," gagne au second coup, le troisième joueur. Ainsi la
jïrobabitité que la partie finira à ce coup , est 7. De ta , en vertiï
de réquation précédente, on conclut que les probabilités -succes-
sives de la fin de la partie ,' sont \ pour le troisième coup , ~ pour le'
Quatrième, etc. , et généralement ^ élevé à une puissance moindre-
de l'unité, que le numéro du coup. Maintenant, si Ton prend la-
somme de toutes ces puissances , depuis la première jusqu'à cette
dernière incluslyement; on aura la probabilité que la partie sera
terminée dans le nombre de coups indiqué par ce numéro , égale-
à l'unité moins la dernière de ces puissances de x-
Considérons encore le premier problème que l'on ait résolu sur
les probabilités, et que Pascal proposa, de résoudre à Fenuat. Deux
joueurs A et B, dont les-adresses sont égales, jouent ensemble à
cette condition que celui qui Iç premier aura vaincu l'autre un
nombre donné de fois , gagnera la partie , et emportera la sonune
des nuses au jeu. Après quelques coups, les- joueurs conviennent
de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande de quelle
manière ils doivent se partager cette somme. Il est visible que leurs
parts doivent être proportionnelles à leurs probabilités respectives
de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces
dby Google
INTRODUCTION. xxj
probabilités. EUès dépencteùt éridemment des nombres de points
qui manquent à chaque joueur, pour atteindre le noitibre donné;
ainsi la proi>abiIité de A est une fonction de ces deux nombres que
nous regarderons comme autant de variables. Si les deux joueurs
convenaient de jouer un coup de plus ( convention cfm ne change
en rien leur sort )j ou A le gagnerait, et alors le nombre des points
qui lui manque , serait diminué d'une UEiité; ou le joueur B gagne-'
rait ce nouveau coup , et alors le Domt»% des ptnnts qui manquent
à ce dernier joueur, serait diminué d'une unité j mais la probabi-
lité de chacun de ces cas est 7; la fonction cherchée est donc
ég^le à la moitié de cette fonction dans laquelle on diminue d'une
tmité , la première variable^ plus à la moitié de la même fonction'
dans laquelle on diminue la seconde variable , d^one. unité. Cette
égalité est une de ces équations que l'on nomme équatiom aux
différences partielles.
• Onpeutdéterininer à son moyen, les probabilités dé A, en par-
tant des plus petits nombres , et en observant que la probabiUté otï
ht fonction qui l'exprime, est égale à l'unité-, lorsqu'il ne manque'
aucun point an joueur A , ou lorsque la première variable est nulle ;-
et que cette fonction devient nulle avec la seconde variable. £b'
supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueutA^ onb'ouvs
que sa pirobabilité est ~ , ^ , | , etc. , suivant qu'il manque à B , ua'
point, ou deux, ou trois, etc. Généralenient , elle est ak»:» égale à
l'unité, moins I élevé à une puissance égale au nombre des points
qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points
au joueur A , et l'on trouvera sa probabilité ^ale à i, ^ , f|, ete»,
suivant qu'il manque à B, un point, ou deux, ou trois , etc. On suppo-
sera encore qu'il manque trois points au joueur A , et ainsi de suite.-
Cette manière d'obterdr les valeurs successives d'une quantité ^
au moyen de son équation aux dif^ences , est longue et pénible j
et les géomèb^s ont cherché des méthodes pour avoir la fonctioQ
générale des variables qui satisÊiit à cette équation, ensorte que
l'on n'ait besoin pour chaque cas particulier, qtie de substituer dans
cette fonction , les valeurs correspondantes des variables. Consi-
dérons cet objet d'une manière générale. Pour cela , concevrais
àue suite de termes disposés sur une ligne horizontale , et tels que;
dby Google
xxij nîTRODUCnON.
chacun d'eax dérire des précédens, suirant une loi donnée : sir^
posons cette loi exprimée par une équation entre plusieurs termes
consécutif, et leur indice , ou le nombre qui indique le rang qu'ils
occupent dans la série : cette équation est ce que je nonune équa-
tion aux différences finies à un seul indice variable. L'ordre
ou le degré de cette équati(»i , est la différence du rang de ses deux
termes extrêmes. On peut, à son moyen , détermiaer successire-
ment les termes de la série, et la continuer indéfiniment ; mais il
Ëiut pour cela, coimaltre un nombre de tenues de la série , égal
an degré de Téquation. Ces termes sont les constantes arbitraires
de l'expression dti terme général de la série , ou de l'intégrale ds
l'équation aux i^Bixano«9.
Concevons maintenant , au-dessus des termes, de la série précé-
dente, une seconde série de termes ttisposés horizontalement}
concevons encore , au-dessus des termes de la seconde série , une
tr<Hsième série horizontale, et ainsi de suite à l'infini , et suppo-
sons les termes de toutes ces séries , liés par une équation générale
entre plusieurs termes consécutifit , pris tant dans le sens horizon-
tal, que dans le sens vertical , et les nombres qui indiquent leur
rang dans les deux sens. Cette équation est ce que je nomme équa~
tion aux différences finies partielles à deux indices fariables.
Concevons pareillement au-dessus du plan qui renferme les séries
précédentes, un second plan renfermant des séries semblables,
dont les teïmes soient placés respectivement au-dessus de ceux
que contient le premier plan. Concevons ensuite au-dessus de ce
second plan , un troisième plan renfennant des séries semblables ,
et ainsi à llnfini. Supposons tous les termes de ces séries, liés par
une équation enU% plusieurs termes consécutifs , pris tant dans le
sens de la longueur , que dans les sens de la largeur et de la pro-
fondeur, et les trois nombres qui indiquent leur rang dans ces
trois seus. Cette équation est co que je nomme équation aux diffé-
rences finies partielles à trois indices variables.
Enfin , «a considérant la chose d'une manière abstraite et indé-
pendante des dimensions de- l'espace, concevons généraLement un
système de grandeurs qui soient fonctions d'un nombre quelconque
d'indices variables., et supposons entre Ces grondeurs , leurs di^i
dby Google
INTRODUCTION. xiiij
rences relatires à ces indices et les indices eux-mêmes ^ autant
d'équations qu'il y a de ces grandeurs ; ces équati<ms seront aux
différence fiiotes partielles à on nombre quelconque d'indices
variables. •
On peut à leur moyen, détenniner successireroent ces gran-
deurs. Mais de même que l'équation i on seul indice , exige que
l'on connaisse un certain nombre de termes de la série ; de même
l'équation à deux indices exige que ¥oa connaisse une bu plusieurs
lignes de sà'ies, dont les tenues généraux peuvent chacun être
exprimés par une fonction arbitraire d'un des indices. Pareillement,
l'équation à trois indices exige que Ton connaisse un ou plusieurs
plans de séries , dont les tennee généraux peuvent être exprimés
chacun par mie foncticHi arbitraire ^ deux indices, et ainsi de suite.
Daus tous ces cas, on pourra, par des éliipinaUons successives»
détemuner un terme quiconque des séries. Mais toutes les équa-
tions «Qtre lesquelles on éliiaine, étant comprises dans un même
système d'équati<ms générides; toutes les expresuons des termes
successiâ que r<Hi obtient par ces Simulations , dMvont être com-
prises dans une expression g^iérale , fonction des indices qui dé-
termioent le rang du term«. Cette expression est l'intégrale de
l'équation proposée aux diSërences , et sa recherche est l'objet da
calcul intégral. Parmi les méthodes imaginées pour y parvenir ,-
celle qui me paraît être la plus générale et la plus single , est fondée
sur la considération des foncUons génératrices dont voici l'idée.
Si l'on conçoit une fonction A d'une variable, développée danst
une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable;
le coefficient de l'ime quelconque de ces puissances sera fonction
de l'indice ou exposant de cette puissance. A est ce que je nomme
foTiction génératrice de ce coefficient, ou de la fonction de l'indice.
Maintenant, si l'on multiplie la série A, par une fonction linéaire
de la variable, telle , par exemple , que l'unité plus deux fois cette
variable ; le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans
laquelle le coëffident d'une puissance qndconque de la variable, sera
égal au coefficient de la même puissance dans A , plus au double du
coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction
de riAdice dans le produit, égalera la fonction de l'indice dans A ,
y Google
xsiv IM^ODUCTION.
plus le double de cette même fônction dans laqaeHe tlncGce est
diminué de ruoité. Cette fonction de rindic^ dans le développement
du produit, peut ainsi être envisagée , comme une dérÎTée de la
fonction de l'indice dans A, dérivée que Pofi peut exprimer par une
caractéristique placée devant cette dernière fonction. La dérivation
indiquée par la caractéristiqne, dépend de la fonction multiplicateur,
que nous désignerons généralementpar B , et que nous supposerons
développée comme A, par rapport aux puissances de la variable.
Si Ton multiplie de nouveau par B , le produit de AparB,ceqni
revient à multiplier A par le carré de B; on formera une troisième
fonction génératrice dans laquelle le coefficient d'une puissance quel-
conque de la yarifthlft , s«xa «ne dérivée semblable du coefficient
correspondant dans le premier produit; on pourra donc l'exprimer
par la même caractéristique placée devant la dérivée précédente,
et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant le coef-
ficient c<HTespondant dans la série A; mais au lieu de l'écrire ainsi
deux fois, on lui dbnne pour exposant, le nombre deux.
En continuant de cette manière, onT(Ht généralement que si l'on
multiplie A par ime puissance n**^ de B; onaïu-ale coefficient d'une
.puissance quelconque de la variable dans le produit, en plaçant
devant le côefficieut c<MTespondant de A, la caractéristique avec n
pour expos£^t.
Supposons que B soit l'unité divisée par la variable - alors dans
le produit de A par B , le coefficient d'une puissance de la variable,
sera le coefficient de ia puissance supérieure d'une unité dans A;
d'où il suit que dans le produit de A par la puissance n'^"** de B,
ce coefficient sera celui de la puissance supérieure d'un nombre n
d'unités dans A.
' Si Bestégalà, moinsunpiusranitédiviséepar la variable; alorsdans
le produit de A par B , le coefficient de la variable sera le coefficient
de la puissance supérieure d'une unité dans A , moins le coefficient
de cette puissa'hce; il sera donc la différence finie de ce dernier coef-
ficient dans lequel on fait varier l'indice, de l'unité. Ainsi dans le
produit de A par la puissance n'^' de B , le coefficient sera la diffé-
rence n'*"" du coefficient correspondant dans A.
B étant une fonction de la variable, et C étant une autre fonction
dby Google
INTRODrcnOTT. xxf
de la même variable; on pourra coDsîdérer B^ comme une fonc-
tion de C , déreloppëe dans une série ordonnée par rapport aux
poissances de Cj le produit de A par cette série, sera donc idœ-
tigoemoit égal au produit de AparB; et les coeffîciens d'une même
puissance de la variable , seront identiquement égaux dans ces
deux produits. Mais le premittr de ces coefiiciens est formé d'une
suite de termes correspondans aux produits de A par les diverses
puissances de C. Dans le produit de A par C , ce coefficient est une '
nouvelle dérivée du coefficient correspondant dans A, dérivée que
nous exprimerons par une nouvelle caractéristique placée devant
ce dernier coefficient. En changeant donc les diverses puissances
de C , dans cette nouvelle caractériaticiue affectée d'exposans égaux
. à ceux de ces puissances , et placée devant le coefficieni com;spou-
dent de A; en mult^liant ensuite par ce coefficient, le terme indé-
pendant de C , dans la série précédente ; on aura le coefficient relatif
au produit de A par le développement de B , suivant les puissanceft
de C. Si Ton ^ale ce coefficient, à celui qui est relatif au produit
de A par B , et qui est exprimé par la première caractéristique placée
devant le coefficient correspondant de A; on aura Texpressicm de
la dérivée indiquée par cette caractéristique , daus une série or-
donnée suivant -les exposans de la nouvelle caractéristique. - On
voit que pour former cette série , c'est-à-dire pour, repasser des
fonctions g^ératrices à leurs coefficiens , il suffit de substituer dans
B considéré coame fonction de C, la. nouvelle caractâristiqne , à
la place de C ; de développer ensuite B , dans une série ordonnée
par rapport aux puissances de cette caractéristique ; enfin d'écrire
le coefficient d'une puissance indéterminée de la variable dans A ,
à la suite de chaque puissance de la caractéristique , et après le
premier terme de la série. Ainsi ce coefficient étant une fonction
quelconque de llndice de la puissance de la variable ; la transfor-
mation d'une dérivée de cette fonction , indiquée par une première
caractéristique , dans une série ordonnée par rapport aux exppsana
successife de la caractéristique d'une nouvelle dérivée de la même
fonction, se réduit aux opérations algébriques du développement
des fonctions en séries.
Si l'on suppose B égal à l'unité divisée par la variable , et.Cégal
dby Google
«yi INTRODUCTION,
à cette firaction moltis ma ; S sora ^al à Vaaiié plue C , et le pro-
duit de A par b w*^ pnissaDce de B , »a^ ^al au produit de A
par le dérdoppemoit de la puissance nf*^ du binôme , un plus C ;
or le coeffici^it d'une puùsance quelconque de k variable , dans
le prodoôt de A par Bâevé à la tv*^ puissance, est , conuoe (m l'a
vu, le oo^cient de ia puissance supérieure de n tmités, dans A ; et
ce même coefficient dans le produit de A par une puissance de C ,
est la diffiérence du m&ne ordre, du ooefEicient correspondant dans
A; une fonction quelconque de l'indice alimenté de n, estdonc égale
aux coeffîciens des termes du développement de la puissance n'^"*"
du binôme ) midtipliés respectivement par la fonction elle-même,
et ses différences successives; ce qui donne l'interpolation des séries,
au moyen des di^rences de leurs termes successif.
B étant toujours supposé égal à l'unité divisée par la variaMe ,
et C étant une fonction quelconque de Cf^te variable ; C sera la
même fonction du quotient de l'unité divisée par B. Si de là on
tire l'cKpression de la puissance iv*^ dé B , dans une sàie déve*
lo[^>ée suivant les puissances de G; on aura en repassant des fonc-
tions génératrices aux coeffîciens , une foncticm quelconque de l'in-
dice augmenté de n , égale à une série dont le premier terine sera
)e premier terme de la sà-ie précédente, multiplié par la fonction
éUe-ménie ; etdontles suivons seront ceux de la m^ne série , dans
lesquels, au lieu des puissances de C , on écrit les mêmes puissances
de la caractéristique relative à C , suivies de la ibnctiod. Si Ton
suppose un des termes de cette nouvelle série, égal à zéro; tous
les termes suivans seront nuls, et la somme des termes jf^écédens
sera l'expresnon de la fonction de l'indice auçnenté de l'indéter-
minée n-j cette expression aeta l'înt^rale complète de l'équation
aux diflérenoes , indiquée par l'égalité du terme de la »érie, à zéro ;
on a ainsi la iné&ode la plus simple d'int^rer ce goire d'équa-
tions.
Concevons présentement qoe A scMt une fonction de deux va-
riables, (ce que nous allons dire, s'étend à un nombre quelconque
de vambles ). En kt développant dans une série ordonnée par rap-
port aux puissances de ces variables , et à leurs produits ; le coefficient
du produit de deux puissances quelconques dans ce développement,
dby Google
INTRODUCTION. xxvii
sera PQe fonctitm des indices de ces puissances , dont A sera ia
foDCtioQ génératrice.
Si l'on multiplie A par une autre fonction B de ces deux va-
riaUes ; le coefficient des deux mêmes puissances dans le produit,
serq lue ^Miction dérirée du coefficient précédeotr dérivée quel'oa
poiara exprimer par une caractériatiipie ^cée devant ce coçfficàeot.
On veira, comme ci^dessus, que le coeffîcÎŒitcorrespondaQt, dans
le produit de A par une ptûssance quelooiuiae de B, sera exprime
par cette caractéristique , toujours placée derant le coefficâ^it reiar
tif à A , et à laquelle on donne pour exposuit , celui de la puissance
de B. De là résistent des théorèmes analogues à ceux qui sont
relatif à une seule variable. On pourra déreloppar d'une manière
semblable , une fonction <;^lcoiiqu6 des 4eux Indices ut^^eutés
reepectirem«Qt des nocalH-es n et n', dans une série ordonnée par
rappOTt aux puissances d'une cwoctiûistique, placées devant la fonc-
lioaœns aca'oissementd'tDgbcesj'etdontle premier termeest celte
foB(^n edle-méme. Si Tua des ternes de oett;^ seine , est égal àzérb;
tous les termes suivans le ser-^Eit par^esoest , et la somme des
tomes précédens sera l'e^vession de la Jonction desdeux indices
augimen^ respectïTemeDt des indéterHiinées n et n' : e^te eApres-
sifio sott'Fintégrale de l'équation aux diffêresces .finies partielles ,
dnmée par cette égalité.
. 11 existe tm^ours une fonction des nriables , telle qu'en la dé-
veloppant en série , les «oefiGidens des produits de knrs puissances
ont entre eux j la rdation donnée par one équation aux diffîrences
partielles. Cette fonction que j'ai nommée yoTic&'on génératrice de
l'équation proposée ,^eat souvent &sà3it à obtenir : toutes les manières
de la développer en série , donneront l'intégrale de cette équation ,
sons des formes diverses plus ou SMins commodes selon tes cïT"
constances.
Si l'on a one série ordonnée pai* rapport aux puissances d^e
variable , et telle que le coefiBciezit de diaqne puissance soit , par
exemple^, la moitié du coefficàent delà pmssanoe précédente ;-ob
pourra concevoir l'intervalle des deux premiers termes , rempli
d'une infinité de termes dans lesquels les puiss^iœ&de la variable
croîtront par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu'à l'unité.
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xtv^ . ÏNTRODUCTÏON.
et auront des eoefficiens arbitraires. Les iotervalles des termes
consécutifs suiraus , seront pareillement remplis d'une infiidié
d'autres termes , mais dépendans des premiers , de manière que le
coefficient d^me puissance de la variaHe , soit la moitié du coeffi-
cient de la puissance moindre d'ime unité. Le plus communémoit,
on suppose les interralles des premiers termes de chaque série >
rempÙs par des ordonnées pû^oliques ; alors les autres inter-
valles sont remplis d'ordonnées semblables, liées aux précédentes,
^ar la loi générale de la série qui renferme ainsi toutes les ptôssaDces
entières et actionnaires de la variable.
Supposons maintenant que A soit wie série semblable, et qne B
soit égal à, moins un plus l'unité dirisée par une piùssance i entière
ou fractionnaire de la variable. En représentant par un plus C ,
l'unité divisée par la variable; B sera égal h la quantité suivante ,
moins un plus la puissance i du binôme un plus C. Si l'on multiplie
par A, la puissance />'''"'' de cette quantité; on aura un produitid^-
tiquement ^al à celui de A par la puissance n'*'^ de B. ^ l'on dé-
veloppe ces puissances; on repassera des fonctions génératrices ,
aux coeffîciens, i° en changeant la puissance n**^ de B, miriti[diée
par A , dans ta dififêrence n'*^ de la fonction de l'indice , relative à
A, i étant l'accroissement de t'indîce;a* en changeant pareillement
le produit de A par une puissance de C d'un ordre quelconque , dana
nne dififêrence du même ordre , de la même fonction de l'indice ,
f unité étant l'accroissement de llndice. On ftura donc la différence
jiième d'une foncti(Hi quelconque de l'indice donttest l'accroissement,
exprimée par une série des difierences de la même fonction , dans
lesquelles l'unité est l'accroissement de l'indice. On peut ainsi trans^
former la caractéristique relative à un accroissement de l'indice,
dans une série de caractéristiques relatives à un autre accroisse-
ment.
On voit dans tout ce qui précède , qne les opérations algébriqnes
relatives aux transformations des fonctions , se transportent aux
caractéristiques, en leur donnant pour éxposans, ceux dés quan-
tités qui leur correspondent. Cette analogie remarquable et féconde
des puissances et des caractéristiques « avait été aperçue par Leîbnitz
dans les expressions diffêrentieUes. Lagrange> en suivant cet aperça
dby Google
INTRODUCTION. xxîx
de Leibnite dam tous ses déreloppemeus,. en a tiré des formules
aossi curieuses qu'utiles pour l'analyse , mais sans en donner les
démonstrations qu'il regardait comme difficiles. La théorie des
fonctions génératrices ne laisse rien à désirer à cet égard, et de plus
elle étend à des caractéristiques quelconques , l'analogie que ces
deux grands géomètres n'araient observée que relatirement aux
puissances et aux diflërences.
Si l'on suppose les accroissemens des indices, inBniment petits;
les résultats relatils à leurs accroissemens finis , subsisteront tou-
jours , et se simplifieront en rejetant les infiniment petits d'uD
ordre supérieur à celui que l'on conserve. Ces passages du fini à
rinfiuimeut petit, ont l'avantage d'éclairer les points délicats de
l'analyse in&iitésimale , qui ont été l'objet de graude» illacuaaions
parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité
d'introduire des fonctions discontinues , dans les int^rales des équa-
tions aux diffîrentielles partielles; pourvu que la discontinuité n'ait
lieu que pour les di^entielles des fonctions » de l'ordre de ces
équations. Les résultats tcanscendans du calcul sont , comme foutes
les abstractions de ?entend«nent , des signes généraux dont on n»
peut connaître la véritable éteiidue , qu'en remontant par l'analyse
métaphysique, aux idées élémentaires qui y ont conduit; ce qui
présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain ea
éprouve moins encore à se porter en avant, qu'à se replier sur
lui-même.
. Le passage du fini à Finfiniment petit, répand un grand jour sur
la métaphysique du calcul diflerentiel. On roit clairement par ce
passage , que ce calcul n'est que la C(^paraison des coeffîciens des
mêmes puissances des di£fêrentielles , dans le développement en
série^ de fonctions identiquement égales des indices augmentés res-.
pectivement de difiërentielles indéterminées. Les quantités que l'on
néglige comme étant d'un ordre d'infiniment petits, supérieur à celui
que l'on conserve , et qui semblent par cette omission ^ ôter à ce
calcul la rigneur del'algébre^.De sont que des puissances de ces difië-
rentielles, d'un ordre supérieur à celuîdes puissances dont on com-
pare les coefficiegs , et qui par là , doivent être rejetées de cette
comparaison î-eûsoite que le calcul di£^ntiel a toute l'exactitude
dby Google
XXX INTROD0CTiON.
des autres opérations algébriqaes. Mais dans ses applîcatîonB à la
géométrie et àlamécanîqae, il est indispensable d'introduire le prin-
cipe des limites. Far exemple, la sontangente d'une courbe étant la
limite géométrique de la swisécante , on la ligne dont celle-<â approche
sans cesse, à mesure que les points d'intersection de la sécante
et de la courbe se rapprochent ; Pexpression analytique de la soo^
tangente , doit être pareillement la limite de rexpression analytique
de la sousécante ; elle est, par conséquent, égale au premi^ tome
de celte dernière e'xpression déreloppée sniTam les puissances de
rinteiralle qui sépare les deux points d'intersection.
On peut encore envisager la tangente, comme la droite dont-
réquatipn .ammoche-Ié jilus ^-eelie de la couilie -, près du point de
contingence. L'ordonnée de cette courbe , étant une fonction de
l'abscisse; aï à partir de ce point, on fait croître l'abscisse, d'une
quantité indétemûnée, etqn'on développe ïa fonction suivant tes
puissance? de cette indétcnninée ; il est Tîfflble que la somme des
deux premiers termes de ce développement, sera l'ordonnée de Ift
droite la plus approcdiante de la courbe ; conséqnemment , elle sera
l'ordonnée de la tangente : le coefficient de l'indéterminée daBs le .
second terme , exprimera le rapport de l'ordonnée à la soutangente.
Il «st Ëicile de prouver par le principe des limites, que toute autre
droite menée par le point de contingence , entrerait daus la cotirbe
près de ce point.
Cette manière singulièrement heureuse de parvenir à l'expression
des soutangentes , est due à Fermât qui l'a étendue aux courbes
transcendantes. Ce grand géomètre exprime par la caractéristique £,
Taccroissement de Tabscisse ; et en ne considérant que la première
puissance de cet accroissement ,- il détermine exactement comme
on le Élit par le calcul différentiel, les soutangentes des couri)es,
leurs points d'inflexion, les maximaet minijna de lenrs ordon-
nées, et généralement ceux des fonctions rationnelle. On volt même
par sa beHe solution du problème de la réfraction de la lùmi^e ,
en supposant qu'elle parvient d'un point à un autre dans le temps
le plus court, et qu'elle se meut dans les divers milieux diaphanes
avec diflërentes vitesses , on voit dis-je , qn'il savait étendre sa mé-
thode, auxfooctions irrationnelles, en se débairassant des irratioa-'
dby Google
ÏNTRODUCTIOW. itij
ualitéâ, par réléraUoQ âes radicaux aus pwasanccs. Chi doit donc
regEffdv Fermât , comme le vmtable inTenteur du calcul diffêreatiel.
IVevirtOQ a depuis rendu ce calcul , plus analytique, dans sa Méthode
des Fluxion»; et il enasût^^é et généralisé l^fvocédés, par son beau
tliéorème du binôme. Enfin {«esqu'cnioéme temps, Leitoitz a enrichi
le calcl^ diflfêrentiel, d'une notatiMi^e&în^qôaDt le passagfrdufini
à rinfiiÙHieat petit, réunit à Tavaidage d*exprmier les résultats rigoi»'
reox de ce calcul, celui de doimer les premières valeurs appro-
chées des différences et des sommes des fpuntités; notation qui s'est
adaptée d'eUe^néme au calcul des difiërentiellespartieUes. La langue
jde Tuialjse , la plus parËûte de toutes les langues, étant par elle-
même un puissant instrument de découvertes ; ses notations , lors-
qu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont des germes
de nouveaux calculs. Aiiui , la aùuple idée qu'eut Descartea , d'in-
diquer les puissances leprésentées par des lettreis, en écrivant vers
le haut de ces lettres , les nombres qui expriment les degrés de ces
puissanees , a donné naissance au calcid expcmentiel ; et Leibnitz a
été ccmduît par sa notation , à l'analogie «nguyère des puissances
et des diffêrentiefles. Le calcul des fonctions génératricts , qui ,
comme on l'a vu , donne la vmtable origine de cette anal<^e ,
oSre tant d'exemples de ce traJoeport des puissances aux caracté-
ristiques , qu'il peut encore être envisagé comme le calcul expo-^
nentiel des caractéristiques.
On est souvent conduit à des expressions qoi contienoent tant
de termes et de &cteurs , que les substitutions nummques j sont
impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité,
lorsque l'on considère un grand n(Hnbre d'évéhemeos. Cependant
il importe alors d'avoir k valeur numàique des fennules , pour
comûttre avec quelle probabilité , les résidtats que les événaoens
développent en se multipliant, sont indiqués. H importe surtout
d'avoir la loi sui^nt laquelle cette probelulîté approche sans cesse
de la certitude qu'elle &iirait par atteindre, si le nombre des éré-
nemena devenait infini. Four y parvenir, je c(Hiaidéraà que les
intégrales définies de ££fêrentieUe8 multipliées par des fecteurs
éjev^ à de grandes puissances, donnaient par l'intégration, des finr-
mules composées d'un grand mnnbre de termes etde fecteurs. Cette
dby Google
xxxij INTRODUCTION.
remarque me fit naître l'idée de transformer dans dé semBIables
iâtégrales, les expressions compliqaéea de l'analyse et les intégrales
des équations aux différences. Je remplis cet objet par une mé-
thode qui donue à-Ia-fois, la fonction comprise sous h signe inté-
gral , et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable ,
savoir, que cette fonction est la fonction même génératrice des
expressions et des équations proposées ; ce qui rattache cette
méthode , à la théorie des fonctions génératrices dont elle est le
complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale '
définie , en série convergente. C'est ce que j'obtins par un procédé
qui Eut couvei^er la série , avec d'autant plus de rapidité , que la
formule gu'ella rt^m£s«a*e «ot plus compliquée; enaorte qu'il est
d'autant plus *xact, qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent,
la série a ponr facteur, la racine carrée du rapport de la circonfé-
rence au diamètre : quelquefois. elle dépend^'autres transcendantes
dont le nombre est Infini.
Une remarque importante , qui tient à la grande généralité de
l'analyse, et qui permet d'étendre cette méthode, aux formules
et aux équations aux diSerences , que la théorie des probabilités
présente le plus fréquemment , est que les séries auxquelles on
parvient, en supposant réelles et positives, les limites des intégrales
définies , jont également lien dans le cas où l'équation qui détermine
ces limites, n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces pas-
sages du positif au négatif, et du réel à l'ima^naire , dont j'ai &it
le premier usage , m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs
intégrales définies singulières , que j'ai trouvées ensuite directement.
On peut donc considérer ces passages , comme des moyens de dé-
couvertes,.pareils à l'induction et à l'analogie employées depuis ^
longT-temps par les géomètres, d'abord avec un extrême réserve,
ensuite avec mie entière confiance ; un grand nombre d'exemples-
en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours utile de con-
firmer par des .démonstrations directes , les résultats obtenus par
ces divers moyens.
J'ai nommé calcul des fonctions génératrices , l'wisemble des
méthodes précédentes : ce calcul sert de fondement à. la théoriâ
des probabUités, exposée dans cet oayrâge,
lizedby Google.
INTRODUCTION. xxxiij
JPFXJCATIONS BV CAXjCUL DES PROBABILITÉS.
Des Jeux.
Les combinaisons qne les jeux présentent, ont et» l'objet des
premières recherches sur les probabitités. Dans l'in&ûe variété de
ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent arec Ëicilité au
calcul : d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés
croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compli-
quées, le désir de les sunnonter et la curiosité ont excité les géo-
mètres à perfectionner de plua eu plus, ce genre d'analyse. On a vu
précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie
des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus diffi-
cile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un,
par exemple , que tous les numéros seront sortis, n étant le nombre
des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le
nombre inconnu de tirages; l'expression de la prolâbiliLé de la sor-
tie de tous .les numéros , dépend de la di^rence finie n*^'^ delà
puissance i du produit de r nombres consécutifs. Lorsque le
nombre n est considérable , la recherche de la valeur de i , qui
rend cette probabilité égale à 2, devient impossible , à moins qu'on
ne convertisse cette différence , dans une série très-convergente.
C'est ce. que l'on &it heureusement par la méthode ci-dessus indi-
quée, pour les approxiiQations des fonctiens de très-grands nombres.
On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numé-
ros dont un seul sort à chaque tirage ; il 7 a du désavantage à
parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 96767 ti-
rages, et de l'avantage à&iire le même pari pour 96768 tirages. A la
loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et
avantageux pour 86 tirages.
Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix
et pile , de manière qu'à chaque coup , si croix arrive , A donne
un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive; le nombre des
jetons de B est limité : celui des jetons de A est illimité ; et la
partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande
dby Google
ixxxvi INTRODUCTION,
plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de ^gner la partie ang-
meate, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs
jetons; et eUé devient } ou la même que la probabilité de l'autre
joueur^ dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient
infinis , en fwnservant toujours le même rapport.
On peut corriger rinflueoce de ces inégalités inconnues, en les
soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de
croix et pi/e, si Ton a une seconde pièce que Ton projette chaque
fois avec ta première; et que Ton convienne de nommer constam-
ment croix, la Ëice amenée par cette seconde pièce; la probabilité
d'amener croîx deux fois de suite, avec la-première pièce , appro-
tJwFft-booaôoqp plao-d'uH quart, qUe daOs le cas d'une aeide pièce.
Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petk accroîsae-
ment de possibilité que l'in^alité inconnue donne'à la &ce' de Ïa
première pièce , qu'elle favorise : dans l'autre cas , cette différence
^t le quadruple produit de ce carré, par le carré correspondant
-relatif à la seconde pièce.
Que l'oujette dans une urne , ceat numéros depuis on jusqu'à cent,
dans Tordae de la numération, et qu'après avoir agité l'urne^ pour
mêler ces numéros, on m tfar un; il est clair que si lé mélange
a été biea Ëtit, led probabâités de sortie des numéros, sont les
mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles , de petites diffé-
rences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été
jetés dans l'umô ; on diminuera considérablement ces dâCërences,
,én jetant cbns une seconde urne, ces numéros suivant leur ordre
■de sortie de la première urne , et en agitant aisuite cette seconde
.urne , pour mêler ces numéros; Une troisième m-ne , uûe qua-
trième, etc., dinunueraient de plus en plus ces difierences déjà
insensibles dans la seconde urne.-
De la pTobahilité des témoignages.
" La plupart de nos jugemens étant fondés sur la probabilité des
témoignages , il est Irien important de la soumettre au calcul. La
chose, il est vrai, devient souvent impossible, par la difficulté
d'apprécier la véracité des témoins , et par le grand nombre de
y Google
INTRODUCTION. xsxvi'î
cïrconstances'dontles foits qu'ils attestent , sont accompagnes. Mais
on peut dans plusieurs cas, résoudre des problèmes qui ont beau-
coup d'analogie avec les questions que l'on se propose , et doQt
les solutions peuvent être regardées comme des approiumations
propres à nous guider, et à nous garantir des erreurs et des dangers
atixquels de mauvais raisonnemens nous exposent. Une approximâ-
tionde ce genre, lorsqu'elle est bien dirigée, est toujours préférable
aux raisonnemens les plus spécieux. Essayons donc de donner
quelques r^les générales pour y parrraùr.
On a ^trait un seul numéro , d'une urne qui en renferme milles.
Un témoin de ce tirage, annonce que le n' 79 est sorti; on demande
la probabilité de cette sortie. Supposons que rtixpérioiicc cûl fait
connaître que ce témoin trompe une fois sur dix , eusorte que
la probabilité de son témoignage soit •^. Icîj l'événement observé est '
le témoin attestant que le n° 79 est sorti. Cet événement peut
résulter des deux hypothèses suivantes, savoir, que te témoin énonce
la vérité, ou qu'il trompe. Suivant le principe que nous avons
exposé sm* la probabilité des causes , tirée des événemens obser-
vés , il feut d'abord détermmer à priori^ la prc^abiUté de Févé-
nement dans c^que bypothèse. Dans kt première , la probabilité
que le témoin annoncera le n* 79 , est la probabilité même de la
sortie de ce numéro , c'est-à-dire r^- 1^ ^^^ 1^ multiplier par la
probabilité -^ de la véracité du témoin; on aura donc T^Ss^pour
la probabilité de révénemetft observé , dans cette hypothèse, ffl
ie témoin trompe, le n' 79 n'est pas sorti; et la probabilité de ce
cas est ^^. Mais pour annoncer la sortie de ce numéro , le
téfaoin doit le choisir parmi les 999 numéros non sortis ; et comme
il est supposé n'avok* aucun motif de préférence pour les uns
plutôt cfue pour les autres , la probabilité qu'il choisira le n' 7g ■
est jjj; en multipliant donc cette probalûlité, par la précédente,
on aura 7—5 pour la probabilité que le témoin annoncera le n' 79-,
dans la seconde hypothèse. Il éiut encore multiplier cette proba-
iûUté, par la probid>iUté -r;- de l'hypothèse elle-mémei ce qui donne
. TëTô^ pour la probabilité de l'événement, rdative à cette hypo-
thèse. Présentement, si l'on forme une fraction dont le numérateur
soit la probalttlité relative à la première hypothèse , et àoai 1«
dby Google
XKSvi^ INTRODUCTION,
dénominateor soit la somme des probabilités relatives anx deUx
hypothèses; on aura par le sixième principe, la probabilité de la
première hypothèse, et cette probabilité sera -^^ c'est-à-dire la
véracité même du témoin. C'est aussi la probabilité de la sortie
du n* 79. La probabilité du mensonge da témoin et de la noo-sortie
de ce numéro est ■^.
Si le témoin vouknt tromper, avait quelqnintérét à choisir le
n* 79 parmi les numéros non - sortis ; s^il jugeait , par exemple ,
qu'ayant placé sur ce noméro une mise considérable, Tannonce
de sa sortie augmentera son crédit; la probabilité qu'il choisira
ce numéro, ite sera plu», comme auparavant, ^; elle pourra
être aioT5^7 -f i~vw. , siùrant l'intérêt qu'il aura d'annoncer sa
sortie. En la su{^osant ^ , il feudra multiplia par cette fraction ,
la probabilité -^^ , pour avoir dans l'hypothèse du mensonge , la
probabilité cle l'événement observé , qu'il &ut encore multiplier par
■^■j ce qui donne t?i^ pour la probabilité de l'événement dans la
seconde hypothèse. Alors la probabilité de la première hypothèse ,
ou de la sortie du n* 79, se réduit par la ré^ précédente, à
7I;. Elle est donc trè»-ai1iub]ie par la conùdération de l'intérêt que
le témoin peut avoir à annoncer la Sortie du n* 79. Le bon sens
nous dicte que cet intérêt doit inspirer de U défiance. Mais le calcul
en apprécie l'influence avec exactitode.
La probabilité à priori du numéro énoncé par le témoin, est
Punité divùée par le nombre des numéros de l'urne : elle se trans-
forme en vertu du témoignage, dans la véracité même du tmioin ;
elle peut donc être affoiblie par ce témoi^ge. Si , par exemple ,
l'urne ne renlnme que deux numéros , ce qui donne ; pour la
probabilité à priori de la sortie du n" 1 ; et si la véracité d'un témoin
qui l'annonce eM7t;cette sortie en deTientmoiospr<d>aUe.Ënefifet,
il est visible que le témoin ayant^ors plus de pente vers le men-
songe qoe vers la vérité ; sou témoignage doit diminuer la proba-
bilité du Eût attesté , toutes les fbis que cette probabilité égale ou
surpasse -J. lifais s'il y a trois numéros .dans l'urne , la probabilité
àprioriàt tasortiedu n' 1, est accrue par raflirmatioii d'un témoin
dont la véracité surpasse 7.
. âu^osoos maiateuaDt que l'urne renferme 999 boules noires et
dby Google
INTRODUCTION. mrf<
une boule Manche, et qu'une boule en ayant été extraite, un té-
moin du tirage auntmce que cette boule est btanche. La probabilité
de l'événement observé, déterminée o jjr/on', dans la première
hypothèse , sera ici , comme dans la question [Hrécédente , ^ale à
TôoSï- M«8 dans HiypoUièse où le témoin trompe , la boule blanche
n'est pas sorlfe , et la probabilité de ce cas est ^V- H ^^^ ^
multiplier par la probabilité -^ du mensonge, ce qui donne ^'s,
pour la probabilité de l'érénement observé , relative à la seconde
hypoUi^e. Cette probabilité n*était que ~ï^ dans la question pré-
cédente : cette grande diflërence tient à ce quhme boule noire étant
sortie, le témoin voidant tromper, n'a point dedioix à &ire parmi les
999 boules non sorties, pour annoncer la 8or^ed^Iln; buulc bkuiche.
Maintenant, si l'on forme denx fractioDS dont les numérateurs
soient les probabilités rdatives à chaque hypothèse , et dont le
dénominateur commun soit la somme de ces probabilités; on aura
7^ pour la prob^itité de la première hypothèse, et de la sortie
- d'une boule blanche , et -^'^ pour la probabilité de la seconde
hypothèse, et de la sortie d'une boule noire. Cette dernière pro-
babilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait
beaucoup plus encore , et deviendrait '/oVoVg t si Tume renfermait
un mîUion de boulesdont nne seule serait blanche; la sortie d'une
boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordiuah-e. On voit
ainsi comment la probabilité du mensonge croît à mesure que le
^t devient, plus extraordinaire.
rf ous avons supposé jusqu'ici que le témoin ne se trompait poînt^
mais si l'on admet encore la chance de son erreur, le £iit extraor-
dinaire devient plus invraisemblable. Alors au Ueu de deux hypo-
thèses , on aura les quatre suivantes , savoir , celle du témoin ne
trompant point et ne se trompant point; celle du témoin ne
trônant point, et se trompant; l'hypothèse du témoin trcHupant
et ne se trompant point; enfin celle du témoin trompant et se
trompant. En déterminant à priori dans chacune de ces hypo-
thèses , la probabilité de l'événement observé ; on trouve par le
sixième principe, la probabilité que le fait attesté est faux, égale
à une ÛBCtion dont le numérateur est le nombre des boules ncnres
de l'orne, multiplié par la somme des probabiUfés que le t>?moia
dby Google
il BVTRODUCnON, -
De trompe point et se trompe , ou qu'A trompe et ne se trompe
point, et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté de
la somine des probabilités que le témoin ne trompe point et ne se
b'ompe point, ou qu'il trompe et se trompe à la-fois. On voit par
là , que si le nombre des boules noires de l'urne est très - grand ,
ce qui rend extraordinaire, la sortie de la boule blanche; la pro-
babilité que le fait attesté n'est pas , approche extrêmement de la
certitude.
En étendant cette conséquence , à tous les fax\a extraordinaires ;
il en résulte que la probabilité de l'eireur ou du mensonge du té-
moin, devient d'autant plus grande, que le Ëiit attesté est plus
exfrnardinaire. Qu£k[u«s auteurs ont arancé le contraire, en 8<s
fondant sur ce que la vue d'un &it extraordinaire étant par&ite-
ment semblableà celle d'unËiitordinaire, les mêmes moti& doivent
nous porter à croire égalementle témoin, soit qu'il alfirmel'un ou
qu'il afiirme l'autre de ces &its. liO simple bon sens repousse une
aussi étrange assertion:maisle calcul des probabilités, euconfînnant
rindication du sens commun, apprécie de plus, rinvraisemblanca
des témoignages sur les Ëtits extraordinaires.
On insiste, et l'on suppose deux témoins également dignes de foi,
dont le premier atteste -qu'il a vu mort , il y a quinze jours , un
individu que le ^cond témoin afiirme avoir vu hier, plein de vie.
L'un ou l'autre de ces faits n'offre rien d'invraisemblable. La résur-
rection de l'individu est une conséquence de leur ensemble ; mais
les témoignages ne pra-tant point directement sur elle , ce qu'elle a
d'extraordinaire ne doit point afi&iblir la croyance qui leur est due.
( Encyclopédie , art certitude ).
Cependant , si la conséquence qui résulte de l'ensemble des té-
moignages était impossible , l'un d'eux serait nécessairement faux ;
or une conséquence impossible est la limite des conséquences ex-
traordinaires , comme l'erreur est la limite des invraisemblances j
la valeur des témoignages , qui devient nulle dans le cas d'une con-
séquence impossible, doit donc être très^flàiblie dans celui d'une
conséquence extraordinaire. C'est en effet , ce que le calcul des
probabilités confirme.
Pçur le faire voir, considérons deux urnes A et B dont la prc-
dby Google
INTRODUCTION. i!j
mière contient xm milUon de boules blanches, et la seconde , im
million de boules noires. Oo tire de l'une de ces urnes , une boule
que l'on remet dans l'autre urne dont on exb^it ensuite ime boule.
Deux témoins , l'un du premier tirage , et l'autre du second , attestent
que la boule qu'ils ont tu extraire , est blanche. Chaque témoignage
pris isolément , n'a rien d'invraisemblable ; et il est fecile de voir
que la probabilité du ^t attesté, est la véracité même du témoin.
Mais il suit de l'ensemble des témoignages , qu'une boule blanche a
été extraite de l'urne A au premier tirage , et qu'ensuite , mise dans
l'ume B, elle a reparu au second tirage; ce qui est fort extraor-
dinaire ; car cette urne renfermant alors une boule lynche sur un
million de boules noires , la probabilité a'en extraire la houle
blanche est .o.ôo;?- Pour déterminer l'aflàiblissement qui en résulte
dans la probabilité de la chose énoncée par les deux témoins; nous
remarquerons que l'événement observé est ici l'aflirmation par cha-
cun d'eux, que la boule qu'il a vu extraire, est blanche. Repré-
sentons par -^ la probabUité qu'il énonce la vérité , ce qui peut avoir
lieu dans le cas [o-ésent, lorsque le témoin ne trompe point et ne
se trompe point, et lorsqu'il trompe et se trompe à-Ia-fois. Onpoit
former les quatre hypothèses suivantes.
1'. Le premier et le second témoiu disent la vérité. Alors, une
boule blanche a d'abord été extraite de l'urne A, et la probabilité
de cet événement est i , puisque la boule extraite au premier ti-
rage a pu sortir paiement de l'une ou l'autre urne. Ensuite, la
bmile extraite mise dans l'ume B a reparu au second tirage ; la pro-
babilité de cet événement est tô^vôtt; ^ probabilité du Eût énoncé
est donc Xg^tzsT- En la multipliant par le produit des probabilités -^
et ^ que les témoins disent la vérité; on aura ^..oVo.th pour la
probabilité de l'événement observé , dans cette première hypothèse.
3". Le [vemier témoin dit la vérité , et le second ne la dit point ,
soit qu'il trompe et ne se trompe point, soit qu'il ne trompe point
et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de l'urne A au pre-
mier tirage , et la probabilité de cet événement est ^. Ensuite cette
boule ayant été mise dans l'urne B, «ne boule noire en a été ex-
traite ! la probabilité de cette extraction est "n'Hi ; on a donc
mill-t pour la probabilité de l'érénement composé. En la multi-
/
db, Google
3£li) INTRODUCTION.
pliant par le produit des deux probabilités t^ et -^ que le premier
téinoin dit la Térité, et que le secoad ne la dit point; ou aura
i!Iq^Ô»s; pour la probabilité de l'événement observé ^ dans la seconde
hypothèse.
3*. Le premier témoin ne dit pas la vérité, et le second l'énonce.
Alors une houle noire est sortie de l'urne B au premier^irage , et
après aroir été mise dans l'urne A , ime houle Uanche a été extraite
de celte urne. La probabilité du premier de ces érénemens est \ ,
et celle du second est ;°°°°°° ; la probabilité de l'événement com-
posé est donc vSofîlïï- En k multipliant par le [uroduit des proba-
bilités -rs et -^, que le premier témoin ne dit pas la vérité,, et que
le second l'énonce; on.a«ro îffsfffls pour la probabilité del'événe-
nemeut observé, relative à cette hypothèse.
4°. EnÛD, aucun des témoins ne dit la Térité. Alors une boule
noire a été extraite de t'urne B au premier tirage ; ensuite ayant
été mise dans l'urne A, elle a reparu au second tirage : ta pr(^-
bilité de cet événement composé est .n„ôcor- En la multi|diant par
le produit des prohabilités i^ et t? ^e chaque témoin ne dît pas
la vérité j on aura .»ooôo.oo pour la prob^ilité de l'évôiement
observé, dans cette hypothèse.
Maintenant, pour avoir la probabilité de la chose énoncée par
les deux témoins , savoir, qu'une boule blanche a été extraite à
chacun des tirages ; il Êiut diviser la probabilité correspondante à
la première hypothèse, par la 8<Himie des prt^ahilitéa relatives aux
quatre hypothèses-; et alors on a pour cette probabilité .-ït'tjîï > frac-
tion extrêmement petite.
Si les deux témoins affirmaient, le premier,, qu'une boule blanche
a été extraite de l'une des deux urnes A et B ; le second, qu'ime
boule blanche a été pareillement extraite de Tune des deux urnes
A' et B', en tout semblables aux premières ; la probabilité de la chose
énoncée par les deux témoins s^'ait le. produit des probabilités de
leurs témoignages ou ^ , c'est-à-dire , cent quîrtre-vingt mille fois
au moins, plus grande que la précédente. On voit par là , combien
daus le premier cas , la réapparition au second tirage , de la boule
blanche extraite au premier^ conséquence extraordinaire des deux
témoignages , en aâàihlit la valeur.
dby Google
INTRODUCTION. xKii
, Nous n'ajoatèrions point foi au témoignage d'un hommcwiai nous
attesterait qu'en projetant cent des en Tair, ils sont tous retombés
sur k même face. Si nous avions été nous-mêmes spectateurs de
cet événement, nous n'en croirions nos propres yeux, qu'après
en avoir scnipuleusement examiné toutes les circonstances, pour
être bien sûrs qu'il n'y a point eu de prestige. Mais après cet
examao , nous ne balancerions point à l'admettre , malgré son ex-
trême iniiraisemblance ; et personne ne serait tenté pour l'expliquer,
de recourir à une illusion produite par un renversement des lois de la
vision. Noua' devons en conclure que la probabilité de la constance
des lois de la nature, est pour nous, supérieure à celle que l'événe-
ment dont il s'agit, ne doit point avoir lieu j probabilité supérieure
elle-même à celle de la plupart des faits historiques que nous re-
gardons comme incontestables. On peut juger par là , du poids im-
mensede témoignages nécessaires pour admettre tme suspension des
lois naturelles ; et combien il seraitabusif d'appliquer à ce cas, les règles
ordinaires de la critique. Tous ceux qui sans offiir cette immensité
de témoignages , étay «it cequ'ilsavancent , de récits d'événemens con-
traires à ces lois, affaiblissent plutôt qu'ils n'augmentent la croyance
qu'ils cherchent à iospirerjcar alors ces récits rendent très-probable ,
l'erreur ou le mensonge de leurs auteurs. Mais ce qui diminue Uk
croyance des hommes éclairés, accroît souvent celle da vulgaire ;
et nous en avons donné précédemment la raisoB.
Il y a des choses tellement extraordinaires, que rien ne peut
- en balancer l'inviEÛsemblance. Mais celle^i, par l'eflèt d'une opi-
nion dominante ', peut être affaiblie au point de paraître inférieure
. à la probabilité (tes témoignages ; et quand cette opioion vient à
changer , un récit absurde admis unanimement dans le siècle qui
lui a donné naissance, n'offi'e aux siècles suivans , qu'une nouvelle
preuve de l'extrême influence de l'opinion générale , sur les meilleurs
esprit. Deux grands hommeà du siècle del^uisXIV, Racine et
Pascal, en sont des exemples fîrappans. II est affligeant de voir
avec quelle complaisance, Racine, ce peintre aidmirable du cœur
humaÎD, et le poëte le plus par&it qui fut jamais , rapporte comme
miraculeuse , la guérison de la jeune Perrier, nièce de Fasca! , et
pensionnaire à l'abbaye de Fort-Royal : il est pénible de lire les
dby Google
xliv irn-RODUCTION.
raisoilne0i6ns par lesquels Pascal cherche à prouver que ce miracle
âeTeoait nécessaire à la religion , pour justi&er la doctrine des re-
ligieuses de cette abbaye , alors persécutées par les Jésuites. La
jeune Perrier était depuis trois ans et demi , affligée fl'une fistule
lacrymale : elle toucha de son œU malade , une relique que l'on
prétendait être une des épines de la couronne du Sauveur , et elle
se crut à l'instant, guérie. Quelques jours après, les médecins et
les chirurgiens constatèrent la guérison, et ils jugèrent que la nature
et les remèdes u'y avaient eu aucune part. Cet événemen* arrivé
en i656, ayant feit un grand bruit, « tout Paris se porta, dit
» Racine , à Port-Royal. La foule croissait de jour en jour , et Dieu
y> même ââtnhlait prendre plaisir à autoriser la dévotion des peuples,
3> par la quantité de miracles qui se firent en cette église. » A
cette époque , les miracles et les sortilèges ne paraissaient pas Pi-
core invraisemblables, et Ton n'hésitait point à leur attribuer les
singularités de la nature, que Ton ne pouvait autrement espU-
quer.
Cette manière d'envisager les effets extraordinaires se retrouve
dans les ouvrages les plus remarquables du siècle de Louis XIV ,
dans l'Essai même sur l'eotendement humain, du sage Locke qui dit
en parlant des degrés d'assentiment : « quoique la commune expé-
j> rience et le cours ordinîiire des choses aient avec raison, une
j> grande influence sur l'esprit des hommes pour les porter à
3> donner ou à refuser leur consentement à une chose qui leur
:b est proposée à croire; il y a pourtant un cas où ce qu'il y a
j> d'étrange dans un feit , n'affdiblit point l'asseniiment que nous
j> devons donner au témoignage sincère sur lequel il est fondé.
» Lorsque des événemens surnaturels sont conformes aux fins que
3) se propose celui qui a le pouvoir de changer le cours de la na-
X ture , ils peuvent être d'autant plus propres à trouver créance
» dans nos esprits , qu'ils sont plus au-dessus des observations ordi-
» naires, ou même qu'ils y sont plus opposés. » Les vrais prin-
cipes de la probabilité des témoignages, ayant été ainsi méconnus
des philosophes auxquels la raison est principalement redevable de
ses progrès ; j'ai cru devoir exposer avec étendue, les résultats du
calcul sur cet important objet.
dby Google
INTRODUCTION. xlv
Ici se présente natureUement la discussion d'un argoment femenx
cle l'ascal, que Craig, mathématicieD anglais, a reproduit sous une -
forme géométrique. Des témoins attestent qu'ils tiennent de la Di-
TÎnité même, qu'en se conformant à telle chose, on jouira , non
pas d'nne , ou de deux , mais d'une infinité de vies heureuses. Quel-
que iàible qne soit Ja probabilité des témo^ages, poorru qu'elle
ne soit pas infiniment petite , il est clair que l'avantage de cenx
qui se conforment à la chose prescrit* , est infini ; puisqu'il est le
produit de cette probabilité, par un bien infini j on ne doit donc
point balancer à se procurer cet avantage.
Cet argument est fondé sur le nombre infini de vies heureuses
promises au nom de la Divinité , par les témoins ; il Ëiudrait donc
Élire ce qu^s prescrivent , précisément parce qu'ils exagèrent
leurs promesses au - delà de toutes limites , conséquence qui
répugne au bon sens. Aussi le calcul nous Êit-il voir que cette
exagération même a£&iblit la probabihté de leur témoignage , au
point de la rendre inliniment petite , on nulle. En efièt , ce cas
revient à celui d'un témoin qui annoncerait la sortie du numéro
le plus élevé , d'une urne remplie d'un grand nombre de numéros
dont un seul a été extrait, et qui aurait un grand intérêt à an-
noncer la sortie de ce numéro. On a vu précédemment combien
cet intérêt affaiblit son témoignage. En n'évaluant qu'à j la proba-
bilité que si le témoin trompe , il choisira le plus grand nuiuérp ;
le calcul donne la probabilité de son annonce , égale à une fi^ction
dont le numérateur est le double de la probabilité de son témoi-
gnage , considérée à priori bu indépendamment de l'annonce , et
dont le dénominateur est le produit du nombre des numéros de
l'urne , par funité diminaée de cette dernière probabilité. Pour
assimiler ce cas, à celui de l'argument de Pascal; il soffîtde re^
présenter par les numéros de l'urne, tous les nombres possible»
de vies heureuses , ce qui rend le nombre de ces numéros, infini j
et d'observer que si les témoins trompent, ils ont le plus grand
intérêt pour accréditer leur mensonge , à promettre une éternité
de bonheur. L'expression précédente de la probabilité de leur té-
moignage, devient alors infiniment petite. En la multipliant par
le nombre infini de vie» heureuses promises, Finfini disparaît du
dby Google
xln INTRODUCTION.
produit qui exprime TavaDtage résultant de cette promesse ; ce tpù
détruit l'argument de Pascal.
Considérons pré^eDtemeatlaprobabîUtédel'ensemblede plusieurs
témoignages sur un fait déterminé. Four fixer les idées , supposons
que ce fait soit la sortie d'un numéro d'une urne qui eu renferme
cent, et dont on a extrait un seul numéra Deux témoins de ce
tirage , annoncent que le or i est sorti; et l'on demande la proba-
bilité résultante de Tensemble de ces témoignages. On peut former
ces deux hypothèses : les t^oins disent la vérité; les témoins
trompent. Dans la première hypothèse , le n* i est sorti, et la pro-
babilité de cet événement est ,-77. Il Ëiut la multiplier par le pro-
duit dca rcracitxs des témoins, véracités que nous stqiposerona être
êi fit i^î 0" ^"''3 donc 7^ pour la probabilité de l'événement
observé, dxma cette hypothèse. J)ans la seconde, le u' 1 n'est pas
sprti , et la probabilité de cet événement est ~. Mais l'accord des
témoins exige alors qu'en cherchant à tromper, ils choisissent tous
deux le numéro 1 , sur les 9g niuuéros non sortis ; la proba-
bilité de ce choix est le produit de la fraction -^ par eUe-m^e ; Il
£iut ensuite multiplier ces deux probabilités ensemble , et par le
produit des probabilités 7; et ^ que les témoins trompent; on aura
ainsi ^j~, pour la probabilité de l'événement observé , dans la se-
conde hypothèse. Maintenant on aura la prob^ilïté du iâjt attesté
ou de la sortie, du n* 1 , en divisant la probabilité relative à la pre-
mière hypothèse, par la somme des probabihtés relatives aux deux
hypothèses ; cette probabilité sera donc ~^^ ; et la probabilité de la
non sortie de ce numéro et du mensonge des ténuùns sera ^.
Si l'urne ne renfermait que les numéros 1 et a; on trouverait
de la même manière , K pour la probabilité de la sortie du n° 1 ,
et par conséquent'^ pour la probabilité du mensonge des témoins,
probabilité quatre-vingt-quatorze fois au moins , plus grande que la
précédente. On voit par là , combien la probabilité du mensonge
des témoins diminue , quand le Ëiit qu'ils attestent est moins pro-
bable en lui-même. En effet , on conçoit qu'alors l'accord des té-
moins , lorsqu'ils trompent , devient plus difficile , à moins qu'ils
ne s'entendent , ce que nous supposons ici ne pas avoir lieu.
Dans le cas précédent où l'urne ne renfermant que deux numé-
dby Google
INTRODUCTION. xtvîi
ro«, la probabilité à priori du feit attesté est 4; la probabilité ré-
sultante dea témoignages, est le produit des véracités des témoins,
divisé par ce produit ajouté à celui des pr<Jjabilité8 respectives de
Jeor mensonge.
Il nous resté à considérer llnfluence du temps,sur la probabilité des
fiiits transmis par une cbalne traditionn^e de témoins. Il est ckir
que cette probabilité doit diminuer à mesure que la cfaaùie se pro-
longe. Si le &it n'a aucune probabîEté par lui-même ; celle qu'il
acqtdert par les témoignages , décroît suivant le produit centîna
de la véracité des témtnns. Si le fait a pa: lui-même , une pro-
babilité; ai, par exemple, ce feit est la sortie du n* i d'une urne
qui en renferme un nombre fini , et dont il est certain qu'on a
extrait un seul numéro; ce que la cbaîne traditionnelle ajoute à cette
probabilité , décroit suivant un prcydoit continu, dont le premier fao
leur est le rapport dtt non^re des numéros de l'urne moins un, à ce
même nombre ; et dont cbaqne autre facteur est la véracité de chaque
témoin, diminuée du rapport de ta probabilité de son mensonge, an
nombre des numéros de l'ame moins un ; ensorte que la limite de la
probabilité du feit, est celle de ce feit considéré à priori ou indépen-
damment des témoignages , probabilité égale à Funilé divisée par
le nombre des numéros de l'urne.
L'action du temps afibibMt donc sans cesse , la probabilité <^
feits historiques , comme elle altère les monumens les pins durables.
On peut, à la vérité, la ralentir, en multipliant et conservant les
témoignages et les monumens qui les étaient. L'imprimerie of^e
pour cet objet , on grand moyen malheureusement inconnu des
anciens'. Malgré les avantages infinis qu'elle présente; les révolutions
physiques et morales dont la sorfece de ce globe sefa toujours
agitée , finiront, en se joignant à Feilèt inévitable du temps , par
rendre douteux après des milliers d'années, les feits historique»
aujourd'hui les plus certains.
Craig a essayé de soumettre au calcul> raSàibhsscinent graduel de»
preuves de la religion chrétienne : en supposant que le monde doit
finir à l'époque où elle cessera d'être probable , il trouve que cela doit
arriver , i454 ans après le moment où il é^t Mais son analyse est
aussi feutive , que son hypothèse sur la durée dtt monde est bizarre.
y Google
xlvîij CiTRODUCnON.
Les jugemeos des tribunaux peuvent être assimilés aux témoi-
gnages , en considérant chaque juge , comme un témoin qui atteste
^ vérité de son opinion. Supposons le tribunal composé de trois
juges. Si le jugement qu'ils {H'ononcent , est rendu à Fuiranimité ^
et si chacun d'eux mérite la même confiance ; la probabilité de ce
jugement sera la troisième puissance de la véridicité des juges, di-
visée par cette puissance ajoutée à la troisième puissance de leur
fàillibilité. Si le jugement n'est rendu qu'à la pluralité; sa proba-
biUtésera cette véridicité elle-même, que l'on peut déterminer par
l'expérience, en observant sur un très-grand nombre de jugemens,
combien ont été rendus à l'unanimité. Si , par exemple, le rapport
du second au premier de ces nombres , est celui de 7 à 16 ; on
itrouve par une analyse dont nous exposerons ci-àprès les principes,
que la véridicité de chaque juge est ^, et que la probabilité d'un
nouveau jugement rendu à l'unanimité est ^.
L'analyse confirme encore , ce que dicte le siinple bon sens , sa-
voir , que la bonté des jugemens est d'autant plus probable, que les
juges sont plus nombreux et plus éclairés ; il importe donc que les
tribunaux d'appel remphssent ces deux conditions. Les tribunaux
de première in«tdnce , plus rapprochés des justici^Ies, leur offî-ent
l'avantage d'un premier jugement déjà probable, et dont souvent il»
0e .contentent , soit en transigeant, soit en se désistant de leurs pré-
tentions. Mais si l'importance et l'incertitude de l'objet en litige,
détermineiit un plaideur à recourir au tribunal d'appel; il doit trouver
dans une plus grande probabilité d'obtenir un jugement équitable,
plus de sûreté pour sa fortune , et la compensation des embarras
et des frais qu'une nouvelle procédure entraîne. Cest ce qui n'avait
point Ueu dans l'institution de l'appel réciproque des tribunaux de
département, institution par là très-préjudiciable aux intérêts de?
citoyens.
Pes choix et des décisions des assemblées.
La ^obabilité des décisions d'une assemblée dépend de la plu-
raUté des voix, des liuaières et de l'impartialité des membres qui
U coroposient. Tant de passions et d'intérêts particuliers y mêlent
dby Google
INTRODUCTION. xlix
si souvent leur influence, qa'il est impossible tle soumettre au cal-
cul , cette probabilité. U y a c^endant quelques résultats généraux
dicté» par le simple bon sens , et que le calcul confirme. Si, par
exemple , l'assemblée est très-peu éclairée sur Tol^et soinmis à sa
décision; si cet objet exige des considératiMis déKcates, on si la
vérité siK ce point est contraire à des préjugés reçus, ensorte qu'il
y ait plus d'un contre un à parier que chaque votant s'en écar-
tera; alors la décision de la majorité sera probablement mauvaise,
et la craintftà cet égard sera d'autant plus juste, que l'asseinblée
sera plus nombreuse. B importe donc à la chose publique, que les
assemblées n'aient à prononcer que sur les objets à la portée du
plus grand ncHnbre : il lui imparte i{ac PkMtrar^tîon soit générale-
ment répandue , et que de bons ouvrages fondés sur la raison et
l'expérience , éciairent ceux qui sont appelés à décider du sortds
leurs semblables ou à les gouverner, et les prémunissout d'avance
contre les &xlc aperçus et les préventions de l'ignorance. Les savans
ont de firéquentes occasions de remarquer que les premiers aperçus
trompent souvent, et que le vrai n'est pas toujours vraisemblable.
n est difficile de connaître et même de définir le vœu. d'une
assemblée , an milieu de la variété des opinions de ses membres.
Essayons de donner sur cela, quelques règles, en considérant les
deux cas les plus ordinaires , l'élection entre plusieurs candidats ,
et celle entre plusieurs propositions relatives au même objet.
Lorsqu'une assemblée doit choisir entre plusieurs candidats qui
se présentent pour une ou plusieurs places du même genre ; ce
qui paraît le plus simple est de Ëdrè écrire à chaque votant sur
xm billet, les noms de tous les candidats, suivant Tordre du Mérita
qu'il leur attribue. En supposant qu'il les classe de bonne foi, Fins*
pection de ces billtts fera connaître les résultats des élections , de
quelque manière tpie les candidats soient comparés entre eus ; en-
sorte que de nouvelles élections ne peuvent apprendre rien de plus
à cet égard. Il s'agit présentement d'en conclure l'ordre de pré-^
fêrence , que les billets établissent entre les candidats, bnaginons que
l'on donne à chaque électeur, une urne qui contienne une infinité
de boules au moyen desquelles il puisse nuancer tous les degrés de
mérite des candidats : conceroQS encore qu'il tire de son urne, un
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I ÏNTRODUCTION.
nombre de boules proportioiiDel an mérite de chaque candidat, él
supposons ce nombre écrit anr un billet , à côte du nom du can-
didat. 11 est clair qu'en feisant une somme de tous les nombres
relatif à chaque candidat , sur chaque billet, celui de tous les can-
didats qui aura la plus grande somme, sera le candidat que l'assem-
blée préfère; et qu'en général , l'ordre de préférence des candidats ,
sera celui des sonunes relatives à chacun d'eus. Mais les billets ne
marquent point le nombre des boules que chaque électeur domie
aux candidats : ils indiquent seulement que le premier en a plus
que le second, le second plus que le troisième , et ainsi de suite.
En supposant donc au premier , sur un billet donné , un nombre
quelcoiiaue-J«> t<»tiicîïi TOûîëâ les combinaisons des nombres in-
férieurs, qui remplissent les conditions précédentes, sont également
Admissibles ; et Ton aura le uombre de boules , relatil' à chaque
candidat , pi faisant une somme de tous les nombres que diaqae
combinaison lui donne , et en la divisant par le n<»nbre entier des
combinaison»- Si ceS nombres sont très- considérables, cotomeoa
doit le supposer pour qu'ils puissent exprimer toutes les nuances
du mérite ; une analyse fort simple fait voir que les nombres qu'il
faut écrire sur chaque billet à côté du dernier nom , de l'avant-
dernier, etc. , peuvent être représentés par la progression arithmé-
tique 1 , 3, 5, etc. En écrivant donc ainsi sur chaque billet, les
termes de cettepn^ession, etajoutant les termes relatUs à chaque
candidat sur ces billets ; les diverses sommes indiqueront par
leur grandeur , l'ordre de préférence qui doit être étabh entre les
candidats. Tel est le mode d'élection, qu'indique la Thé<me de»
Frobfdjilités. Sans doute , il serait le meilleur ; si chaque électeur
inscrivait sur son billet , les noms des candidats , dans l'ordre du
mérite qu'il leur attribue. Mais les intérêts particnUers et beaucoup
de considérations étrangères au mérite , doivent troubler cet ordre,
et faire placer quelquefois au dernier rang , le candidat le plus re-
doutable à celui que l'on préfière; ce qui donne trop d'avantage aux
candidats d'un médiocre mérite. Aussi l'expérience a-t-elleiàit
abandonner ce mode d'élection, dans les établissemens qui l'avaient
adopté.
L'élection à la majorité absolue des suffî-ages réunit à la cerlî-
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INTRODUCTION. " Ij
tude de n'admettre aucun des candidats que cette maiorité reietterait ,
Tavantage d'exprimer le plus souvent, le vœu de l'assemblée. Elle
coïncide toujours avec le mode précédent , lorsqu'il n'y a que deuK
candidats. A la vérité , elle expose à ïinconvénient de rendre les
élections interminables. Mais l'expérience a fait voir que cet inconvé-
nient est nul , et que ie dcsir général de mettre fin aux élections ,
réunit bientôt la majorité des .sufiErages sur un des candidats.
Le choix «atre plusieurs propositions relatives au même objet ,
semble devoir être assujéti aux m^mes régies^ que l'élection entre
plusieurs candidats. Mais il existe entre ces deux cas, cette difîe-
renoji^ savoir , que le mérite d'un candidat n'exclut point celui de
ses concurrens; au lieu que si len proEiositions entre lesquelles il
&ut choisir , sont contraires , la vérité de l'unè^éxciuria -r^rîtô d«8
autres. Voici comme on doit alors envisager la question.
Donnons à chaque votant, une urne qui renferme un nombre
infini de boules; etsupposons qu'il les distribue sur les.diverses pro-
positions, en raiscHi des probabltitét) respectives qu'il leur attribue. Il
est clair que le nombre total des boules, exprimant ta certitude,
et le votant étant par l'bypothèse , asdnré que l'une des propositions
doit être vraie ; il répartira ce nombre en entier , sur les proposi-
tions. Le problème se réduit donc à déterminer les combineisons
dans.lesquelles les boules seront réparties , de manière qa'il y en ait
plus sur la première proposition du billet , que sur la seconde ; plus
sur la seconde que sur la troisième , etc. \ à Étire les sommes de
tous les nombres déboules, relatifô à chaque proposition dans ces
diverses combinaisons ; et à diviser cette somme, par le nombre
des comlHuaisons : les quotiens seront les nombres de boules , que
Ton doit attribuer aux [ox^osîtions sur un billet quelconque. On
trouve par l'analyse, qu'en partant de la dernière proposition, pour
remonter à la premi^; ces quotiens sont entre eux, comme les
quantités suivantes : i* l'unilé divisée par le nombre des proposi-
tions; 3° la quantité précédente augmentée de l'imité (avisée par
le nombre des propositions moins une; 5" cette seconde quantité
augmentée de l'unité, divisée par le nombre des propositions moins
deux ; et ainsi du reste. On écrira donc sur chaque billet , ces
quantités à côté des prc^ositious correspondantes ; et en ajoutant
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fli INTRODlTCTIOIf.
les quantités relatirea à chaque propositiou, sur les divers billets';;
les sommes îodiqueroDt par leur graudeur , Ttwdre de prâ'^nce
que l'assemblée donne à ces proposkioiis.
■Ves Lois àe la ProhaUUtét qMÎ résultent de la multiplicatioit
indéfinie des événemem.
Aa nùlieu des causes variables et iocoimnâs que aons compre^-
itons sous le nom de hasard, yt qui rendent incertaine et irrita-
lière, la marche des événemens; on voitnattre à mesure qu'ils se
multipUent, une régularité frappante qui semUe tenir à un d|Hcin-y
et que l'on a considérée comme une preuve de la providence qui
gouv^two-hmioïKle. Mais en y réfléchissant, on reconnaît bientôt
que cette régularité n'est que le dérdo^ement des possibilités res-
pectives des événemens simples , qui doivent se présenter plus sou-
vent, lorsqu'ils sont plus probables. Concevcms, par exemple, une
urne qui renferme des bouks blanches et des boules noires ; et
supposons qu'à chaque fois que l'on en tire une boule , on la re-
mette dans Tume pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport
du nombre des boules Manches extraites , au nondire des boules
noires extraites , sera le plus souvent très-irrégulier dans les pre-
miers tirages ; mais les cadses variables de cette irrégalarité, pro-
duisent des effets alternativement favorables et contraires à la
marche régulière des événemens^ et qui se détruisant mutuellement
dans Fensemble d'un grand nombre de tirages, laissent déplus en
plus apercevoir le rapport des boules Uanehes aux boules noires '
contenues dans l'ume , ou les possibilités respectives d'en extraire
une boule blanche et une boule noire à chaque tirage. De là résulte
]e théorème suivant.
La probabilité que le rapport du nombre des boules blanches
extraites, au nombre total des boules sorties , ne s'écarte pas de la
possibilité d'extraire une bouleUancheàchaque tirage, au-delà d'un
intervalle donné, approche indéfiniment de la certitude, parla mul-
tiplication indéfinie des évétwmensj quelque petit que Ton suppose
cet iotervalle.
Ce tbéwème indiqué par I« bon sens^ était difficile à démontrer
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INTRODrCTIOÏÏ> ïiff
par ranaljde. Aussi Fillustrd géomètre Jacques BemoulG qui s'en
«st occupé le premier, attachait -îL une grande importance a la
démonstration qu'il en a donnée. Le calcul des fonctions généra^
triceSf appliqué à cet objet, wm-Beulemeni démontre avccfitcilité
ce théorème; mais da plus iljâonna ta probabilité que le rapport
des éTénemens obferrés, se s'écarta que dans cerfeÛDes limites «
àa vrai rapprat de leurs possibilités respectives.
On peut tirer du théorème préccdetit , cette conséquence qui doit
être regardée comme une loi générale, savoir, que les rapports des
e£fel« de la nature, sont à fort peu près constans, quand ces e&ta
sont considérés en grand nombre. Ainsi, malgré la variété des années ^
la somme des productions peadant un uomKre .d'années, considé-
rable, est sensiUement la même; ensorte que l'homme, par une utile
prévoyance, peat ae mettre à Tabri de l'irrégularité des sais«is, enr^
pandant: également sur tous les temps, les biens que la nature distri-
bue d*UDe manière inégale. Je n'excepte pas de la loi précédente, les
eCtets dus aux causes morales. Le rapport des naUsMices annuelles
à la population, et celui des mariages aux naissances, n'éprouvent
que de très-petites variations : à Paris, le nomt»% des naissances
aimueUes a toD}ours été le même à peu près; et j'ai ouï dire qu*à
la poste, dans les temps ordinaires, le nombre des lettres mises au
rebut par les dé&uts des adresses, change peu chaque année.
Il suit encore de ce théorème, que dans une série d'événemens,
indéfinimoit prolongée , l'action des causes réguli^es et constantes
doit l'emporter à la longue, sur celle des causes irrégulières. C'est
ce qui rend les gains dee loteries , aussi certains que les produit»
de l'agriculture ; les chances qu'elles se réservent, leur assurant un
bénéfice dans l'ensemble d'un grand nombre de mises. Ainsi des
chances Ëtvorables et nombreuses étant constamment attachées à
l'observation des principes étemels de raison , de justice et d'hu-
manité, qui fondent et maintiennent les sociétés; U y a un gr»id
avantage à se conformer à ces principes, et de graves inconvéniens
à s'en écarter. Que l'on consulte les histrares et sa propre e:iq>é''
rience; on y verra 'tous les Ëiits venir à l'appui de ce résultat du
calcul. Considérez les avantages que la bonne -fi)i a procu-
rés aux gouTerneœens qui en ont &it la base de leur conduite ,
y Google
Kv INTRODUCTION:
et comme Us ont été dédommagés des sacrifices qu*a pa leur
coâter une - scrupuleuse exactitude à tenir leurs promesses : quel
immense crédit au déduis ! quelle prépondéraDce au dehors I Voyez
au contraire, dans quel abîme de malheurs, les peuples ont été
souvent précipites par l'ambitioD «t la per6die de leurs che&.
Tout«8 les fois qu'uoe grande puiscance enivrée de l'amour
des conquêtes, aspire à la domination unirerselle; le sentimeot
de Findépendance produit entre les nations injustement attaquées,
une coalition dont elle devient presque toujours la victime. Pareil-
lement, au milieu des causes variables qui étepdent ou resserrent
les divers états; les limites naturelles, en agissant comme causes
constantes-, ^<>«=«rt-finirparpréraloîr. Il importe donc à la stabilité
comme au bonheur des empires , de ne pas les étendre au-delà de
ces limites dans lesquelles ils sont ramenés sans tresse par l'action
de ces causes ; ainsi que les eaux des mers, soulevées par de vio-
lentes tempêtes , retombent dans leurs bas^Bs ^r la pesMiteur.
C'est encore nn résultat du calcul des probabilités, confirmé par
de nombreuses et funestes expériences. L'histoire traitée sous le
point de vue de l'influence des causes constantes , unirait à l'inté-
rêt de la curiosité, celui d'offrir aux hommes, les plus utiles leçons.
Quelquefois on attribue les efF^s inévitables de ces causes, à des
circonstances accidenteUes quin'ontfeit que développer leuraction.
Il est , par exemple , contre la nature des choses , qu'un peuple soit
à jamais gouverné par un autre, qu'une vaste mer ou une grande
distance en sépare. On peut affirmer qu'à la longue , cette cause
constante se joignant sans cesse aux causes variables qui agissent
dans le même sens, et que la suite des temps développe, Bnira
par en trouver d'assez fortes pour rendre au peuple soumb , son
indépendance naturelle, ou pour le réunir à un étitt puissant qui
lui soit contigu.
Dans un grand non^Hrc de cas, et ce sont les plus importans
de fanaljse des hasards , les possibilités des événemens amples
soQt inconnues, et nous sommes réduits à chercher dans les évé-
nemens passés , des indices qui puissent nous guider dans nos
conjectures sur les causes dont ils dépendent. En appliquant l'ana-
lyse des fonctions génératrices, au principe exposé ci-devant, sur
dby Google
lPÎTROT)TJCTlO?r. 'h*
ia proba^nlité des causes, tirée des évéDemëns observés; dn est
Qpnduit au théorème suirant .
Lorsqu'un éTénement ûmple.oa composé de plusieurs événe*
mens simples, tel qu'une partie de jeu, a été répété un -grand
iiorabre de fois ; les possibilités des événemens «mples, qui rendent
ce que l'on a observé, le plus probable, sont celles qne Pobser-
vation indique avec le pins de -vraisemblance : à mesure qne l'évé-
nement observé se répète, cette vraisemblance augmente et finirait
par se confondre avec la certitude, ai le nombre des rép^tione
devenait infini.
Il 7 a ici deux sortes d'approximations ; l'une d'elles est relative
sus limites prises de part et d'autre , des pcnoUniîtôa qni donnant
au passé , le plus de vraisemblance : l'autre approximation se rap-
-porte à la probabilité que ces possibilités tombent dans ces limites.
La répétition de révénement composé accroît de plus en plus cette
probabilité, les Umites restant les mêmes : elle resserre de plu»
en pins l'intervalle de ces limites , la probabilité restant la m^e:
dans l'infini , cet intervalle devient nul , et la probabilité se change
en certitude.
Si Ton applique ce ^éorème , au rapport des naissances des
garçons à celtes des filles, observé dans les diverses parties de
l'Europe ; on trouve que ce rapport partout à peu prés égal à celui
de sa à 3 1 , indique avec une extrême probabilité , une plus grande
Ëicilité dans les naissances des garçons. En considérant ensuite
qu'il est le m^e à Naples qu'à Pétersbourg , on verra qu'à c«t
^ard, l'influence du climat est insensible. On peut donc soupçon-
ner contre l'opinion commune , que cette supériorité des naissance»
masculines subsiste dans l'orient même. J'avais en conséquence
invité lès savans fi-ançais envoyés en Egypte , à s'occuper de-cette
question intéressante; mais ladiflîculté d'obtenir des renseignemens
précis sur les naissances , ne leur a pas permis de la résoudre^
Le rapport des naissances des garçons à celles des fiHes , diffé-
rant très-peu de l'unité; des nombres même assez grands de nais-
sances observées dans un Keu, pourraient offrir à cet égard, un
résultat contraire à la loi générale , sans que l'on fût en ï-oit d'en
conclure que cette loi n'y existe pas. Pour tirer cette conséquence ,
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H INTRODUCTION;
il Smt employer de trèa-^ands nombres, et s^adsurer qfi^eUe est
indiquée avec une grande probabilité. Bufibn cite , par exemple.,
dans son Arithmétique politique « plusieurs communes de Bour-
gogne , où les naissances des filles ont surpassé ceUes des garçons.
Parmi ces conmiunes , edle de Carcelle-le-Grignoa présente sur ■
9009 naissances pendant cinq années , ioa6 filles et g85 garçons:
Quoique ces nombres soient considérables, cepen^ntils n'indiquent
une plus grande possibilité dans les naissances des filles, qu'arec
la probabilité -,%; et cette probabilité plus petite que celle de ne pas
amener croix quatre fois de suite, au jeu de croix et pile , n'est
pas suffisante pour rechercher la cause de cette anomahe qui , se-
lon buite-jniiiûaeinfcdaiice, disparaîtrait., si l'on suivait pendant un
siècle, les naissances dans cette commune.
Les rentres .des naissances , que l'on tient arec soin pour
assurer l'état des citoyens , peuvent servir à déterminer la popu-
lation d'un grand empire, sans recourir au Jéuumbrement de ses
habitans , opu^tlon pénible et difficile à foire avec exactitude. Mais
il fout pour cela ^ connaître le rapport de la population aux nais-
sances annuelles. Le moyen d'y parvenir , le plus précis, consiste
1' à choisir dans l'empire, des départemens distribués d'une ma-
nière à peu près égale sur toute sa surface , afin de rendre le
résultat général , indépendant des circonstances locales ; a' à dé-
nombrer avec soin , pour une époque donnée', les habitans de
phisieiirs cominunes dans chacun de ces départemens ; 5* à déter-
miner par le relevé des naissances durant plusieurs années qui
précèdent et suivent cette époque , le nombre moyen correspon-
dant des naissances annuelles. Ce nombre divisé par celui des
habiUns , donnera le i^pport des naissances annuelles à la popu-
lation, d'ime manière d'autant plu^ sûre, que le- dénombrement
sera plus considérable. Le gouvernement convaincu de l'utilité
d'un semblable dénombrement , a bien voulu en ordonner l'exécu-
tion , à ma prière. Dans trente départemens répandus également
^ur toute la France , on a £tît choix des communes qui pouvaient
foiurnir les renseignemens les plus précis. Leurs dénombremens ont
dpmié 9057615 i;idividus pour la somme totale de leurs habitans ait
dby Google
46o37.
io565g hommes.
99445 femmes.
INTRODUCTION. Iviî
35 septembre 180a. Le relevé des naissances dans ces communes
pendant les aimées 1800, 1801 et 1803, a donné
Naissances.
iio3ia garçons.
lo5a87 filles.
Le rapport de la population aux nîtissances annuelles est donc
38 ~y^t\ î " ®st plus grand qu'on ne l'avait estimé jusqu'ici. En
multipUant par ce rapport, -le nnmhre. dpa Tini«<iar>(rpfl annuelles
en France , on aura la population de ce royaume. Mais quelle est
la probabilité que la population ainst déterminée , ne s'écartera
pas de la vériti^le, au-delà d'une limite donnée? Eu résolvant
ce problème, et appliquant à sa solution, les données précédentes,
j'ai trouvé que le nombre des naissances annuelles en France ,
étant supposé d'un tmUi<Hi , ce qui porte sa population à 3835a845
habitans; il y a près de trois cent mille à parier contre un , que
l'erreur de ce résultat n'est pas d'un demi-milUon.
Le rapport des naissances des garçons à celles des filles, qu'offre
le relevé précédent , est celui de 39 k ai; et les mariages sont aux
naissances, comme trois est à quatorze.
A Paris , les baptêmes des en&ns des deux sexes s'écartent un peu
du rapport de sa à 31. Depuis 1745, époque à laquelle on a com-
mencé à distinguer les sexes sur 1^ registres des naissances, jusqu'à
la fin de .1784, on a baptisé dans cette capitale ^ 595386 garçons
et 377555 filles. Le rapport de ces deux nombres çst à, peu près
celui de sS à 34 ; il parait donc qu'à Parïs , une cause particulière
rapproche de l'égalité-, les baptêmes dés deux sexes. Si l'on applique
à cet objet , le calcul des probabilités ; on trouve qu'il y a 338 à
parier contre un , en feveur de l'existence de cette cause , ce qui
suffit 4)our en autoriser 4a recherche. En y réfléchissant, il m'a paru
que la différence observée tient à ce que lés parens de la campagne
et des provinces , trouvant quelqu'avantage à retenir près d'eux lés
garçons, en avaient envoyé à l'hospice des Enfans-Trouvés de
Paris, moins relativement aux filles, que suivant le rapport des
Qaissauccâ des deux sexes. C'est ce que le relevé des registres da
h
dby Google
ïvaj INTRODUCTIOÎÏ.
cet hospice m'^ prouve, depuis lé commencement de 1745 jusqu'à
la fin de 180g, it y esi enti^ i634gg garçons, et j5g4o5 filles.
Xe premier de ces nombres n'excède que d'un trente-buitiéme, le
second qu'il aurait dû surpasser aii moins d'un viilgt-qnatrième.
Ce qui conlinne l'existence de la cause assigiiéc, c'est qu'en n'ayant
point égard aux enfenb trouvés , le rapport lies naissances des gar-
çons à celles des filles, est à Paris, comme dans le reste de la
t'rance, celid dé 33 à ai.
La constance de la supériorité des naissances dés garçons sUr
celles des "ttHeyi^'apatte cfri ïiondres , depuis qu'on les observe ,
a paru à quelques saVans , être une preuve de la providence sans
laquelle ils ont'peùsé que îef causes irréguliéres qui troublent sans
cesse la marche des événemens , aurait dû plusieurs fois , rendre
les naissances annuelles des fîltes , supérieures à ceUes des garçons.
Mais cette "preuve est un noftvel exemple de l'abus que l'on a fait
si souvent des causes finales, qm clisparaîssem; tcra}ours par un
examen approfondi des questions, lorsqu'on a les donnéranéces-
sairçs pour les résoudre. La constance dont il s'agit, est un ré-
sultât des causes régulières qui donnent la supériorité aux naissances
des garçons, et qui l'emportent sur les anomalies dues au hasard,
lorsque le nombre des naissances annuelles est coosidérable. I^
recherclîe de la probabilité que cette constance se maintiendra
pendant un long espace de temps , appartient à cette branche de
l'analyse des hasards qui remonte des événemens passés , à la pro-
babilité des événemens futurs ; et il en résulte qu'en partant des
naissances observées depuis 1745 jusqu'en 17S4, il y a près de
quatre à parier contre un , qu'à Paris les naissances annuelles des
garçons surpasseront constamment pendantùn siècle , les ùaissanoes
des filles; U n'y a donc aucune raison de s'étonner que cela ait eu
lieu pendant un dehû-siècle.
Donnons encore un exemple du développement des rapports
constans que les événemens présentent, à mesure qirïls se multi-
plient. Concevons une série d'urnes disposées cîrculairement , et
renfermant , chacune , un très-grand nombre de boules blanches
et noires : les rapports des boules blanches aux noires, dans ces
urnes, pouvant être trés-dififérens à l'origine, et tels, par exempte,
dby Google
INTRODUCnON. lir
que l'une de ces .urnes ne renfenue que des boules blanches, tandis
^u"one autre ne contient que des boules noires. Si Von lire une
.boule de la première urne , pour la .mettre dans la seconde';
qu'après ayoa agité cette seconde urne, afin de .bien mêler la boulé
ajoutée, avec les aut^, on en tire une boule pour la mettre
dans la troisième urne , et ainsi de gpite jusqu'à la iàemière'umé
dont on extrait une bople , pour la mettre dans la première , et
que Ton recommence indéfiniment cette série de tirages ;'f analyse
des prpbabilités nous montre que les rapports des boules blancfbes
aux noii;-es, dans ces urnes, fioiropt .par être les mêmes et égaux
au rapport de la somme de toutes les boules blancnes , à la somnie
de tofites l,es boules noires contenues dans les urnes. Ainsi par ce
ipode régjilier de changement,. l'irrégularité primitive de ces rap-
ports, disparaît à laJ9ngue, pour &ire place à l'ordre le plus simple.
Maintenant ai ^itre ces urnes, on ep intercale de nouvelles dans
lesquelles je rapport de la somme des boules blanches, à la sommé
des boules' noires qu'elles contiennent , diffère dii précèdent ; en
continuant indéfiniment, sur l'ensemble de ces ui^nesj.les extrac-
tions que nous venons d'indiquer'; Tordre simple établi dans les
anciennes urnes sera d'abord troublé , et les {"apports des boules
blanches aux boules noir;es deviendront irréguliers ; mais peu
. à peu , cette irrégularité disparaîtra pour feire place à un nouvel
ordre , qui sera enfin celui de l'égaliLé des rapports des boules
blanches aux boules noires contenues dans les urnes. On peut
ctaidre ces. résultats, à toutes les çombit^ons de la nature, dâds
lesquelles les forces constantes qui animent les êtres dont elles
sont formées , établissent des modes réguliers d'action et de chan-
gement.
. Les phénomènes .qui semblent le plus dépendre du hasard, pré-
sentent donc en se multipliant , une tendance à se rapprocher sans
cesse, de rapports fixes; de manière que si l'on conçoit de part ■
et d'autre de chacun de ces rapports, un intervalle aussi petit
que l'on voudra , la probabilité que le résultat moyen des obser-f
valions tombe dans cet intervalle, finira par ne diflférer delà cer-
titude , que d'une quantité au-dessous de toute grandeur assignable.
On peut ainsi par le calcul des probabilités, appliqué à un grand
dby Google
h INTRODUCTION.
nombre d'obsetrâtions , reconnaître l'existence de ces rapports-
Mais avant que d'en rechercher les causes, il est nécessaire , pour
ne point s'égarer dans de raines spéculations, de s'assurer qu'ils
sont indiqués avec une probabilité qui ne permet point de les
regarder comme des anomalies dues au hasard. La théorie des
fonctions génératrices donne une expression très-simple de cette
probabilité, que l'on obtient eu intégrant le produit de la difle-
rentielle de la quantité dont le résultat déduit d'un grand nombre
d'observations s'écarte de la vérité , par une constante moindre
que l'uuitc , Jri|)cmljun, Jv lu-naturc ûa proM4tae , et élevée à iine
puissance dont l'exposant est le rapport du carré de cet écart , au
nombre des observations. L'intégrale prise entre des limites don-
nées, et divisée par la même intégrale étendue à l'infini positif et
négatif, exprimera la probabilité que l'écart de la vérité, est cont-
pris entre ces limites. TfeDe est la loi générale de la i»-obabilité des
résultats indiqués par uu grand nombre d'observatrons.
Du Calcul des Prohaèilités, appliqué à la recherche
des phénomènes et de leurs causes.
Les phénomènes de la nature sont le plus souvent enveloppés
de tant de circbnst^ces étrangères , un si grand nombre de causes
perturbatrices y mêlent leur influence; qu'il est très-difficile, lors-
qu'ils sont ïbrt petits, de les reconnaître. On ne peut alors y par-
venir, qu'en multipliant les observations ; afin que les effets étran-
gers venant à se détruire, les résultats moyens mettent en évidence
ces phénomènes. On conçoit par ce qui précède, que cela n'a lieu
rigoureusement que dans le cas d'un nombre infini d'observations:
dans tout autre cas, les phénomènes ne sont indiqués par les ré-
sultats moyens , qu'avec une probabilité d'autant plus forte , que
les observations sont en plus grand nombre , et dont il importe
d'apprécier la valeur.
Prenons pour exemple , la variation diurne de la pression de
l'atmosphère à l'équateur où elle est le plus sensible , et le plus
Êicile à reconnaître , les changemens irréguliers du baromètre y
étant plus considérables. On remarqua bientôt dans les hauteurs
dby Google
ÎNTROfitJCTlÔN- H\
qu*li inique, tihe petite oscillation diurne dont le maximum a lieti
Vers neuf heures du matin , et le minimum vers quatre heures
du soir ? un second .majc/mwm a lieu vers onze heures du soir, et,
le second minimum vers quatre heures du matin : les oscillations
de la nuit sont moindres que celles du jour , dont retendue est de
deux millimétrés. L'inconstance de nos chmats n'a point dérobé
cette variation à nos observateurs, quoiqu'elle y soit moms sensible
qu'entre les tropiques. En appliquant l'analyse des probabilités, aux
observations nombreuses et précises faites par Ramond , pendant
plusieurs ^innée» consécutives ; )e trouve qu'elles indiquent fenis-
tence et la quantité de ce phénomène, de manière à ne laisser
aucun doute. La période de sa variation étant d'un jour solaire ^ sa
cause est évidemment la chaleur que le soleil communique aux
diverses parties de l'atmosphère; quoiqu'il soit presqu'impossîble
d'en calculer les effets. Cet astre agit encore par son attraction ,.
sur ce fluide : il y produit avec la lune, des oscillations semblables
à celles du flux et du reflux de la mer, oscillations dom pai détar-
miné les lois dans la Mécanique céleste , et qui seront, un jour^
reconnues par des observations nombreuses feites à Féquateur arec^
d'excellens baromètres.
On peut encore par l'analyse des probabilités , vârifier l'existence
ou riÛBuence de certaines causes dont on a cru remarquer l'action
sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons
employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature, le»
plus sensibles sont les ner& , surtout lorsque des causes particu-
lières exaltent leur sensibilité. C'est par leur moyen, qu'os a décou-
. vert la feible électricité que développe le contact de deux métaux
hétérogènes ; ce qui a ouvert un clramp vaste axa. recherches des-
physiciens et des chimistes. Les phénomènes singuliers qui ré-
sultent de l'extrême sensibilité des neriii dans quelques individus ,.
ont donné naissance à diverses opinions sur Fexistence d'un noi^
Tel agent que l'on a nommé ma^étisme animai ^ sur l'action âa
magnétisme ordinaire et l'influence du soleil et de la lune, dans
quelques affections nerveuses; 'enfin sur les impressions que peut
faire naître la proximité des métaux ou d'une eau courante: 11 est.
naturel de penser que l'action de ces causes est très-feible , et qu'elfe
dby Google
îxij INTRODUCTION,
peut être ËicilemeDt troublée par un grand nombre de circons-
tances accidentelles, Ainsi, .parce qu'elle ne s'est point manifestée
_ dans quelques cas , on ne doit pas rejeter «on existeqpe. Nous
sommes si éloignés de conuaître tous les ageos de U nature , et
-leurs divers modes d'actioa; qu*il ne serait pas philosophique de
nier les phénomènes , uniquement parce qu'ils sont inexplicables
dans l'état actuel de ' nos connaissances. Seulement, nous devons
les examiner avec une attention d'autant plus scrupuleuse, qu'il
parait plus difficile de les admettre; et, c'est ici que. le calcul des
_probabiliiës devienL iijdi3pcnoal>hr,-poTir clét«nniiier jusqu'à quel
-point il faut multiplier les observations ou les. expériences, afin
d'obtenir en feveur des agens qu'elles indiquept, une probabilité
supérieure aux raisons que l'on peut avoir d'ailleurs, de ne pas les
A^ettre.
Le calcul des. probabilités peut Ëiire apprécier les. avantages et
les inconvéniens des méthodes. eu^^oT'ées dans 4ea, ecicnces con-
jecturales. Ainsi , pour reconnaître le meilleur des iraitemens eu
usage dans la guéiison d'une maladie , il suffit d'éprouver chacun
d'eux sur un même nombre de malades , en rendant toutes les cir-
constances parfaitement semblables. La supériorité du traitement
le plus avantageux se manifestera de plus en plus , à mesure que
ce nombre s'accroîtra; et le calcul fera- connaître la probabilité
c(»Tespondante -de son avantage. Le, même calcul s'étend encore
aux objets de l'économie politique , pour laquelle les opérations des
gouvernonens sont autant d'expériences en grand , propres à les
éclairer sur la conduite qu'ils doivent tenir daiis les cas semblables
à ceux qui se sont d^à présentés. Tant de causes imprévues ou
cachées <>Q inappréciables influent sur les institutions humaines j
qu'il est impossible d'en juger à priori, les résultats. Une longue
suite d'expérienges développe les eflèts de ces causes , et indique
les moyens de remédier à ceux qui sont nuisibles. On a souvent
feit à cet égard, des lois sages j mais parce que l'on avait négligé
d'en conserver lesmotife, plusieurs ont été abrogées comme inutiles,
et il a fallu pour les rétablir , que de fâcheuses expériences en aient
fait de nouveau , sentir le besoin. Il est donc bien important de
tenir dans chaque branche de l'administration publique , un registro
dby Google
INTRODTIcnOlS. hiij '
exact des résultats qu'ont produits les divers moyens dont on a Mt
usage. Appliquons aus sciences politiques et morales, la méthode
fondée sur robserratîon et le csUciA , méthode qui nous a si heu-
reuseinent servi dans les sciences naturelles. Ne changeons qu'avec
une circonspection extrême, nos anciennes institutions et les usages
auxquels nos opinions et nos habitudes ee sont depuis long-temps
pliées. Nous connaissons bien par rexpérience du passé , les in-
convéniens qu'ils présentent; mais nous i^of ons tpieUe est l'iteudue
des maux que leur changement peut produire.
La coQflidwation iScs probtdjtlhea, étcnâne a Tastronomie, peut
servir à reconnaitre la cause des anomïdiee observées dans les
mouvemens célestes , et à démêler les petites inégalilés enveloppée»
dans les erreurs dont les observations aont susceptibles. Ce fut
en comparant enb^ elles tontes ses oba^vations ; que Ticho-Brahé
reconnut la nécessité d'appliquer à Ta lune , une équation du temps ,
dîfierento éc celle que Ton appliquait au soleil et aux planètes. Ce
fut encore dans le résultat d'observations nombreuses, que Mayer
aperçut pour ta lune, une dicunutiou dans le coefiBcient de l'iné-
galité de la précession , relatif aux autres -corps célestes. Mai»
comme cette diminution ne semblait pas résulter de la gravita-
tion universelle ; la plupart des astronomes la négligèrent dans leurs
calculs. Ayant soumis à l'analyse des probabilités , un grand ncanbre
d'observations lunaires choisies dans -cette rue, et que Bouvard
Voulut bien calculer à ma'pri«'e; elle me parut indiquée arec une
si fiwte probabilité , que je crus devoir en rechercher la cause. Je
vis Inentdt qu'elle ne pouvait être que l'ellipticité du sphéroïde
terrestre, né^gée jusqu'alors dans la théorie du mouvement lunaire ,
comme ne devant y produire que des termes insensibles : j'en
conclus que ces termes deviennent sensibles par les intégrations
successives des équations difieréntielles. Je déterminai donc ces
termes par une analyse particulière, et je dçcouvris d'abord l'inégalité
du mouvement lunaire en latitude , qui est proportionnelle au sinus
de la longitude de la lune, et qu'aucun astronume n'avait encore
aperçue. Je «reconnus ensuite au moyen de cette inégalité , que la
théorie de la pesanteur donne en effet la diminution iffdiquée par
Uayer^ dans FéquaUon de la précession, applicable à la lune. I*
dby Google
lûv INTRODUCTION.
ijuantité de cette diminution , et lé coefficient de l'inégalité précé-
dente en latitude , sont très-propres à fixer Taptatissement de la
terre. Ayant &it part de mes recherches, à Burg quf s'occupait
alors à perfectionner les tables de la lune, p^r la comparaison
de toutes les bonnes obserTations;)e le priai de déterminer arec un
soin particulier, ces deux quantités. Par un. accord très-remar-
quable, les valeurs qu'il a trouvées, donnent à la terre , le même
aplatissement y^j , aplatissement qui difiBIre peu du milieu conclu
dea mesures des degrés du méridien et du pendule ; mais qui, tu
l'influence des erreurs de» ^H^cry-atiOTra et dos cauftes perturba-
trices , sur ces mesures , me paraît plus exactement déterminé par
ces inégalités lunaires.
Le calcul des probabilités m'a conduit pareillement à la cause
des grandes irrégularités de Jupiter et de Saturne. En comparant
les observations modernes aux anciennes, Halley trouva une accé-
lération dans le mouvement de Ju^ter, et on ralentieeement dans
celui de Saturne. Pour concilier les oteervations, il assujétit ce»
moavemens , à deux équations^ séculaires de signes contraires , et
croissantes commeles carrés des temps écoulés depuis 1700. Ëuler
et Lagrange soumirent à l'analyse, les altérations que devoit pro-
duire dans ces mouvemens, l'attraction mubielle des deux planètes,
lis y trouvèrent des équations séculaires ; mais leurs résultats étaient
ai difiërens, que l'un d'eux, au moins, devait être erroné. Je me
déterminai donc à reprendre ce problème important de la méca-
nique céleste, et je reconnus l'invariabilité des moyens mouvemens
planétaires; ce qui fît disparaître les équations séculaires introduites
par Halley, dans les tables de Jupiter et de Saturne. H ne restait
ainsi, pour expliquer les grandes irrégularités de ces planètes, que
les attractions des comètes auxquelles plusieurs astronomes eurent
effectivement recoiurs , ou l'existence d'une inégalité à longue pé-
riode, produite dans les mouvemens des deux planètes par leur
action réciproque , et arfectée de signes contraires, pour chacune
d'elles. Un théorème que je trouvai sur les inégalités de ce genre,
me rendit cette inégalité , très- vraisemblable. Suivant ce théorème,
si le mouvement de Jupiter s'accélère, celui de Saturne se ralentit,
ce qui est déjà conforme à ce que Halley avait remarqué; inaia
dby Google
INTRODUCTION. ^ bcr
de plus, raccélération de Jupiter, résultante du même théorème ,
est au raleDtîssement de Saturne , à très-peu près dans le rapport
des équations séculaires proposées par Halley. En considérant les
moyens mouremenis de Jupiter et de Saturne, il me fut aisé de
rec(H]naître que deux fois celui de Jupiter, ne surpasse que d'une
ti^s-petite quantité, cinq fois celui de Saturne. La période d'une
inégalité qui aurait cet argument , serait d'environ neuf siècles. A
la vérité, son coefficient serait de l'ordre des cubes des excentricités
desorbitesjmaisje savais qu'en vertu des intégrations successives,
il acquiert ^ur diviseui-, Iv ta«i-é du u-es-peiit muiHpIicateur du
temps dans l'argument de cette inégalité , ce qui peut lui donner une
grande valeur; il me parut donc très-probable que cette inégalité a
lieu. La remarque suivante accrut encore sa probabilité. En sup-
posant son argument nul , vers l'époque des observations de Ticho-
Brahéj je vis que Halley avait dû trouver par la comparaison des
obsraratioDS modernes aux anciennes , les altérations qu'il avait in-
diquées; tandis que la comparaison des observations modernes entre
dies , devait offrir des altérations contraires , et pareilles à celles que
Lambert avait conclues de cette comparaison. L'existence de cette
inégalité me parut donc extrêmement vraisemblable , et je n'hésitai
point à entreprendre le calcul long et pénible , nécessaire pour m'en
Assurer. Elle fût entièrement confirmée par le résultat de ce calcul
qui, de plus, me fit connaitre-un'grand nombre d'autres inégalités
dont l'ensemble a porté les tables de Jupitear et de Saturne , à la
précision des observations mêmes.
Ce fut encore au moyen du calcul des probabilités, que |e re-
connus là loi remarquable des mouvemens moyens des trois pre-
miers satellites de Jupiter, suivîmt laquelle la longitude moyenne
du premier , moins trois fois celle du second , plus deux fois celle
du troisième est rigoureusement égale à la demi - circonférence.
L'approximation ayec laquelle les moyens mouvemens de ces astres
satisfont à cette loi depuis leur découverte, indiquait son existence
av«c une vraisemblance extrême; j'encberchaidoncla cause, dans
l'action mntuelle de ces trois corps. L'examen approfondi de cette
action , me fit voir qu'il a suffi qu'à l'origine , les rapports de leurs
moyens mouremens aient approché de cette loi , dans certaines
^.Google
. iKTi INTRODUCTION.
limites , pour qae leur action mutuelle Tait étaUie et la maintieimt
«D rigaeur.
Oa voit par là, combien il &at être attentif aux iiidications de
la nature , lorsqu'elles sont le résultat d'un grand noEohre d'obser-
vations; quoique d'aUleurs, elles soient îne^IicaUespar les moyens
connus. L'extrécne diffîcut^ des problèmes relattfe au système dm
monde, a forcé les géomètres de recourir à des ^proximations
qui laissent toujours à crainte que les ipMditités négligées n'oient
une influence sensible. Lorsqu'ils ont été avertis de cette influence ,
par les observations ; us suot vcmn» aar i^mr aDolys« : «a la reo*
tifiant , ils ont toujours retrouvé h cause des anomalies observées }
ils eji ont déterminé les lois, et souvent, ils ont devancé rol>-
serVation , en découvrant des inégalités qu'elle n'avait pas encore
iadiquées. Ainsi l'on peut dire que la nature etle-méme a concouru
à la perfection des théories fondées sur le principe de la pesanteiir
universelle ; et c'est, à mon sens, une des plus finies preuves dft
la vérité de ce principe admirable.
L'un des phénomènes lesplus reniarquables du aystéme du mondCy
est celui de tous les mouvemens de rotation et de révolution des
planètes et des satellites , dans le sens de la rotatioa da soleil , etâ
peu près dans le plan de son-équateur. Un phénoot^e aus^ remar-
quable n'est point ^eSèt du hasard : il indique tme cause générale
quia déterminé tou^ ces Bsouvemens. Poiiravoir la probabilité avec
laquelle cette cause est indiquée; noua observerons que le système
planétaire tel que nous le connaissona aujoard'faui , est compesé-
d'onze planètes et de dix-hnit sâteUites. On a reconnn les mouvemens
de rotation du soleil, de six planètes, des satellites de Jupiter^
de l'anneau de Saturne, et d'un de ses satellites. Ces mouvemen»
forment avec ceux de révolutioa, un ensemble de quarante-trois»
mouvemens dirigés dausleméme sens; or on trouve par l'analyse des-
probabilités, qu'il y a plus de quatre mille milliards à parier contre
un, que cette dispositioa n'est pas l'effet du basard; ce qui forme
tme probabilité bien supérieiu-e à celle des événemens historiques
sur lesquels on ne se permet aucun doute. îfous devons donc
oroire, au moins avec la même confianee, qu'une cause primitive
a dirigé les mouremeus pUnétairesj surtout si nous con8idér<HiB.
dby Google
INTRODUCTION. IxTÎi
^e PiDclinaîitoD da plus grand nombre de ces moaTetneDsàl'équa-
teur solaire , est for( petite.
Un autre phénomène également remarquable du système so^-
laire , est le peu d'excentricité des orbes des planètes et des satellites,
tandis que ceux des comètes sont très - alongés : les oibes de ce
ajst^ne n'oflfrant point de nuances intermédiaires entre une grande
et une p^te excentricibé. Nous sommes encore forcés de re-
comiaïtre kà l'efièt d'une cause régulière : ie hasard n'eût poiztt
donné une forme in^sqne circulaire anx orbes de toutes le» fJa-
nètes et de leurs sanellttes ; il est donc nécessaire que la cause
qai a déterminé les mouvemens de ces corps, les aitrendus presque
circulaires. Il ^A encote que les graitdes excentricités des orhes
des comètes tésidtent de l'existence de cette cause , ^aus qu'elle
ait influé sur 16S directions de leurs mouvetaens ; car on trouT»
qu'il j a presque autant de comètes rétrogrades , que de «nnètes
directes , et que l'inclîtiatson* môyemie de tous leurs orbes , ap-
proche très-pi^ d'un demi-an^ -àttAt, comme ce^ doit être, si
ces corps ont été tancés au hasard.
QueAe que soit la natoi^ de la oan$e dont il s'agit; puisqu'elle
a produit on dirigé les mouvemens des planètes, il feut qu'elle ait
embrassé tous ces corjn; et ru tes distances qui les séparent, elle
ne pctA avoir été <fu'un ficnde d'une immense étendue : pour leur
avoir donné dws le m^^ne sens, un mouvement presque dh-culairo
autou* du soleil , il ËtUt que ce -ftoide ait environné cet astre ,
comme une atmosj^ère. L& coDsidératioQ des mouvemens plané-
taires nous conduit donc à penser qu'en vertu d'une chaleur ex-
cessive , l'atmosphère du soleil s'est primitivement étendue au-deli
des orbes de toutes les planètes , et qu'elle s'est retirée successive-
ment jusqu'à ses limites actuelles.
Dans l'état primitif où nous supposons le soleil , 3 ressemblait
aux nébuleuses que le télescope ihmis montre composées d'un noyaa
plus 'ou moins briHant , entouré d'une nébulosité qui , en se con-
densant à la surËice du noyau, doit le transformer, un jour, en
étoile. Si l'on conçoit par analogie , toutes les étoiles formées de
celte manière ; on peut imaginer leur état antérieur de nébulosité,
précédé lui-mêCae par d'aixtres états dans lesi^ls la matière nér
dby Google
xrig INTBODtrcnON.
bulense était de plus en plus diffuse , le nojau étant de moins en
moins lumineux et dense. On arrire ainsi , en remontant aussi loin
qu'il est possible , à une nébulosité tellement dififbse , que l'on
pourrait à peine en soupçonner l'existence.
Tel cst^en eflèt, le premier état des nébuleuses que Herscbel
. a observées avec un soin particulier , au moyen de ses puissans
télescopes , et dans lesquelles il a suivi les progrès de la conden-
sation , non sur une seule , ces progrès ne pouvant devenir sensibles
poar iKuia , qu!aprèa_ de^s siècles , mais sur leur ensemblej à peu
près comme on peu\ dans une va~8te Torët", suivre l'accroissement
des arbres sur les individus de divers- âges, qu'elle renferme. Il
a d'abord observé la matière nébuleuse répandue en amas divers,
dans les différentes parties du ciel dont elle occupe une grande
étendue. Il a vu dans quelquesHins de ces amas , cette matière
faiblement condensée autour d'un ou de plusieurs noyaux peu
brillans. Dans d'autres nébuleusesi «es noyaux brillent davantage ,
relativement à la nébulosité qui les environne. Les atmosphères
de chaque noyau , venant à se séparer par une condensation ulté-
rieure , il en résulte des nébuleuses multiples formées de noyaux
brillans très-voisins , et environnés, chacun, d'une atmosphère:
quelquefois, la matière nébuleuse en se condensant d'une maniera
uniforme , a produit les nébuleuses que l'on nomme planétaires.
Enfin, an plus grand degré de condensation transforme toutes
ces nébuleuses , en étoiles. Les nébuleuses dassées d'après cette
vue philosophique, indiquent avec une extrême vraisemblance^
leur transformation future en étoiles , et l'état antérieur de nébu-
losité, des étoiles existantes. Les considérations suivantes viennent
à l'appui des preuves tirées de ces analogies.
Depuis long-temps, la disposition particulière de quelques étoiles
visibles à la vue simple, a frappé des observateurs philosophes.
Mtlchela déjà remarqué combien il est peu probable que les étoiles
des Pléiades, par exemple, aient été resserrées dans l'espace étroit
qui les renferme, par les seules chances du hasard; et il en a
conclu q;ie ce groupe d'étoiles, et les groupes semblables que le
ciel nous présente, sont les effets d'une cause primitive, ou d'une
loi générale de la nature. Ces groupes sont un résultat nécessaire
dby Google
iNTRODITCnON. Ixîs
de la conâensation des nébuleuses à plusieurs noyaux; car il est
Visible que la matière nébuleuse étant sans cesse attirée par ce»
noyaux divers; ils doivent former à la longue un groupe d'étoiles,
pareil à celui des Pléiades. La condensation des nébuleuses à deux
noyaux forme scmJilablement des étoiles très-rapprochées tournant
l'une autour de l'autre, pareilles à celles dont Herschei a déjà
considéré lesmouvemens respectif. Telles sont encore la soÎKinte-
unième du Cygne et sa suivante, dans lesquelles Bessel vient de
reconnaître des mo|iTemens propres , si considérahUs «* ai peja
difiërens, qtro io- proximité de ces asb'es entre eux, et leur mou-
vement autour de leur centre commun de gravité, ne doivent
laisser aucun doute. Ainsi, Ton descend par les progrès de con-
densation de la matière nébuleuse, à la considération du soleil
environné antre&ia d'une vaste atmosphère , considération à laquelle
on remonte, comme on l'a vu, par l'examen des phénoqiènes du
système aulaire. Une rencontre ausei remarquable donne à l'exis-
tence de cet état antérieur du soleil^ xme probabilité fort approchante
de la certitude.
Mais comment l'atmosphère solaire a-t-elle déterminé les mou-
vemens de rotation et de révolution des planètes et des satellites ?
Si ces corps avaient pénétré profondément dans cette atmosphère,
sa résistance les aurait Ëiit tomber sur le soleil; on est donc conduit
à croire avec beaucoup de vraisemblance , que les planètes ont été
formées aux limites successives de l'atmosphère solaire qui en se
resserrant par le refroidissement, a dû abandonner dans le plan
de son équateur , des ïaànes de vapeurs , que l'attraction mutuelle ■
de leurs molécules a changées en divers sphéroïdes.
J'ai développé avec, étendue, dans mon Exposition du Système
du Monde , cette hypothèse qui me paraît satisfaire à tous les phé-
nomènes que ce système nous présente.
Dans cette hypothèse , les comètes sont étrangères an système
planétaire. £n attachant leur formation, à celle des nébdeuses;
on peut les regarder comme" de petites nébuleuses à noyaux ,
errantes de systèmes en systèmes solaires, et formées par la coa-
densation de la matière nébuleuse répandue avec tant de profusion
dans l'univers. Les comètes seraient ainsi par rapport à - notre
dby Google
Isi INTRODUCTION.
système, ce qne lea aérc^thes sont relativement à la terre , è
laquelle Us paraissent étrangers. Lorsque ces astres, ^deriennent
TÎsibles pour nous , Us offmit une ressemblance si parfeite avec
les nébuleuses , qu'on les confond souvent avec elïes ; et ce n'est
que par leur mouvement , ou par la connaissance de toutes les
nébuleuses renfermées dans la partie du ciel xtii Us se montrent ,
qu'on parvient à les en distinguer. Cette supposition explique d'une
manière heureuse , la grande extension que prennent les têtes et
les quëïïe5"aey-^Maàiacf.à mesure gu'elles approchent du solcU,
etrestrême rareté de ces queues qui malgré Teui- "immenac pro-
fondeur , n'afBiiblissent point sensiblement l'éckit des étcûles que
l'on voit à travers.
Lorsque de petites nébuleuses parviennent dans !a partie de.
l'espace où l'attraction du soleil est prédominante, et que nous
nomnaerons sphère d'activité de cet astre; il les force à décrire
"des orbes elliptiques ou hyperboliques. Maïs leur vitesse étant éga--
iement possible suivant toutes les directions, elles doivent se mouvoir
indiffêremment dans tous les sens et sous toutes les inclinaisons
à récliptique; ce qui est conforme à ce que' l'on observe.
La grande excentricité des orbes cométaires, résulte encore
de rhypothèse précédente. En effet, si ces orbes sont éIMptiques ,
ils sont trés-alongés ; puisque leurs grands axes sont au moins
égaux au rayon de ta sphère d'activité du soleU. Mais ces orbes
peuvent être hyperboliques , et si les axes de ces hyperboles ne
dont pas très-grands par rapport à la moyenne distance du soIeU
' à la terre , le mouvement des comètes qui les décrivent, paraîtra
sensiblement hyperbolique. Cependant sur cent comètes dont on
adéjàlesélémens, aucune n'a paru se mouvoir dans une hyperbole;
il feut donc que les chances qui donnent xme hyperbole senâble,
soient extrêmement rares par rapport aux chances contraires.
■ Les comètes sont si petites, que pour devenir visibles, leur
distance périhélie doit être peu considérable. Jusqu'à présent cette
distance n'a surpassé que deux fois , le diamètre de l'orbe terrestre,
et le plus souvent , elle a été au-dessous du rayon de cet orbe.
On conçoit que pour approcher si près du soleil, leur vitesse au
moment de lem entrée dans sa sphère d'activité, doit avoir une
dby Google
INTRODrcncW. hx}
grandenr et nae ^ôrection, c<iin|>rises dam d'étroites Ihnitee. En
dftterminaDt fiar Vaoaljse des iirobabUités, le rapport des chances
qui dans ces Uiuîtcs, doimeiit une hyperiwie sensikde, aax chances
qui donnent ma orbe qœ l'on puisse confondre avec une parabole ;
j'ai trouvé qu'il 7 a six mille an moins, à parier contre Ponitë ,
qu'une nébuleuse qui pénétre dan? la sphère d'activité du soleil,
de manière à pouvoir être observée, décrira ou une ellipse trè»-
-alongée, on une hyperbole qui par la grandeur de soa axe , se
confondra sensiblenKnt avec use parabote, daçw ia. p*''^''^'*! l'OQ
obscm; il i^cBt donc pas surprenant que jusqu'ici, l'on n^ak pc^nt
teconnu de mouvemeos- byperbofiqnes.
L'attractioa des pianètes , et peut -• être encore la résistance
des milimw étbérés , a dû ebMOgCT ptnsieurs CH-bes cométaires ,
dans des ellipses doot le grand axe est moraclre qu9 le fajoa de
lasph^ d'activité du soieii j ce qui augmente les chances des orbes
«Uiptiqoes. On peut croire' que- ce ohanQunent » eu lieu pour la
eomète de 16a», la seide dont «s ait )«squ'à pi^ésem, àéusrtmoé
ta révolution.
Des miUtttx fii'il faut choisir entre les résultats d^un grand
nombre ^ohservationM.
La recberehe de ces milieux est très-inqjortante ifens la philo-
sophie naturelle ; et Fanidyse qu'elle exige, est la plus délicate et la
plus épineuse de toute la tbéorËe des prcd>al»fités. Les obserraëons
et les expéHeaces les plus précises sont toujours sujettes à. des
erreur» qui influent sur la valeur des élémens que l'on reut va dé-
duirc. Poar faire dispardtre ces erreur», autant qu'il est possible,
en les détruisant les unes par Dra autres; on multiplie les observa-
tions dont le résultat moyen est d'autant plus exact, que leur
nmibre est plus considérable. Mais quelle est la manière la plus
avantageose de former ce résultat moyen? De quelle erreur ce
résultat est- il encore susceptible? Ceat ce que l'analyse des pro-
babilités peut seule faire connaître; et voici ce qu'elle nous
apprend. . '
Pow fixer les idées, supposons que l'on cherdie à détenniner
dby Google
Iixg INTRODUCTION.
par Tobserration, la grandeur apparente d'un disque vu d'une dis-
tance donnée. Si Ton a pris un grand nombre de mesures du disque
avec des instrumens semblables, et à une même distance de ce
disque; on aura sa grandeur moyenne apparente, en dirisant la
somm^ de toutes les mesures partielles, par le- nombre de ces
mesures. Pour avoir l'erreur moyenne à craindre en plus ou en
moins, sur ce résultat; nous observerons que cette erreur est la
'9omme des produits de chaque erreur possible, par sa probabilité.
Une cw<»»,-anit Bositiye, soit négative, devant être considérée
pomme une perte au jeu, on doit évaluer l'erreur moyenne, comme
on évaluerîdt une perte moyenne. En déterminant par l'analyse des
fonctions génératrices, l'expression de cette erreur; on trouvé qu'elle
a pour facteur, une quantité dépendante de la loi de [probabilité
des erreurs de chaque mesure. Cette toi nous est inconnue : seu-
lement, il est naturel d'admettre que les erreurs négatives sont
aussi probables que les positivée 5 il semble donc impossible d'éva-
luer cette erreur moyenne. Mais en déterminant par la même
analyse, la sonmie des carrés des erreurs des observations; j'ai
reconnu qu'elle a le même facteur. De là , j'ai conclu la règle suivante.
Si l'on prend les difiPérences entre le résultat moyen de toutes
les mesures, et chacune d'elles; l'erreur moyenne à craindre en
plLis ou en moins sur ce résultat, est une fraction dont le numéra-
teur est la racine carrée de k somme des carrés de ces dififêrences,
et doitt le dénominateur est le produit dp nombre des mesures,
par la racine carrée du rapport de là circonférence au rayon.
On a ainsi le résultat moyen le plus avantageux, ^ l'on peut
en apprécier l'ejactitude. Pour rapporter ensuite ce résultat, à la
distance donnée; il suffit de- Ie~ multiplier parle rapport inverse
de cette distance , à celle d'où les mesures ont été prises.
Supposons maintenant que l'on ait pris ces mesures , à diffêrentes
distances ; et que l'on veuille toujours en conclure ta grandeur appa-
rente du disque tu d'une distance donnée. Il est clair que l'erreur
de chaque observation aura d'autant moins d'influence, que l'ob-
servation aura été Êiite plus près du disque; il est encore facile de
voir que chaque mesure observée, moins son erreur,.doit être
égale à la grandeur que l'ofi cherche, multipliée par le rapport
yGoogle
INTRODUCTION, \xxu\
Ae la distance donnée, à la distance d'où la mesnre a été prise.
En considérant la grandeur cherchée , comme une inconnue ; chaque
mesure observée donnwa une équation du premier degré dont le
premier membre sera le produit de l'inconnue, par ce rapport j
-et dont le second membre sera la mesure observée, moins son
erreur. Si Ton ajoute toutes ces équations, leur ensemble formera
une éqiiation finale qui, en supposant nulle, la somme des erreurs
de toutes les observations, donnera une valeur de l'inconnue,
à laquelle toutes les observations auront ooao<»uj«, et qui par
là , doit avoir une grande précision. C'est, la règle que l'on suit
communément ; mais elle ne donne pas le résultat le plus avanta-
geux, celui qui ne laisse à craindre que la plus petite erreur moyenne.
Pour avoir ce résultat , on doit observer que toutes les manières
possibles de combiner les équations précédentes , afin d'obtenir une
équation finale du premier degré, qui détermine l'inconnue, re-
viennent à les multiplier, chacune, par un fecteur, ,et à les ajouter
ensuite sans avoir égard aux erreurs des observations. En prenant
donc pour ces fecteurs, des constantes arbitraires, et' cherchant
l'expression analytique de l'erreur moyenne du résultat donné'par
l'équa^on finale j il Ëiùt déterminer les constantes, ensorte que
cette erreur soit Un minimum. On trouve alors que chaque cons-
tante est égale au coefficient de l'inconnue , dans l'équation partielle
qu'elle multiplie; la valeur de l'inconnue, donnée par l'équation
finale , esl aina exprimée par une iraction qui a pour numérateur,
la somme des produits du coefficient de l'inconnue dans chaque
équation partielle, par la mesure observée correspondante; et pour
dénominateur, la somme des carrés de tous ces coefficlens. Si
Ton prend ensuite les difierences entre les mesures observées, et
les produits successiË de ce résultat par les coefficiens de llocon-
nue i^ns les éqvations partielles; l'erreur moyenne qu'il laisse
encore à craindre, sera la racine carrée d'une fraction dont le
numérateur est la somme des carrés de ces diCfêrences, et dont le
dénominateur est le produit de ces trois quantités , savoir, le nomlHre
des observations , la somme des carrés des coefficiens de l'incon-
nue, dans les équations partielles, et la circonférence dont le rayon
çst ruoité.
k
yGootjlc
\xsir INTRODUCTION.
Il eat fiicile de voir que si l'on élève au carré, l'espreaMonde
. l'erreitr de. chaque mesure , tirée de l'équation partielle correspon-
dante j si l'on rend ensuète, un minimum, la sommé de ces car-
rés, en y feisant varier l'inconnue ; l'équation du minimum donnera
pour cette inoonnoe , la valeur précédente.
Dans un grand noDai>re de cas, et spécialement en astronomie,
les élémens que Vod vent déterminer, aoot d^ connus à fort peu
près, et n'ont besoin que de légères corrections que l'on dierdie
à obtenir pîrr ilm — tk^ni—ntimn noTTibrrmrn et précises. Pour cela»
on regarde chaque observation, comme une fonction des élémens.
En substituant dans cette fonction , la valeur aj^rochée de chaque
élément, plus sa correction considérée comme une inconnue; en
développant ensuite, la fonction, dans une série ordonnée par
rapport aux puissances et aux prodiùts de ces inconnues , et négli-
geant, vu leur petitesse, les carrés et ces produits; enfin, en égalant,
la série , à l'obsenratioa dhniDuée de son «reur ; on forme une
équation du premier deg^é entre ces inconnues. C'est ce que l'on
nomme équation de œTidition. ■ On combine ensuite ces équations
<le XM>adilion, de manière à les réduire à un nombre d'équations
finales, égal à celui des inconnues. La résolution de ces éqpationa
donne les valeurs des inconnues, ou les corre'ctioQS des divers
-élémens.
J^ manière la plus générale de former ces équations finales, con-
siste à nuiltiplio' chacune des équ^ions de condition, par un
facteur indéterminé : la somme de ces produits , en y supposant
nul, tout ce qui est relatif aux erreurs des observatiMis, donnera
une {»%mière équation finale. Un second système de facteurs don-
nera une seconde équation finale, et ainsi des autres. L'analyse
des fonctions génératrices donne l'expression de l'erreur moyenne
à craindre sur la correction de chaque élémeilt, obtenue par la
résolution d^ces équations finales. Si l'on détermine les facteurs,
par la condition que chacune de ces expresuons soit un minimum;
on trouve que le premier système de fecteurs est formé des coeflfi-
-dens de la premi^ inconnue, dans chaque équation de condition;
•que le second système est formé des Coeffîciens de la seconde in-
connue; etc.^ d'où il est £icile de conclure que les correctlpns des
y Google
INTRODUCTION. bar
élànens, les plus aTantageuses , sont généralement, comme dans
le cas d'une seule variable, celles que l'on obtient , lorsqu'on rend
un minimurà, la somme Jes carrés des erreurs de chaque obser-
vation , en y Ëtisant varier successivement les corrections incon-
nues. iDans ce cas général , l'analyse donne l'expression de l'erreur
moyenne à craindre encore sur chaque élément; mais quoique
très-simple, cette expression ne peut pas être comprise sans le se-
cours de l'algèbre.
Nous avons supposé fort grand, le nomla^-J** wtoservations;
et la règle précédente est d'autant plus exacte , que ce nombre
est plus coDsidéraUe. Mais dans le cas même oà U est petit, il pa-
raît naturel d'employer la même règle qui dans tous les cas, offre
un moyen simple d'obtenir sans tâtonnement , les correcttons que
Von cherche à déterminer.
Cette règle peut servir encore à comparer la prédnon de diverses
tables astronomiques d'un même astre. Cee tables peuvent tou-
jours être supposées réduites k la même forme, et alors ettes ne
difièrent que par les époques, les moyens monremens, etlescoeffî-
dens desargumeusjcar si l'une d'elles contient un argom^it qui
ne se trouve point dans les autres , il est clair que cela revient
à supposer nul dans celles-ci, le coefficient de cet argument. Main-
tenant, si l'on rectifiait ces tables, en les comparant à la totalité des
bonnes observations; elles satisferaient, par ce qui précède, à la
condition que la somme des carrésdes erreurs SMton minimum;
les tables qui comparées à un nombre considérable -d'observa-
tions, approchent le plus, de cette condition, méritent donc la préfé-
rence.
Des Tables de mortalité , et des durées moyennes de la vie,
des mariages et des associations quelconques.
La manière de former les tables de mortalité, est très-simple.
On prend sur les registres des naissances et des morts, un grand
nombre d'enlbns que l'on suit pendant le cours de leur rie , en
déterminant combien il en reste à la fin de chaque année de leur
âge , et l'on écrit ce nombre ris-à-vis de l'année finissante. Mais
dby Google
Ixsv) INTRODUCTION.
coDune dans les deux premières aimées de la vie, la mortalité est
très-rapide; ilÊtutpoiir plus d'exactitude, indiquer daus ce premier
âge, le nombre des survivans à la fin de chaque demi-amiée.
Si ron divise la somme des années de la vie de tous les indÎTidus
inscrits dans une table de mortalité, par le nombre de ces indtridus,
et si de ce quotient, on soustrait une demi-année j on aura la durée
moyenne de la vie, que l'on trouve ainsi de vingtrbuit ans et demi
à peu prés. Cette soustraction ne doit avoir lieu , que dans le cas
où la taDie uTpdkp^o rniotUe^BgBlbrg des vitans à la fin de la jare-
miére demi - année : elle est fondée sur ceque la mortalité pou-
vant être supposée unifi>rmément répandue sur la première année;
la partie de la durée moyenne de la vie, correqwndaate à cette
année, n'est que la moitié de celle qui aurait fieu^ si la mort
ne fi*appait les individus qu'à ki fin de l'année. La durée moyenne
de ce qui reste encore à vivre, lorsqu'on est parvenu à un âge
4]ueIconque, se détemùno ea~&lsant une somme des années qu'ont
vécu au-delà de cet âge , tous tes individos qui l'ont atteint; en la
divisant par le nombre de ces individus , et en retranchant une
demi-amiée , de ce quotient. Ce n'est point au moment de la nais-
sance , que la durée moyenne de la vie , est la plus grande; c'est
lorsqu'on a échappé aux dangers de la première én&nce, et alors
elle -est d'environ quarante -trois ans. La probabilité d'arriver à
liD âge quelconque , cq partant d'an âge donné , est égale au rap-
port des deux nonokres d'individus indiqués dans la table ^ à ce^
deux âges.
La précision de ces résultats exige que pour la formation des
tables , on emploie un très-grand nombre de naissances. L'analyse
donne alors des formules très-simples pour apprécier la probabilité
que les nombres indiqués dans ces tables ne s'écarteront de la
vérité, que dans d'étrrates limites. On voit par ces ËH'mules, que
l'intervalle des limites diminue , et que la probabilité augmente ,
à mesure que l'on considère phis de naissances; ensorte que les
tables représenteraient exactement la vraie loi de la mortaUté , si
lé nombre des naissances employées devenait infini.
Une table de mortalité est donc une table des probabilités de
la vie humaine. Le rapport des individus inscrits à côté de chaque
dby Google
INTRODUCTION. ïxxvij
année ^ au nombre des naissancea , est ta probalùlité qu'un nouveau-
né atteiodra cette année. Comme on estime la Talenr de Tespé-
rance , en Ëdsant une somme des produits de chaque bien espéré
par la probabilité de l'obtenir; on peut «gaiement évaluer la durée
moyenne de la vie , en ajoutant tes produits de chaque année
parla probîibilité d'y arriver. Ainsi en formant une suite ^fractions
dont le dénominateur conmiun est le nombre des nouveau -nés
de la table, et dont les numérateurs sont les nombres inscrits
à côté de chaque année j la somme de toiit»» -^ica ïractîons sera
la durée moyenne de la vie, dont il &ut pour plus d'exactitude,
retrancher une demi-année; ce qui conduit au même résultât que
la règle précédente. Biais cette manière d'envisager la durée
moyenne de la vie, a l'avantage de feire voir que dans une popu-
lation stati(Hmaire, c'est-à-dire telle que le nombre des naissances
^ale celui des morts ; la durée moyenne de la vie est le rapport
même de la population aux naissantes anoudles; car la pc^ulation
étant supposée stationnaire , te nombre des individus ^on âge
c{»npris entre deux années ccMisécutives de la table, est égal au
nombre des naissances annuelles , multiptié par la demi - somme
des probabilités d'atteindre ces années; la somme de tous ces pro-
duits sera donc la population entière ; or il est aisé de voir que
cette somme divisée par le nombre des naissances annuelles ,
coïncide avec la durée moyenne de la vie , telle que nous venons
de la défîoir.
Il est facile au moyen d'une table de mortalité , de former la table
correspondante de la population supposée stationnaire. Four cela,
on prend des moyennes arithmétiques entre les nombres de la table
de mortahté coirespondans aux âges , zéro et un an, un et deux
ans , deux et trois ans, etc. La somme de toutes ces moyennes
est ta populatioa entière : on l'écrit à cdté de l'âge zéro. On re-
tranche de cette sonune , la première moyenne; et W reste est
ta nombre des individus d'un an et au-dessus : on l'écrit à càté de
l'année i. On retranche de ce premier reste, la seconde moyenne;
ce second reste est le nombre des individus de deux années, et
au-dessus : on l'écrit à côté de l'année a ; et ainsi de suite.
Tant de causes variables influent snr la mortalité,, que les table»
dby Google
Ixxviij INTRODUCTION.
qui la représentent , doivent changer suivant les lietix et les temps:
Les divers états de la vie offrent à leur égard , des difierences
sensibles relatives aux fetigues et aux dangers inséparables de
chaque état, et dont il esb indispensable de tenir compte dans les
calculs Kmdés sur la durée de la vie. Mais ces différences n'ont
pas encore été sufibaroment observées. Elles le seront, un jour;
alors on saura quel sacrifice de la vie , chaque profession exige ,
«t l'on profitera de ce» connaissances , pour en diminuer les
dangers. "
l salubrité plus on moins grande du sol , sa température , les
mœurs des habitans , et les opérations des gouvcrnemens ont sur
la mortalité , une inânence considérable. Mais il faut toujours Mre
précéder la recherche de la cause des diffêrences observées, par
celle de la probabilité avec laquelle cette cause est indiquée. Ainsi
le rapport de la population aux naissances axmuelles , que l'on à
vu s'élever en Fra»©©f ir vingt-huit et un tiers, n'est pas égal a
vingtnnnq dans l'ancieii duché de Milan. Ces rapports établis l'un
et l'autre, sur un grand flombre de naissances, ne permettent pas
de révoquer en doute, l'existence dans le Milanais, d'une cause
spéciale de mortalité, qu'il importe au gouvernement de ce pays ,
de rechercher et de faire disparaître.
. Le rapport de la population aux naissances s'accro^àit encore,
8Î l'on parvenait à diminuer ou à éteindre quelques maladies dan-
gereuses et trés-répandues. C'est ce que l'on a &it beureasement
pour la petite vérole, d'abord par l'inoculation de cette maladie;
ensuite d'une manière beaucoup plus avantageuse , par l'inoculation
de la vaccine , découverte inestimable de Jenner qui par là s'est
rendu l'un des plus grands bienfaiteurs de l'humanité.
La petite vérolea cela de particulier, savoir que le même individu
n'en est pas deux fois atteint, ou du moins, ce cas est si rare,
que l'on peut en Mre abstraction dans le calcul. Cette maladie
à laquelle peu de monde échappait avant la découverte de la
■ vaccine, est souvent mortelle et feit périr un septième de ceux
qu'elle attaque. Quelquefois, elle est bénigne, et l'expérience a fait
connaître qu'on lui donnait ce dernier caractère, en l'inoculant
wr des personnes saines , préparées par un bon régime, et dans
y Google
INTRODUCTION. Indi
One saison favorable. Alors le rapport des indiWdiis qu'elle Êùt
périr, aux iaoculés, n'est pas uo trc^-cendème. C6 grand avantage
de rinoculatioa , joint à ceux de ne point altérer la beauté, et de
préserver des suites fâdieuses (pie la pedte vérole naturelle en-
traîne souvent après elle , la fit adopter par un grand nombre dé
perscxines. Sa pratique fat vivement recommandée; mais ce qui
arrive presque tocqours dans les cboses sujettes â des inconvéniens,
elle fiit vivement combattue. Au milieu de cette dispute , T>aiuel
BempuUi se proposa de sonmefirp <u»<mJ<»ii1 des probabilités, Tin-
floeDo« de l'inoculation sur la durée moyenne de la vie. Manquant
de données précises sur la mortalité produite par la petite vérole,
aux divers âges de la vie ; il supposa que le danger d'avoir cette
maladie et celui d'en périr, sont les m^es à tout âge. Au ipoyen
de ces suppoeidons, il parvint par tme analyse délicate, à convertir
une table ordinaire de mortalité, dans celles qui auraient lieu,
«d la petite vérole n'existait pas, ou si elle ne tàifiait périr qu'un
très-petU nombre de malades; et il en conclut qiic l'inocula-
tion augmrait«rait de trois ans au moins , la durée moyenne de
la vie; ce qui lui parut mettre hors de doute , l'avantage de
cette opération. IVAlembert attaqua l'analyse de Bernoulli, d'abord
sur l'incertitude de ses deux hypothèses; ensuite, sur son tnsufïi-
sance, en ce que Ton n'y. fêdsait point entrer la comparaison du
danger prot^lain quoique très-petit, de périr par l'inoculation, au
danger beaucoup plus grand , mais plus éloigné , de succomber à
la petite vérole naturelle. Cette considération qui di^ralt, lorsque
Ton considère un grand nombre d'individus, est par là, îndifiërente
aux gouvernemens , et laisse subsister pour eux , les avantages
de l'inoculation; mais elle est d'un grand pmds pour un père de
Ëimille qui d(ât craindre, en faisant inoctder ses en&ns , de voir
bientôt périr ce qu'il a de plus cher au monde, et d'en être cause.
Beaucoup de parens étaient retenus par cette crainte , que la décou-
verte de la vaccine a heureusement dissipée. Parundeces mystères
que la nature nous offre si fréquemment, le- vaccin est un préser-
Tatif de la petite vérole , aussi sûr que le virus variolique , et il
n'a aucun danger : il n'expose à aucune maladie , et ne demande
que très-peu de soins. Aussi sa pratique s'est-elle promgtement ré-
dby Google
kn INTRODUCTION.
]^£mdue , et pour k rendre uDirerselle , il ne reste plus à vatncni
qiié l'inertie Datnretle du peuple , contre laquelle il ikut lutter sans
cesse, même lorsqu'il s'agit de ses pluscfaers intérêts.
Lemoyeuleplussimple de calculer l'avaDtage que produirait Tex-
tinctioD d'une rnsdadie, cousue, à déterminer par robservation ,
le nombre d'individus d'un Jïge donné-, qu'elle fait périr, chaque
année , et à le retrancher du nombre des morts au même âge.
Le rapport de la différence , au nombre total d'individus de l'âge
donné , serait la prOtedritité^U-pôrir à-cp± âge^ sila maladie n'existait
pas. En &isant donc une sonune de ces probabilités depuis la nais-
sance jusqu'à un âge quelconque, et retranchant cette somme de
l'unité; le reate-sera la probabilité de vivre jusqu'à cet âge, cor-
respondante à Textinction de la maladie. La série de ces proba-
bilités sera la table de mortalité , relative à cette hj^othèse ; et
l'on, en conclura par ce qui précède, la dorée moyenne de la vie.
C'est ainsi que Ihirilard a trouvé l'accroissement de la durée
moyenne .de la vie, dû à l'inoculation de ta Vaccine, de trois ans
au. moins. Un accroissement aussi considérable en produirait un
fort grand dans la population , si d'ailleurs , elle n'était pas restreinte
par la diminution relative des subsistances.
Cest principalement par le défaut des subsistances , que la
marche progressive de la population est arrêtée. Dans toutes les
espèces d'animaux et de végétaux , la nature terid sans cesse
à augmenter le nombre des individus, jusqu'à ce qu'ils soient au
niveau des moyens de subsister. Dans l'espèce humaine , les causes
morales ont une grande influence sur la population. Si le sol,
par de feciles défrichemens, peut fournir une nourriture abondante
à des générations nouvelles; la certitude de &ire vivre une nom-
breuse famille, encourage les mariages, et les rend plus précoces
et plus féconds. Sur un sol pareil , la population et les subsis-
tances doivent croître à-la-fois en progression géométrique. Mais
quand les défrichemens . deviennent plus difficiles et plus rares ;
alors l'accroissement de la population diminue : elle se rapproche
continuellejnent de l'état variable des subsistances , en Ëiisant au-!-
tour de lui , des oscillations , à peu près comme un pendule dont
00 promène d'un mouyemeat retardé, lepoiat de suspension, oscille
yGoogle
INTRODUCTION. box)
atitoar de ce point, par sa pesaiiteifr. Il est difficile d'éraluer le
maximum d'accroissement de la population : il paraît d'après
quelques obserrations , que dans de ferorables cirooDstances, la
population de Teapéce humaine pourrait doubler, tous les quinze
ans. On estime que daos l'Amérique septentrionale, la période
de ce doublement est de vingt-cinq années. Dans cet état de choses,
la population ; les naissances , les mariages , la mortalité, tout crott
suivant la même prc^ression géométrique dont on a le rapport
constant des termes consécuti& , par l'observation des naissances
annuelles à deux époques.
Une table de mortalité, représentant le.3 probabiUtés de la via
humaine ; on peut déterminer à son moyen , la durée des mariages.
Supposons pour simplifier , que la mortalité soit la même pour
les deux sexes 3 tm aura la proliabilité que.Ic mariage subsistera
DU an, ou deux, ou trois, etc.; en fora^ant une suite de fractions
dont le dénominateur commun, est le produit des deux nombres
de la table, correspondans aux âges des conjoints, et dont les
numérateurs sont les produits successif des nombres corres-
pondans à ces âges augmentés d'une année , de deux , de trois, etc.
La somme de ces fractions, augmeutée d'un demi, sera la durée
moyenne du mariage , Tannée étant prise pour muté. U est faciift
d'étendre la même règle, à ta durée moyenne d'une association
formée de, trois ou d'un plus grand nombre dlndividus.
Des béTié^ces et des établissemens qui dépendent de la
probabilité des évérièmeTw.
Rappelons ici ce que nous avons dit en parlant de l'espérance.
On a vu que pour avoir l'avantage qui résulte de plusieurs évé-
nemens simples, dont les uns produisent un bien, et les autres
une perte; Û fitut ajouter les produits de la probabilité de chaque
événement fevorable, par le bien qu'il procure, et retrancher de
leur somme, celle des produits de la probabilité. de *chaque évé-
nement défavorable, par la perte qui y est attachée. Mais quel
que soit l'avantage exprimé par la diflerence de ces sommes, un
seul événement composé de ces éTéuemens simples, ne garantit
l
dby Google
lixxii IMTKODIICnON.
pœnt de ia crainte d'^oaTin* ud« perte réelle. On conçoit qne
oettè crainte doit diminiier lorsque l'on mulUp!» révénement cool-
posé. L'analyse des probabilités conduit à ce tbéorème gâwrd.
Par la répétition d'oc évéDement avantageiix, simple ou coaoposé,
le bénéficc^réel devieiU de^hiscn plus probable, et s'accroil sans
cesse : il devient certain, ^ms l'hypothèse d'an nombre isfim de
répétitions j et en le diTnant par ce ncMufare, le quotient ou le
bénéfice moyen de chaque événemânt, tst l'espéruice malhéma- ~
tiqne eUe-méme, ou l'avantage relatif à révénement. II en est de
même de la perte qui devient certaine à la longue , pcwr peu que
FévéoeDiem soit désavantageux.
Ce théorème sur les bénéfioes et les pertes, est analogue à ceux
' que noua avons donnés précédemment sur les rappwts qu'indique
la répétkioa iqdéfinie des évéoenM»» «ùnples ou con^osés; et
comme éux^ il {O-ouve qoe la régularité finit par s'établir dans les
choses même, les plus subordonnées à ce que nous nommons
hasard.
Lorsque les événâneos sont en grand nombre, l'amdyse donne
encore une expression fort simple de la probalùhté que le bénéfice
réel sera c(»npris dane des limites déterminées^ expressitm qui
rentre dans la loi générale de ta probabilité, que nous aroi» donnée
d-dessus, en parlant des ^(dubikés qui résultent de la xnoltqiGcatiott
indéfinie des événemens.
C'est de la vérité du théorème précédent , que dépend la stabilité
des étaUissemens fondés sur les probabilités: Mais pour qu'il puisse
leur être appliqué , il faut que ces établissauems , par de nombreuses
aS^es, multiplient les événemens avantageux.
On a fondé sur les probabilités de la vie humaine , divers éta-
blissemens, tels que les roites viagères et les tontines. La méthode
la plus géuârale et la plus simple de calculer les bénéfices et les
charges de ces établiasemens, consiste à les réduire en capitaux
actuels. L'intérêt annuel de l'unité, est ce que l'on nomme taux
de l'intérêt A la fin de chaque année, un capital acquiert pour
Ëictear, l'unité plus le taux de l'intérêt; il croit donc suivant une
progression gécnnétri^e dont ce &cteur est la raison. Ainsi par
reffet du temps, il devient immense. Si , par exemple , le taux de
dby Google
INTRODUCTION. Ixniij
Intérêt est -^ on de cinq pour cent^ le capital double à fort peu
près en quatorze ans , quadruple en vingt-neuf ans, et dans moin»
de trois siècles , il devient denx millions de fois plus considérable.
Un accroissement aussi prodigieux a fott naître lldée de s'en
secrir, pour amortir la dette publique/ Si l'on crée on premier
fonds d'amortissement que foa pkce sans cesse avec les mtârêts ,
sur les eâèts publics , en profitant surtout des monMns de baisse } et
si, lorsque les beeraus de l'état ol^cnt à lare des emprunts, <m eo
coDsaore me partie , à Taccrcrise^Dent du fonds d'amortissement;
il est visible qœ ces (^tërations auront te double avantage â*acr
croître ce fi»ids, et de soutemr le cré£t el les efi^ publics; et qu'à
hi longue, la caisse d'amortissement absorbera une grande partie
de la dette nationale. lyheureuses ^q)^ienees ont pleizwment c(hi-
firmé ces avantages. Mais la Diaéttié'dni»l«& ong^eoiaena et la sta-
bilité , si nécessaires au succès de pareils étaUisscmens, ne peuvent
être bien garanties , que par im gouvernement représentatif.
Il résuUe de ce qui précède , que le capital actort équiv^ent à
œie somme qui ne doit être payée qt^aprèa un certain Bonobre d'an-
nées, est égala cette somme multi{Âée parla probabilité qu'elle sera
pa7«eà cette époque, et divisée parl'nnit»ai^meBtéeda tauxde l'iit-
tcrél , élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.
n est facile d'^>pliquer ce princ^, a»x rentes viagères sur une
oa plusieurs têtes, et aux caisses d'épargne et d'assurance d'une
aatoiv quelconque. Supposons que l'on se pnqwse de former une
table de rentes viagères, d'après une table donnée de mortalité.
Une rente vif^ère payable «n bout de cinq ans, par exemple ,
et réduite ea capital actuel, est par ce principe, é^de au produit
des denx quantités suivantes , savoir , la rente divisée par la cin-
quième puissance de l'unité augmentée dn taux de llntérét» et la
probabilité de la payer. Cette probabilité est le rapport inverse àa
nomlav des individus inscrits dabs la table, ris-à-vis de l'âge de
celui qm constitue la rente-, au nombre inscrit vis-À-vis de cet
Age augmenté de cinq années. En formant donc une suite <ki
inactions dMit les dénominateurs sont les produits du nomlffe
de personnes indiquées dans la table de mortalité, comme vivantes
à Fâge ^ cebi qui ocmstitue la rente, par les puissances succès-
dby Google
Jbxxir ÏNTRODXJCnON.
sires de Tunité augmentée du taox de l'intérêt, et dont les numé-
rateurs sont les produits de la rente , par le nombre des personnes
virantes au même âge augmenté successivement d'une année, de
deax années , etc. , la sonmie de ces fractions sera le capital requis
pour la rente viagère à cet âge. ^
Supposons maintenant qu'une personne veuille, au moyen d'une
rente viagère, assurer à ses héritiers, un capital payable à la fin
de l'année de sa mort Poiu* déterminer la valeur -de cette rente ,
on peut imaginer que la personne emprunte en viager à une caisse,
ce capital divisé par l'unité augmentée du tauxjle l'intérêt, et qu'elle
le place k intérêt perpétuel à la même caisse. H est clair que ce
capital sera dû par la caisse, à ses héritiers, à la fin de l'année de
sa mort ; mais elle n'aura payé , chaque année , que l'excès de l'intérêt
viager sur l'intérêt pprpétii«l. Im iahh des rentes viagères Ëiit donc
connaître ce que la p^sonne doit payer annuellement à la caisse,
pour assurer ce capital après sa mort.
Les assurances maritimes , celles contre les incendies et les
orages , et généralement tous les étahlissemens de ce genre , se
calculent par les mêmes principes. Un négociant a des vaisseaux
en mer,il veut assurerl'eur valeur et ceUe de leur cargaison, contre
les dangers qu'ils peuvent courir : pour cela il donne une somme
à une compagnie, qui lui répond de la valeur estimée de ses car-
gaisons et de ses vaisseaux. Le rapportde cette valeur à la somme
qui doit être donnée pour prix de l'assurance, dépend de^dapgers
.auxquels les vaisseaux sont exposés , et ue peut être apprécié que
par des observations nombreuses sur le sort des vaisseaux partis
du port pour la même destination.
Si l'assureur ne donnait à la compagnie d'assurance, qoe la somme
indiquée paj: le calcul des probabilités , cette compagnie ne pourrait
pas subvenir aux dépenses de son établissement ; il faut donc qu'il
paie d'une somme plus forte, le prix de son assurance. Mais alors
quel est son avantage ? C'est ici que la ccmsidération de l'espé-
rance morale devient nécessaire. On conçoit que le jeu le plus
égal devenant , çonmie on l'a vu précédemment , désavantageux ,
parce qu'il échange une noise certaine , contre im bénéfice inceis
;ainj l'assurance par laquelle on échange l'incertain contre le ceiT
y Google
INTROBUCTÏON. hxxv
tain , doit être avantageuse. Cest.en effet, ce qui réBuUe de la
règle que nous ayona donnée ci-dessus pour déterminer l'espérance
morale , et par laquelle on voit de plus jusqa'où peut s'étentire ie
sacrifice que l'on doit faire à la compagnie d'assurance , en conser-
vant toujours un avantage moral. Cette compagnie peut donc ea
procurant cet avantage, Mre elle-même un grand bénéfice, si le
nombre des assureurs est très-considérable , condition nécessaire
à son existence durable. Alors son bénéfice devient certain, et
ses espérances mathématique et morale coïncident. Cat l'analyse
conduit à ce théorème général , savoir , qae si les expectatives sont
très-nombreuses, les deux espérances approdient sans cesse l'une
de l'autre, et finissent par coïncider dans le cas d'un nombre infini
d'expectatives.
Parmi les établissemens fon<Ks "sur Ica probabilité de la vie
humaine ^ les plus utiles sont ceux dans lesquels , au moyen d'un
léger sacrifice de son revenu, on assure l'existence , de sa iàmille
pour \m temps où l'on doit craindre de ne plus suffire à ses be-
soins. Autant le ieu est immoral , mutant ces établissemens sont
avantageux aux mœurs , en favorisant les plus doux penchant de
la nature. Le Gouvernement doit donc les eocourager et les res-
pecter dans ses vicissitudes; car les espérances qu'ils présentent,
portant sur un avenir éloigné , ils ne peuvent prospi^er qu'à Tabrî
de toute inquiétude sur leur durée.
pisons un mot des emprunts. Il est clair que pour em^iuiter
^D perpétua , il Ëtot payer , chaque année , le produit du capital
par le taux de llntérêt. Mais on peut vouloir acquitter ce capital,
en paiemens égaux Ëûts pendant un nombre déterminé d'années,
paiemena que l'on Qonune annuités , et dont on obtient ainsi la
valeur. Chaque annuité , pour être réduite au moment actuel , doit
être «avisée par l'unité au^entée du taux de l'intérêt', et élevée à
une puissance égale au nombre des années après lesquelles on
doit payer cette annuité. En formant donc une progression géomé-
trique dont le premier terme est l'annuité divisée par l'unité aug--
mentée du taux de l'intérêt , et dont le dernier est cette annuité
divisée par la même quantité élevée à une puissance égale au
jiombre des années pendant lesquelles le paiement doit avoir lieu^
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ixxsfi INTRODUCTION,
Ift somme de cette progresaion sera équiraleote aa cantal em-
prunté j ce qui détermiae la valeur de l'aonaité. Si Ton veut Ëiîre
BU empnuït viager; on observera qoe les tables de rentes viagèrei
donnant le ca^t^d reqaia pour constituer une rente viagère , à on
âge quelctmquej lute wn^lë proportùuï donnera .la, rente que Ton
doit Ëdce à Tiadividtt dont on empnmte un capit^ On peut cal-
citter pair ces iffiatàpes, tons les modes possiUea d'emprunt.
Des ittusiom dans l'estîmatùm des pro^bUités,
L'esprit a ses iOunoDS , comme le sens de la vue ; et de mtoa
que le toïK&er rectifie oeltes-ci , k réflexion et le calc«l corrigent
également les premières. La probabilité fondée sur une expérience
joumaliÂre , ou cxa^iréfs peir la cramle et respérance, noua frappe
plii» qu'une probcdiilité supérieure , mms qui n'est qu'un simple
résidtat du calcot Amsi nous ne craàgnons pc»nt pour de &ibles
avantage», d'exposer notre vie , à des dangers beaiocoup mwns
isFVTBt9eBiiik]:>Ie& que la sortie d'un qoine à la loterie de France ; et
cepe^9d»Tt peg-s<mne B« voncïrait se jHrocurer les m^nes avantages ,
avec la certitude de perdre ta rie , si ce qinne arrivait.
Nos passions, nos préjugés, et les opimons dominantes, en exagé-
rant les pn^eltBités qui leur sont favorables, et en atténuant ks
probabilités contraires, sont des sotarces abondantes d'âlusions
dangereuses.
Les mata préseos et la cause qin les &it naître , nous aSectent
beaucoup^ I^os , qne le souvenir de» mam produits par la eanse
contraire, et noiis empéc^nt d^ppréeier avec justesse, la proba-
bilité des mojens pn^es & nous préserver des uns et des autres.
C'est ce qui porte âttemativefnent vers !e despotisme et versl'anar-
cbie , les peuples stH-tis dé Fétat du repos , ^ns lequel ils ne rentrent
Jamais qu'après de longues et cruelles agitations.
Cette jmpresfflon vire que nous recevons de la présence de»
événemens , et qui nous Imsse à peine remarquer tes événeméns
contrnres obssvés par d'antres, est une cause principale d'eireurs,
dont oa ne peut trop se garantnr. Noos croyons voir , par exemple ,
Itvee évidence , la vérité d'un fek attesté pw des bomiaes dont noua.
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INTRODUCTION. Ixxznl
ATons souvent reccAmu la Téracité, surtout lorsqu'il est accompagné
de circonstances qui TienneiU à l'appui de leur témoignage , et que
nous avons pris soin de vérifier noiuMnêmea. Accoutumés à uoas
conduire d'après de semUaUes preuves , et n'ajant jamais été
trompés par elles , nous les regardons comme inûiUiUes ; et
s'il s*agit d'un délit , nous ne balançons poiut à condamoer l'indi-
vidu qu'elles inculpent. Cependant, les récits des Causes célèbres
6uffîsent pour nous convaincre que les preuves morales les plus
fortes sont tou}ours susceptibles d'erreurs. Nous devrions donc alors
nous abstenir de juger. Mais si les preuves sont telles que les iacon-
ràùens de Terreur à craindra, multipliés par sa petite probabilité^
donnent un produit très-inférieiu: au danger qui résulterait de l'im-
punité du crime; le jt^emeot est ctnnmaiMlé par Fint^t ^ la
société ; qo^^e&is même-, -dnae m- -dan^o- imminent, cet intérêt
euge que le magistrat se rfilÂcbe des forsoes sagement établies pour
la sûreté de l'ionocenoe.
Les coïncidences de quelques évéaemens remarquables, avec les
prédictions des astrologues , des devins et des augures , avec les
songes , avec les nombres et les jours répatés heureux ou malheu-
reux f etc. , ont donné naUsance à une foule de j^jugés «icore
très-répandus. On ne réfléchit pas au grand nombre de noa-
coïncidem^s qui n'ont Ëiit aucune iQi{H'eBSioo, ou que l'on ignore.
Cependant, c'est le-rapport seul des uues aux autres, qui pejat
donner la pr(±ttbilité des causes, auxquelles on attribue les coni>
cideoces. Si ce rapptHt était connu ^ l'expérience confirmerait sans
' doute , ce que le bon sens et la raistm nous dtclent à l'^rd de
ces préjugés. Ainsi le plûlo8<^he de l'antiquité, auquel on montrait
dans un temple, pour exalter la puissance du dieu qu'tm j adorait,
\ca ex-voto de tous eeuxqul après l'avoir invo^ié, s'âaÂeot sauvés
du naufrage , Élisait une question conforme au calcul des probabi-
lités, en demandantcombiende personnes, malgré cette invocation,
avaient péri.
C'est principfdeiuent au jeu, qu'une foule d'illusirais entretient
l'espérance , et la aoutieot contre les chances dé&vonddes. la
plupart de ceux qui itaettent aux loteries, ne savent pas combien
de chances sont à leur avantage , combien leur sont contraires.
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bnOTiij INTRODUCTION.
Ils n'entisagent que la possibilité, pour udo mise légère , de gagner
une sonune considérable ; et les projets que leur imagination en-
Êinte , exagèrent à leurs yeux , la probabilité de l'obtenir. Us seraient
sans doute , effrayés du nombre immense des mises perdues , s'ils
pouvaie'ht les connaître ; mais on prend soin au contraire , de
donner aux gains, une grande publicité. ,
Lorsqu'à la loterie de France , un numéro n'est pas sorti depuis
long-temps ; la foule s'empresse de le couvrir de mises. Elle juge
que le numéro resté long-temps sans sortir , doit au'procbain tirage »
sortir de préférence aux autres. Une erreur aussi commune me
paraît tenir à une illusion , par laquelle on se reporte inrolontaî-
rement à Porigine des érénemens. Il est, par exemple, très-pea
vraisemblable qu'au jeu de croix etpilej on amènera croix, dix fois
de suite. Cette invralBemMaacè qui uuus ft^ppe encore, lorsqu'il
est arrivé neuf fois, nous porte à croire qu'au dixième coup , pile
arrivera. Cependant loin de nous &ire juger ainsi ; le passé , en indi-
quant dans ^ pièce , une plus grande pente pour croix que ^ourpile,
rend le premier de ces événemens , plus probable que l'autre : il
augmente, comme on l'a vu, la probabilité d'amener cro/xaucoup
suivant. Une illusion semblable persuade à beaucoup dé monde ,
que Ton peut gagner sûrement à la loterie , en plaçant chaque fois,
sur un même numéro jusqu'à sa sortie , une mise dont le produit
surpasse la somme de toutes les mises. Mais quand même de sem-
blables spéculations ne seraient pas souvent arrêtées par l'impos-
sibilité de les soutenir ; elles ne diminueraient pointle désavantage
mathématique des spéculateurs, et elles accroîtraient leur désavan-
tagé, moral jpuisqu'à chaque tirage, ils exposeraient une plus grande
partie de leur fortune.
Par une illusion contraire aux précédentes, on cherche dans
les tirages passés , les numéros le plus souvent sortis , pour en
former des combinaisons sur lesquelles on croit placer sa mise
avec avantage. Mais vu la manière dont le mélange des numéros
se fait à la loterie ; le passé ne doit avoir sur l'avenir, aucune
lufluence. Les sorties plus fî'équentes d'un numéro ne sont que des
auomalies du hasard : j'en ai soumis plusieurs au calcul , et j'ai
constamment trouvé qu'elles étaient renfermées dans les limites quQ
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^QQTRODUCTION. Ixxiix
la sapposition d'une égale possibilité de sortie de fotis les numéros,
permet d'admettre sans inTraisemblance.
Dans une longue série d'événemens du même genre , les seules
chances du hasard doireot quelquefois offrir ces veines singulières
de bonheur ou de pialheur , que la plupart des joueurs ne manquent
pas .d'attribuer à une sorte de fatalité. Il arrive souvent dans les
jeux qui dépendent à-la-fois du hasard et de l'habileté des joueurd ,
que celui qui perd , -troublé par sa perte, cherche à la réparer
par des coupii hasardeux qu'il éviterait dans une autrè situation :
il aggrave ainsi son propre malheur , et il en prolonge la durée. C'est
cependant alors, que la prudence devient nécessaire, et qu'il importo
de se convaincre que le désavantage moral attaché aux chances
défavorables , s'accroît par le malheur même.
Le sentiment par lequel l'honune s'est placé long - temps , au
centre de l'univers ^ en se considérant comme l'objet spécial
àep soins de la nature, porte chaque individu à se faire le centr»
d'une sphère plus ou moins étendue, et à croire que le hasard
a pour lui des préférences. Soutenus par cette opinion, les joueurs
ejiposent souvent des sommes considérables, à des jeux dont ils
saTetit que les chance leur sont contraires. Dans la conduite de
la vie, une semblable opinion peut quelquefois' avoir des avan-,
tages -f mais le plus souvent, elle conduit à des entreprises périlleuses
et funestes. Ici , comme en tout , les illusions sont dangereuses f
et la vérité seule est généralement utile.
Va des grands avantages du oAlcul des probabilités, est d'ap-
prendre à se déâer des premiers aperçus. Comme on reconnaît
qu'ils tfoqjpent souvev^ lorsqu'on peut les soimiettre au calcul; on
doit en conclure que sur d'autres objets , il ne faut s'y hvrer qu'avec
une circonspection extrêoae. Prouvons cela par des exemples.
Une urne renferme quatre boules noires ou blanches , "mais qui
ne sont pas toutes de la même couleur. On a extrait une de ces
boules , dont la couleur est blanche , et que l'on a remise dans Turne
pour procéder encore à de semblables tirages. On demande là pro-
babilité de n'extraire que des boules noires, dans les quatre tirages
suîvans-
Si les boules blanches et noires étaieut en nombre égal, cette
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xc -INTROTïtrcnOTT.
pn^abilité serait la quatrième paissance de la pfobal^ité | d'er-
traire une boule Doire à -chaque tirage ; elle sefalt doDc -^. Mais
^extraction- d^mie Jïoule blanche an premier tirage , indique une
sapériorité 4i»Bs le nombre -des boules blf^ches de l'urne; car si
ton. suppose dans l'urne , trois boules blanches et une noire , 4a
probabihté d'en -extraire nne boule blaocbe est | ; elle est ^ , ai Pou
suppose deuK Imules blanctes «t deux noires; enfin, «Hé se réduit
à ^, siToa suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le
principe de la probabilité des causes y tàtée des éréncmens , les
probabilités de -ces trois suppositions sont entre elles, comme les
^antités I, J, IjeDes sont par conséquent égales à |, |, j. Il y a
ainsi cinq contre un à parier que le nombre des boftles noires est
inférieur , ou tout au plus égal à celui des blanches. Il semble donc
que d'après l'extraction d'une boule blanche an premier tirage , la
probabilité d*«sti-dlre de suite quatre boulant noires, doit être
moindre que dans le cas de l'égedité des couleurs , ou plus petite
qu'un seizième. Cependant cela n'est pas, et Ton trouve par un
calcul fort simple , cette probabilité plus grande qu'un quatorzième.
En efifèt , elle serait la quatrième puissance de ^ , de | et de ^ , daœ
ta première , la seconde et ta troisième des sf^ositions précédentes
sur les couleurs des boules de l'urne. En multipliant respectivement
(ihaqiie puissance , par la prob^ilité de la supposition corresptei-
dante, ou par |, f et ^; la somme des produits sera la proba-
bilité d'extraire de suite, quatre boules noires. On a ainsi .pour
cette probabilité, ^, fraction moindre que ~. Ce paradoxe s'ex-
plique en considérant que l'indication de la supériorité des boules
blanches sur les noires , par le premier tiage , n'exclut point la
supériorîtédesboules noires sur les blanches, supériorité qu'exclut
la supposition de l'égalité des couleurs. Or cette supériorité quoique
peu vraisemblable, doit rendre la probabilité d'amener de suite,
un nombre donné de bodes noires , plus grande que dans cette
supposition , si ce nombre est. considérable ; et l'on vient de voir
que cela commence, lorsque le nombre donné est égal ai quatre.
Considérons encore une urne qui renferme plusieurs boules
blanches et noires. Supposons d'abord qu'il n'y ait qu'une boule
blanche et une noir^ On peut alors parier avec égalité, d'extraire
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ijrrBODtJcnoN. scj
une boule blandie , dans ud tirage, ftlais si fume renfennc trois
boules dont, deux soient jsoires ; il semble que pour l'égalité da
pari , oh doit donner deux tirages à celui qui parie d'extraire la
boiilf blanche : on doit en donner trois, si lUme renferme trois
boule^ioires et une blanche, et ainsi d« reste; eusorte que pour
compenser par te sombre des tirages, llnégsflité des çfaanccS,il
&ut donner fuitant d« tî^ges qu'il y a dé chances contraires : ou
suppose toujours qu'dprès chaque tirage, ta boule ex^^ite est tct
mi&e dans l'urne. Mais il est Ëibite àé se convaincre que ce premiei'
aperçu est erroné.- En enct , dans le cas dé deux boules noh'cs
sur une btanchO', la pr^twlHlité d'extraire de Fume, deux boutes
noires en deux tirages , est la ' seconde piussatice de | ou | j mais
cette probabilité- ajoutée à celle d'amener une bonle blanche en deux
tirages, est la o«rtitod«uuL inimité; puisqu'il est certain quatron
doit amener -deux boules noires , ou au -mointroBe boule bl^phe;
k. probabilité de ce dernier cas est donc | fraction pTiis grande que
i. Il y aurait plus d'arantage encore à parier d'amener une httule
blanche en cinq tirages , lofMue Purne contient cinq boules
noires .et une blanc^; ce pan est même avantageux en qaatre
tirages: il revi^alors à celui d'amener «tx eu q^tre coups, avec
un àeul dé.
Le chevalier déMëré^ ami de Pascal j et qui fitnaître le calcul dés
probabilités', en- excitant ce grand géomëtfe à s'en occuper, lui
Asait « qu'il avait trouvé fausseté dans îes nombres par œtte
» raison* Si ronentrefHrendde&inesixavecuadéjilyader^ràntage'
» à l'entreprendre en quatre coups, comme de 671 à 63S. Si l'on '
» entreprend de faire sonnés avec deux dés, il y a désavantage
% à l'entreprendre en ai coups.'Néanmoins 34 est à 56 nombre
» de feces de deux dés, comme 4 est à 6 nombre des foces d'an
3> dé. Voilà, écrivait Pascal à Fermât, quel était son grand scan-
jt dale, qui lui faisait dire hautement ,' que lés propositions n'étaient
» pas constantes et que l'arithmétique se démentait.;... Il a trés-bOa
» esprit^mais il n'est pas géomètre : c'est, comme vous savez, un
» grand défeut. y> Le chevalier de Meré trompé paj une fausse
analogie, pensait que d^sle cas de Tégalité des paris, te nombre des '
coups doit croître proporti^nellement au aombre de' touteg les
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xcq INTRODUCnOÎT.
cbânces possibles , ce qui n'est pas exact , dhùs c& tjtii approche
d'autant plus de l'être, que ce nombre est plus grand.
Je mets encore au raug des illusions , Tapt^ication que Leibnitz et
Daniel BernoulU ont Ëiite du calcul des probabilités , à la sommation
des séries. Si l'on réduit U fraction dont le numérateur est|j|'umté,
et dont le dénominateur est l'unité plus une jrariable , dans une
suite ordonnée par rapport aux puissancfp de cette variable ; il est
&cile de voir qu'en supposant la variable égale à l'unité , la fraction
devient ^ , efta suite devient, plus un , moins un, plus un, moins
un, etc. En ajoutant les deux premiers termes , les deux suivans^
«t ainsi du reste, on transforme la suite d^ une autre demi chaque
terme est zéro. Grandi, jésuite italien, en avait conclu la possibilité
de la création; parce que la suite étant toujours égale à ^ , il voyait
cette fraction naître d'une infinité de zéros, au du néant. Ce fut
ainsi que Leibnitz i^rutruir l'image de la création, dans son Arith-
métique binaire où il n'emplojait que les deux caractères zéro et
l'unité. U imagina que l'unité pouvait représenter Dieu ; et zéro ^
le néant j et que l'Être Suprême avait tiré du néant, tous les êtres,
c,omme l'unité avec le zéro , exprime tous les nranbres dans ce
système. Cette idée plut tellement à Leibnitz, qu'il en fît part aa
îesuiteGrimaldi, président du tribunal df s mathématiques à la Chine,
dans l'espérance que (xt emblème de. la création convertirait au
christianisme , l'mnpereur d'alors qui aimait particulièrement les
sciences. Je ne rapporte ce trait, que pour montrer jusqu'à quel
point le^ préjugés de l'en&nce peuvent égarer les plus grands
hommes.
Leibnitz toujours conduit par une métaphysique singulière et
très-déliée , considéra que la suite jplus un, moins un, plus un, etc.
devient l'unité ou zéro, suivant que l'on s'arrête à un nombre de
tenues , impair ou pair ; et comme dans l'ii^i , il n'y a aucune raison
de [Hréférer le nombre pair à l'impair , çn doit , suivant les règles
des probabilités, prendre la moitié des résultats relatifs à ces deux
espèces de nombres , et qui sont zéro et l'unité j ce qui donne ^ pour la
valeur de la série. Daniel Bemooili aétendu depuis, ce raisonnement
à la sommation des séries formées de termes périodiques. Mais toutes
ces séries n'ont poiQt, à proprement parler, de valeurs : elles n'en
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INTRODUCTION. xciiï
prennent que dans le cas où leurs- termes sont multipliés par le*
puissances successives d'une yarlable moindre que Funité. Alors,
ces séries sont toujours convergentes , quelque petite que l'on
suppose la différence de la variable à l'unité ; et il est facile de
démontrer que les râleurs assignées par Bernoulli , en vertu de la
règle des probabilités , sont les valeurs mêmes des fractions géné-
ratrices des séries , lorsque l'on suppose dans ces fractions , lai
variable égale à l'unité. Ces valeurs sont encore les. limites dont
les séries approchent de plus en plus , à mesure que la variable
approche de l'unité. Mais lorsque la variable est exactement égale
à l'unité, les séries cessantd'étre convergentes : elles D'onlde valeurs ,
qu'autant qu'on les arrête.' La coïncidence remarquable de cette
application du calcul des probabilités, avec. les limites des valeurs
des séries périodiqttes , supposa que les termes de ces séries sont
multipliés par toutes les puissances consécnttvce 4« la varrable.
Mais ces séries peuvent résulter du développement d'une infinité
de fractions dificrentes, dans lesquellc^^ela n'a pas lieu. Ainsi la
série, pius un, moins un ^ plus Un, etc. peut naître du dévelop-
pement d'une fraction dont le numérateur est Tunité plus là va-
riable , et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté du
carré de la variable. Eu supposant la variable égale à l'unité, ce
. développement se change dans la série proposée , et la fraction
génératrice devient égale à |; les règles des probabilités donne-
raient donc alors un &ux résultat ; ée qui prouve comlùen il serait
dangereux d'employer de semblables raisonnemens , surtout dans
les sciences mathématiques, que la rigueur de leurs procédés doit
éminemment distinguer.
■ Des divers jnoyens ttapprech^i.de la certitude.
L'induction , Tanalogie , dee hypothèses ftindées sur les fèifs et
rectifiées sans cesse par de nouvelles observations, un tact heureux
donné par la nature et fortifié par des comparaisons nombreuses
de ses indications avec l'expérience ; tels sont les principaux moyen»
de parvenir à- la vérité.
Si l'(m considère avec attention, la série des objets de meute
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icÎT, INTRODUCTION-
natarç.; on ai^rço;t,eQtre eux et dans lears chang^mens, des ra{H
ports- et des lois qu\.se m^festètit de plus, en plus, à mesure que
{ là série se, prolpnge., et qui, en s'étendant e.t. se . généralisant
s^ns cesse, conduisent enÇn.au principe dont ils dépendent. Mais^
épurent ces loUetces rapports sont enveloppés de tant de. cir-
constances éb'aQgérefi , qu'il &ut une grande sagacité pour les dé-
mêler f et pour rçmontçr. à ce principe : c'est en cela que consiii>te
le Tjéritable, génie de.s sciences. L'analyse et la philosophie naturelle-
dçÏTent leurs plus importantes découvertes , à ce moyen fépond que
Ton nomme induction. Newton lui a été rèderable de son théorèuie
du binôme et du principe de la gr^T^tation unirej-^Ile. Il est difficile .
dtapprécjer.la probabilité de ses résultats. Elle se fonde, sur ce que
les rapports et les lois les plus simples, sont les plus cpmmuns:
c'est ce qui se Téri&e dans les formules de, l'analyse, , et ce que
l'on retrouve dans les pfaéuon^ènes naturels , dans la crist^UiaaiioD ,
et dans les coinbinaisons chin^iques. Cette simplicité de lois et de
rapports UjC paraîtra point étonnante , si Ton considère que tous .
les ef&ts de la natuiie « ne sont que le^ résultats mat^éi^atiques d^un
petit nombre de lois immuables.
Cependant l'induction, en disant décourrir les.principesgén^ .
ranx des sciences , ne suffit pas pour les établir en rigueur. U ÙMt
tcfUjours les confirmer par des démonstrations, ou par des expé-
riences décisives j car l'histoire des sciences nous montre que
l'induçtioa a quelquefois conduit à des résultatjs.jnejtacts. Je citerai
pour' exemple , un théorème de Femtat sur le§ nomhrçs premiers.
Ce grand géomètre qui avu.it profondément médité sur leur théo-'
rie, cherchait une formule qui ne renfermant que des nombres
premiers , donnât directement un nombre premier plus grand
qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit à penser que
deux élevé à une puissance qui était elle-même une pui-ssance de
deux, formait arec l'unité, un n^ipbre premier. Ainsi deux élevé
au carré , plus un, forme le nombre premier cinq ; deux eleré à
la seconde puissance de deux, ou seize fom^e avec un, lo nombre
premier dix-sept. Il trouva que cela était encore vrai pour la hui-
tième et la seizième puissance de deux, au^entée, de l'unité;
et cetto induction appuyée de plusieurs considérations ar|thilié-
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INTRODTÏCtîôN. xcv
tiques , lui fit regarder ce résultat , cdmme général. Cependant U
avoue qu'il ne Tavait paa encore démontré. En effet ^ Euler a re-
connu que cela cessé d'aToir lieu pour la trente-deuxième puissance
de deux;, qui augïàentée de rumtéj donne 4294967397, nombre di-
visible par 64 1.
Le chancelier Bacon , promoteur sî 'éloquent de la vraie méthode
philosophique, a fait de l'induction, un abus bien étrange, pour
prouver iWmobilité de la terre, v oîci' comme il raisonne dans
le Nopum Organum , s6ti phia bel ouvrage. Le mouvement des
astres, d'orient en occident, 'est ^'autant plus prompt, qu'ils sont
plus éloignés de la terre. Ce mouveinent est le plus rapide pour
les étoiles : il se ralentit un peu pour Saturne , un peu plus pour
Jupiter , et ainsi de suite , jusqu'ià ta lune et aux comèles les moins
élevées. D est encore perceptiïïle Aius l'atmosphère, surtout entre
les tropiques , à cause des grands cercles qu© leamolécules de l'air
y décrivent; enfin il est presqii'insensible pour l'Océan ; il est doue
nul pour la terre. Rtais cette induction prouve seulement que les
astres ont des mouvemens propres , contraires au mouvement ré^I
ou apparent qui emporte toute la sphère céleste d'orient en occi-
dent, et que ces mouvemens paraiteent plus lents pour leâ astres
plus éloignés; ce qui est cbnfonlie aux lois de l'optique. Bacôii àu-^
rait du être fi:^ppé dé l'inconcevable vitesse qu'il faut supposer aux
astres pour accomplir leUr t'évokitîon diurne dans l'hjpotlièse de
la terre immobile , ètderextrême simplicité avec laquelle sarotation
explique comm^ des corps aussi dîstans les uns des autres, que les
étoi^s et les planètes , semblent tous assùjétis à cette révolution.
Quant à l'Océan et à l'atmosphère, il ne devait point assimifer leur
mouvement à celui des astres, qui sont détachés de la terre; au lieu
que l'air et la mer faisant partie du globe terrestre, ils doivent
participer à son mouvement on à son repos. U est singulier que
Bacon porté aux plus grandes vues , par son génie , n'ait point
été entraîné par l'idée majestueuse que le système de Copernic
offre de l'univers. U pouvait cependant trouver en feveur, de ce
système, de fortes ainalogies, dans les découvertes de Galilée, qui
lui étaient connues. II a donné pbiir la recherche de la vérité, le
précepte, et non l'exemple. Mais en insistant arec toute la force de
y Google
ICTÎ INTRODUCTION,
la raîâoD et de TéloqueDce , sur la nécessité d'abandonner les sal>>
tilités insignifiantes de Técole, pour se livrer aux observations. et
aux expériences, et en indiquant la vraie méthode de s'élever aux
causes générales des phéqomènes ; ce grand philosophe a contrî-
l)ué aux progrès immenses que l'esprit humain a faits dans te beau
siècle où il a terminé sa carrière.
' I/analogie est fondée sur ta probabilité que les choses semblables
ont des causes du même genre , et produisent les mêmes effets.
Plus ia similitude est parfaite, |4us grande est cette probabilité.
Ainsi nous jugeons sans aucun doute, que des êtres pourvus des
mêmes oi^anes, exécutant les mêmes choses , et communiquant
ensemble , éprouvent les mêmes sensations , et sont mus par les
jnêmes désirs. La probabilité que les animaux qui se rapprochent
de nous par leurs organes , ont des sensations analogues aux nôtres ,
quoiqu'un peu inférieure à cRlIe qui cal relative aux individus de
notre espace , esi encore excessivement grande ; et il a fallu toute
l'influence des préjugés religieux, pour faire penser à quelques phi-
losophes , que les animaux fiont de purs automates. I^ probabi-
lité de l'exisfence du sentiment décroît, à mesure que la similitude
des organes avec le^ nôtres, diminue; mais elle est toujours très^
forte, même pour les insectes. En voyant ceux d'une même espèce ,
exécuter des choses fort compliquées, exactement de la mémo
manière , de générations en générations , et sans Içs avoir apprises ;
on est porté à croire qu'ils agissent par une sorte d'affinité, ana-
logue à celle qui rapproche les molécules des cristaux , mais qui
se mêlant'au sentiment attaché à toute organisation animale, pro-
duit avec la régularité des combinaisons chimiques , des combi-
naisons beaucoup plus singulières : on pourrait peut-être, nommer
affinité niûmale y ce mélange des affioités électives et 3u senti-
ment. Quoiqu'il existe beaucoup d'analo^e entre l'orgauisatioa
des plantes et celle des animaux ; elle ne me paraît pas cependant
suffisante pour étendre aux végétaux, la acuité de sentir^ comme
rien n'autorise à la leur refuser.
Le soleil disant éclore par l'action bien&isante de sa lumière
et de sa chaleur, les animaux et les plantes qui couvrent la terre;
nous jugeons par l'analog;ie, qu'il produit des effets semblables
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INtRODUCnON. XCT$
«or les autres planètes ; car il n'est pas natnrel de penser que la
matière dont nous voyons ractiTité se dérelopper en tant de (ïi-
çons , est stérile sur une aussi grosse planète que Jupiter qui ,
comme le globe terrestre ,4 ses jours , ses nuits et ses années , et
sur lequel les obeerrations indiquant des changemens qui supposent
des forces três-âctives. Cependant ce serait donner trop d'extension
a l'analogie, qne d'eu conclure la similitude des habitans des pla-
nètes, et de la terre. L'bommë feit pour la température dont il
jouit , et poiu: Télément qu'il respire , ne pourrait pas , selon
toute apparence, vivre sur les autres planèfes. Mais ne doit-il pas
y avoir une infinité d'organisations relatives aux diverses constitu-
tions des globes de cet uj^vers ? Si la seule différence des élémens
«t des cUmats , met tant de variété dans les productions terrestres ;
combien plus doivent différer , celles des diverses planètes et de leurs
satellites. L'imagination la plus active ne pent s'en former aucuno
idée; mais leur existence est très-vraisenôblable.
Nous sommes conduits par une forte ahalo^e , à regarder les ..
étoiles , comme autant de soleils doués ainsi que le nôtre , d'un
pouvoir attractif proportionnel à la masse et réciproque au carré
des distances. Car ce pouyoir étant démontré pour tous les corps
du système solaire, et pour leurs plus petites molécules; il parate
appart«bir à toute la maUére. Déjà , les mouvemens des petites
étoiles que Ton a nommées doubles à cause de leur rapprocl^-
ment , paraissent l'indiquer : un siècle au plus d'observations pr^
cises, en constatant leurs mouvemens de révolution les unes autour
des autres, mettrabors de doute, leurs attractions réciproques.
L'analogie qui nous porte à faire de chaque étoile , le centre d'un
^rstéme planétaire , est beaucoup moins forte que la précédente j
mais elle acquiert de la vraisemblance , par l'hypothèse que nous
avons proposée sur la formation des étoiles et du soleil; car dana
cette hypothèse , chaque étoile ayant été comme le soleil, primi-
tivement environnée d'une vaste atmosphère ; il est naturel d'attri-
buer à cette atmosphère , les mêmes effets , qu'à l'atmosphère solaire,
et de supposer qu'elle a produit en se condensant, des planètes et
des satellites.
lift méthode la pins sûre qui puisse nï)us guider dans larecherdio
dby Google
$CTiQ INTRODrCTlON.
ée la Tcrité , consiste à s'éiever par la roie de Finâncttoti , des phé-*
BtMnoènea particuliers^ à des rapports de plus ea^ lus étendus, ju»'
qu'à ce que l'on arrire eofln à la kà générale dont ils dérivent
EnsŒte on vérifie cette loi, soit par des expériences directes,
hvsiiae cela est possible , soit «n examinant si elle satisfit aux
pbénwnénes connus ; et ai par oae rigoureuse analyse , on tes voit
tous découler de cette loi , jusque dans leurs molodres détails ; si
d'ailleurs ils sont très-variés et très- nombreux j la science aloi^
acquiert leplus haut degré de certitude et de perfection, qu'ellepoisse
stteiodre.Telte est derennê l'astronomie , par ta découverte de la pe-
sanleor nniverselle, L'histMre des sciences &it ycir que cette marche
knte et pénible de l'inducttim , n*a pas toujours été celle des in-
venteurs. L'imagination impatiente de remonter aux causes , se
pbit à créer des hypothèses; et souvent, elle dénature les.&ite,
pour les plier à son ouvraga .- ahxv, les hypothèses sont dangu^usea.
Mais quand on ne les envisage que comme des moyens de tisr
citfre eux les phénomènes, pour en découvrir les k^; kvsqa'en
cvilant de leur attribuer de b réalité , on les rectifie sans cesse
par de nouvelles observations ^>elles peu vexit conduire aux véritaUes
«eueee , on du mmiis , nous mettre à portée ds conclure des phé-
nomènes obeeryés , ceux que des drcoostaDces données doiveut
fiure écloFe.
- ^ l'on essaj^t toutes les hypoâièses que Ton peut former swt
la cause des phéounèneg ; on parviendrait par voie d'exclusion ,
k la véritable. Ce moyui a été employé avec succès : quelque-
fois <m est arrivé à plosieurs hypothèses quiexpliquaient égaletoent
iâan tous les faits coimos, et entre lesquelles les savans se sont
partagés , insqu*à ce que des observations décisives aient &it con-
naître la vàitaUe. Alors il est intéressant pour l'histoire de l'esprit
kumaîn , de revenir sm* ces hypothèse» , de ■ymr comment eUes
parvenaient à e^idiqucr on grand nombre de faits, et de recher-
cher les changemens qu'elles doivent subv, pour rentrer dans celle
de la natm-e. C'est ainsi que le système de Ptolémée, qUi n'est que la
réalisation des apparences célestes, se transforme dans lliypothèsS
du mouvement des planètes autour du soleil, en y rendant ég/mx
et parallèles à l'orbe solaire , les cercles et le» épi^TCles qoe Ptol^ée
dby Google
INTRODUCTION. xcxii
(it décrire ammelleinmt, et dont il laâsee la grandedr, indéter-
mlhée. 11 f^t ensuite , pour changer cette hypothèse dans le
vrai système du monde, de transporter en sens' contraire, À la
terre , le mouvement apparent du soleiL
Il est préBque toujours itqwssible de soumettre an calcul , la
prtjjabilîté des résultats obtenus par ces diwrs moyens : (^st co
qui a lieu pareillement pour les Ëdts historiques. Haîs Tensemblo
, des phénomènes expliqués ou des témpignages, est qudqu#)is tel,
que sans pouvoir en appréd^ la probahilité, oa ne peut raison-
nablement se permettre aucun doute à letir égard. Dans les autres
cas, il est prudent de ne les admettre qu'avec beaucoup à»
fésorve-
Notice historique sur le Calcul de» ProbahUités.
. Depuis long-temps, on a déterminé dans les jeux les plus simples,
les laj^rts des chances Ëtvorables . ou contraires aux joueurs : lea
enjeux et les paris étaient réglés d'après ces rapports. Mais personna
avant Pascal et fenoat ^ n'avait donné des principes et des méthodes
pour soumettre cet objet au calcul , et n'avait résolu.des questions
de ce genre , on peu compliquées. (7est donc à ces deux grands
géomètres qu'il &ut rapporter les prenùers éléraïais de la scienca
des probalùlités , dont la découverte peut être mise au rang des
choses remarquables qui ont illustré le dix-septième siède, celui
de tous les siècles qui &it le plus d'honneur à Tesprit hiunaiiL La
prindpal pr<d>l^e qu'ils résolurent tous deux par des voies difie-
rentes , consiste , comme on l'a vu précédemment, à partager équir-
tablement Fenjeu, entre des joueurs dont les adresses sont égales, et
qû ccmviennent de quitter une partie, avant qu'elle finisse^ la con-
dition du jeu étant que pour gagner la partie, il ^t atteindre lo
premier, un nombre donné de points. U est dair que le partage
doit se faire proportiomiellement aux probabilités respeclives des
joueurs, de gagner cette partie, probabilités qui dépendent des
nombres de points qui leur manquent encore. La méthode de Pascal
est fort logénieuse,. et n'est au fond, que l'emploi da l'équation aux
di^eaces partielles relative à ce problème , pour détenoinfir les
y Google
c - INTRODUCTION. * .
probabilités sbccessives des joueurs, en allant des nombres les pluf
petite aux suivaos. Cette méÂode est timîtée ,au cas de àgfix joueufs ;
celle de Fermât, 'fondée sur le» combinaisons, s'étend a un nombre
quelconque de joueurs. Pascal crut d'abord qu'elle devait être,
comme la sienne, restreinte à deux joueurs; ce qui établit entre
eux, une discussion à Ja fin de laquelle Pascal reconnut la généralité
de la méthode de Fermât.
Huy^us réunit les divers problèmes que Ton avait dé)à résolus,
et en ajouta de nouveaux, dans un^tit Traité, le premier qui ait
paru sur cette matière, et qui a pour titre, De Ratiociniis in ludo
aleœ. Plusieurs géomètres s'en occupèrent ensuite : Huddes et le grand
pensi<mnaireWitt en Hollande , et Halley en Angleterre , appliquèrent
le calcul, aux probabilités de la vie humaine; et Halle; publia
pour cet objet, ta première table de mortalité. Vers le même temps»
Jacques Benioulti proposa aux géomètres , divers problèmes de
probabilité dont il donna 'depuis, des solutions. Enfin il composa
son bel ouvrage intitulé ^rs conjectandi, qui ne parut que sept
ans après sa mort arrivée' en 1706. La science des probabilités est
beaucoup plus approfoo(fie dans cet (mvrage, que dans celui
d'Hujghens; l'auteur y d<»ine une théorie générale des cwnbinai-
8ons et des suites, et rapplique à plusieurs questiens difficiles,
concernant les hasards. Cet ouvrage est encore remarquable par
la justesse et la finesse des vues , par l'emploi de la formule du
binôme da^s ce genre de questions, et par la démonstration de ce
théorème, savoir, qu'en multipliant indéfiniment les observations
et les expériences;, le rapport des événemens de diverses natures,
qui doivent arriver , approche de celai de I«irs possibilités respec-
tives , dans des limites dcmt l'intervalle se resserre de plus en plus ,
et devient moindre qu'aucune quantité assignable. Ce théorème est
très-utile pour reconnaître par les observations , les lois et les
causes des phénomènes. Bemoulli attachait avec raison, une grande
importance à sa démonstration qu'il ^t avoir méditée pendant
fingt années.
Dans rintervalle de la mort de Jacques Bemoulli, à la publica-
tion de son ouvrage ; Montmort et Moivre firent paraître deux traités
BUT i« calcul des probabilités. Celui de Montmort a pour titre,
dby Google
INTRODUCTION. ^ «^
Essai sur lés Jeux de hasard : il contient de nombreuses appU-
cations de ce calcul , aux divers jeux. L'auteur y a joint dans ^
la seconde édition, quelques lettres dans lesquelles Nicolas Ber-
QouUi dcHine des solutions ingénieuses de plusieurs problèmes dif-
ficâles, de probabilité. Le traité de Uoivre, postérieur à celui
de Montmort, parut d'ab<H^ dans les Transactions Philosophique»
deTvinée 1711. Ensuite l'auteur le pubUa séparément, et il l'a per-
fectionné sucâessirement dans les trois estions qu'il en a données.
Cet ouvrage est priavipalement fondé sur la formule du binôme;
et les problèmes qu'il contient, ont, ainsi que leurs solutions, une
grande généralité. Mais ce qui le distingue, est la théorie des suite»
récurrentes, et leur usage dans ces matières. Cette théorie est
FintégratioQ des équations linéaires aux diâërencesfinies à cœfificiena
constans, intégration k laquelle Mcâvre parvient d'une manière très-
heureuse. Comme il est toujours intéressant de connaître la marche
des inrenteursj je rais exposer celle de Moirre, en l'appliquant
à une suite récurrente dont la relation entre trois termes consé-
cutife est donnée. D'abord , il considère la relation entre les t^me»
con5écuti& d'une progres8i<Hi géométrique , ou l^quation à deux
termes, qui l'exprime. En la rapportant aux termes inférieurs d'une
unité, il la multipUe dans cet état, par un Ëtcteur constant, et
il retranche le produit, de l'équâlion primitive. Par là, il obtient
une relation entre trois termes eonsécuti& de la progression géo-
métrique. Moivre considère ensuite une seconde progression géo-
métrique dont la raisMi des târmes, est le facteur même qu'M vient
d'employer. Il diminue pareillement d'une imité , l'indice des termes,,
dans réquaticm de cette nouvelle progres«on : dans cet état, it.
la multiplie par la raison des termes de ta première progression,.
et il retranche le produit, de l'équation primitive; ce qui lui donne
entre trois termes eonsécutife de la seconde progression , une re-
lation entièrement semU^le à celte qu'il a trouvée pour la premi^e
pn^ressicm. Puis il observe que si l'on ajoute twme à terme, les
deux progressio'ns; la même relation subsiste entre troiS' quelconques
de ces somgses consécutives. Il compare les c^efficiens de cette
relation , à ceux de la relation des termes de la suite récurrente
pr<^oaée} et il trouve pour déterminer les rapports des termes
dby Google
cij INTRODUCTION.
consécQiift des deux progressions , nne ëqoatîon du second degré
dont les racines sont ces rapports. Far là , Moivre décompwe la
suite récurrente , en deux progressions géométriques multipliées »
chacune^ par une constante arbitraire qu'il détermine au moyea
des deux premiers termes de la suite récurrente. Ce procédé est
BU fond , celui que lâgrange a depuis employé pour l'intégration
des équations linéaires aux différences à coefficiens conatans.
Trés*peu de temps avant ces recherches de Moivre , Taylor avait
donné dans son exceQent ouvrage intitulé Meihffius incremerOorum,
la manière d'intégrer réquati<Hi linéaire aux difTérences du premier
ordre , avec un coefficient variable, et \m dernier terme fonction
du seul indice. C'est donc à ces deux illustres géomètres, que l'on
est redevable de la considération et de l'intégration de ce genre
d'équations. A la vérité , les relations dés termes cousécutiJs dea
progressions arithmétiques et géométriques , ne sont que les oaa
les plus simples des équations linéaires aux diffîrences. lAais <mi
Tie les avait pas envisagés sous ce point de vue, l'undeceuxquî
se rattachant à des théories générales, ont conduit à ces théories»
et sont par là , de véritables découvertes.
Moivre a repris dans son ouvrage, le théorème da Jacquet
BemouUi snr û probabilité des résultets donnés par nn grand
nombre d'observations. Il ne se contente pas de faire voir , comme
BemouUi , que le rapport des évéçemens qui doivent arriver ,
approchera sans cesse de celui de leurs possihiHtés respectives ;
il donne de plus une expression élégante et simple de la ^obabilité
quels différence de œs deux rapports, sera contenue dans des
limites données. Pour cela , il détermine le rapport du plus grand
terme du développement d'une puissance trés-élevée du binôme ,
à la somme de tous ses termes ; et le logarithme hyperbolique
de l'excès de ce terme, sur les termes qui en sont très-roisins.
Jje plus grand terme étant alors le produit d*un nombre considérable
de acteurs ; son calcul numérique devient impraticable. Four l'ob-
tenir par une approximation convergente , Moivre Eût usage d'un
théorème de Stirliug sur le terme moyeu du binôme élevé à une
haute puissance, théorème remarquable, surtout en ce qu'il intro*
duk la^ racine carrée da rapport de la circoiï^i^ce «u rayon, dans
dby Google
INTRODUCTION, ciij
tme «spresrion qui sonble devoir être étrangère k cette tniD&caw
dante. Aussi Moivre fut-il slugulièremeot fr&]^ de ce résultat que
Stirlii^ avait déduit de Texpression de la circonférence en produits
infinis , expression a laquelle Wallis était parvenu par une singulière
analyse qui contient les germes de la théorie si curieuse «t si utile
des intég^ks définies.
Plusieurs savans parmi lesquels on doit dlstingaer Deparcîsux,
Kers8eboom,Wargentio , Dupré de Salnt-MauM , Simpson, Sussmildi,
Triceet DuvUlard, ont réuni ttn grand nombre de dmiuées précieuses
sur, la p<^>ulation, lesnaiasanGe8,lesmariage8et lamortalité. Ilsont
donnâ'des formules et des tables relatives aux rentea viagères , aux
tontines , aux assurances , etc. Mais daos cette courte naiice , je ne
puis qu'indiquer ces travaux estimables , pour m'attacher anx-idées
originales. De ce nombre, est b distinction des espérances mathé-
matique et morale , «t le principe iogénieax que Daniel BeruoulM
a dotmé pour soumettre celle-ci à l'analyse. TcAle est encore Tap-
plication heureuse qu'il a &ite du calcul des probabilité, à l'ino-
culation. On doit surtout, fJacer au DomlH« de ces idées originales,
la considération directe des possibilités des événemens, tirées des
événemens «Aservés. Jacques BêraouUi et Moivre supposaient ces
possibilités, c<Himie»; et ils* cherchaient la probabilité que le résultat
des expériences à feire, approchera de jrfus en plus de les représenter.
Bayes, dans les Transactions Philosophiques de l'année 17^, a
cherché directement la probabilité que les possibilités indiquées par
des expériences déjà feitea, sont comprises dand des limites données ;
(tîl y est parvenu d'une manière fine et très-ingénieuse, "quoiqu'tm
peu embarrassée. Cet objet se rattache à la théorie de la prt^bilité
des causes et des événemens fliturs , conclue des événemens ob-
servés ; théorie dont j'exposai quelques années après , les principes ,
avec la remarque de l'influence des inégaUtés qui peuvent exister
entre des chances que Ton suppose égales. Qu<»que l'on i^aort
quels sont les événemens simples que ces inégalités fitvoriseot;
cependant cette ignorance m^e accroît soovent, la probabilité
des événemens composés. Ed généralisant Tanalyse et les proMémes
coDcermtfit les prolâbilités, je fiis conduit au calcul des digféreuces
finies parttelles que Lagrange a traité de^s, par v» méthoda
dby Google
ctT INTRODUCTION. -
fort simple, et dont 0 ja Ëiit d'élégantes applications à ce genre de
{«-oblèmes. La théorie des fonctions génàralrices, que je donnai
vers le même temps, comprend ces objets, parmi ceux qu'elle ém-
isasse, et s'adapte d'elle-même et arec la plus grande généralité,
aux questions de probabilité , les plus difficiles. £Ue détermine encore
par des approximations très-coDTergentes, les valeurs des fonctions
composées d'un grand nombre de termes et de facteursj et ea
faisant voir que la racine carrée du rapport de la circonférence
au rayon entre le plus souvent dans ces valeurs, elle montre qu'une
infinité d*autres trîuiscendantes peuvent également s'y introduire.
On a encore soumis au calcul , la probabilité des témoi^ages ,
les votes et les décisions des assemblées électorales et délibérantes.
Tant de passions, d'intérêts divers et de circonstances compliquent
les questions relatives à ces objets , qu'elles sont presque toujours
iosolubles. Mais la solution de problâmes plus simples , et qui ont
avec elles beaucoup d'analogie , peut souvent répandre de grandes
lumières sur ces questions difficiles.
L'une des plus intéressantes applications du calcul des probabi'*
lités , concerne les milieux qu'il fkut choisir entre les résultats des
. observations. Plusieurs géomètres s'en sont occupés, etLagrangea
publié dans les Mémoires de Turin , une belle méthode pour déter-
miner ces milieux, quand la loi des erreurs des observations est
connue. J'ai donné pour le même objet , une méthode fondée sur un
artifice singulier qui peut être employé avec .avantage dans d'autres '
questions d'analyse , et qui en permettant d'étend re indéfiniment dans
tput le conrs d'un long calcul , les fonctions qui doivent être limitées
par la nature du problème , indique les modifications que chaque
terme! du résultat final doit recevoir en vertu de ces limitations.
Mais ces méthodes supposent connue , laloi des erreurs des observa-
tions j ce qui n'est pas. Heureusement , j'ai trouvé que si les observa-'
tions sont en grand nombre, la recherche des milieux que l'on doit
choiùr, devient indépendante de cette loi. On a vu précédemment,
que chaque observation fournit une équation de condition , da
premier degré , qui peut toujours être disposée de manière que
tous ses termes soient dans le premier membre , le second étant
jjèct), ïf'tisage de ce» équations est une des causes principales dQ
dby Google
INTRODUCTION. ct
ia grande préciâon de nos tables astrontxniqaes; parce que Ton
« pu ainsi Eure concourir on nombre immense d'excellentes ob-
servations, à la détermination de leurs clémeDS. Lorsqu'il n'y a
qu'un seul élément à déterminer , Côtes avait prescrit de préparer
les équations de condition, de sorte que le coefficient de l'élément
inconnu fût positif dans chacune d'elles , et d'ajouter ensuite toutes
ces équations , pour former une équation finale d'où l'on tire la
valeur de cet élément La ré^e de Côtes fût suivie par tous les
calculateurs. Mais quand il MIait déterminer plusieurs élémens;
on n'avait aucune règle fixe pour combiner les équations de con-
dition, de manière à obtenir les équations finales nécessaires : seu-
lement, on choisissait pour chaque élément, les observations les
plus propres à le déterminer. Ce iût pour obvier à ces tàtonnemens,
que Legendre et Gauss ima^èrent d'aj outer les carrés des premiers
membres des équations de condition , et d'en rendre la somme ua
minimum, en y faisant varier chaque élément inconnu : par ce
moyen , on obtient directement autant d'équations finales , qu'il y a
d'élémens. Mais les valeurs déterminées par ces équations , méritent-
elles la préférence sur toutes celles quel'onpeut obtenir par d'autres
moyens? Cest ce que le calcul des probabilités pouvait seul ap-
prendre. Je l'appliquai donc à cet objet impçrtant, et je fiis conduit
par une analyse délicate , à la régie que je viens d'indiquer, et qui
réunit ainsi à l'avantage de faire connaître par un procédé régulier,
les élémens cherchés, celui d'en donner les valeurs les plus avan-
tageuses, ou qui ne laissent à craindre que les plus petites erreurs
On voit par cet Essai , que la théorie des probabilités n'est au
fond , que le bon sens réduit au calcul : elle fait apprécier avec
exactitude , ce que les esprits justes sentent par une sorte d'ins-
tinct, sans qu'ils puissent souvent s'en rendre compte. Si Ton
considère les méthodes analytiques auxquelles cette théorie a
donné naissance, la vérité des principes qui lui servent de base,
la logique fine et délicate qu'exige leur emploi dans la solution des
problèmes, les établissemens d'utilité publique qui s'appuient sur
elle , et l'extension qu'elle a reçue et qu'elle peut recevoir encore,
par son application aux questions les plus importantes de la philo^
dby Google
cvj iwTRODUcnorr.
Bophie natarelle et de l'écoDomie politique ; si Ton obserre ensDÎte
que dans les f^oses mêmes qui ne peuvent être soumises ail calcul,
elle donne les aperçus les plus sârs qui puissent nous guider dans
DOS jugemens , et qu'elle nous apprraid à noue garantir des iUusions
qtd souvent bous égarent ; on veira qu'il n'est point de science
plus digne de nos mécBtaïitHis , et dont les résultats sweot plu»
utiles.
x Plan de VOuvrage.
Je donne dans mon ouvrage , Tanalyse mathématique ^ee ré-
sultats que je viens de présenter dans cette Introduction. Il est
divisé en deux livres. Le premier a pour objet, le calcul des fonc-
tions génératrices , qui sert de fondement à ma Tbé<Hie des Pro-
babilités. Ce Kvre est divisé lui-même en deux parties : l'une *en-
Ifenne la théorie des fonctions génératrices, et l'autre contient la
-théorie des approximations des formules fonotîoDS de- ^ods
nombres. Le rapprochement de ces deux théories montre avec
évidence, que la seconde n'est qu'une extension de la preimère;
et qu'elles doivent être coneidâ<ées c<Hnme deux l»nDches d'un
même calcul. les principes du calcul des probabilités et leur appli-
cation aux questions les ^us générales et les plus utUes 'que l'oa
puisse se proposer sur cette matière , sont l'objet du second livre,
dans lequel je me suis spécialement attaché à détenniner la pro-
babilité des causes et des résultats indiqués par un grand nombre
d'observations, et à (Percher les lois suivant kequelles oette pro-
babilité approche de ses limites , à mesure que les événemens se
multipHent : c'est dans ces rei^rches , que le calcul des fonctions
génératrices trouve ses appUcatioos les phis importantes.
dby Google.
THÉORIE ANALYTIQUE
DES PROBABILITÉS.
LIVRE PREMIER.
CALCUL DES FONCnoifS GÉNÉBjLTBlCEâ.
PREMIÈRE PARTIE
Des FonctioTta g^iératnce$,
Lbb grandeurs considérées en général, s'ei^rimoit commuDément
par les lettres de l'alphabet, et ç'està Viéte qa'eet due cette
notation commode qui transporte à la langue analytique, les alpha-
bets des langues connues. L'application que Yiéte fit de cette no-
tation , à la géométrie , à la théorie des équations et aux sections
angulaires , fbrme une des époques remarquables de rhistoîre des
Mathématiques. Des dgnes très-simples expriment les corrébtions
des candeurs. La position d'une grandeur à la suite d'une antre ,
suffît pour exprimer leur produit. Si ces grandeurs sont la même ,
ce produit est le carré ou la seconde puissance de cette candeur.
Mais au lieu de récrire deux fois, Descartes ùnag^a de ne l'écrira
t.
;d^by Google
4 THÉORIE ANALYTIQUE
qu'une fois , en lui donnant le nombre 2 pour exposant; et il eiprhna
les puissances successirea , en augipentant successivement cet
exposant, d'une unité. Cette cotation, en ne la considérant que
comme une manière abrégée de représenter ces puissances, semble
peu de chose ; mais tel est Tavantage d'une langue bien faite , que
ses notations les plus simples sont devenues souvent la source des
théories les plus profondes ; et c'est ce qui a eu Ueu pour les expo-
sans de Descartes. VVallis qui s'est attaché spécialement à suivre
le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce moyen,
à exprimer les puissances radicales^par des exposans fractionDaires ;
et de même que Descartes exprimait par les exposans a , 5 , etc. ,
les puissances secondes , troisièmes , etc. d'une grandeur ; il exprima
ses racines secondes , troisièmes , etc. par les exposans fraction^
xtaires f , ^ , etc. En général, il exprima par Texposant ^ ,, la racine n
d'une grandeur élevée à la puissance m. Eu efiet, suivant la nota-
tion- de Descartes , cette expression a lieu dans le cas où m est
divisible par n; et Wallis, par analogie, l'éteadit à tous les cas. Il
remarqua ensuite que la multiplication des puissances d'une même
grandeur , revient à ajouter les exposans Ae ces puissances, qu'il
feut retrancher "dans leur division j ensorte que l'exposant n — m
indique le quotient de la puissance n d'une grandeur, divisée par sa
puissance m j d'où il suit que ce quotient devenant l'unité, lorsque
m est'égàlê à n, toute grandeur ayant zéro pour exposant, est
l'unité même. &l m surpasse n , l'exposant n — m devient négatif,
et le quotient devient l'unité divisée par la puissance m — n de Ea
grandeur. Wallis supposa donc généralement que l'exposant né-
gatif — ^ exprime l'unité divisée par la racine b*** de la grandeur
élevée à la puissance m.
Ce fut dans son ouvrage intitulé ytrythmetica infinitorum , que
Wallis exposa ces remarques qui le conduisirentà sommer x*, x étaut
supposé formé d'une infinité d'élémens pris pour unité ; ce qui , sui-
vant les notations actuelles , revient à intégrer ta di0ëre;ntielle x'dx.
Ilfit voir que cette intégrale prise depuis X nul, est -^p-, ce qui lui
donna l'ialégrale d'une suite formée de différentielles semblables.
dby Google
DES PROBABILITÉS^ B
£q considérant ainsi l'intégrale /(/«.(i —»-)', lorsque n et * sont
des nombres entiers , et lorsqu'elle est prise depuis x nul jusqu'à
X ==: 1 , it troura qu'elle est égale à i=zL'Tz-V~-":rTT. Si les indices
^ *^ T-R.j+a- •■■*+»
n et s sont fractiopaaires et égaux à j , cette intégrale exprime le
report de la sur&ce du cercle au carré de son diamètre. Wallis
s'attacha donc à interpoler le prodiùt précédent, dans le cas où
n et f sont des nombres fractionnaires ^ problème entièrement
nouveau à l'époque où cet illustre Géomètre s'en occupa, et qu'A
parvint à résoudre par une méthode fort Ingénieuse qui contient les
germes des théories des interpolations et des intégrales définie;^
dont lis géomètres se sont tant occupés, et qui sont l'objet d'une
grande partie de cet ouvrage. Il obtint de cette manière, l'expression
du rapport de la surfece du cercle au carré de son diamètre , par
un produit d'une infinité de &cteurs , qui donne des râleurs de plus
en plus approchées de ce rapport , à mesure que Ton conoidère un
plus grand nombre de ces facteurs ; résultat Pun des plus singuliers
de l'analyse. Mais il est remarquable que Wallis qui avait si bien
c<»isidéré les indices fractionnaires des puissances radicales , ait
continué de noter ces puissances , comme on l'ayait fait avant lui.
On Toitla notation des puissances radicales, par les exposansfraction-
naires , employée pour la première fois , dans les lettres de Newton
àOldemboui^, insérées dans le CommerciumEpîstoUcum. En com-
parant par la Toie de l'induction dont Wallis avait (ait un si bel usage ,
les exposans des puissances du binôme, arec les coefGciens des
termes de son développement, dans le cas où ces exposans sont des
nombres entiers; il détermina la loi de ces coeflBciens, et il retendît
par analogie « aux puissances fractionnaires et aux puissances néga-
tives. Ces divers résultats fondés sur k notation de Descartes,
montrent l'influence d'une notation heureuse sur toute l'analyse.
Cette notation a encore Tavantage de donner l'idée la plus simple
et la plus juste des logarithmes qui ne sont en e0et , que les expo-
sans entiers et fracU'onnaires d'une même grandeur dont les diverses
puissances représentent tous les nombres. Mais l'extension la plus
importante que cette notation ait reçue , est celle des exposans
variables ; ce qui constitue le calcul exponentiel , l'une des branches
dby Google
6 THÉOME ANAITTIQUE
les plus fécondes de l'analyse moderne. Leibnîtz a indigné le ^CTiiei^
dans les Actes de Leipaicpoor 1683 , les transcendantes à exposons
variables, et parla U a compTété le système des élémens dont mie
fonctioa ânie peut être composée. C^ tonte fonction finie esfdicite
se réduit en dernière analyse , à des grandeurs simples, ajoutées oa
soustraites les unes des antres , multipliées oi^diyisées entr'elles ,
élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des
équations formées de ces élémens , en sont des fonctions implicites.
Cest ainsi que c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique
est Tunité, le logarithme de a est la racine de Téquation transcen-
dante c"— a = o. On peut considérer encore les quantités loga-
iithmiques, comme des fonctions exponentielles dont les e:^osans
sont infiniment petits. Akisi Xlog X est'égal à — 3~~- l'outes
les modifications de grandeur que l'on p«ut concevoir aux exposans,
se trouvent donc représentées par les quantités exponentielles ,
algébriques et logarithmiques. Ces quantités et leurs fonctions em-
brassent par conséquent , toutes les fonctions finies explicites ; et
les racines des équations formées de fonctions semblables, em-
brassent toutes les fonctions finies implicites.
Ces ^antitéa sont essentiellement distinctes : Pexponentielle a*,
par exemple, ne peut jamais être identique avec une fonction algé-
brique de X. Car toute fonction algébrique est réductible dans •
une série descendante de la forma A.x'+ A'^"-"'+etc. : or il est
facile de démontrer que a étant supposé plus grand qiie Tuliité,
et X étant infini, a' est infiniment plus grand que kxTy quelque
grands que Ton suppose k et n. Pareillement, il est aisé de voir
que ^ns le cas de x infini , x est infiniment plus grand que A: ( log x )*.
t,es fonctions exponentielles , algébriques et logarithmiques d'une
Variable indéterminée, ne peuvent donc pas rentrer les unes dans
les autres : I_es_guantités_algébriques tiennent le railieiTentre les
exponentielle» et les logarithmiques \ les exposans , lorsque la va-
riable est infinie , pouvant être considérés comme infinis dans
les exponentielles, finis dans les quantités algébriques^ et infini-
ment petits dans les quantités logarithmiques.
On p«tit encwe établir en principe , qu'une fonction radicale d*une
yGoogle
DES PROBABnJTÉS. y
TariaUe, ne peut pas être identique arec une f<mctîon ratiaon^ de
lainêmeTariable,oa arec une autre fbnctioii radicale. Ain8t(i-t-x')^7
est essentielleàient distinct de (i+x*)^, et de (i -{-*)'-
Ces prindpes ft»idés sur la nature même des fimctions , peurent
être d'une grande utilité dans les reeliercfaes analytiques, en indi-
quant les formes dent les feoctîons que l'on se propose de trouver,
sont snsceptibteSj et en démontnuat leur impossibilité dans un grand
nombre de cas ; mais idors il Êtut être bien aér de n'omettre aucune
des formes possibles. Ainsi la différentiation feàssant subsister les
quantités exponentielles et ra^cales , et ne &isant disparaître les
' quantités logariâuniques , qu'autant qu'elles sont multipliées par des
constantes ; on doit en conclure que l'intégrale d'une fonction
diflërentiefle ne peut renferca^r d^ntres quantités exponentielles et
radicales, que celles qui sont contenues dans'eette fonction. Far
ce moyen, j'ai reconnu que Voa ne peut pas obtenir en fonction finie
ei^licite ou implicite de la Tariable x, l'intégrale / ^ TPH'
Pai démontré pareillement que les équations linéaires aux diffîrences
partielles du second ordre entre trois variables, ne sont pas le plus
souvent , susceptibles d'être intégrées sous une forme finie ; ce qui
■ m'a conduit à une méthode générale pour les intégrer sous cette
forme , lorsqu'elle est possible. Dans les antres cas , on ne peut
obtenir une intégrale finie, qu'au moyen d^intégrales définies.
Leibnitz ayant adapté au calcul différentiel , une caractéristique
très-commode, il imagina de lui donner les mêmes e^iosans qu'aux
grandeurs ; mais alors , ces exposans , au lieu dlndiquer les multi-
plications répétées d'une même grandeur , indiquent les difleren-
tiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de
la notation cartésienne , conduisît Leibnitz à ce théorème remar'>
quable , savoir , que la diffêrentielle n*™* d'un produit xyz. etc. , est
égaleà (dx+dy-t-dz-i-etc)', pourvu que dans le développement
de ce polynôme , on applique à la caractéristique d, les exposans
des puissances de dx, dy , dz, etc. , et qu'ainù l'on écrive
àx.d^y.d^z.etc., au lieu de {dx)'.{dyY.(dzy.e,tc., en ayant soin
de changer d**, d'y^ d'z, etc.,«i ic,7,z, etc. Ce grand Géomètre
dby Google
8 THÉORIE ANALÏTIQUE
observa, de plus, que ce théorème subsiste , en y supposant n néga-
tif j pouTTu que l'on change les diffêrentielles négatiTes en intégrales.
Lagrange a suivi cette analogie singulière des puissances et des diffé-
rences, dans tous sesdéreloppemens^etpar une suite d'inductions
trè&-fiaes e t très^^faeorenses , il en a dé^it des formules générales aussi
curieuses qu'utiles , sur les transformations des diSërences et des in-
tégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accrois-
semens finis divers , et lorsque ces accroissemens sont infiniment
^petits. Son mémoire sur cet objet , inséré dans le Recueil de l'Aca-
démie de Berlin pour l'année 1773, peut être regardé comme une
des plus belles applications que l'on ait Êtites,. de la méthode des
inductions. La théorie des fonctions génératrices étend à des carac- r
téristiques quelconques , la notation cartésienne : elle montre en,
même temps , aveç^évidence, l'analogie des puissances et des opé-
rations indiquées par_cgg caractéristiques ; et nous allons voir tout
ce qui concerne les séries , et l'intégration des équations Unéairea
0UX (Wérences , ea découler ^vep une extrême étcilité.
CHAPITRE
dby Google
DES PROBABIUTÉS
CHAPITRE PREMIER.
Des Fonctions g^ératrkes, à une variahîe,
a. OoiT y^ une foncUun (luelcontjue de x\ si l'on l'orme la suite
lufinie
:y,+y.-t+y..t* -hy»-^ +j'..^ +^,+..«'*' 4-^, .i" ;
on peut toujours concevoir une fonction de t , qui développée
suivant les puissances de /, donne cette suite : cette fonction est
ce que je nomme Jonction génératrice àey,.
La fonction génératrice d'une variable quelconque^,, est donc
'généralement une fonction de * , qui développée suivant les puis-
sances de i, a cette variable pour coefficient de f; et réciproque-
ment , la variable correspondante d'une .fonction génératrice , est
le coefficient de if dans le développement de cette fonction suivant
les puissances de t ; ensorte que l'exposant de la puissance de t,
indique le rang que la variable y, occupe dans la série que l'on
peut concevoir prolongée indéfiniment à gaucbe , relativement aux
puissances négatives de /.
n suit de ces définitions , que u étant la fonction génératrice de
y^j celle de^,^., est p ; car il est visible que le coefficient de ï*.
dans ^ est égal à celui de «**' dans ù j par coaséqùent il est égal
Le coefficient de l' dans u.Q- — i^ est donc égal à ^,+,— y,,
ou à la différence des deux quantités consécutives^y^^., ét^„ diâ^
rence que nous déaigaerons par A.^„.A étant la caractéristique
des difEcrences finies. On a doue la fonctioD géuà-atrice de la di£^
dby Google
lo THÉORIE ANAITTIQUE
rence finie d'une quantité variable , en multipliant par -r — i, 1a
fonction génératrice de la quantité ellennême. La fonction généra-
trice de la différence finie de A.^. , différence que l'on désigne pax
A'.^,, est ainsi «/j— ij; celle de la différence finie de A*._y^
ou A' .jf', est u . Q — 1^ ; d'où l'on peut généralement conclure que
la fonction génératrice de la dififérence finie A'.^,est «.f|— iV
Pareillement, le coefficient de f dans le développement de
est
en nommant donc v -y* cette quantité , sa fonction génératrice sera
"•(«+'+1 +^>
Si l'on noimne v'-^. ce <piè devient v -y* lorsqu'on y change y,
dans V'^ir} si l'on nomme pareillement vV* ** que devient v'-^.
lorsqu'on y change v -y» dans v'-^*i et ainsi de suites leurs fonc-
tions génératrices correspondantes seront
■'•(''+f+^- H-^T;
-•(«+' + ? +,?■);
etc.i
et généralement la fonction génà'atrice de v'.^, sera
-(«+'+^ +0-
De là il est fàcQe de conclure généralement que la fonction géofr ■
ratrice de A'.y'^,^', est
* r(f^\^%- ^m-^)-
fta^^eut généralîser encore ces résultats, en «apposant que v-J'*
DigilJzed
b, Google
DES PROBABILITÉS. ii
représente une fonction qnelconqae linéaire finie ou infinie, de
^.ï^»-Mi^»+n etCîque v''^«8oitceque devient v-^i» lorsqu'on
y change y, dans v-^.j que v*-^. soit ce que devient v'-^*»
lorsqu'on j change v.^. dans v*-^<t «t w^âx de suite; u étant la
fonction génératrice de^. , u.s' sera la fonction génératrice de
v'-^,, « étant ce que devient v-^- > lorscpi'on y change y, dans
l'unité , jc,^., dans j ,^,^, dans j;, etc. Cela est encore vrai, lors-
que ( est nn nombre négatjf , ou même fi'actionnaire et incom-
mensurable , en disant toutefois à ce résultat , des modificatioi^
convenables.
Représentons par Z la caractéristique des intégrales finies , et
nommons z la foncticHi génératrice deZ'.^^, u étant la fonction
géD««trice de^,; z.Q^ — ij sera ptu: ce qui précède, la fonction
gén«-atrice de^',. Mais cette fonction doit, en n'ayant égard qu'aux
puissances positives de c, se réduire à u qui ne renferme que des
puissances pontives de t, si l'on n'étend Tintégrale multiple t^-y,
qu'aux valeurs positives de x ; on aura donc alors
^•a-
d'où Ton tire
i.l'+^.l'-'+«.l"+C.<'-» + F .. 1
ô^^ô" •
^jS, C F étant des constantes arbitraires qui répondent
aux i constantes arbitraires qululroduisent les i intégrations suc-
cessives de 2*. y M.
En disant abstraction de ces constantes , la fonction génératrice
de ï'.j', est u.Q — ij ; ensorte que l'on obtient cette fonction
génératrice , en changeant i dans — i, dans la fonction génératrice
de a'. y y, ùk-^-ym est donc eStxcs égale à 2'.^.; c'est-à-dire que les
' différences négatives se changent en intégrales. Mais si l'on a égard
aux constantes arbitraires , il £tut , eu passant des puissances po-
sitives de 7 ■— 1 à ses puissances négatives , augmenter u de la série
^ •+• jT + p^ + etc., prolongée jus^'à ce que le Dinoolnre de set
dby Google
13 THÉORIE ANALYTIQUE
termes soit égal à Pexposant de ces puissances. On peut appli-
quer des considérations semblables , à la fonction génératrice de
Oo voit par ce qui précède , de quelle manière les fonctions gé-
nératrices se forment . de la loi des variables correspondantes.
Voyons maintenant comment les Yariable8_.5e dédmsent de Jeiu:8 ,
fonctions génératrices, s étant une fonction quelconque de -, si
l'on développe s' suivant les puissances de j, et que l'on désigne
par- un terme quelconque de ce développement; le coefficiwit
de f dan» ," ) octk a -jx^i-m ', ^a aura donc 1« coefficient de f dans
».£', coefficient que nous avons désigné précédemment par v'.j',',
i'. en substituant dans *,_/, au lieu de^; 3% en développant ce
que devient îdors s' suivant les puissances de^„ et en transportant
àl'indice ar, l'exposant de la puissance de _y,; c'est-à-dire , en décri-
vantjï',^., au lieu de (^,)';j',+, au lieu de (^,)', etc.; et en mul-
tipliant les termes indépendans de^,, et qui peuvent être censés
avoir (jr,)" pour facteur, par y,. Lorsque la, caractéristique v se
change en à, s est, par ce qui précède, é^al k j — j ; on a donc
alors
A'.^,=j'.^i— i.y.+i-. H- ^J=^.^.+i_.— etc.
Si au lieu de développer s' suivant les puissances de ^ , on le
développe suivant les puissances de - — i , et que l'on désigne
par i.(^ — ij, un terme quelconque de ce développement; le
coefficient de f dans ^"-(-i — iJsera^.A'.j', ; on aura donc v';?'«i
1'. en substituant dans s, Ay, au lieu de ~ — i , ou, ceqiii refait
aumème,i + A.j'^aulieu de -; s*, en développant ce que devient
alors s' suivant les puissances de A ._/„ et en appliquante j^ carac-
téristique A , les exposans des puissances de A .^, , c'est-à-dire en
écrivant A .y, au lieu de ( A .^t,)', A\jr, au lieu de (A .y,Y, etc. ,
dby Google
DES PROBABILITÉS. i5
el «0 multipliant par (A._y,)', ou, ce qui est la même chose, par^,
les termes indépeDdans de A .y,.
Généralement, si Fon considère s comme ime fonction de r,
r étant une fonction de - ^ telle que le coefficient de ** dans ur ,
soitn.^,; on aurav'.^,, en substituant dans «, D.^, au lieu der;
en développant ensuite s' suivant les' puissances de D.^. , et en
appliquant à la caractéristique p, les exposans de D.^,, c'est-à-
dire , eu écrivant a .y, au lieu de (n -y.) » ^3* ■^* ^'^ ^^^i ^® (D •/*)*> etc. j
et en multipliant parj^^ les termes indépendans de n.^,. ^
Le développement de v'-J'. par ime série ordonnée suivant les
variations successives n-^,, D'.^,, etc., se réduit donc a la for-
mation de la fonction génératrice de jt'i» au développementde cette
fonction , suivant les puissances d'une fonction donnée j enfin ,
au retour de la fonction génératrice ainsi développée, aux coeffi-
ciens variables correspondans j les exposans des puissances du
développement de la fonction génératrice , devenant ceux de la
caractéi-istique de ces coefficiens. On voit ainsi l'analogie des puis-
sances avec les diffêrences, ou avec toute autre combinaison des
coefficiens variables consécutifs. Le passage de "ps coefficiens à
leurs fonctions génératrices , et le retour de ces fonctions déve-
loppées aux coefficiens, constituent le calcul des foTictioHSffé ftéra~.-
tnces. Les applications suivantes en feront connaître l'esprit et les
avantages.
De l'interpoi&tion dês suites à une variable, et de Vintégmtion des
équations différentielles linéaires.
5. Toute la théorie de l'interpolation des suites se réduit à dé-
termkier , quel que soit i , la valeur de ^, ^. < , en fonction des termes
qui précèdent ou qui suivent ^,. Pour cela , on doit observer que
j'u-j est égal aux coefficiens de i,^', dans le développement de «,
et par conséquent égal au coefficient de t^ dans le développement
de ^ j or on a ■
db, Google
i4 THÉORIE ANALYTIQUE
De plus , le coefficient de f , dans le developpeiuent de u, est^. ;
ce coefficient dans le développement de u.Q- — iVést A.^, ;
dans le déTelt^pementde u/j—- 1\ il est égala ûV^,, et ainsi
de suite ; l'équation précédente donnera donc , en repassant des
fonctions génératrices aux coeffîciens,
Cette équation ayant lieu quel que Soit i, ai le supposant même
' , fractionnaire , sert & Interpoler les «mtôe dont les différences suc-
cessives Tont en décroissant.
Si Ton a l'équation aux différences fioies
A'.^,==o;
la série précédente se termine , et l'on a , quel <pie soit », en M-
fiant X nul,
ji •'' ' ''" ' i,a -^ ' i.a.3 (o^i) ''
C'est l'intégrale ctnnplète de Féqoation proposée aiiTdifiërences ,
y,, A.^,,. . . .A"''.^, étant les n constantes arbitraires de cette
int^ale.
Toutes les maniérçs de développer la puissance l, donnent
antant de manières ^g^eates d'interpoler les suites. Soit , par
exemple ,
I , a
en développant -^ suivant les puissances de a, par la formule (p)
du n° ai du second livre de la Mécanique céleste j on aura
H J ' "^ i.a ^^ i.a.3
i'-"'|+'W-0-(;+4^-^)-W.-^...+etc.
a- étant égal à f.Q — i) , le coefficient de ^ dans le développement
Digilizedby VjOOQIC
DES PROBABILITÉS. iS
de wt est , par le n* a, A.y,.,; ce m^e coeffident dans u.«*e6t
A*.y,_„, et ainsi de suite. L'équation précédente donnera donc >
en repassant des fonctions génératricea aux coeflSciens ,
4. Voici maintwiant une méthode générale d'intOTpolation , qui
a l'arantâge de s'appliquer , non-seulement aux séries dont tes
différences des termes fiaioacni par €tre nulles , mais encore aux
séries dont la dernière raison des tenues est celle d'tme suite quel-
conque récurrente.
Supposons dfibord que l'on ait
et cherchons la valeur de ~, dans une suite ordonnée par rapport
aux puissances dé x. H est dair que ^ est égal au coefficient de 6*
d^. le développement de la fraction — ^. Si l'on multiplie le nu-
tnérateui et 1« dénominateur de cette fraction par i — fi . f , on aora
celle-ci
L'équation (i) donne
ce qui diange la fraction précédente dans celle-ci j
1— ».i
or on a
Digitizedny Google
i5 THEORIE ANALYTIQUE
d'ailleurs le coefficient de â'dana le développement de _g.,, est
j.(» + O.C» + g)....(.+r-i).
i.a.3....r '
d'où U suit que le coefficient de fr eat , i». i + i , dans le dévelop-
ment de _^a..; a\ ' , a'"^'* > ^ûn* le développement de
r-K^i 3'. (i— )-'-('+0-('+°)('+^ dans le développement de
(1 — 6)*' i.a.3.4.5 ' "^
; âVs ) et ainsi du reste : donc « l'on nonune Z le coefficient de fl'
dan? le dévoluppcuicut, de la fimotÛHi
on aura
+ (i-°)Ci-0.i.(i+0.(.+ »).(i+3).(i+^^.^^t^
i.a.o.4-5.b.7
OU
si l'on nomme ensuite Z'. le coefficient de 6*, dans le développe-
ment de
on aura Z' en changeant i en i — 1 dans Z , ce qui donne
on aura ainsi Z — t.Z'' pour le coefficient de ô' dans le dcyelop-
pemcnt de la fraction
ce sera par conséquent l'expression de i j partant
5 = «.CZ-*Z').
Cela
DigiUzedbyLjOOQlC
DÈS PROBABILITÉS. 17'
Cela posé, le coefficient de <* dans %, est ^^^h Ce même coeffi-
cient, dans un terme quelconque de u.J?, tel que l.u.z', ou
Jk.u.f.Q — 1^ est, par le n'. a, i.^"._y,^^ Dans un terme quel-
conque de u.t.Z\ tel que jt.«.(^' ou i.u.f*' .(^ — l^ , ce coefficient
est *. A»'.^,.^,, j on aura donc, en repassant des fonctions généra-
trices à leurs coefficiens ,
-^^^.-H^^Av^.,.+(i=^^.A^^._H-tc.}..
On peut donner les formes suivantes à l'expression précédente.'
Soit Z" ce que devient Z' lorsqu'on y change i dans i — 1; et
par conséquent , ce que devient Z lorsqu'on y change i dans i — a .
L'équation
donnera . ^ = Z'— <.Z"}
par conséquent, ? = f" — -^ "'
En ajoutant ces deux râleurs de ^ , et prenant la moitié de leur
somme , on aura
or on a
partant
db, Google
ï8 THÉORIE ANALYTIQUE
4'où Ton conclut, en repassant des fonctions génératrices aux
coe£Elcien8 ,
Cette formnie sert à interpoler entre un nombre impair qj:+i de
quantités équidjstantesj l'intervalle conununquilessépareétantpris
pour unité , y, est la moyenne des grandeurs y„, y, ,^, ^« ;
et i est la distance de y^+t à cette moyenne. L'expression précé-
dente est alors symétrique relativement à ces grandeurs ; car
A*.j',_,,par exemple, est égal à j',^, — ay.H-^^,, et A.^«+A.j'_,
\ est égal à y^^, — ^_,. Ainsi les quantités placées au-dessus et au-
dessous de la moyemie ^. , entrent de la même manière dans cette
expression.
Si l'on change / en i-f*i dans la dernière expression de ^,
et si l'on en retranche cette expression elle-même ; on aura l'ex-
pression de -^ — || , ou de p • G — *y î ^^ divisant ensuite cette
râleur par |^ — i , on aura
)+ttc.
En repassant des fonctious génératrices aux cwffîciei», on aura
db, Google
. DES PROBABILITÉS. 19
i:(i+i)--H.[c-)-n-- H
i.a.3.4
.(A«.^„H- A<.^„,) + etc.
Cette formule 8er( à interpola entre on nombre pair a« de quao'
tités equidfâtantes ,^«_, et j',.^ étant les deux quantités moyennes.
Elle est disposée d'une manière symétrique relativement aux
quantités également distantes du miÛeu de Tintervalle qui sépare
les quantités extrêmes : ce milieu est l'origiae des valeurs de i + ^ ,
qui sont positives au-dessus , et négatives au-dessous.
Toutes ces expressions de^y,^, sont identiques, attelles que si
Ton conçoit une couï'be parabolique dont i soit l'abscisse , et^.^j
Tordonnée, et dont l'équation soit celle qui donne l'expression
dc^,^,; cette courbe passera par les extrémités des ordonnées
>'.)j'.+.î^,+,» etc.; jt'*-i»^*-.> etc. On peut ainsi, en prenant
les difierences finie» successives d'un nombre quelconque de
coordonnées , feire passer ime courbe parabolique par les extré-
mités de ces coordonnées.
5. Supposons généralement ^i'
.t = « + ' + P + f +iè-, + ^i w
on aura
1 ^x— a b c P .
ce^ drame
1 z—a b c P .
(M-i ç( q? '^""" q?'
éliminant— du second membre de cette équation > au moyen de la
proposée (a), on aura
_- _._(^__ + 2— I- etc.
dby Google
ao THÉORIE ANALYTIQUE
Cette ex^esaktn de ^ ne ren^nne que des puissances de - d'un
ordre infmeur à n. En la multipliant par j , on aura une eiq)res-
sion de -^ , qui renfermera la puissance - ; mais en éliminant
encore cette puissance, au moyen de la proposée (a) , on réduira .
Texpression de -j^ à ne contenir que des puissances de - infé-
rieures à n. En continuant ainsi , on parviendra à une expression
de p , qui ne renfermera, qne des puissances de ^ moindres que » ,
et qui sera par conséquent de cette forme
Z , Z^'\ Z'-'^j etc. étant des fonctions rationuptles et entières de x ,
dans lesquelles la plus haute puissance de x ne surpasse pas 4'^
Cette manière de déterminer ^ serait très-pénible, si i était un
grand nombre ; elle conduirait d'ailleurs difficilement à l'expression
générale de cette quantité. On y parviendra directement de la ma-
nière suivante.
^Ifct égal au coefficient de fl' dans le développement de la frac-
tion T< Si Ton multip&e le numérateur et le déncnninateur de
cette fraction par
et si dans le numérateur ou substitue au lieu de «, sa Valeur
a -H 7 + n + etc. , on aura
>..-..(,-iy...-..(._g)^......(._^) ^,.ç,_^ ^
(i— ^.(o.l- + ».£— + et—.., + p.t + , — ..»•)
en diwaut I« nuiuératetir et le déaommateur de cette fraction
db, Google
DES PROBABILITÉS,
par X — -, elle deyient
4.8— '-t-«.8— '-l-s.B— ' + j
j + î.(c.8"" + «.9" -l-î)l
^(«•8^ + ?)'
I -t- etc.
a.fl' + b-t'-'+cB—* +p.fl4.ç_
La recherche du coefficient de 6' dans le déreloppemeDt de cette
fraction, se réduit à déterminer, quel que soit r, le coefficient
de Q' dans te développement de la fraction
a.6- + b.6—+LM— + p.i + 9 — «.*•'
Four cela, considérons généralement la fraction -?-. , P et Q étant
des fonctions rationnelles et entières de d , la première étant d'un '
ordre inférieur à la seconde. Supposons que Q ait un facteur
6— a élevé à la puissance s, ensorte que l'on ait
R étant une fonction rationnelle et entière de 6. On pomra décom-
poser la fraction - en deux autres .^_ + J , ^ ef JS étant des
fonctions rationnelles et entières de fl ; la première , de l'ordre s i
et la seconde , d'un ordre inférieur â Jl ; Car il est visible qu'en
substituant ppur ^^ et S, des fonctions de ' cette nature , avec
des coeiïiciens indéterminés j en réduisant ensuite les deux fractions
au même dénominateur , qui devient alors égal à Ç j en égalant
enfin la somme de leurs numérateurs à jP;la comparaison des puis-
sances semblables de fl , donnera autant d'équations qu'il j" a de
coefficieus indéterminés. Cela posé, l'équation
^ . B _ P
dby Google
M THÉOBIE ANALTTIQUE
^—ïï S •
Si l'on coDsidëre ^ , B,PeiR comme des fonctions rationnelles
. et entières de ô — « , ^ sera une fonction de l'ordre s — i ,
et par conséquent il ser& égal au déreloppement de -s > dans une
suite ordonnée par rapport aux puissances de fl -> a , pourvu que
l'on s'arrête à la puissance s — \ IncltisiTemeDt. Soit donc
^=a.-f-t*..Ce— *)+w,.(9— «)'+etc.;
OU aura
en rejetant les puissances négatives de d — « ; .._--,- est, par con-
eéquent, égal au coefficient de f-* dans le développement de la
fonction
ii,-f M,.t+ a..t+etc.
6— «— (
Si l'on nomme P' et R' ce que deviennent P et Jï lorsqu'on y
change d — « en t, ou , ce qui revient au même ,8 en < -f- "^ >
on aura
pi
^E=u»-f-i/,.f4-u..r+ctc.ï
partant ^^^^ est égal au coefficient de <*-' danâ le développe-
ment de
p'
il est donc «gai a
pourvu que l'on sof^ose « oui après les ^fiëreiitiatîons. Mainte*
liaot, le coefficient de ^ dans
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. DES PROBABILITÉS. 95
étant ^al à
p'
ce même coefficient dans
i.a.i (*— i).(Û'-' 'iî'.Ca — « — ()
i.a.3 (j — i).(fr-' *fl'.(*+0'*"
< étant supposé nul après les diC^entiations ; cette dernière qoan-
tité est donc le coefficient de 6' dans le développement de ._ .■.
Si Pon restitue dans P' et JR', B — * au lieu de ï , ce qui les change
«u F et Ry on aura
d"
■R.(* + 0'*\
pourvu que l'on suppose 6=3= a, après les différentiations dans le
second membre de cette équation ; la fonction
~i.a.3.... C<— ■)■"
est donc, avec cette condition, le coefficient de S'dâns le dévelop-
pement de 1« fraction ■j_ ^y.
n suit de là que si l'on suppose
Q=o.(8—«)'. (9 — «')'•('— «T- etc.,
le coefficient de ir dans le déreloppement de la fraction ^, eem
~ i.a.S (.— O.di^' •*~^C**'. («—.')'. (•—■T^Më:)
~ ..a.J....(/— O.Jf'-'''*'~'"CiS"'. (»-.)■.(•-.•)■'■ ««■/
~"i.a.3....&'— i).i*'-'"''^''(,al'*'. (!—«)'. (»-.r.«tcJ
db, Google
34 THÉORIE ANALYTIOtJE
en faisant â = « dans le premier terme ; 0 =s a' dans le second
terme ; 0 ^ «" dans le troisième terme , et ainsi de suite.
Maintenant^ soit
/^=a.(9— a).(6— i')-(6— *'0-«t«-
En développant la fraction
dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de x , on aura .
I , s. 9" , «".9" , z^.V" , ^
le coefficient de fl' dans le déreloppement de la Graction ^ est,
. par ce qui précède , égal à
l. 8^' . (8— «'y . (T^")' - «te. I
^.■a.5....(.l.).a'.Ja-'-'^"-{"^^^'-^'^J'-t'^""J'-**4i (O)
l+g,^., (8— «)\(9— •')'.etc.l
(.H- etc. J
ponrru qu*aprés les di£^entiations , on suppose fl^a dans le
premier terme j 8 == a' dans le second terme; 8 = a" dans le troi-
sième terme , etc. S'il n'y a qu'un seul Êicteur 6 — « , la fonction
renfermée entre les deux parenthèses , se réduit à ^ , S devant
être changé en a. après les diSerentiations , ce qui réduit la quan-
tité (o) à
/_.V (H-0 ■ (H-a) . (r.f3) .... (r+j^i ) i
Si daps l'expression de /^, quelques-uns des facteurs 8 — a,
6 — a', etc. , sont élevés à des puissances phis hautes que l'unité j
par exemple , si 8 — et est élevé à la puissance m ; il sera élevé à la
puissance — ma dans ^.^ et alors il feut changer le premier terme
de
Digilized
b, Google
DES PROBABILITiÉS; ji5
de la quantité (o) dans le suivant ,
_ 1 J-— 1 .
■ i.a.3. ...(nu— i).a' ' dr^' ^ «'+'.(1— *')'.(l— O'.etc. '
et dans les autres termes, il faut changer(i9 — a); dans (fl — a)".
Représentons généralement par Z^'~'\ la quantité (o) ; le coefiB-
cient de d', dans le développement de la fraction -,_' , sera
■z!"+-?Ii.« + 22.-i"+ Z2,.-ï'+ etc. ;
on aura donc pour le coéilicient de d', dans le développement. de
la première fraction de la page ai ', ou pour la valeur de p ,
+ c ■ [Z£i„+2-Z<i^+ï'.^2^4-z'. ^?i.«+etc.]
c.t2ti;.H-2-Z£U.+2'-Z'4.*.+etc.]'
"'''"• \+e.[Zil^+z.Z^J.^+z:Z^%^+eK.-il
-etc.
„-|-z.2<i„,+z'.ZM^.+etc.]i
"■ l+etc.
(^)
+îf=-.-9-[Z!;'„,-Hs.2ïï^,-H:'.Z«„,+etc.]
Présentement , si l'on dé^|ne par v .j, la quantité
a-jf.+*.T.+, +c-r.+ + j-y.-f.;
P^ V'-y^, ce que devient v-jK» lorsqu'on y change/^ dans v. y, j
P^ V'-JK-j ce que devient v'.j', lorsqu'on y change y.j, dans
4*
db, Google
s6 THÉORIE ANALYTIOtlE
V'-Jx, et ainsi de suite. Il est visible par !e n' a , que le coeflRciéht
de f dans le développement de ^, sera v'-^^h-,; en multipliant
donc l'équation précédente par u , et en ne considérant dans chaque
terme que le coefficient d« f, c'^t -à-dire » axrepassant des fooctions
génératrices aux coefficiens^ on aura
-f- etc.
H- y,^. - [c.^iV^. +e-z" « • • •■-t-î-^ïi]
-f-etc. «
+ etc.
Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison
des termes est celle d'une suite récurrente ; car il est clair que dans \
ce cas, v-j,, y*-Jx, etc. vont toujours en diminuantj et finissent
par être nuls dans l'infini.
6. La formule (B) s'arrête lorsque l'on a v'-j^. =o, r étant un
nombre entier positif quelconque ; et alors l'expression précédente
de y^ + i devient lîot^ale de l'équation aux difiërences finies
V'".jKi = o ; ce qui est analogue à ce qu'on a vu dans le n' 3,
relativement à l'équation A'.jKi^o. Supposons v-J'f=OïO«j <^
qui revient au même ^
o = a.yf+- b.y,^,-hc.y^ H- g.ji^,;
si L'on feit x nul dans la formule (J9) du numéro précédent, elle
dby Google
DES PEOBABILITÉS. 57
devient
^,=:r.-[J-^!i«-H:-Z2,«+e-ZS«.-"+î-ZÎ*']
+ ^,-tc.ZÏÏ„.,+e.ze^ +9-2iïJ
+ y.-[e-Zt'^. -H-Zia
JK*>^i j^m .^.-i senties n premières valeurs de yii ce sont les
^n constantes arbitraires que l'intégrale de l'équation v -yt = o
introduit.
La valeur àe Z^t^, est égale à
~" o..'-~.C._^).C—-'VÎî^~ «■"'"'"•Ci'— •>■(-'— •■).etc. •" ""'•
Ainsi pétant égalào. (6— «).(^-»')'(*—"")-«'<!-ile premier d«
ces termes devient
pourvu que l'on change fl en a dans -^ ; en n'ayant donc égard
qu'au terme multiplié par -j, Texpression précédente de y, de- .
viendra
H-j',.(c.a— -J-e.a"-' +5-*) /
+^.-Ce-«*"' -H-«) >.
\
En changeant successiTcment dans le second membre de cette
équation , a en a', *", etc. , et réciproquement j on aura autant de
termes qui , ajoutés au précédeot , formeront l'espression com-
plète de jt'
Nonmions k la fonction comprise entre' les deux parenthèses ,
ensorte que ce second meinbre soit — jp. Si les deux racines
dby Google
a8 THÉORIE ANALYTIQUE
d et a' sont égales, ^sera de cette forme (fl — a.)'.L. On supposera
que <x et «', au lieu d'être rigoureusement égaux , diffèrent infiniment
peu, et que Ton a «'== a-J- rfa. Alors la somme des deus termes
de yi relatife aux racines a et a' sera
rf« •(,.'"•'. I.' i^.jj'
h! étant ce que devient k lorsqu'on y change et en a'j Z, et L'
étant ici , ce que devient L lorsqu'on y change 0 en « et a'. Cettd
quantité est donc égale à
mais on a
L =
■IF'
fl devant être changé en et après les diffêrentiations. La somma
des termes de l'espression de yt , relatlEs aux deux racines ^ales
est donc
d h
TTT.' ^ ddF-
• -IF
On trouvai de la nsêdle manière , que si ^ contient trois fkcteurs
égaux , la somme des termes de l'expression de y, relatif à ces
trois Ëicteors est
d- k
1.3.1.3.3.J»'' ^. d'r'
' -w
et ainsi de suite. Z^î^ étant , par ce qui précède , le coe£Bcient
de fl' dans le développement de ^; il en résulte que j', est le coefR-
cient dé fl' dans le développement de la onction
C y..(b.r" + c.i--~ + ,)
1 +y,.lc.i— + ,.!—' + ^)
.j +^;.(..<— + ,)
a-r + H—'+cf- +p-l+q
db, Google
DES PROBABILITÉS. sg
Cette foncdoD est donc la fonction génératrice de yx oa de. la
variable principale de l'équation aux différences v -yi =; o. La
'formule {B) du n' précédent, donnera pareillement !a valeur de
yi , OU l'intégrale complète de l'équation aux différences v* ,^, =r o :
^« » V -J'o i ^. » V •>■. ï • ■ ■ -y—x » V -ym-t seront les an arbitraires de
cette intégrale^ Le cas des rarânes égales se résoudra de la même
manière que ci-dessus. On aura par la même formule , Tint^ale
des équations aux différences v'-J'i^ o, ■v*-^i^=o, etc., ce qui
montre l'analogie qui existe end'e rinterpolation des suites et Tin-
tégration des équations aux diJËTérences.
Spit^(^j^+yj, et supposons que «' soit la fonction généra-
trice de y^y et u" celle de ^*, u étant celle de y^ ; on aura
u=:u'-i-»"' Soit encore , . -
• »"=?.
X ayant la signification que nous lui avons donnée dans le n* 5 ;
et nommons Xt le coefficient de i dans le développement de A ;
on aura par le n" s ,
Maintenant on a, par le n* 5, . . >
»' (a-r+iTt— '-f-c.ï--» + 9)' »
or le coeflBcient de f*, dans ie développement du second membre
de cette équation , est égal à celui de ô'*" dans le dé velçppement de
1 ■
(a.fl- + 4.fl— '+c.fl"— ....+9)''
et par le n* précédent, ce coefficient est égal à Zftt,'; donc le coeffi-
cient de i* dans le développement de 4j »era
ou 2 . ^.Z^lz^, , l'intégrale étant prise relativement à r , depuis r=o
dby Google
5o THÉORIE ANALTnoiJE
)u»iu'àr^i— M+iiceseralaTaleordej-f.Çela posé, à dans 1>
formule (£} du n* précèdent, on suppose y' .j',=o; elle doimera,
en obsetrant que ^, ==j^ +^;,
-i-7-.j-..[Mti.+o-zt-^....+î^î:;:i.] ,
+.v".j-..[c.z£ri, . . . .+j.z._„^o
+ï.zf:>^.r^.+ î^!i^.v.r-.
• ■••+î-zii-:l,.v".r.-.
^.,' V-^.,'"V'~''^.; y,i V-ytt etc. étant les tm arbitraires de
l'intégrale de l'équation v'-^i=o, ou
or V-y'i étant égale à'XJ, cette équation devient
on aura donc , par la formule précédente , l'intégrale des équations
linéaires aux di£fêreHces finies dont les co^ciens sont constans ,
dans le cas où elles ont un dernier terme fonction de.i.
( Xilat^rale déûnie , relatiTe à r X.^ •^t^-, , peut être EuàlemeiA
transformée dans une smte d'intégrales indéfinies, relalÏTCs à i ; car
l'espresslon générale de Z'ÎZ^ est formée de na termes de la forme
'/.r^-a', /-étant une fonction de i indépendante 4e la variable r;
l'intégrale précédente est donc composée d'intégrales de la forme
J.Sr^.ctr.Xî cette dernière intégrale derani être prise depuis r nul
Diçiil zed by
Google
, DES PftOBAfiUJI^. 9$
la diffêrence d^^ étant prise en ne faisant varier qae A , et en
substituant après les dil^entiaticnia, / au lieu 4e h dana le pre-
mier terme, /' au Uea de h dans le second tenne, et ainsi de
suite. Nommons JS^^ , ^ ta quantité précédente ; on aura , à ria"
fijoiment p«tU pr^ , ft, éUiot iw aowbre âw*
D'ailleurs on a y,^^{<m) ; et la caractéristique A des diC^aees
finies doit se changer dan$ la cwao|âri»tique d des difierences ,
iofiiùpient petites'j enaorte que l'équation '"â';^- ï—'ï^j '*'' S'"* 3»''
OU , ce qm revient au même j cell&-ci
V .y.'= »"+ a? ■ ^ ■J'- + 3?!' •*>"• + «tÇ-
devieift , eu y chasgeant às^ en â» ,
v.j'.=o'+» — 3^ + c .-a;?- +î •-sir'-
L'expression cle^,+i trouvée dana le n' précédent, deviendra donc
+V.»<«r).(6".X«+»".^+ ^.^...-^■'.Çigl')
H-etc.
+etc.
+ etc.
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se THÉORIE ANALYTIQUE
Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison
des termes est celle d'une équation finéaire aux difierences infini-
ment petites à coeffîciens constans.
' Si l'on a
la formule se termine et donne la valeur de ç («-H- ar' ) , ou l'inté-
grale de l'équation diffîrentielle précédente ; ^(-w), -^^i , etc. j
V.^(ir),^^^^^,etc.; v'-^K), ^^^^, etc. étant les war-
bitraires de ' lïntcgrale. '
Supposons que l'on ait l'équation différentielle
o=v'.^C'»+«')— /"-/,
F",, étant une fonction donnée de x'; il faut, par le n* 6 , ajouter à
régression précédente de ^(i»-+a/), le terme //^r.JK^ir^^.rfr,
X^~'^ étant la même fonction de x' que X^'-'\ L'intégrale rela-
tive à ry doit être prise depuis r=:o jus^'à r := V. Cette intégrale
définie peut, parle numéro cité, être transformée en intégrales in-
définies relatives à x*.
De la tramjbrmatiûit des suites.
9. La théorie des fonctions générabices peut servir encore à
transformer les suites en d'autres qui suivent une loi donnée.
Considérons la suite infinie
j'.+y.-a+j'..»' +j'--*'4- etc.; (r)
et nommons , comme d-dessus, u la somme de la série infini*
Diç]i1zed by
Google
DES PROBABUrrÉS. ' 3?
le coefficient de ^ dans le développemeot de la fraction — ^ ,
,* t
sera égal à la somme de la suite proposée (^), prise depuis le
tecmey,.».' inplaàvement , jtisqu'à l'infini. Soit généralement z une
fonction quelconque de ^ «t nommions n .y^ . a' le coefficient de ^
dans uz. Les coefficiens de t^ dans u.z', u.i?, etc. seront n'.y^.a^,
W.yi.a*, etc. Cela posé , on multipliera le numérateur et le déno-
minateur de la fraction — — par A — z j et' Ton prendra pour *
ce que devient z lorsqu'on y &it £ égal à l'unité^ £— natradivH
sible alors par i — j. Soit
A + -7- H- >- -t- -p- -4- etc.
le quotient de cette dirisipn; on aura
■+-etc.}
ce qui donne , en repassant des fonctions génératrices aoï coefficiens,
S.y...- = i^ +i^^ + iJL^ ^ etc.
. H- "•'•^71^" + "■'■"■(^;^"'") + et..
+ etc.
Le signe'tS" désigne la somme des termes depnis x înclusiveinenl,
jusqa'à l'infini. Supposons maintenant
ï = o + j; + ^ + jp + etc.;
y Google
38 THEORIE ANALYTIQUE
on aura
n.(;y,.it-) = t'.{a.y.+ l.y,^., + c.y,^, + e.y„, + etc.).
En désignant par v-y, la quantité ay,+ tj',^.,-4- etc. j on aura
et généralement on aura
n'-Cy.-''")=«'-v'.J'.-
On a ensuite
ce qui donne
A =; +1^ + 5+ etc.,
. AW= l+;J + etc. •
*«=J+etc.
etc.j
on aura donc
, ,.^....= (i±i^^)....(..4-2f. + H-L- + etc.)
+ Sî.^-)....(r„,+ ?.^ + 21^ + etc.) .
+ (i^)....(y„. + ï^-l-ïl^+etc.)
+ etc.
En feisant x=o,(m aura une transformée de la suite proposée j
dont les termes suivront une autre loi; -et si les quantités v-J*,
V* -y- » etc. vont en décroissant , cette suite sera convergente. Elle
se terminera, toutes les fois que l'on aura v'.y^ = 0; ce qui aura
-. lieu lorsque la proposée sera une suite récurrente. On aura donc
ainsi la soname des suites récurrentes, à compter d'un terme quel- .
conque y,. a*, et par conséquent on aura aussi la somme de leurs
termes, comprise entre deux termes quelconques y,. a' et y^.,.»''.
dby Google
DES PROBABUJTES. ^
, ^théorèmes eur le développement des foTictions et de leurs différences ,
en série*.
10. Ed ftppliqn»it à des Fonctions particolières, les prindpe*
générMx £q>osé6 dans le b' i, on aiira une infinité de théorèmes
sur le développement des fonctions, en séries. Noua allons pré-
senter ici les plus remarquables.
On a généralement
Or il est clair que le coefficient de r dans le premier membre de
cette équation, est la différence rt^ *©^_,.a: variant de i ; car
ce coeffioient dans w.A — i) est^,.tj— ^,oïi'A.^,, endésignant
par la caractéristique 'A , les cUfiërcnces fitûes , lorsque x varie d»
la quantité i ; d'où il est &cile de condore que oe métaoe coefii-
oent, dans le développement de «.A — i) est 'A-.j',. lyaiHettr*
si l'on dévcloi^e "'LC^ "'"F^**) — ^J s**"***' ï^* P^ùeaances dû
^— • 1, l0s oo^cie&s de f iaxia les développemens de ''•G~'^J'
n.fj — ïY, etc. sont, par le n' a, A.y,, A-.j-,, elc.jensorteqae
ce coefficient, dans «-["(i +7 — 1) — \\ , est [(i+A.j',)' — 1]",
pourvu que dans le développement de cette quantité , on applique
à la caractéristique A, les e^osans de puissances de A.^^jCt
qu'ainsi au lieu d'une pmssance quelconque (A .j^,)', on écrive A' .y,i
pn aora donc avec cette condition,
'A-.^,= [Cn-A.^.y-i]«i (i)
Si Ton désigne par la caractérisrtrqùe 'S , Pînlégr^ âoïe , lersqoe
X varie de i ; 'l'.y^ sera, par le n" a, le coefficient de ** dans le
développement de la fonction u.(^ — 1)~*^ en fàî«ant abstraction
dby Google
4o THÉORIE ANALYTIQUE
des constantes arbitraires que l'intégration introduit; or on a
^ plus, le coefficient de *• dans «.Q — i^~' est ^'.yit eu di-
sant abstraction des constantes arbitraires ; ce coefficient dans
u.Q- — 1 j est A'.j',; ou aura donc
4- 'S-.j^.= [(iH-A.y,)'-!]-;. (a)
gouTTU que dans le déreloppement du second membre de cette
équation, on aj^Iique à la caractéristique A, les exposans des
puissances de A.^,; que l'on change les diiférences négatives en
intégrales , et que l'on substitue y^ au lieu de A' .y^ ; et comme ce
déreloppement lenferme l'intégrale 'S.'.y^y qui peut être censée
renfermer n constantes arbitraires ; l'éqoation (a) est encore vraie,
«n ayant égard aux constantes arbitraires.
On peut observer (jue cette équation se déduit de l'équation (i),
/en &isant dans celle-ci , n négatif, et en^ changeant les diffêrences
négatives en intégrales; c'est-à-dire, en écrivant '2'.^, au lieu de
'A^J', dans le tw^mier mçmbre; et généralement dans le déve-
loppement du second membre, 2'.^, au lieu de A~'.^,.
. Les équations (i) et (3) auraient également lieu, si x, au lieu de
varier de l'unité dans A.^„ variait d'une quantité quelconque »w ,
pourvu que la variation de x dans 'A .y, soit égale à iir. En efièt ,
il est dair que si dans^, onËût«= —, a' variera de -w, lorsque*
variera de l'unité ; A .y^ se changera dans A .y^, , la variation de a^
étantiT; et 'A-^. se changera dans 'A.j',,, la variation de *' étant
i<v. Maintenant si après avoir substitué ces quantités dans les équa-
tions (1) et (a)," on suppose <ar infiniment petit et égal à die'; A.^,,
se changera dans la différence infiniment petite <fy,^. Si de plus on
£tit I infini, et idx'= a-, a, étant une quantité finie; la variation
de a' dans 'A .^^, sera a; on aura donc
'A'.y.,==[ii+dy,,y-l]'i (g)
dby Google
DES PROBABILITÉS. . 4j. ;
orona
ce qui donne
c étant le nombre dont le logarithme bjperilKiUqne est Tonité ;
on a donc
'A'.>-„=(/:^-i), (?)
^' '^-■)
en ayant soin d'appliquer à la caractéristique d^ lea e^Msans des
puissances de dy^, ; de changer les di£^rences négatives en inté-
grales, et la quantité d'.j^^, en y,,. - - . . ■
On peut donner à l'équation (5) cette forme sii^^ilière qui noua
sera utile dans la suite.
. En effet, elle donne
Considérons un terme quelconque du déTeloppement de
Vc'"^— c~*'^/, Ul que <t(^)'. En. le multipliant par
c ■ , et développant cette dernière quantité , on aura
cette quantité est égale à * . — ^^— } d*où il est fedle de conclure
■ ■ ■ 6 • ■ •
,^ . bi[|i1zedbyVjOOQlC
^ THÉORIE ANAimOtE
* Si dans les équations (i) et (a) , on su[çose encore i inffiâm^
petit et. égal à «b^ on au» ' -
'A:y.= <e.y.; 'Ï-. y, = 3^ ./>,.<?«"; >
on a d'ailleurs *
(H-A.j-.)' = «'^'°«"*''"'=i+'«»-l<'8(i+A.r.); ^
les équattons'(i) et (9) deviendront ainsi
On peut obserrer ici une analo^e singoEére entre les puissances
positires et les ^if^rence», «t entre les puissances uégatires et les
intégrales. L>£quation
estja traduction du théorème çoimu de Tajior , lorsque, dans
le développement de son secQud membre, suivant les puissances
de ^ , on applique à la caractéristiqae dy les exposons de ees.
puissances. £n élevant les deux xoterabres de cette équation à la
puissance n, et appliquant aux caractéristiques ''A et d, les ex- .
■ posans de» puissances de 'A.^. et de dy, , on aura Féquation (5) ,
'd*o\i résulte l'équation (4)^ eu changeant les ^S^ences n^atirea
en iotégTïdeB.
L'-équation précédente donne ■
En prenant les logarithmes de chaque membre , on aura
..% = log(l4-'A.y,); W.
Supposant ensuite «i = i , ce qui change '^..y, dazis A.^«, et-cle-
vant les deux membres de cette équati<m , à la puissance n , x>a
dby Google
DES PROBABILITÉS. - kt
aar& l*équati<Hi (5), pourru que l'on applique les exj^o^ans dei
puissances, am caractéristiques. On aura Téquation (6), en faisant
>i négatif, et changeant les puissances négatives en intégrales.
Si dans réçutùm précédente ( r) , on cfau^ «. dans i , on
aura
'et si Ton 7 suppose a = 1 , on aura
%=loê(H-A.^.). . _
La comparaison de ces deux râleurs de -4^, donne
Ipg (l +A.^,) = log ( 1 H-'A.y.)*;
d'où l'on tire
£n élevant chaque membre à la puissance n, et appliquant les
expoeanâ des piiissances , aux caractéristiques j on aura l'équa- '
tion (i), d'où résulte l'équation (a), en diaugeant les différences
négatives en intégrales. Les équations (i), (a), (3), (4), (5) et (6)
résultent donc du théorème deTaylor, mis souslaforme de l'équa-
tion (o) , en transformant cette équation suivant les règles de l'ana-
iyse , pourvu qoe dans les résulta ts on applique aux caractéristiques,
les exposans des puissances, que l'on change les dîfilrences né-
gatives en intégrales , et que l'on substitue la variable elle-mêaie y, ,-
' au. Ken de ses différences zéro.
Cette^ analogie des piùssances positives avec les différences , et
des puissances négatives avec lés intégrales , devient évidente par
ia théorie desjonctions^génératrices^ Elle tient, comme on l'a vn,
À ce que les produits - de la fonction u , g^ératrice de y^ , par, les
puissances de ^ — i sont les fonctions géuératnces des diligences
finies successives de ^,, « variant d'une quantité quelconque i;
tandis que les quotiens de u, divisés par ces mêmes puissances,
sont les fonctions {éoératricee des intégrales de y^.
. En-coosidô'azit, au lieu du Ëtcteur^ — i et de ses puissances^
Digilized by VjOOQIC
&4 THÉORIE ÀNALTTtOtTE
les puissaiices d'une fonction quelconque rationnelle et eiHière dt
p on peut en conclure des théorèmes analogues aux précédens.
Bar. ha dérivées succesMTes des fonctions. Je nomme dérivée d'une
fonction^,, toute quantité qui en dérive, telle que a.y,-^b.y,^
+ « • j'ï-^.4- etc. En regardant ensuite cette fonction dérivée
' conune une nouvelle fonction que je désigne par^^ } la quantité
a.y^-h b.y'^^-{-e.yl^+ etc. sera, vaxe seconde dérivée de lafono-
tion\y,; et ainsi de suite. Lorsque la fonction a.y^-^ *-^«+.+ etc.
devient -r^"» ■+- ^-^i y 1* dérivée devient une difiërence finie.
Maintenant on a
„.(«H_^^J+*+etc.y
= H.[_a + i.(n-iÈ,"^l) 4-e-(i4-(4î — l) -f-etc. |j (g)
on a ensuite généralement, par le n" 3 , en désignant par -^.y, la
"quantitéa.y,+ 6-jK* + .+c.^,+.H-etc., v".^* pour le côtoient
de la fonction génératrice du premier membre de cette équation ;
de. plus on a
Le second membre de cette éqi^tion est la fonction généra-
trice de
r.+ r/é4.^.^+eta,
OU de c '^ j en appliquant à la caractéristique d les exposans des
puissances de ^, et écrivant y, au lieu de C^J . De là on conclut
que sous les mêmes conditions , le second membre de l'équation (j)
est la fonction génératrice de
La+Ô.c'^+e.c *^ + A.c*^ + etc. Ji
et qu'ainsi cette équation donne, eu repassant des fonctions gêné*
dby Google
DES PROBABILITÉS, 45
ratrîces ans coeffiàens y
a^b,c^'-^e,c^-h h.c '^ +etcj . (7)
On petit ainsi obtenir nne infinité de résultats semblables. Nous
nous bornerons au suivant , qui nous sera utile dans la suite.
w.^-^— V^^ pstla fonction génératrice de
OU de A'. y ^. De plus on a
d'où l'on tire, en repassant par l'analyse précédente, des fonctions
génératrices aux coefficiena.
il. Je n'ai considéré jusqu'ici , qu'une seule fonction j^, de « •
mais la considération du produit de plusieurs fonctions de la même
Tariable , conduit à div^s résultati curieux et utiles d'analyse. Soit
I* une fonction de (, ety, !e coefficient de f dans le développe-
ment de cette fonction; soit »' une fonction de /*, et^^ le coeffi-
cient de ^' dans le développement de cette fonction ; soit encore u"
une fonction de ï", et y° le coefficient de if'' dans son développe-
ment ; et ainsi de suite. II est clair que j-, .y^ .y\ . etc. sera le coeffi'
cient de i* . **' . f^*" . etc. dans le développement du produit u. u'. «". etc. ;
ce produit sera donc la fonction génératrice de j'.-^^.j'^.etc. La
fonction génératrice de ^-+.'ri+,-J'^.»etc.— ^,.^;.^;.etc., ou d«
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«6 THÉORIE ANALTTIOtlE
et la fonction génératrice de A". ^,,^\^\ etc. se^ ' i
.U.ul.^".etC.Qy-^-l):
On prouvera, conuoe dans le nr a, que U fonction jgéoératnoé de
"•"'•""•'««•C-Tnrs::-')"''
c'est-à-dire que Yoa peut {^langer n en — n àasa ht fonction géné-
ratrice de A'.^,.^\etc., pourru qae l'on change A~" dans 2".
Appliquons ces résultats à deux fonctions^, et^^. La £>ncti<»i
■ génératricedeA".^,.^^8erâ«.«'/-^-s-iy. On peut la mettre sous
cette forme
en la développant , elle devient
„,,|(r-')+rG-r'G-')
les fonctions
»,»'.(! -i)"i «.«'.i 0- »)" -G- 0' "•"'•? (f- ')""'-G-0'i "=■;
sont respectivement génératrices desproduit3j''.A"^, ; A.^^. A""'j)',^,;
A* .y^ . A"-' .>■*« ; ^c. L'équation
"'■-''fe-')=-'C(r-0+?-G--0""- (?-0+«-]
donnera donc , «n repassant des ^mctioiis génératocea aux
.oocSicieas ,
;4V^'.A-.y.A--.^„.+ etc. (8)
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SES FUCBâBIUTES. 4?
£n changeant n dans — n , on aura
+ia2±i>.AV:.2'*".r.:i-.-etc. (9) -.
En général, on a
= ".«'.K^etc.[(l + i-i) . (i+j - 1). (1+^ -i).etc.-i]";
ce qui donne , en repassant Qes ftxicttous génératrices ans coeP-
+■ A".^..X.^:.elc.= [Ci+A).Ci4.A').(i+A'0.etc.-i]'î fio)
. pottTYU qMC dans chaque tetmc du développement du second
membre do cette équation , on place ûnmédîatembnL après chaque
caractéristique A , A', A", etc. , respectivement^,, y_^, y\ , etc. , et
qu'on multiplie ce terme jiar le produit des fonctions dont il ne
contient point la caractéristique. Ainsi dans le cas de trois variables,
on écrira, au lieu de A', la quantité ^\^2'^'-X'>*'^^®" ^« A'. A''',
on écrira ^^.A'.j', .A'',^^ ; au lieu de A'''. A"-*, on écrira
y,.A''.^^. A''.jv; et ainsi du reste.
En feisant » négatif, f équation (1 o) subeiste encore , pourvu qa^
Ton c^nge les diâërences négatiTes en intégrales.
Dans le cas des différences infiniment petites , les caractéristiques
A , A', A", etc. se changent en rf, c?, d", etc. L'équation (10) devient
ainsi , en négligeant les difiërentieUes d'un ordre supérieur, relati-
vement à celles d'un ordre inférieur ,
*^'>'<-rl-rI-«'c. = (d + (f+^r'-^- etc.)".
Cette équation dével<^^>ée donne , relativement à deux, fonctions
■ En Ëkisant jv négatif, les diS^ençes négatives se changeant en in -
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48 THÉORIE ANALYTIQUE
tégrales, on aura
On a
=a.a'.B".etc£(i -f- 1 -i- 1 V/i 4- p ^ 1^ ^1 4- i, — i) . etc.— i J;
en désignant donc par 'A*.j',.^^.^*.etc. , la difiërence 6nie du pro-
duit ^,.^^.^i. etc., lorsque X varie de i;Téquation précédente donr
sera, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens ,
'A".j'..j':-^:-etc. = [(i4-Ay,Ci+A')'-CH-A7-etc.— i]' j (ii)
en observant la* cuudlUons prescrites ci-de.<tsufi relativement aux
t;aractéri9tiques A , A', A", etc. y et à leurs puissances. Cette dernier^
équation subsiste encore , en faisant n n^atif , pourvu que l'on
change les différences négatives en intégrales,
0uppo9on9
■ y' y y* ) ^''^- cleviendront des fonctions de y, que nous désignerona
pv^sf» y'^y etcj, l'équation (ii) donnera ainsi la suivante, en
observant que les caracténstiques A, A', etc. se changent en c/,
(2', etc. y et que l'on a
équation qui subsiste encore en fanant js n^atif, et changeant les
dâërences ftégatives en intégrales.
Ne considérons que deux rahables yi et y', , et supposons
y^^p'j on aura
(i+4')'=/r4-.-.û./,'+i:fci2.i..^+etc.i
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DES PR0B.S3ILITÉS. 4^
or on a généralement, x variant de TuDité ,
on aura donc
L'équation (ii) deviendra ainsi
'A-.^.^,=/,-.iy.(i+A.^.)'-i]"; (15);
en Élisant n négatif, on aura
'ï:p:y.=^^ ^,^^^^^,_.-,.+ a.»"+i.r"+etc.; (i4)
te , ft , etc. étant des constantes arbitraires dues à Fintégration n
fois répétée de jt* .y^. J'ajoute ici ces constantes , au second membre .
de réquation précédente ; parce qu'eUes ne sont implicitement ren-
fermées dans son premier terme , que lorsque ^ = i .
SA l'on Mt dans les deux équations précédentes , x ^ xy-;
iss^;p^ iH-d»'.log h; on aura
'S,'.h''.y^ = - ' X. =P -h«'-«'^'+»'.*'"-+ etc. (i6)
Si dans les équations (i3) et (i4) , on suppose j Infiniment petit
ef égal à tbi;'A', p'.y, se changera dans dr.^.y,^ et'S'.p'-Xm
se changera àans ^ ./'.p'.y, . ds^ i on aura ensuite
on aura donc
.■[y.(l + â.^,)'-l]- = d.^.llog|j,.(l+A.^,)]J-;
elles équations (i3) et (i4) deviendront
"'Ï^^'-=P-- il»8 O- ('+A-^.)]Î- ; (>7)
7
db, Google
Co THÉOfin: ANALYTIQUE
CHAPITRE II.
Oes JhnctioTM génératrices à deux variables.
19. JMoHHONS u une fonction de < et t*; supposons ipi'en la
développaiLt suiyant les puissances de < et <*, ^e donne la suite
infinie
y.,. +y,..-t+y.,.-e--+yi..-f -b-^*.,.-*"' -h)'.;..*"
+y.. . ■<■¥}■.,, ■ <.<'4v^. ■«■•<'-+r.,. ■ f- <'-b-.-e.,.-'"'-''--b'. ,.■<"■''
le coefficient de- f.i^ 8era^,,„j u aéra donc la fonction géne-
ralrice dey,, ^.
Si l'on désigne par la caraetéristiqae A , les diflEërencos ISnies ^
lorsque x seul varie de l'unité , et par la caractéristique 'A, les
différences lorsque x' seul rarie de la même quantité ^ la fonction
génératrice de A.j^,,^ sera, par le n'i, u.(j — ij»et celle de
'A.y.i/Seraa.Q — i) ; tfoù il «»t Sicile de conclue que la
fonction génératrice de ùt.'^'.y,^ „ sera» .Q — ij ., ^4 — i J .
£n général- si l'on désigne par v .y,,^ la quantité
■^■y.,u + B.y,^.,,„ + C.y.^.,,^ +ete.
+ B'.y.,,^,-i-C.y.^.,,^,.+tic.
+ C'.y,,.,^.. 4-etc.
+ etc. ;
Si l'on désigne pareiEeinent par v'.yi , , une fonction danalaqnelle
lOOgle
DES PROBABILITÉS. 6i
V-y^.i' entre delà même manière que ^,_„ dans v*y«',»f»sil'on
désigne encore par v^.y, , „ une fonction dana laquelle v'-y- , •' entre
de la même manière que yj^ ,, dans v -y^, */» et ainsi de suite ; la
fonction génératrice de v'-j'.,.' sera
H-? + ê+etc|.
4-Ç+etc.l
+ etc.j
partant, la fiMOtctioa géorâtttrice de A'/A^.v'.^.,^ sera la fonction
génératrice précédente, multipliée par Q~~.i^.Q — i) .
« étant supposée une fonction quelconque de ~ et de 4; si l'on
développe a' suivant les puissances de ces rariables , et que Ton
désigne par yrjmTy un terme quelconque de ce développement ;
le coefficient de (".<'•' dans -,'"y étantt.j',+„,„^.^, on aura celui
de i". ^'' dans «.«', ou , ce qui revient au même, on aura v'-j'*,;/»
i'. en substituant dans s, y, au Ueu ^j,xî, au lieu de h ; a*- en
développant ce que devient alors u.a' suivant les puissances de^,
et de y„ , et en appliquant respectivement aux indices « et »' les
esposans de ces pmssances , c'est-à-dire en écrivant au lieu d'un
terme quelconque, tel que * • (j'*)"- Ck*/)^! 't-j'«+«, */+■/, et par
conséquent t.y, ^ au. lieu du terme tout constant i, ou
i-ir-'Y-iy^»)'-
Si au lieu de développer *' suivant les puissances de j çt de p,
on le développe suivant les puissances de i — i et de p — i , et que
l'on désigne parit.Q — ij .Q — i\ un terme quelconque de
, ce développement; le coefficient de f. «'''dans *.a.Q— iV. A— i)
étant i.A".'A"'.^,^^j on aura v'r*,-'» i*. en substituant dans s.
dby Google
54 THioAlE ANALYTIQUE
û.j-,,i, au lieu de j- — J , et 'A.^,,^ au lieu de p— ija*. ende-
reloppant alors s' soiyant les puissances de A.^,,,/ et 'A-j',,x/;
.et en appliquant aux caractéristiques A et 'A, les exposans de ces
puissances , c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelcon^e,
tel que it.(A.j',,„)".('A.j^,,„)-', celui-ci *. A".'A"'.y,,«; et par
conséquent*.^,,, au lieu du terme constant k.
Soit S la caractéristique des intégrales finies relatives à x , et
'I celle des intégrales finies relatives à x'; soit de plus z la fonc-
tion génératrice de £'.^''.y,,ir, on aura «-(r- — ')'0~~ 0 P**™^
la fonction génératrice de y, _ ,,. Cette fonction doit , en n'ayant égard
qu'aux puissances positives ou nulles de t et de ^, se réduire à u; ou
aura .ainsi, par le n' a ^
-(r-')'G-')=''+T + ? + ?••■■■+?
OfhyC pétant des fonctions arbitraires de /',eta', J', c',... .g'
étant des fonctions arbitraires de t; partant
De l'interpolation des suites à deux variables , et de l'intégration
des équations linéaires aux différences partielles.
i5. j-ï+i../^.)/ est évidemment égal au coefficient de f.f^ dan»
le développement de ^yp ; or on a
,^ = «.(i+f-.)'.(i+J-i)';
on aura donc par le numéro précédent ,
db, Google
DES PROBABILITÉS. «3
en développant le second membre de cette équation, on aura
j-.*,. "^^ =.>'.,«+■■■ -i •.y—' + ^^ir^-'^"- y-" -•- «"=•
4t/.'A.j'..„+ i.i'.A.'A.j',,» + etc.
+ etc.
Supposons maintenant qu'au lieu d'interpoler suivant les dififê-
rences de la fonction _y,_ ^ , on veuille interpoler suivant d'autres
lois. Pour cela, soit
z = ^ + j- + y-+^+^tC-
rt-T + & + K?+^-
+ 7r + r^-*-«'c-
-f-etc.
^ Ton Ëiît
-/+y + Ç.+ ^ + etc.=a;
C-{-y -f-etc. =:cj
etc.;
on aura pour r nue expression de cette forme
Nous supposerons ici qae le coefficient / de la paissance la phi»
élevée de - est constant ou indépendant de £*, et que cette puis-
sance est égaie ou plus grande que la sonune des puissances de
^ et de p dans chacon des autres termes de z. U est fedle de^
dby Google
S4 THÉORIE ANALTTIQUE
condore de l'cquatiou précédente , comme dans le n' 5, les valeurs
successives de ^^ , jj^ , ^^ , etc. , en fonctions de a , 6 , c , etc.
et z ; et il est visible que dans chaque tenne de l'expression de
2,Ia puissance laplus élevée de ~ sera moindre que /t, etla somme
des puissances de j- et de ? ne surpassera pas i.
Considérons maintenant la formule (A) du n* 5, et supposons
qu'en développant suivant les puissances de p , la ^lantité
i-ZÎ^+. -H àz.Z^^^, + etc.
+ c.2ii^ + cr.ZÎ:?^-H etc.
4-fi-ZÎ-^ + ez.Z%^-h etc.
H- eta ,
on ait
lH-i- 7V:.* + etc. 4-p. ( J)^'M--;V*'>.«+ etc)
H-^.(^->+iVt'î.s+etc.)....-fi^.Jlf«ï
les puissances ultérieto'es de 4 disparaissent d'elles-mêmes dans
ce développement , ptùsque l'ospi'esslon de -i ue doit point les con-
tenir. Supposons pareillement qu'en développant la quantité
c-2^+cz.Zîi.^,H-etc.
H-«.2^ + «.za^.+etc.
4-etc.,
on ait
Supposons encore qu'en développant la quantité
4- etc.,
dby Google
DES PROBABILITÉS,
et ainsi de suite. La formule (Â) du n" 5 donnera
i, = Jir+N.z+M.
+ f . (^<''+ iV<'' . I + etc.)
+ i.(JH<«+iV<'>.i+etc.)
M.+N.-z + etc.
, )+.J.(jM,'''+iV.'''.i+etc.)
,M.+ H..s + eb:.
)+ p . (^/.'''+ ^." . z + etc.)
l+T^^-M^
( .af„H-JV_,.z + etc.
Cela posé, si ronn(»iuae v^y,,„ la quantité
^■y,,„+B:y.+,,.,+C.f,^.,,^ + etc.
■i-C'.y.,.,^ + etc.
+ etc.
y Google
56 THÉORIE ANALYTIQUE
le coefficient Ae t^,t^ dans le développement de 7^ sera, par. le
numéro précédent, ^.y,^,^,,^^,; l'équation précédente donnera
par conséquent, en la multipliant par u , et en passant des fono:
tions génératrices à leurs coefficieus ,
jtf.j'..«+]V.V-^..»4-etc.
|+J»<''.^„.,„+. + JVj". v-J'.*.,«*.H-etc.
Jf^,.j-.+;_,,./+iV,_..7-^.+.-.,«+etc. •,
li. Si l'on suppose ^.y,;„s^o, Féquation précédente donnera,
en y Élisant »;so,
+J»r,.r.,.AfiH?".j',,„H.,+^,<V..»«-+^'"'-j-..«-M-.-
+ JKU. .y.-. ; .At-JlfS .r— ;.v. .+j»t'r'"' -^^i , .--M-.*..
'JU^'\ M^\ M^^, etc. étant dés fonctions de i et de r. L'expression
précédente de ^, , ^ peut être mise sous cette forme tiés-^imple, '
rintégrale
Digilizedby VjOOQIC
DES PROBABILITÉS. 5,
l'intégrale étant prise depuis r=o jusqu'à r=: i + i par rapport
au pi;emier terme, depuis r= i jusqu'à r^i •+■ i par rapport au
seeond terme, et ainsi de suite. Cette expression de _y,,„ sera l'inté-
grale complète de l'équation v ..Ti , v = o , ou *
o = -*-j'i,«+jB.j'h-i,» + C-j'i+',« — • ■• + ''yn--,-
+ B'o;,.,^.+ C.y,„ ,„„
+ G";y,,„„.
n est visible que ^,7?/, y,;î» »y.;î',. ••■..ri-i;*» sont les n fonc-
tions arbitraires qu'introduit l'intégration de l'équation v •j,,t/=o.
Four les déterminer , il faut connaître immédiatement, ou du moins
pouvoir conclure des conditions du problème , les n premiers rangs
verticaux de la table suivante :
y-.-
y>,.---
■yi,., yu-.,.
■yi,.< yu-.,.
(Q)
y-.-" y-.
y;f-i-<ty-.
'^.1» yS,al+l'
,., yi^,.i,..^
yw-.,
••.r...
. Dans un grand nombre de problèmes, les n premiers rangs ver-
ticaux sont donnés par deséquations aux différences finies linéaires,
et par conséquent par une suite de termes de la forme A.p^.
Supposons que l'expression de j',,„ contienne le terme ^.^; la
partie correspondante de^i, ^ donnée par la formule (A) sera
■><.i>"'.(.W+ .»/«./)+ «'■'.;)• -f.J!f».y);
mais la fonction
U-\ — -1- + -JI--
est le développement de
6.z!i',„-4-c.z£i,
db, Google
58 THÉORIE ANALYTIQUE
suivant les puissances de ^ ; en changeant donc dans cette der-
niàre quantité, 4 en /», et nommant P ce qu'elle devient alors;
on aiura A.P.p^ pom- la partie de^j,, qui répond au terme
A ' ff'. Il suit de là que si la valeur de ^.,^ est égale à
A-;^ -\-A'.p"''^A'.p"''-^t%c.,eX que l'onnommeT", P", etc.,
ce que devient P, en y changeant^ dans p\ p"t etc.; on am-a pour
la partie correspondante de^j „,
A • r.p^-i- A'. j^.p>''+^'.p".p""-i- etc.
On trouvera pareillement que si la valeur de^,,^ est exprimée
par^. jf^H-J5'.5''^+i5". /'' + etc.; et sil'on nomme Q^Q', Q", etc,
ce que devient la quantité
c-Zli+.+ e-Z[!iU»H- etc.
lorsqu'on y change saccessirement p en ^ , q', g", etc. ; la partie,
correspondante de^j,,/ sera
^. 0-?*'+ ^.<2'.?'''+ ^'. 0".?""+ etc.,
et ainsi de suite. La réunion de tous ces termes donnera l'expreà-
sion de ^, , ^, la plus simple à laqueOe on puisse parvenir.
i5. La valeur deyi,^ donnée par la formule (X) du nmnâ'o
précédent, dépendant de la connaissance de M^^, J''/,''"'*) etc. ; il
est visible que ces quantités seront coimues , lorsque l'on aura
le coefficient de ^, dans le développement de Z^°^ ; tout se réduit
donc à déterminer ce coefficient. On a par le n' 5 ,
7(0 i
"* — a. «<+■.(«-*'). C—^"). «te.
— etc. ,
dby Google
DES PROBABIUTÉS. 69
a , a', aJ'j etc. étant fonctions de p. Si l'on feit ^ = « , et que l'on
^ffîrentie Texpression précédente de 2f°^ , n fois de suite par rap-
port à « , on aura avec l'équation précédente , n-i-i équations ,
au moyen desquelles , en éliminant les puissances indéterminées
^i+T) ;^ y ;^ ) etc. , on parviendra à une équation linéaire entre
Z^'^ . -3^, "3ïr-ï etc. , dont les coefficicns seront fonctions de ce ,
«', *", etc. , et de leurs dilfêrentielles prises par rapport à « ; or
il est clair que « , <t', «", etc. doivent entrer de la même manière
dans ces coefliciens que l'on pourra ainsi obtenir en fonctions ration-
nelles et entières des coefficiens de l'équation qui donne les valeurs
de a y a', a", etc., et des différences de ces coefficiens, et par
conséquent en fonctions rationnelles de s. £a faisant ensuite dis-
parMtre les dénominateurs de ces fonctions, on aura une équation
linéaire entre Z^"^ et ses différentielles , équation dont les coeffi-
ciens seront des fonctions rationnelles et entières de *. Cela posé ,
considérons un terme quelconque dé cette équation , tel que
*.«". — ^-é~> et nommons ^,le coefficient de rr, dans le développe-
ment de Zf^ suivant les puissances de pj ce coefficient dans le
développement de Jt . «■ . ■ ' sera
*-(H-/*— ni).(r-H/t— TB— l).(H-/*— m— 93 ('*-'n-f-i)-V^_„.
En repassant ainsi des fonctions génératrices à letnrs coefficicns ,
réquation entre Zΰ' et ses difKrences , donnera une équation entre
K 1 \+i y etc. y dont les coefficiens seront des fonctions rationndles
de r, et dont l'Intégrale sera la valeur de \.
n suit de là que l'intégration de toute équation linéaire aux
différences finies partielles , dont les coefficiens sont constans ,
dépend, 1°. de l'intégration d'une équation linéaire aux différences
£1:1^8 dont les coefficiens sont variables ; a", d'une int^;rale définie.
dby Google
6o THÉORIE ANALTriQUE
L'intégrale définie dont dépend la valeur de y,;,/ dans la formule
(X) est relatiye à r, et doit s'étendre jusqu'à r = »-4-i.
Relativement à l'équation aux d^rences partielles du premier
ordre
o — M.y,^„ + S .-y,^, , .,
on a
+ ^'-^.,.'^..
on a de plus
a = A + B'.s,
ce qui donne
Z',=.-ij±-^:
d'où l'on tire cette équation différentielle
ce qui donne l'équation aux différences finies
on a ensuite
La formule (A) du numéro précédent deviendra donc
L'intégrale finie étant prise depuis r = o jusqu'à r = i. Cest l'in-
tégrale complète de l'équation précédente aux diffêreuces partielles
du premier ordre.
L'éqoatiou aux diflfêrences en A, donne en Tintégrant ,
^ _fl.i.Ci-i).(i-a) (i-r+i) B"
^ i.3i....r 'Â' '
H étant une constante arbitraire ; et le dénominateur étant l'unité^
lorsque r est nul. Pour détcroùner cette constante, ou observera
dby Google
DES PROBABUITÉS. fii
que le coefficient indépendant de p dans 2Î'^ est — f_:_ff^i > c'est
la valeur de Xo , et par conséquent de H; on aura donc
En passant dii fini à l'infîniment petit , la méthode précédents
donnera l'intégrale des équations linéaires aux dififêrences infini-
ment petites partielles dont les coefficiens sont constans, i*. en
intégrant une équation linéaire aux différences infiniment petites;
9*. au moyen d'une intégrale définie. Mais ce n'est pas ici le lieu
de m'étendre sur cet objet que j'ai considéré ailleurs arec étendue.
On doit Ëdre ici une remarque importante relative au nombre
des fonctions arbitraires que renferme l'expression générale de
^, „. Ce nombre,' dans la formule (A) du numéro jprécédent , est
égal à n i mais il devient plus petit dans le cas où la valeur de x
du n" i3 ne renfermant que des puissances de ^ moindres que n ,
la plus haute puissance n' de ^ a un coefficient constant ou indé-
pendant de j. Alors en suivant l'analyse précédente , et détermi-
nant à son moyen la valeur de pp-, comme nous avons déterminé
celle de ^ j'en repassant ensuite des fonctions génératrices à leurs
coefficiens , on parviendra à une fonnule analogue à la formule (A) ;
seulement, l'intégrale définie, au lieu de s'étendre jusqu'à r^:ï-f- x,
devra s'étendre jusqu'à r=s«'-4-i. Cette nouvelle e^nression de
^j,., , ne dépendra plus que des n' fonctions arbitraires _yi,, , ^i, , ,
^,,„....j'j,„_, ; et tandis que la première suppose la connaissance
des n premiers rangs verticaux de la table (Q) du n* i4 ; ceUe-<^
n'exige que la connaissance des n' premiers rangs horizontaux de
la même table. Ainsi les n fonctions arbitraires y,,^yy,,^t
y^.wi-,"- -y^-x , ^ de la formule ( x ) n'équivalent qu'à n' fonctions
arbitraires distinctes. En effet, T^piation proposée aux difiërences
partielles, donnent , ^au mojendes valeurs de ^et,, .^Xi^ï,.,— ^ttr. .'-.»
r étant un nombre entier. Elle donne pareillement^! , ,,^, au moyen
dei'jir,,, j'j^,, ,,..,. j'j±,, il/, et éliminant j'i^,,,, au moyen de
dby Google
6s THÉORIE ANALYTIQUE
6on expression , on a^,,„^,aumoyeude jj±,,,,^j:s,,ï,...^,3;f,„_.;
en continuant ainsi , on voit que l'expression généraje de y, , „ ne
dépend que des arbitraires ^i±,,. ,.^id:,,„ ^i±,.»/-i; on peut
donc , au moyen des n' premiers rangs horizontaux de la table (Q),
former tous ses rangs verticaux qui sont , chacun , des fonctions
de »*, dans lesquelles i est invariable.
En passant du fini à l'infîniment petit, on voit avec évidence ,
que le nombre des fonctions arbitraires des équations aux diffé-
rentielles partielles , peut être moindre que le plus haut degré de
la différentielle dans ces équations.
16. Quoique les formules données dans les n" i5 et i4, aient
une grande généralité , il 7 a cependant quelques cas qui n'y sont
pas compris. Ces cas ont lieu, lorsque l'équation 2=0 donne
f expression de ^ en ^ par une suite infime , ce qui arrive toutes
les fois que la plus haute puissance de j est multipliée par une
fonction rationnelle de p. Pour avoir alors régression de y^ , „
en termes finis j fl est nécessaire de recourir à quelques artifices
d'analyse que nous allons exposer , en les apfdiquaut à l'équation
suivante ,
■\-c; (a)
Cette équation donne
par c<mséquent
En développant le second membre de cette dernière équation , et
repassant des fonctions génératrices aux coefficiens , on aura l'ex-
pression de ^, , ^ ^ car cette quantité est le co^tLcisut ^<^e.i' dans
dby Google
DES PROBABILITÉS. 63
t-t' dans un tenue quelconque du développement du second membre,
tel que « . -^ , est v'' • ^. , .'+r ^V-y*,^ étant le coefficient de la fouc-
tion génératrice u.z, coefficient qui est ici égal à
^.^.,,v+.— a.^,,^+»— i.j'.+.,„— c.^,,.,.
Si l*on a o = V •>■» , ^ ) les cœfficiens des termes affectés de z dispa-
r£^out; et alors on aura l'expression de j',,,, en fonction de
y^.t'i J'.,«'+«) ^.,.'+.) etc. i Cette expression sera l'intégrale de
réquation
Pour avoir cette expression, t peut être considéré coiome nul,
puisque Ton ne doit avoir égard qu'aux termes indépendans de c j
réquation (a) devient ainsi
i a h
o=,-p-p---Ci
c'est ce que }e nomme équation génératrice de l'équation {b) aux
diffîrences partielles. Eu éSk^t , on obtient cette dermére équation
en multipliant la précédente par u , et rq>as8ant des fonctions gé-
nératrices aux coefficiena.
L'expression que l'on obtient par l'analyse précédente pour y, , ,,,
est une suite infinie. On parviendra de cette manière à une expres-
sion finie. Reprenons la valeur de -77-7? » et donnons-lui cette
forme
» "■G-'+0''-Q+°'+°-(f->)J
Si l'on développe le second membre de celte équation , par rapport
aux puissances de è ^ & , on aura
i^=«.{0-«)-+y.«4_»)-'-+£:^.*..('_»)--+.tc.}
^ ja'4.x.(c+«6).^+ï:fc>.(c-H.})-._ïîl-+etc.j.
db, Google
64 THJÎORIE ANALYTIQUE
Soit
f<'>=y.«.o'+«.(c+os).o— ',
r">=î^;^P^.J'.a'+«'.i.i.(c+a6).o— +î;^ï=^.(c+«S)'.o— ,
1.3.3 ' 1.9 ^ '
etc.;
on aura
f r.0 -if+r'-'\(^ -b)''"+F».(f _ j)"-"...+^m1
Or réquation
1 â i
" e + 04"
partant
" _ I ^•(?-»)''+'""-0-O"*' + ^"^ )
Four repasser maintenant des fonctions génératrices aux coeffi-
ciens , noua observerons , i '. que le coefficient de r . ('* dans p— .? »
est^,^,, î 3'. que ce même coefficient, dans un terme quelconque,
■tel que u.Q — b)\ ou u.B'.Q^ — i)', est ô'.'A'.(î^), la carac-
téristique 'A des dififêrences se rapportant à la variabilité de x\
et cette rariable devant être supposée nulle après lea diffêrentia-
tioQS;
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. 65
tionsi 5'. que ce coefficient dans u.(j — aj, est a'. A'. ^^^), la
caractéristique A se rapportant à la variabilité de r , et cette va-
riable devant être supposée nulle après les differentiationsj on aura
^onc avec ces conditions ,
c'est i*intégrale complète de l'équation (b) aux différences partielles.
Il est clair que cette intégrale suppose que l'on connaît le pre-
mier rang horizontal et le premier rang Tertical de la table (Q)
du n* i4.
17. L'expression précédente de^,> offre cela de remarquable,
savoir , que les caractéristiques A et 'A des di£fêrences finies , ont
pour exposans , les variables x et x!. En voici un autre exemple.
Considérons Téquation aux différences partielles
os=A\j'.,.,+ ?.A"-'.'A.j',,,,-h^.A— .'A'.^,,:^-4-etc.,
la caractéristique A se rapportant à la variable x dont l'unité est
la diflférence , et la caractéristique 'A se rapportant à la variable x'
dont a est la diffirence. L'équation génératrice correspondante sera ,
parle numéro précédent,
Cette équation donne les n suivantes
db, Google
66 THÉORIE ANALYTIOUE
î j î'j 9"ï *tc- «t^ui' Iw » racines de l'équation
o = z'— a. z*-'+ *•«""'— etc.
L*équation
donne
l-h etc. J
£n rt^iaasaid, des fonctions gén^atrices aux coefftcicsis , <m aura
y. (-a)-.{!;.^,^^_.«.^ .(, H-£).^„.^,_„+etc.}.
Le second membre de cette équation peut être mis son? la
forme"
G+=)'*'(-D-'--C(^)V..j
£n désignant donc par la fonction arbitraire ? ( «' ) la quantité
(7+"} 'y '.''y l'«^ression de j'^,,, deyiendra
.+^
Cette valeur satisfait donc à l'équation proposée aux difTéreuces
• partielles. Il est visible que chacune des racines 5', ç", etc. , fournit
une valeur semblable, dans laquelle on peut introduire une autre
arbitraire. Nous désignerons par ?,(«'), ?,(jc'), etc. ces nouvelles
arbitraires. lia réunion de toutes ces valeurs satisfera à l'équation
proposée , parce qu'elle est linéaire , et cette réunion en sera Tin-,
tégrale complète qui est ainsi ,
y Google
DES PaOBABILITËS. 67
Si l'on suppose * in&iiment petit et égal à d»'; si l'on observe
â'ailleurs que
; (-^;^=<^.
conune il est iàcile de s'en conraincre^ en prenant les logarithmes
de chaque membre de cette équation,' on aura
. ^.;„=i.(-,^(é:^)+/.(_,')..(±*p)+e,c,
i^est l'intégrale complète de l'équation aux difiKrences partielles
fimes et infiniment petites,
Toutes les équations aux différences partielles que nous avons
0xamiiiées jusqu'ici , n'ont point de dernier t^rme indépendant de
la variaUe [urincipale. Si elles en aTaient , on j aurait égard, et
l'on intégrerait ces équations par la méthode que nous avons
donnée pour cet objet, relativement aux équations aux simples
diffêrences , et qu'il est Ëicile d'appliquer aux équations à difTérences
partielles.
Théoràmês sur le âéveloppement en aériea > déê fonùtiona de
plusieurs variables. .
iS. Si Ton applique aux fonctions de plusieurs rariables, la
méthode du n* 1 1 ; on aura sur le développement de ces {onctions
en séries , des théorèmes analogues à ceox 4ti n* lo. Considérons
dby Google
68 THÉORIE ANALYTIQUE
la fonction génératrice u . Q ^ ',— jT, et donnons-lui celte
forme ^
u étant supposé une" fonction de <, /', (", etc. , dans le développe^
mentdelaqueUe j*^ yy, ,^ est le coefficient de /■Y*', ("''.etc. Ce
coefficient dans le déreloppement de u . [■ , A—- iT sera
A"._y^ ^ ^, ^j^ , «, «', «", etc. étant supposés varier de l'unité dans
^i *- *• «K.- ^^ même coefficient, dans le développement de la
fonction génératrice
sera
'A'."A''/"A''.etc.j',_ ^_ ^_ ,^ ,
les caractéristiques 'A, "A/''A, etc. se rapportant respectirement
aux variables x, x', x", etc. j on aura donc , en repassant des fonot
tions génératrices à leurs coefficiens,
A .j',.,'. ,.,«.- ^ ^ (i-h"'A.j',.:^,^,c...).etc.-i i *
pourvu que dans le -développement du second membre de celte
équation, on applique aux caractéristiques 'A, "A, etc., les expo-
sans des puissances de 'A.jyi.a/.i'.etc.j "A.^/i.jr-,,', «c. ,etc.
£n changeant n dans — n , la même équation subsiste encore ,
pourvu que l'on change , comme dans les n" lo et 1 1 , les carac-
téristiques A, 'A , "A , etc., lorsqu'elles ont un exposantnégatif , en
intégrales finies correspondantes, les signes £,'£,"£, etc. étant
les caractéristiques des intégrales, correspondantes aux caractéris-;
tiques A , 'A , "A , etc. des différences.
Il est clair que '*-\jr7p-p!t^ i T est la fonction génératrice
de la différence finie n'f"" de ^j, y, ;(•,,„., «variant de i,«' variant
de i'j «" variant de »% etc. ; or on a
dby Google
DES PROBABILITÉS. 69
"•CTrô''3r->]'=="-CC+?->)'-0+?-0''-0+?-0''-'''^-O"-
en désignant donc par A la caractéristique des différences , lorsque
X varie de i , ^ de *', x" de »", etc. ; et par 2, la caractéristique in-
tégrale correspondante , on aura
2" -r,, ,', ^, ^. = [:c.^l.j^^^^^,-,„.)i.c.-Kû.j.,^,,^,.,^y..tc._0- •
pourvu que dans le développement du second membre de ces
équations , on applique aux caractéristiques 'A , "A, etc., les expo-
sans des puissances de 'A .fr, ^, x; «te. » "A ./■,, y, i-, «te. , etc. , et que
l'on change les différences négatives en intégrales. On peut ainsi
se dispenser d'indiquer les arbitraires que l'intégrale finie S" doit
introduire , parce qu'elles sont censées renfermées dans les intér
grales que donne le développement de son expression.
Le» deux équations précédentes ont encore lieu , en supposant qad
dans les différences '^•j'r,x',i',tù., "A.^i-.a', x-,eic.,etc., ar, x',x", au
lieu de varierde l'unité, varient d'mie quantité quelconque «■; pourvu
que dans la différence A.^,,jr',y,wc., x varie de »^, »' de iV,
x" de ("■ar, etc. Maintenant si l'on suppose tp infiniment petit, les
diffirences '^._Xr,i',x',tK.) "à.j'r,i',x%ttc., etc., se changeront, la
première dans dx.Ç ')^''^')> la seconde dans d^.(-^^i^^V etc.
De plus, si l'on Eut i, i*, î", etc. infiniment grands, et tels que
l'on ait
idx^BL, i'dx' = «', etc. :
on aura
"S le nombre dont le logarithme byj:
t pareillement
e étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est
runité. On aura pareillement
dby Google
7fl THÉORIE ANALYTIQUE
et ainsi de suite ; partant
2".^x,*',«c = -
C^
K rariant de « , «' de «', etc., dans les deux premiers membres de
ces équations.
£^ au lieu de supposer v infiniment petit , od le suppose fini ,
et i infiniment petit et égal kdx; si l'on suppose encore *', »", etc.
infiniment petits et respectÎTement égaux à dx', 4V, etc., on aura
on aura pareillement
(l4-"A.7^,y,,tc.y = l-f-(&M0g(l +"A.Jï,^,etc.)î
etc.
d'ailleurs Â'.7x,»',mc. se change alors dans tP.jf:r,x',tK.i on atira
donc
d"./r,.y,«c.=^;d«.Iog(i+'A.j'^a'.«K.)4-*i»'Jog(i4-''A.^*,t',ï[c.H-etc.]^
équation qui en Élisant n négatif, subsiste encore, pourvu quel'on
change les diffîrences négatives en intégrales. Ces divers résultats
sont analogues à ceux que nous avons trouvés dans le n* 10, rela-
livementaux fonctions d'une seule variable ; et l'on y retrouve l'ana-
logie que nous avons observée entre les puissances positives et les
différences , et entre les puissances négatives et les inté^ales.
Considérations sur le passage du fini à. l'infiniment peUf. ■
19. Le passage du fini à l'infiniment petit , con«ste à négliger les
différences infiniment petites , par rapport aux quantités finies , et
généralement les infiniment petits d'un ordre supérieur, relative-
ment à ceux d'un ordre inférieur. Cette omission semble 6ter à ce
passage, la rigueur géométrique ; mais pour se convaincre de son
entière exactitude , il suffît de le considérer comme le résultat de
dby Google
DES PR0BABIUTÉ8. 71
la compara^u des puissaDces homogènes d'ane variable indéter-
minée y dans le développement des termes d'une équation qui sub-
siste , quelle qne soit cette indéterminée ; car il est clair que les
termes affectés de la même puissance , doirent se détruire mu-
tuellement.
Four rendre cela sensible par un exemple, considérons Téqua-
tion suivante que donne Téquatton (q) du n* 10, en y faisant
'A est la caractéristique des différences finies, «' variant de «, et
d est la caractéristique des di£fërences , x' variant de dx'. L'équa-
tion précédente développée donne , en appliquant conformément à
l'analyse du numéro cité, les exposans des puissances de dj^^, à la
caractéristique d,
■'A./^ =^.rfr., H- ^^=^ . dy.,+ etc.,
df^ est égal SLj^r^i^,^-^^,. Supposons qu'en développant la fonction
de a/ H- cfce', représentée par/^^.*,,, on ait
^,'4- 1/ =/,. +d3e' y^, 4- dx'* . z„H- etc. î
on aura
df^' = dx' .y^ + dx'' . z^ -H etc. ;
d'où l'on tire
^f^-=d^,dy^-\-dx'^.^^-\~^\Xi.
Développons pareillement ^'^+i^, z,/+t, , etc. suivant les puis-
sances de <£)/ , et supposons que 4'on ait
7^+^=^;,4-(fo'-^;,+ di".*^+etc., _ . .
ï*/^.i«f=z,/ H-(i»'.z'„4-etc.j
on aura djr'^ = dx'y^^ d«'\«,,4-etc. ,
dz^ =: dx'.z'^+ etc. j
partant d" .^^ = dx" y, + dx" . «„ + etc.
+ */»". z^-f-etc;
dby Google
7a THÉORIE ANALTOQUE
L'expression précédente de. 'A .7,, deviendra ainsi,
( «.(z.-— trL+etc.)|
-f-'^'-]+*'-C*.'-Hv+etc.)>i (o)
(+etc. )
H- <«»'•. etc.
d*' étant indétfirminé , les tenues ind^iendan» de /JV doivent être
égalés séparément entre eux ; on a donc
Maintenant, ^^ est le coeffidenj; de dx' dans le développement
de^i,+ai,; c'e3t ce <juv l'on désigne dans le Calcul différentiel,
par -^. Pareillement^^ est le coefficient de i£e'dans le dévelop-
loppement de j'J,^^; c'est ce que l'on désigne par -^> on par
■^^ , et ainsi de suite ; en substituant donc dans l'équation précé-
dente, ^i'+« — ^,/ au lleu.de 'A .^y^,,, on aura le théorème suivant,
Considéré comme résultat de la comparaison des termes îndépen-'
dans de dx', ce théorème ne laisse aucun doute sur son exactitude
rigoureuse, et il est visible par l'analyse précédente , que cette compa-
raisourevlentànégligerles termes multipliés par dk' et ses puissances,
relativement aux quantités finies j cette omission n'ôte donc rien à
la rigueur du Calcul différentiel. Mais on voit de plus, d^rion,
que les termes affectés de la même puissance de l'indéterminée dx\
doivent se détruire mutuellement , ce que l'on peut vérifier à pos-
teriori ; ainsi ce que l'on néglige comme infiniment petit est rigou-
reusement nul; enaorte que l'omission des infiniment petits, rela-
tivement aux quantités finies , n'est an fond qu'un moyen facile
d'éliminer les termes superflus qui doivent disparaître dans le ré-
sultat final.
Ce
dby Google
DES PROBABItrrÉS. l'S
Ce rftpprochaneut du calcul aux diffêrênces finies, et du calcul
difiKrentiel, met en ëvidence la rigueur des résultats de ce dernier
calcul , et donne sa vraie métaphysique ; mais ses applications à
rétendue , à la durée et au mouvementj supposent de plus, le prin-
cipe des limites. On peut, par un rapprochement semblable, éclair-
cir dirers points de l'analyse infinitésimale , qui ont été des sujets
de contestation parmi les géomètres : telle est la discontinuité des
fonctions arbitraires dans les intégrales des équations aux diffé-
rences partielles. Ceux qui ont rejeté cette discontinuité , se fon-
daient sur tx ({ue l'analyse unlinalre des cUffêrences infiniment
petites y suppose que les différentielles successives d'une fonction,
doivent être infiniment petites relativement aux précédentes, ce
qui n'a point lieu lorsque la fonction est discontinue. Pour éclaircir
cette question délicate , il faut la considérer dans les difiërences
finies , et observer ce qui arrive dans te passage de ces difiërences
aux difierences infiniment petites.
Prenons pour exemple l'équation suivante aux diffêrencea finies
partielles
çon équation génératrice est, par le n' 16 ,
'•a-)-''-o-o'=''^ ,
et en suivant Tanalyse donnée précédemment , 11 est &cile d'en
conclure que l'intégrale complète de Téquation proposée (a) est
^* ../= <p (* -f- *')+ 4 («—*') .
^(«H-a:') étant une fonction arbib*aire de s+ic', et 4(« — «')
étant une fonction arbitraire de * — a/. Il est fecile d'ailleurs de
s'assurer que cette valeur satisfait à la proposée, et qu'elle en est
l'intégrale complète , puisqu'elle renferme deux fonctions arbitraires.
&ipp08ons présentement que dans la table suivante,
J..
.r..
.r.,
.r>,.-
••••J-.-.;
.,r...
T..
.^.,
.^..
,j-.,.-
■•■■^.-..
..^.,.
T;
.J-..
.r.,.
.^i..-
• ■•■r—>,
.7...
(^)
J''',<t)J J> .(Bi yt,»y Ji,i
db? Google
74 TJIÉORIE ANALYTIQUE
on connaisse les detUE premiers rangs horizontaux compris entre
les deux colonnes vertics^es extrêmes
J'...ïJ'.,.»7., -jr-,,
r.,->^-..»7- -r-,*;
et qae l'on connaisse de plas tous les termes de ces deux eoloimes ;
on pourra détenniner toutes les valeurs de^, , „ qui tombent entra
ces colonnes. Car si Ton veut former le troisiôme rwQS borâosbd %
on observera que Téquation (a) donne
En Élisant dans cette dernière équation , x'ss: i , et successîremeat'
âr = i ,ar=3, «=3 x=n — i , on aura les valeurs de ^,,,j
^...jjKs,.* ••■^■-i,«)0ule troisième rang horizontal, au moyen des
deux premiers rangs horizontaux. On formera de la même manière ,
le quatrième rang horizontal , et ainsi de suite à Tinfini. Mais si Ton
veut déterminer les valeurs de^, , ^ qui tombent hors de la table (Z) ,
les conditions précédentes ne suffisent pas, et â faut leur en ajou-
ter d'autres.
Reprenons l'intégrale
et supposons «pie le second rang horizontal qcù détermine une des
deux fonctions arbitraires , soit tel que l'on ait
on aura
^,, .' =«fl> (*+»') + ^ C «—*')■
En taisant ar'ssso, on a ç(a:)5Sx-J'«,.; partant ■
Il est &cîle de voff que cette équation aatisÊiit à Féqnatkm prc^MV^
sée (a)j mais elle n'en est qu'une intégrale particulière qui répond
au cas où le second rang horizontal se forme du premier, au moyen
de l'équation
Tant que *+ jc' sera égal ou moindre que », et que « — «' sera
positif ou nul; on aura, la valeur de ^«,^, au moyen du premier
dby Google
DES PROBABUrriÉS. ■ ^5
rang horîsoïttal. Mais lorsque * croissant, «+*' devienflra plus
grand que n , ou lorsque « — j/ dâviendra n^tif ; iï fiiudrà déter-
miner les valeurs de ^,+j,,, et de y,_,r,„, au moyen dès deux
colonnes verticales extrêmes. Supposons que tous les termes de
Ces colonnes soient nuls pet que V(»i ait fùasî y» , „=■ o et/. , ^ »: o*
En faisant x mA dam réqaatkm
on aura
En ^aant ensuite ars=n dans la même équation, on aura
Si Ton cliange ^isulte dans cette dernière équation x' en n-^:^t
oaaura
en dutngeaikt eiMx»re x' dans n -h x\ on aura
et généralement, ou aura
On pottrra aînsi , an moyen de ces deux équations, coatsuier les
valeurs de ^,,xr à l'infim, du cdté des valeurs positives de «,
et Ton en conclura ceSes qui répondent à x aégatif ; au mOTen do
l'équation
De là résulte la construction suivante. Représentons les valeurs
de j',,. depuis x =o jusqu'à x=:n, par les ordonnées, menées aux
angles d'un polygone dont l'abscisse soitx, et dont les deux extré-
mités, que je dés^e par ^et £, aboutissent auxpoints où «^o
et «=n. On portera ce polygone depuis x^n jusqu'à x = sn, en
lui donnant une position contraire à celle qu'il avait depttis d;==o
jusqu'à x=sn; c'est-à-dire, une position telle , que les parties qui
étaient au dessus de l'axe des abscisses x, se trouvent au-dessous ,
le point M testant d'aUleors dans cette sdcoode position ,, à la
dby Google
^e THÉORIE ANALYTIQCE
même place que dans la première , et le point A répondant ainsi
à Tabscisse x = ara. On placera ensuite ce même polygone , depub
s=3n jusqu'à s = 3n, en lui donnant une position contraire à U
seconde, et par conséquent semblable à la première, de manière
que le point A , dans cette troisième position , conserve la place,
qu'il avaitdans la seconde, et qu'ainsi le pointJréponde à l'abscisse
X = 5n. En continuant de placer ainsi ce polygone alternativement
au-dessus et au-dessous de Taxe des abscisses; les ordonnées menées
aux angles de cette suite de polygones, seront les valeurs de^,,,'
qui répondent à x positif.
Pareillement , on placera ce polygone depuis « = o )usqa'à
w = — n, en lui donnant une position contraire à celle qu'il avait
depuis « = o jusqu'à x:s=n,A ratant d'ailleurs à la même place
dans ces deux positions.. On placera ensuite ce polygone depuis
a; = — - 71 jusqu'à « =: — an , en lui donnant une position contraire -
à la seconde , le point S conservant la même place , et ainsi de suite
à l'infini. Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs
de j',,0, qui répondent à x négatif. On aura ensuite la valeur de
y^ , I, en prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent
auxabscisscs «+*' et x — a/.
Cette construction géométrique est générale, quelle que soit la
nature du polygone que nous venons de considérer. EUe servira
à déterminor toutes les valeurs de^,,,,, comprises depuis s = o
iusqu'à «=:n, et depuis «'=o jusqu'à «'=00, pomru que l'on ait
^,,,,=0, et^,,:^^o, et que d'ailleurs le second rang horizontal d^
la table (Z) soit tel, que l'on ait
On a par ce qui précède ,
^« ,»/+■ = ï •j'«+«/+» ; i + i •^*-*^— » , • ;
de plus ,
donc
il suit de là que dans la table (Z), le {n+x')'^' rang horizontal , est
dby Google
DES PROBABILITÉS, 77
le «"^ rang pris avec un signe contraire et dam un ordre reïiTersé ;
ensorte que le terme r*™ du rang (/H-*')'"" €st le même que le
terme (n — r)*** du »"^ rang pris avec un signe contraire. On a
msuite
OD a d'ailleurs ^ par ce qui précède,
partant
d'où il suit qae le (stH-*')'™ î'^S horizontal est exactement ^al au
Considérons présentement les vibrations U'ano corde tendue ,
dont la figure initiale soit quelconque , pourvu qu'elle soit três-
rapprochée dans tous ses points, de l'axe des abscisses. Nommons x
l'ïiscisse, ( le tems , ^,,r l'ordonnée d'un point quelconque de la
corde , après le tems t. Concevons de plus l'abscisse w partagée
dans une infinité de parties égales à dx^ et que nous prendrons
pour unité ; ce qui revient à considérer x comme un nombre infini.
Cela posé , on aura par les principes de dynamique,
a étant un coefficient constant dépendant de la tension et de la
grosseur delà corde. Si l'on fait <s= ~; on aura <â = — , ct^<,t
deviendra une fonction de iv etde ar*, que nous désignons par^,,,^
or la grandeur de dt étant arbitraire , on peut la supposer telle , que
la variation de x* soit égale à celle de «, que nous avons prise pour
l'unité j l'équation précédente devient ainsi
a et a/ étant ici des nombres infinis. Cette équation est la même
que celle que nons venons de considérer y ainsi la construction
géométrique q^e noos avons donnée précédemment , peut-être-
dby Google
^ THÉORIE ANALYTIOTE
r et « étsM des nonobres entierè positif, « pouranf £tfe tmî ; c^esl^
ii-dire que la diffà^ntieUe de cette quantité doit être infiniment
petite par rapport à cette quantité elle-même. Cette condition est
indispensable pour que l'équation différentielle proposée puisse
subsister ; parce que toute équation diflférentielle partielle suppose
que les différentielles partielles de y^^^, dont elle est formée, et
divisées par les puissances respectives de dx et de d^, sont des
quantités finies et comparables entre elles ; mais lien n'oMige
d'admettre la même condition rclatirement aux diâërences de^,,,*
de l'ordre n ou d'un ordre supérieur. En prenant pour fonctions
arbitraires, les différences les plus élevées des fonctions arbitraires
Kjui entrent dans l'intégrale d'une équation aux différences partielle^
jcette intégrale ne renfermera plus alors que dea fonctions arln-
traiies et leurs intégrales successives qui sont continues, parce
qu'en général Tintégraie 7a».ç(5) est continue dans le cas méma
0Ù la fonction f (s) ne l'est pas. La condition précédente se réduit
donc à ce que la dillKrence (n — i)*™* de chaque fonction arbH
traire soit continue , c'est-ànlire que sa diffîrentielle sojt infiniment
plus petite. Il ne doit donc point y avoir de saut entre deux tan-
gentes consécutives de la courbe qui représente la fonction arbitraire
de l'intégrale d'une équation aux difiërentielles partielles du second
ordre ; ainsi dans le problème des cordes vibrantes que nous venons
de discuter, il est nécessaire et il suffit que deux élémens quel-
fonques contigus de la figure initiale de la corde^ forment^entre eux
un angle infiniment peu dif^ent de deux angles <^it8. Il ne doit
point y avoir de saut entre deux rayons osculateurs CDnsécuti&
de la courbe qui représente la fonction ai^itraire continue dans
l'intégrale, si l'équation aux diâëcwces partii^es est du troisièiaQ
lurdre; et ainsi de suite.
Considérations générales sur les fonetiotu génératrice*.
90. Il est souvent utile de connaître la fonction génératrice d'une
quantité donnée par une équation aux différences finies, ordinaires
ou partielles : parce que l'analyse oflrant divers moyens pour
développer les fonctions en séries, on peut ainsi obtenir d'une
tnanière fort simple, k valeur de la quantité cb^xbée. U résulte
du
dby Google
DES PROBABILITES. 8i
Sa n' 5, que la quantité j',, donnée par l'équation aux diffêrencea
finies
est le coefficient de t dans le déTeloppement de la fonction
^ + j?.(4-c.f + g.f"— ■
A, ByCi..^.H étant des constantes axbitraires. En effet» si Ton
compare cette fonction à celle-ci,
on aura , en faisant disparaître le dénominateur , et en vertu dé
l'équation aux dif^cnccs en ^^ ^
ji+B.t-{-C,^ + /f.«^' = «^'.C*.^.+ c.^,H-etc.)
H- *■- '.(c.j'.4-e.^.+ etc.)
H- etc. j
en égalant ensuite les puissances homogènes de t, on aura les
valeurs de^ fB,C, etc. au moyen des n valeurs ^, , ^., . . .y^, ;
on aura donc ainsi la fonction génératrice dey^
Si Ton suppose 2'._y:.=j'^» on aura^, = A'.^^ ; et alors
f équation
or=o.^,+ i'y*+i-f-c-J'«+ -hÇ-y.-^-»
devient
o = c#.û'.j';-f-ô.A'.^;^ -f-j.A'.^^^,;
ce qui donne en int^ant ,
«•X+^-J'lt. H-ç.y:^,= J)!f.x'-'-f-A'.«^+etc..
'JfcT, Nt etc. étant des constantes arbitraires. Par le n' a , a étant la
- fonction génératrice de j,, celle dey', est
a.t'-l-^. f— + g'.t'— 4.etc.
ïa fonction génératrice de y, ou de la quantité donnée par Véqua-:
11.
dby Google
8> TH^RIE ANALTTIQUE
tion précédente fin ^^ est doue
(^+g.f+C.f...+H.t'-').x'+(^'.f*-'+J'.l'-*+etc.).(c.l''+ft.P'-'. ..,+?>
(1— ï)'.(o.C+*.t-'+c.i'-» +P.H-9) *
Concevons maintenant qUe a> A, c, etc. soient des fonctions
rationnelle et entières de <' de l'ordre n, et que A, Bj C, etc.
soient des fonctions arbitraires de la même quantité;^, sera fonc-
tion de» et de if. Enladév^ppant par rapport aux puissances de
/', nous nommerons y^ , ^, le coefficient de t''' dans ce développe-
menL Cela posé, «i l'cm 8iq)po$B
a = a'.f-i- i'-/"-'.-4- c',tf'~*+ etc.,
b ï= a".<"-|- 6".i'— '+ c".('"~*-H etc.,
c = a"'.t!'+ etc.,
etc.
L'équation différentielle précédente en ^. doimera , en comparant
les coefficiens de la puissance /'*'*•, l'équation suivante aux diffé-
rences partielles en jr,, ^ ,
0 = 0'.^,.,,+ 6'-j'*,«/+i+ c'-J'*,^/+. H- etc.
+ a" -:>',+..„+ ^''-y^+L^rz+i-f- etc.
+ «'V'-M,*' + etc.
+ etc. ;
la £>nction génératrice de la vahablej', , „ de cette équatton sera donc
A+B.t+C-f +g.(— *
t^.V.tf'+b'.t' . *'"-'+ c'.f. C— + etc.
+a'.t— .;" +A".r-'.C— ' + eto.
+ o'.('— .f" -}-etc.
■+-«te.
-rf,.B, C, etc. étant des fonctions arbitraires de i', elles donneront
par leur développement , les fonctions az^itraires qui doivent entrer
dans l'espresaion de^,, ,,.
On peut encore déterminer les fonctions génératrices des équa-
tions aux différences finies, dans lesquelles lés coefficiens sont
variables. Considérons pour cek Téquation aux difiërences
0= a.^,+6'^.+.*Hc.^,-M + ?-^-+.
+ «•("' •J'«-f i' -^,.^.+c' .^*+. -f- î' ■JK.+.)
4- «• . (a" .^,4^" .J-i+.-H:" .^,+. H- î" ■^,+.)
H- etc.
y Google
DES raOBiJBIUTÉS. 8Î
Si Votk nomme u lafonctiongéncratnceâe^,, on aura, enverta
de Xéifa6aa précédente ,
H-4{4.{„.(„"+Ç + i....+ i))}
H- etc.
AyB,C, H étant des conetantes arbitraires qtrî dépendent
des valeurs de j'.,^, ,^av • • •J'»-i< ^ c^t, si l'on substitue dans
cette équation , k valenr précédenCe de a en série; on roit qu'en
Terta àa l'éqnatioa dif^rentielle proposée, tous les coefficiei» de
la même pŒssfmce de t, diaparaisseBt lorsi|ne cette pnissanee est
égale ou plus grande que n j et la conqxaraison des puissances
inférieures donnent un nomln^ n d'équations qui déterminent les
constantes Ay.B^ C, eCa^aamt^en des valeiirs^., ^,,...^._..^
L'équation diffîrentielle précédente n'est intégrable généralement
que (kos le cas où elle est du premier ordre , et alors les coeffî-
ciens de l'équation aux différences finies en y, ne renferment que
la première ptdssancede ^r : dans ce dernier cas, on peut obtenir
la foncti<Na génâ-atiice u par des quadratis-es.
ai. La connaissance des fonctions génératrices des équations dU*-
férenlielles , donne l'e^rcssion des- intégrales de ces équations , aU'
moyen de quadratures défime». B.epren<Hi» pour cela , l'équation
Substituons dans ses deu» membre», c**^"' au lieu de f, c étMit
toujoiu's le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité j et
nommons Z/, ce que devient alors u. En multipHaiit ^équation par
c~***'^~"'tfer i.«t iAt^^:»it^ fax aura
l ...-hy.-b'.*.-''*'^~'+etoJ
Si l'on substitue pour c*™''^ sa valeur co? r!>-± V'— î"'™""'.
db, Google
24 . THÉORIE ANALYTIQUE
et ai l'on prend l'intégrale depuis <» = — ir jusqu'à «■ = * , !w
étant la circonférence , le second membre ae réduit à a n*^,; on a donc
j', = — ./f7.eto-.( C08 ««■— V" ï .sinaT'ir)
mais cette formule a l*inconTénient d'introduire des imaginaires
dont on peut se débarrasser de la manière sulyante.
Considérons l'équation
o == ay,+ £.^.+, + 9'JK*+»
et supposons
T étant ime fonction de i qu'il s'agit de déterminer , ainsi que
les limites de Tintégrale. En substituant pour ^. cette valeur dan»
l'équation différentielle enj>'., et observant que l'on a
ce qui £tit disparaître le coefficient variable x-y on aura
0 = -7'.ï-',(a'4-^......+^)
En égalant à zéro la partie sous le signe y, on aura
o=T.(a+i....+l)
Cette équation intégrée donne T'en fonction de t Elle est la même
que l'équation diff^ntielle en u du numéro précédent , en négli-
geant dans celle-ci te terme indépendant de u. La valeur de T est
donc la partie de a qui est indépendante de ce terme-
Pour avoir les limites de l'intégrale /r— ' .T.dty on égalera à
zéro la partie hors du signe /, dans l'équation (A) ; ce qui donne
o=r.rf.(a'+5: +1).
db, Google
DES PROBABILITÉS, 85
Cette équation est satisfaite ea supposant t infini , et en le supposant
égal à l'une des radues de l'équation
on aura ainsi n + 1 limites de l'intégrale /i~'-' . T. dt; en multi-
pliant ensuite chaque intégrale comprise entre une de ces limites f
et les n autres limites , par une constante arbitraire; la somme de
ces produits sera la valeur complète de jr,.
On peut étendre cette méthode, aux équations à diâerences par-
tielles unies et infiniment petites, comme nous le ferons voir dans
la seconde partie de ce Livre.
On voit par ce qui précède , l'analogie qui existe entre les fonc^ .
tions génératrices des variables, et les intégrales définies au moyen
desquelles ces variables peuvent être e3q)rimée8. Pour la rendre
encore plus sensible, considà'ons l'équation
T étant une fonction de t, et l'intégrale étant prise dans des limites
déterminées. On aura , x varknt de «
et généralement,
en ^ant i négatif, la caractéristique ^ se change dans le signe
intégral X. Si l'on suppose » infiniment petit et égal à d^; on aura
— = i -H dclog- j ; on aura donc, en observant qu'alors A'.^, se
change dans (fy,j
^=/W<..-.(log,i)'.
On trouvera de la même manière, et en adoptant les dénominâtiionfl
dttn'3,
y.j,=/r.*.f-.(a + ,^...+ i)'.
db, Google
«6 THÉORIE AWAIYTIQUE
Ainsi la même analyse qui donne les fonctions génératrices des
dérivées successives des rariabtea j donne iea fonctions sous 1«
signe y, des intégrales définies qui expriment ces dérivées. I^a
caractéristiqae v' n'exprime , à propremeirt parler , qu'un nombre i
d'opérations consécutives ; la considération des fonctions généra-
trices rédiût ces opâ^tions à des aérations d'un p<dyiH>me à ses
diverses puissances ; et ta ccoiâdération des i&tégrales iléfiines doime
direetenwQt rex^preasion de v'-^i > daas k ciis méiae où Ton aap^
poserait i un nombre fractwmuiire.
M^ in grand avantage de cctt& tran^brmatîon du» expressiona
«aalytiquefty en intégrales dé&oies, est de foomir one approxioEt-
tioQ aussi commode que convergente , de ces e:^Tessioiis , lor»-
qu'efles sont formées, d'oa grand sombre de ta-mea et de ^tenrs;
c'est ce qui a lieu dans la tiiéoiie des^obabilUés, quand te nooalu'e
des événemen» (pie l'oa couaidére e^ très-grand. Alora le calcul
numérique des résultat» aiwsqud» oa. est eonduii par la s(^u£iiïm
des problèmes , devient impraticable , et il est indbpensable d'avoir
1 pour ce calcul , une méthode d'approsimetion d'autant plus con-
vergente , que ces résultats soitt ^tus compliqués.
Leur expression en intégrales définies y. procure cet avantage,,
et celui de donner les lois suivant lesquelles la probabilité des ré-
sultats indiqués par les événemens , approché de la certitude à
mestu'e tpie tes événemens se multiplient, lois doi^ la connais-
sance est Tun des objets les- plus intéressans de la théorie des
probabilités. Ce fut à l'occasion d'un problème de ce genre , dont
Ja solution dépendait de t'expressîcm du terme moyen du bintdne
élevé à une grande puissance^ que Stirlingtrsinafonna cette expres-
sion dans une série très-converçente : son résultat peut t*Te re-
gardé cfHmne tme des choses les plus ingénieuses que l'on air
trouvées sur tes suites. Il est surtout remarquable, en ce que
dans une recherche qui semble n'admettre tpie des quantités a^é-,
briques, i! introduit une quantité transcendante, savoir , la racine
carrée du rapport de la circonférence au diamètre. Mais ta mé-
thode de Stirling, fondée sur un théorème de WalKs, et sur l'in-
terpolation des suites, laissait àdesirer une méthode directe qui s'éten-
dit à toutes les fonctîom composées d'un grand nembre de termes
dby Google
DES PROBABILITÉS. '87
et de facteurs. Telle est la méthode dont je viens de parler, et
que j'ai donnée d'abord dans les Mémoires de l'Académie des Science»
pour Tannée 1778, et ensuite avec plus d'étendue, dansles Mémoire»
de la même académie, pour l'année 178a. Le développement de
cette méthode va être l'objet de la seconde Pajrtie de ce Livre ,
et complettera aiasi le Calcul des (bnctioiâ génératrices.
Les séries auxquelles cette méthode conduit, renferment le plus
souvent, la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre ;
et c'est la raison pour laqueUe Stiriîng l'a rencontrée dans le cas
particulier qu'il a cojQSÎd^ ; mais qaelqu^Hs eUe& dépendent
d'autres transcendantes dont le nombre est infini.
Les limites des intégrales défîniea que cette méthode réduit en
séries convergentes , sont , comme on rient de le voir , données par
les racines d'une équation que l'on peut nommer équation des limites.-
Mais une remarque très-importaitte dans cette analyse , et qui
permet de l'étenÂr aux fonctions que la théorie des probabilités
présente le plus souvent, est que les séries auxquelles oB-parrient ,
ont également lieu dans le cas même où , par des changemens de
signe dans les coefficiens de l'équation des limites , ses racines de-
viennent imaginaires. Ces passages du positif au négatif, et du
réel à l'imaginaire, dont les premières applications ont paru, si je
ne me trompe, dans les Mémoires cités, m'ont conduit dans ces
Mémoires , aux valeurs de |dusieurs intégrales définies, qui offrent
cela de remarquable, savoir, qu'elles dépendent à-Ia>fois de ces deux
transcendantes, te rapport de la circcHifêreDce an diamèb'e, et le
nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité. On peut douQ
considérer ces passages , comme des moyens de découvertes ,
pareils'à l'induction dont les géomètres font depuis long-tem»
usage. Mais ces moyens, quoique employés avec beaucoup de pré-
cautions et de réserve , laissent toujours à désirer des démonstra-
tions de leurs résultats. Leur rapprochement des méthodes directes ,
servant à les confirmer et à faire voir la grande généraUté de l'analyse,
et pouvant par cette raison, intéresser les géomètres ; j'ai insisté par-
ticulièrement sur ces passages quTIuler considérait en même tems'
que moi , et dont il a 4it plusieurs applications curieuses , mais qui
n'ont paru que depuis la publication des Mémoires cités.
dby Google
THÉORIE ANALYTIQUE
SECONDE PARTIE.
THÉORIE DES APPROXIMATIONS DES FORMULES QUI SONT
FONCnoNS DE TBÈS-ORANDS NOMBRES.
CHAPITRE PREMIER.
'Z>e t intégration par approximation , des différentielles qui
renferment desjàcteurs élepés à de grandes puissances.
oa. On vient de voir que Ton peut toujours ramener à Tintégratioa
de semblables diffêrentielles , les formules données par la théorie
des fonctions génératrices. Nous allons donc nous occuper d'abord
avec étendue , de Tapproximation de ce genre d'intégrales.
Si Fon désigne par U:, i/, u", etc. et <p , des fonctions .quelQDn<pies
de «, etpar «, «', *", etc., de très-^ands nombres; toute fonction
difiercntielle qui renferme des fonctions élevées à de grandes puis-
sances, sera comprise dans le tennef (&.«'.«'''.«"'*. etc. Pour avoir
en série convergente , son intégrale prise depuis xs? o jusqu'à a:= 9 ,
on fera
<p. a* .«'''. z/'"* . etc. =^ ;
et es désignant par Y ce que devient j' lorsqu'on j change x en fl,
fia suppos^a
dby Google
DES PROBABILITÉS. ' 89
e étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est
l'unité. On aura ainsi
Si Ton considère x comme une fonction de f donnée par cette
éipiationj on aura , en si^posant dt constant ,
t devant être supposé nul après les diâ«'onttatîons, dans les valeurs
de 37, ^T^j etc. On a généralement
la caractéristique diffêrentielle se rapportant à tout ce qui la suit ,
et dt pouvant varier d'une manière quelconque dans le second
membre de cette équation; de plus, si l'on diffîrentie l'expression
précédente àe t çu jr^ et si l'on désigne — ^— par v , on aura
dt=s-^-j on aura donc
j*3r v.d.v.d.v, , .,dv
àx étant supposé constant dans le second membre de cette équa-
tion. Ainsi , en nommant U ce que devient u lorsqu'on y change
s en 8} la valeur de^^quir^ond à xssd, ou, ce qui revient.
au m^ie, à t^o, sera égal à
v.d.v.d.v,... du
35=1 '
on aura donc
fl _i rr * I ^''^V ^ , v.d,v.dv . , , -,
d'où Ton tire
db, Google
90 THÉORIE ANAITTIQUE
|)ar conséquent
fydx=^ Ur./dt.c-'.(i +^.< + ^J^.ï' + etc.)
Si l*on prend rintégrale depuis t=o jusqu'à t infini , on aura géné-
ralement
yi»(ft.e— = 1.9.3 n;
partant
^(&= ur.{^i + -5g- + -5iï- + 3^^ l-etc.^ :
rintégrale relative à X étant prise depuis jt= 9 jiiaqu'à la valeur de »
qui répond à t infini.
Nommons Y' et /7', ee .qqe devienoent^ et u lorsqu'on y change
ar en 6' ^ on aura pareillement
/• j TTfvi/ I ^^ I à.v.dv' , d.v'.dv':dv' . . \
fyâxs^v'Y'i^ +-ar ^ — 's^'^ -m ^■®**■j'
l'intégrale relative à a:' étant prise depuis « :=6' jusqu'à la valeur de x
qui répond à t infini- £n retranchant donc ces deux équations l'une
de l'autre, on aura
/■ 7 Trv f X àv . d.u.du , d.u.d.v.du , , \
^rf.= rr.(n-^ + -jp- + 2j5-_-t-etc.)
— ï7T'{i -+-ajr + —j^r- H -^^ H etc.)
l'intégrale relative à a: étant prise depuis ar=:fl jusqu'à «=:fl',
«isorte que la considération de t diluait dans cette formule. Si
Q et 6' étaient primitivement renfermés dans ^ , il ne fiuldrait
&ire varier que les quantités 6 et fl' qu'introduisent dans U et U\
les changemens de x end. et fi' dans la fonction v.
Ia formule (A) sera très-convergente, si u ou — ^^ est une
très-petite qofmtité j or y étant, par la 6iq»po«itiou , égal à
ç.tt'.u'^. «"''. etc.; on a
■*" sdu t'du' , s'du" , t dp '
Digilizedby VjOOQIC
1>ES PROBABILITÉS. gt
Ainsi dans le cas où a , «', a", etc. sont de très^ands nombres,
V sera fort petit; et si l'on £ut ^ =:«, et étant une fraction très-
petite , la fonction u sera de l'ordre et , et les termes successif de
la fermule (A) senHit respectivement des ordres a, d^,a*,etc.
Cette formule cesserait ^tre convergente, si la sopposition de
* ^ 6 rendait très-petit le dénon^ttateur de l'expreseicni de u.
Sni^Ktsons , par exenrple, que {x-^ay^ soit un Êicteor de ce dé-
nominateur; il est (îeâr que les termes successif de la formule '
(A) sont reapectivemeiït divisés par (&— a)^, (à—af^', (fl— a)'''"*^ ,
etc., et*devi«adront tr^froonudéraliles, si 6 est p«u défèrent de a ;
la conrergence de cette formule exige donc que (fl— «y, (fl'— ay
soient plus grands que a ; elle ne peut conséquemment être em-
ployée dans rinterralle où (s — a y est égal ou moindre que a;
mais dans ce cas , on pourra faire usage de la méthode suivante.
a3. Si Ton nomme T be que devient y lorsqu'on y diai^o x
en a j il est visible que (« — ay étant un &cteur de —-^-t ou,
ce qoi revient au même , de — i^i («—0)^"*"' sera un Êicteur
de 1(^ — . Soit donc
X = a -h uf ,
V ne devenant, point iz^oi, par la 8tq^>ositioo de «xssa. Si l'ott
désigne ensuite par Z7, -^ , --—- , etc. ce que deviennent » ,
3x ■ "^ ' ^^^' » 'oi^squ'ou y change * en o après les di£férentia-
tionsjonaura, par lafbnnuIe(p)dun*Ai da second livre de M
Mécanique céleste ,
db, Google
93 THÉORIE ANALTTIQUE
ce qui donne
fyix = r.fd,.r^' .(£r+^., + JL^.,.+etc.); (B)
cette formule pourra être employée dans tout l'Intervalle où *
diffêre très-peu de a j elle peut conséquemment servir de supplé-
ment à la formule (A) du numéro précédent j mais au lieu d'être
ordonnée, comme elle, par rapport aux puissances de«, elle ne
l*est que par rapport aux puissances de a'"'*"'; car il est visible
que dans ce dernier cas, « n'est que de l'ordre a'"*"'.
Pour déterminer plus Êicilement les quantités Z7, -jp-, etc.,
supposons
iog r— log^= («— û)'^".[^+5.C«— a)+C.(:t— o)'+etc.3.
Nous aurons , en changeant « en a après les diJSerentiations ,
'^ =: — '^"^'■'"gy ^
i.fl.3....(H-o-dar*"'
B ^
rf^-^-logy
etc.
Koos aurons ensuite , quel que soit r ,
d'où il est facile de conclure en développant cette expression de y%
et nommant Q.{x—ay~^ le terme de ce développement, qui a pour
facteur {x~~ay~'f
i.a.3 (fw-,).da^' — «•
Jjà formule (B) ne présente plus ainsi d'antres difficultés qae celles
qui résultent de l'intégration des quantités de la forme Jeât.c ;
et Von a généralement ,
dby Google
DÈS PROBABÏUTÉS. 9S
r étant égal au quotient de lâ division de n par^c+i ,8ila division
est possible, ou au nombre immédiatement inférieur, si eBe ne l'est
pas. La détermination de riatégralejj'e&c dépend donc des intégrales
de cette forme
fdt.C yJï.dt.C y...ft .dt.C
n n'est pas possible d'obtenir exactement ces intégrales par leé
méthodes connues; mws il sera Éicile dans tous les cas, d'avoir
leurs valeurs approchées.
)i4. Nous aurons principalement besoin dans, la suite , de la
Valeur de fydx^ prise pour tout l'intervalle compris entre deux
valeurs consécutives de «, qni rendent y nul; nous allons consé-
queiumént elposer les sintplîflcationâ dont cette valeur est alors
susceptible. Lit variable y ayant été supposée , dans le numéro pi^-
cèdent , égale kY.c , il est visible ^e les deux valeurs de x
<{ai rendent,^ nul, rendent également nuUe lâ quantité c j
ce qui exi^e que ft+i ^t un nombre pair, et que l'une des
valeurs de x réponde à f = — oo , et l'autre à <= co ; f est donc
alorslenuiirimzini de^, compris entre ces valeurs. Soitju'-f-iE=3i;
si Fon prend l'intégrale /f""^^ .dt. c~ , depuis /==— eo juâqu'à
t=s 00 , sa valeur sera nulle ; car il est clair que les élémens de
cette intégrale , qui répondent aux valeurs négatives de f , sont
égaux et de signe conb'aire à ceux qui répondent au; mêmes
valeurs prises positivement. L^iutégrale f^'^.dt.c^ est égal à
a/f'^.dt.c , cette derméie int^rale étant prise depuis t nul
y Google
Qt THÉORIE ANALTTIQtJË
jusqu'à t infini; et dans ce cas, on a par le numéro précédent,
_<« i-an— ai+0.(aii-^'+0... .(an— ari+») n,^« j, — >*'
/V.dt.c = ■ ^ '■■J'^ •'"•<'
r étant égal au nombre entier du quotient de la division de n
par i. Soit donc , en prenant les intégrales depuis t nul jusqu'à
f infini,
i"i =fe.dt.c~''.
*'">=: /J^'.*.c~''i
la'fottaule (B) du numéro prét^doit dcviondra
d'.C/' 3 d"+M7»*^-'
, „„ _ J..a.Jif"*'«' 1.9.3... .(ai+fl). (te'»»
ri^-.P*^* ..(a»-') J*^.r.'-
4** i.a.5 (Si — aJ-Ac*** ' J
Cette formule est la somme d'mi nombre t de snîtes diflëreiites f
àéàraôBaaates comme les pmssanceâ de « > puisque U est de Tordit
lUpliées reapectiremeat par les transceodsotes k, ff'* , etc.,
qu'il est, par conséquent, importait de comiaître; nais il si^t
pour cela d'en connaître un nombre ^al au plus grand aginbf^'
entier compris dans ~.
ConsideroBS pour cela, la double intégrale
dby Google
DES ^BOBAfiUlTSS. 9S>
les intégrales étant prises depms set x nuls jusqu'à leurs Taleur»
infimes. En Tintégrant d'abord par rapport à « , elle se réduit à
xnab cette dernière intégrale Est — —, , n étant un nombre quel-
n.ûn —
conque entier ou fi*actiomiaire, an a donc
Intégrons maintenant cette double intégrale, d^abord par f^jpport
àx.En Msant sx^ss f, elfe devient
r-
-./dt.e-'-,
«t si l'on Eût A ss f , on aura
» .fdt. c-^ .fl—'.tli.i!-'s= -
les intégrales étant prises depuis t nul jusqu'à t infini. Si l'on change
ndans '^ , cette équation devient
n'.fât.r' '.yî~'~°.*K!-'' '=-fc=!2
(^)''
et si dans cette nouvelle é^ation , on change t dans f*^ on
aura'
/l'.^^.tg.tr^'.^'-'.df.c^aa /— \ ■ CT)
On aura, au moyen de cette formule , eny disant n=3 ai, toutes
les valeurs de A, M'', A"^'""', lorsque l'on en connaîtra la
moitié, si i est pair, ou là moitié moins un demi, si i est
impair.
En disant nss a et rss 3 ; cette forônde donne ce résdtat
y Google
9« THÉORIE ANALYTIQUE
remàrquaLIe
25. On peut en vertu de la généralité de l'analyse, étendre les
résultats précédens , au cas où / est imaginaire. Considérons Fin-
tégrgile fdx. coa rx.(r-^''% prise depuis x nul jusqu'à x infini. On
peut la inettre sous cette forme
L'intégrale yai:.c-*'''*«V^ est égale à
Si Pon Ëiit
«lie devient
'—■/"'■c-:
ici l'intégrale relative à t doit être prise depuis ( ^ — —
Jusqu'à / infini , parce ipie ces deus limites répondent à x nul et
à X infinit
En iàisant r négatif dans cette formule, on aura Fexpressioii
derintégraleyîit:.<r-"'''— "^'-^j mais dans ce cas, les Emîtes de
l'intégrale relative à * sont t= '^^^ » et t infini ; la rémùon do
ces deux intégrales est donc égale à
r*
l'intégrale étant prise depuis *=— oo jusqu'à « = oo j car la pre-
mière intégrale ajoute à la seconde, ce qui lui manque pour former
la moitié de l'intégrale prise entre les deux limites infinies ; or.
r*
ÉeUe dernière int^rale est ^-ï— j on a donc
,_ _ r»
/dx.coi nf.c-*'** — ^'C
L'analyse
Digilized by VjOOQ IC
ms PROBABILITÉS. 97
L'analyse qui vient de nous conduire à ce résultat, est fondée sur
le passage du réel à l'imaginaire ; car on j traite les intégrales
rektiTes à f et prises entre deux limites, dont une est imaginaire
et l'autre est infini^ , comme si ces limites étaient toutes réelles.
Mais on peut parvenir à ce résultat de la manière suivante.
Nommons _y l'intégrale /diif.cosrjc.c— "**■, prise depuis x nul
jusqu'à X iofini ; on aura
Ç^ != — yitic . sin w . (T"*'*'
= -V.sin rx.tr^''.' ^ ./Hk.cos raî.c-*'*' : .
aoT aa* ■* '
on aura donc , en prenant l'intégrale depuis x nul jusqu'à x
infini^
L'intégrale de cette équation est
T*
B étant une constante arbitraire que l'on détefminera en observant
que r étant nul, on a
yz=.Bs=fdx.cr-'*'\
Cette dernière intégrale est, par le numéro précédent, -î^j donc
S = ^~ j par conséquent
fdx.CO^rx,<f~**''ssi-—.0 '^J
ce qui est conforme au résultat trouvé ci-dessus par le passage
du réel à l'ima^naire.
£n diffêrentiant an fois par rapport à r, on aura
/*"<&.C0S7^.c— '■ ^dr^.g.r^^,
le s^eH-ajant lieu si n est pair, et le signe — si» est impair.
i5
dby Google
çS THÉORIE ANALTnOUE
Cette dernière équation difiëreatiée par rapport à r, donos
Èo intégrant une foia par rapport à r, i'espressioa de/Hr . cosr* .c-^'^'
on aura ,
Lorsque a est nul, - devient infi"' , et l'intégrale f —,c *"' prise
depuis r nul , derient 7. (/»; donc
/tir. gin rx __ «■
_ -^ ~ -•
s6. On peut de là conclure leS valeurs de quelques intégrales
défîmes singulières auxquelles j'ai été conduit, comme on le verra
dans la suite, par le passage du réel à l'imaginaire.
Considérons la double intégrale
^3£ic.ydv.c-rM»+*r).cos rr,
lés intégrales étant prises depuis x et^ nuls jusqu'à « et ^ infinis.
En l'intégrant d'abord par rapport à ^ , elle devient
' /*dx,cowx
J i+xr ■
Intégrons-la maintenant par rapport a û;. On a par le numéro
précédent,
V'.^. ~W'.
ce qui doitne
Il s'agit maintenant d'avoir cette dernière intégrale prise depuis y
nul jusqu'à jr infini.
Pour cela , donnons-lui cette forme ,
dby Google
DES probabilités; 99
r étant supposé positif, la quantité (--^ M a un minimum qui
répond k _yi=:\/-; ce qui donne ar pour ce minimum f soit
donc
^ = ^.x+i. VVH-arj
^ devant s'étendre depuis^ ^ o jusqu'à ^ ::= oo, * doit s'étendro
depuis £= — 00 jusqu'à 2=a>. Cette valeur 4e jf ^nne
1 jj I 1 *''*
£n prenant les intégrales depuis 2=— «o jusque k = oo, on a
on a donc
partant
fdy^ ^=s — -^ — ,
-On wir* généralement per la même anafyse , ï*înt^rale
prise depuis y nul jusqu'à ^ infini^ et par conséquent attssî dans
les mêmes limites , l'intégrale
fx \dr.c""*~',
a et b étant positife. Cela posé, on aura
on a donc
dby Google
C{ a +bx').dx.cosTX
loo THÉORIE ANALTOQUE
En différentiant par rapport à r on a
/Xffcr. BÎn rx ___ «•
i+j^ ac''
de là a est facile de conclure la valeur de l'intégrale
J m + n
prise depuis ic = — «0 jusqu'à x infini, le dénominateur n'ayant
point de Êicteurs réels en * du premier degré. Si l'on feit
jK =3 — n -f- w' . y/ m — 7? ,
cette intégnde devient, en supposant
l^n»— M*
} •+^'
Cette intégrale doit être prise conune celle relative à «^depuis a:'=^— oo
jusqu a i' = 00 ; or lintegrale / \^J* prue dans
ces limites, est nulle; parce que ses éiémens négatife détruisent
ses éiémens positifs" correspondans j il en est de même de l'inté-
grale r^îlJiS^^VîïI^j k. fonction intégrale précédente se ré-
duit donc à
On a par ce qui précède,
J 1 + *"
En diffêrentiant cette expression par rapporta r, on a
J . i + «"
•n a donc
db, Google
DES PROBABILITÉS.
On Iroarera par la même analyse,
/
<2±M:^;5^ — (6 . cos m— a'.sin m).'jr.<r--V^
Si l'on difierentie la première de ces deux équations, i — i fois
par rapport à m, et ensuite as fois par rappoirt à r^ on aura l'ex-
pression de l'intégrale
/
Maintenant Jlf et ^ étant des fonctions rationnelles et entières
de s , le degré de la première étant supposé plus petit que celui
de la seconde , et iV étant supposé n'avoir aucun fecteUr réel du
premier degré ; on pourra , comme on sait , décomposer l'intégrale
■n
donc généralement l'expression de cette intégrale définie.
On aura de la même manière, la valeur de l'intégrale
ru , ■„
n
' 37. Reprenons maintenant la formule (B) du n* aS. Le cas de
^H- 1 s= 3 étant le plus ordinaire, nous allons exposer ici les for-
mules qui y sont relatives. La formule (B) devient dans ce cas ,
' -3ïî-+etc.
id.l'ona
( U+t.±
r.fd..,^:\ _^ ^,
("''i.a.3 •"3»
<=viogr— log^, i/=-
F étant le maximum dt y, et a étant la valeur de x qui corres-
pond à ce maximum f V'f -^y etc. sont ce que deTÎemient w,
j^, etc., lorsqu'on '7 change x en a. Cette formule donne, en
db, Google
loa THÉORffi ANALYTIQUE
l'intégrant depuis t=T jusqu'à «=s T',
fy^=. r.{y+,.^^ -^ ^-r^^f^P + etc.)./*.-
l'intégrale yi/t-c—*' étant prise depuis /= 7* jusqu'à / = 2", et l'in-
tégrale Jydx étant prise depuis la valeur de a; qui convient à (= T ,
jusqu'à celle qui convient aiiz=T.
Si r<m suppose 7"= — «o etT'^ooj^n aura génôralemrat
Ona d'ailleurs par le n' a4,yÉtt.<r-''=a|/;;lafornHileprécé<Iente
devient ainsi
^&= Y. ^/-,.(y+i.^^ + ^ ■ . .,''3,^1, + «te), . M
l'intégrale yy<£v étant prise eotrQ.les valeurs de s qui Rendent
y nul, et K étant le maximum as y ^ compris entre ces valeurs. Les
dififêrens termes de <;ette formule se détermineront facilement par
le n* a5, et Ton aura
-- ^z^i
» devant être cAiangé en a , après les diJSwentiâtions. On a
la supposition de « = a fait Jlieparaifre -^ ; on aura donc
d'.h^y __ àdY
T et -^ étant ce que deviennent y et ^, lorsqu'on y change * ,
en a. Ainsi, en ne considétaitt dans la formule (d) -que le premier
dby Google
■ pES PROBABIUTÉS. io5
"Mrcûte de la série, on aura à trèa-péu ^ffès
Cette expression de yyrf* sera d'autant plus approchée, que les
fecteurs de ^ seront élevés à de plus hautes puissances- '
La formule (c) renferme l'intégrale indé6nie /rfï.c— ''prisedepuis
« = r jusqu'à t^=T'\ ce qui revient à la prendre depuis j=o
jusqu'aux limites T et. TV et à retrancher la première intégrale
de la seconde. Il n'est pas possible d'obtenir en termes finis, l'in-
tégrale prise depuis t nui ; mais on l'obtiendra d'une manière fort
approchée , si T est peu considérable , par la série suivante :
/*.«-= r_ Ç + ^ . Ç - 7^:3 .- + rxM • y - '"=•
Cette série a l'avantage d'être alternativement plus petite ou plus
grande que l'intégrale , suivant que Pon s'arrête à im terme positif
ou négatif. Ce genre de séries que l'on peut nommer séries-limites ,
a ainsi davantage d£ fkire connaî^e les limites des erreurs des ap-^
proximations. On a encore
Ces deux séries finissent toujours par être convergentes , quelle
. que soit Id valeur de T^ mais leur convergence ne commence qu'à
des termes éloignés du premier, si aï" a une valeur considérable j
il convient donc de ne les employer que pour des valeurs égales
ou moindres qae qpatre. Pow de plus grandes valeurs , on poiura
faire usage de la série suivante , qui donne la valem: de l'intégrale
/tff.c—'' depuis <=r!rjusqu'à ^infini,
/*.o- = '-^.(,-jL,^. J^,-!^. + etc.).
Cette série est encore une sérifr-limite. En k retranchant de
î- V^îr, valeur de l'intégrale yîff.c—*' prise depuis «nul jusqu'à t in-
fini, on aùtaiii ysàeixc dé l'intégrale prise àepais t nul jùs^i'à t=^T.
DigilJzed
b, Google
io4 THÉORIE ANALYTIQUE
Mais la série a rinconv-âiient de finir par être divergente : on obyié
à cet inconvénient , en la transformant en fraction continue, comme
je Tai Ëiit dans le dixième Livre' de la Mécanique céleste j où j'ai
trouvé qu'en Ëiisant q = -^j on a, l'intégrale étant prise depuis
t^T jusqu'à l'infini,
^ i+«tc.
Four Ëtire usage de cette esqpression , il £iut réduire la fraction
continue
~ i + etc.
en fractions alternativement plus grandes et plus petUes que la
fraction entière. Les deux premières fractions sont - , —~ j les
humérateuTâ des fractions suivantes sont tels , que le numà^tcur
de la fraction t"^ est égîJ au numérateur de la fraction (i— i)*"*,
plus au numérateiu* de la fraction (i— ^)'™', multq)Uépar (i— i).;;
1^3 dénominateurs se forment de la même manière. Ces fractions
successives sont
» _J_ ■ + !< ' + 5? » + 9T+V gtc
Lorsque q ou -^ sera égal ou moindre que 2» ces fractions don-
neront d'une manière prompte et approchée, la valeur de la
fraction entière.
s8. On peut facilement éten^^ l'analyse précédente aux doubles,
triples, etc. intégrales. FoUr cela, considérons la double intégrale
Jydxds'j y ^^^^ '^^ fonction de st et de x/, qui renferme des
focteurs
Digilized
b, Google
r>ÈS PROBABILITÉS. io5
facteurs élevés à de grandes puissances. Supposons que rintégralo
relative à «' doive être prise depuis une fonction X de « jusqu'à
une autre fonction X' + X de la même variable. En faisant
w' = X -+- tX' y l'intégrale fydxdx' se cluuigera dans celle-ci ,
/yX.dx.dt; rintégralo relative à ( devant être prise depuis *=o
jusqu'à * =: 1 : on peut donc réduire ainsi l'intégrale J^dx . dx' à des
limites constantes et indépendantes des variables qu'elle renferme.
Nous supposerons qu'elle a cette forme, et que l'intégrale relative
à X est prise depuis ar =8 jusqu'à «=«■, et que l'intégrale relative
à x' est prise depuis a/ ^fl'j"8*P^'* a/ss-aK. Cela posé, ennommant
K ce que devient^ lorsqu'on y cbange « et «* en 9 et fl' j on fera
en supposant ensuite
jp = fl -I- «, ar'es 6'-J-a';
on réduira log — dans une suite ordonnée par rapport aux puis-
sances de u et de »', et Ton aura une équation de cette forme
M.u-\-M'.u' = t-^^t
dans laquelle Jtf est la partie du développement en série , de
log — , qui renferme tous les termes multipliés par u, et M' est
l'autre partie qui renferme les termes multipliés par *»', et qui sont
indépendans de u. On partagera l'équation précédente , 4anâ. les deux
suivantes :
M.u = ty itf'. «' = (';
d'où l'on tirera celles-ci, par le retour des st^tes,
Si étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de t et de
t', et N' étant uniqp.ement ordonnée par rapport aux puissances de if
et étant indépendante de *; ces deux suites sont très-convergentes,
si _y renferme des fitcteurs très-élevés. Maintenant on a dx. dx'
=</«.d«'jdeplus ona
.„=(i-).*+(i-i)...,
du'
db, Google
loÇ THÉORIE AWAtTTÏQïE
mais dans le iHTodiùt du, du'^ la ^fiërentielle du est prise en ùà'
«ant u' coQStant, c« <]«» rend £* coustaot, oaif's^o^OQQdoQQ
d«=(i#).*,
par conséquent
çe q!iii d<Hme
Il est facile d'intégrer les divers termes du second membre de
cette équation , puisqu'il se s'agit qiw d'intégrer des termes de la
forme yî'.f&.c-ï.
Si l'on prend l'iitfégrale rebiiiTe à ff depnis ^ nul jusqu'à <' in-
fini, et que l'on nomme Q le résultat de l'iptégration; oa aura
l'intégrale relatÏTc à y étant prise depuis x'^ fl' jusqu'à la valeur
de x'j qui répond à t' ùaêsà. Si. l'on change ^nsmte doos F et Q,
6' eu «s^, et que l'on nomme Y' et Q', ce que deviennent alors ces
quantités ; on aura
l'intégrale étant prise depuis x'sa^ jusqu'à la valeur de x', qui
répond à *' infini.
£n nommant R et R' les intégrales JQdt et Jï^di prises dçpuj^
i nul jusqu'à t infini ; on aura
jydx.dx's=^rR-*TR'y
l'inté^ale relajtive à i^ étant prise depuis j/ xnt' jusqu'à x'sssm*,
et l'intégrale relative à x étant prise depuis xisfi jusqu'à la valeur
de X quir^ond àfii^i. Si dans T, Jt, V, R', on change ôdans <»,
et que l'on nomme V,, R,, y,,R', ce que deviennent alors ces
quantités ; on aura
j^'rfx . dx' = r. . ^. — r: . iî; ,
dby Google
■ DES MlOBABItn^; ' i«7'
rintégréle ^«laâire à <r' <éEaDt prise entre les finîtes §' et «r', et-
l'intégrale relative à x étant ^ rise depuis or s= 11- jusqu'à la râleur
de X <fiù répond à t infini^ on aura donc
jydx.dx' ^YR — rs'— r,R,-\- t.r: ,
l'intégrale relative à x étant prise entre lee Iknîtes 9 et <ir , et
rintégrale relative k x" étant prise entre les limites 6' et «r*.
Cette formule r^nd à la formule (Â) du n* aa, qui n'est rela-
tive qu'à une seule ranafate^ die a , cmame elle , rÉoconvénient de
ne pouvoir s'étendre aux interviillos Tuistns du maximum dey,
H'i&at , pOor «a» IntésTdleB , en^iloyer une méthode analogue à
celle du n* sS. Ainsi , en supposant que dans rintervalle cmnprift
entre 9 et t^jj devienne ua meu^mum relativement à x^ ensorte
que la condition de ce mammwn ne £isse disparaître que la di^
rentiolle de^, prise par rapport à xj on fera
F étMit la Tateur de y ^ «onrioit à te nuuiMwh <et -à «'=: â';>
et si dans l'intervaSe compris entre les limites des iateçratioUs
relatives k x etkx',y devient un maximum; on fera
Comme nous aurons besoin prîbcipalem^it dans la suite, de
rintégrale Jydx. dx' prise entre les linùtes dex et de x' qui rendent
y nul, nous allons discuter ce cas.
Considérons l'intégrale Jyâx. dx' , y étant une fonction de x, a/,
qui renferme des Èctelirs élevés à de grandes puissances. &i Ton
nomme a , a' les valeurs de * , or' qui r^ondent au maxîrnum
de j', et que Ton homme T ce maximum} onïèra
y = J'.tr^'— *'■;
eu scq>posant ensuite
x = a-f-6, x's5=a'H-8'î
on substituera ces valeurs dans ïa fonction log ^^ et en la déve-
loppent daBs tane s«ite «irckMnôe par rappoit aux puîssAncos et
dby Google
îo8 THÉORIE ANALYTIQUï:
aux produits de ô , 8* ; on aura une équation de cette forme
JH'.fl*+ aiV.flfl'H- P.â"=CH- i".
Cette épiatioQ peut être mise sous la forme
i^/.(9 + g.(K)-+(p-Kl.e'-= «■+'";
on fera donc
En dùGfêrentiant ces équations , on aura des difl^rentiell^ de
cette forme
dt — L.S + I.S',
dt'=; Z'.dÔ ■+■ r.S'.
Maintenant on a
Jydx.dx! s=fy.à&.S' ;
dans le produit S.dHi', h6 est pris en supposant fl' constant , et
aloi^ on a
ensuite d^ doit être pris en regardant t constant, dans le produit
dt.dt'; alors on a
o = Z/ . dO + /. dÔ',
df = L'.S 4- P-S'i
ce qui donne
on a donc
di.dt' = S,d^.(Lr--L'I);
parce moyen, rintégralej5'<iô.dô' est transformée dans celle-ci^
^ 'J W — L'I •
Le dénonùnatenr LT-^L'l est une fonction de fl et de fl' que l'on
réduira en fonction de / et de (', au moyen des valeurs de t et de ^
en 6 et 6'. On obtiendra ainsi l'intégrale précédente dans une suite
dby Google
DES PROBABII^iTÉS. lofl
de tenues de la fonne fp. f.dt.di! .c-^'-^'i les intégrales étant
prises depuis tell! égaux à — co , jusqu'à leurs valeurs infinies posi-
tives. Ces intégrales sont nulles , lorsque Tun des deux nombres n
et n' est impair ; et dans le cas où ils sont tous deux pairs y n étant
égala ai, et n'a ai', on a
j^.t"'.dt.df.^'-^-=l
.3.5....9n-TVi.«.5....fl?-
Si les pmssances auxquelles les &cteurs de _y sont éleyés , sont
trèï^randesj alors on a , à très-peu près,
/ddr\ / ddr\ /ddY\
M— ^'^^ ov=-= V^^^>^ p \^)
(^). (^). (ë^) '•-' - que^ennent {^), (^)
et Ct^ lorsqu'on y change Jretor'enaeta'; l'intégrale Jfdx.dx'.
devient ainsi à fort peu près ,
. /r'idrs i-ddr-^ , ddr y'
db, Google
THÉORIE ANALTOQÙE
CHAPITRE IL
Del'inUgration par i^roxinmtùm, dM équations Uoéaùeet
aux d^rences ^uee et infimmeHt-petitet.
99. Obi a ru -dafis le n* -aa , «fue JeS intégrai -des ié(|liation8
linéaires aux dififêrences entre une variable « , dont la difierence
fime «iit supposée constante , et une £>nction y, de cette variable ,
peuvent êtretBises sous la forme ^,=yàr',Ç(/x, ç étant "anefoiro*
ticm.^ X deiamâmemtilI«<qlle:bfeIlctiallgéItéralt^celde^é({ua--
tion proposée aux diflfêrences^ et l'înt^rale étant prise dans des
limites détermloées de x. En supposant i un très-grand nombre ,
on aura par ranalyse précédente , tme valeur très-approchée de
Cette intégrale , et par conséquent dej^,. Mais cette méthode d'ap,
proximation étant très-importante dans la théorie des probabilités ^
nous allons la déveloi^er avec étendue.
Considérons Féquation aux différences finies
S^A.y.+B^i^.y.-^-C.i^'.y.+ vXc., (1) .
^,B,C,etc. étant des fonctions rationnelles et entières de «,
auxquelles nous donnerons cette forme :
^ = a 4- a^'' •« 4- «^'^ .*.(«—!) + o^'ï .,.(«— i).(,_a) 4- etc. >
B = 6H-6<"i.«+ 6«.*.(«— 1)+ ôt''.».(*— 1).(*— a) + etc.,
C= e+c".*+c^'î.«.(«— i)-l- eW.«.(*— 1).(«— a) + etc.,
etc. j
A .y, est la di^rence finie de j^, , a étant supposé rarier de l'unité 3
A*.^,, A^.^,, etc. sont les seconde, troisième, etc. diflfêrences
de y,; et S est une fonction de s. Cela posé^ représentons^, par
/kf.fdx, f étant une fonction d^ x qu'il £iut déterminer , ainsi
dby Google
Ï>ES PROBABILITÉS. .11;
^e 1^ linU^de l'iatjégralo. Su. désignant x* par jy, on au^
A.^,=yïJ5^.(* — i).ipdXy A,'./,=:/Jy.(a; — i)'.<pcte, etc.;
on aura ensuite
ê.x'ssx.-^f «.(a— l).ar'=x'. -j^, etc.;
relation (1) aux différences, devient ainsi
(4-etc. )
An tien de Ê|ii:« :^ 4%al à fatJf^, on pçut le supposer ^al à
fc~".^doc-y alors on a
A.^,=/c-".(c"-' — ^^i).çda;, A'.j',:^/c~'r.(c~'— i)».f(fa;, etc.
De plus , si l'on désigne e-" par jy , on aura
,.c-'-==— -^, *'.c !" = -^, etc.;
en mettant donc les coefiicièns de Téquation (1} sou^ cette forme ,
^ = o + «W .« + a^'î.a* + etc.,
C = e -^ e^'\s + et'>.«'+ etc.,
etc.;
cette éqaatioix prendra la forme
s=y»<te,^
jy.[a+» . (c-'—i) +«.(<;— —i)'+etc.] ■
| + ^.[a«H-6<'>.(c--l)+eC).(c-'-i)--HtcO("
db, Google
iiï THÉORIE ANALYTIQUE
£n représentant généralement y, par f^y.^dx, le» deux formes
que l'équation ( i ) prend dans les suppositions de ^y=2Vf et de
Sy^c-", seront comprises dans la suivante
Ml NjPjQy etc. éXant des fonctioDS de j: indépendantes de la
variable », qui n'entre dans le second membre de cette équation^
qu'autaut qao Jy et ses diffîrences en sont fonctiona-
Maintenant , pour y sattslàire , on iotégrera par parties , ses dj£fê-
rens termes ; or on a
etc.;
l'équation précédente devient ainsi
5=/jy.^.(i!^^-^> +^^-^^+ etc.)
H-etc., ■
C étant une constante arbitraire.
Puisque la fonction <p doit être indépendante de « , et par con-
séquent de jy , on doit égaler séparément à zéro , la partie de cette
équation, aCfèctée du signe /j ce qui partage l'équation précédente
^ans les^ deux suivantes ,
db, Google
DES PROB.VBILITÉS.
La première de ces équations sert à déterminer la fonction ç ; et la
seconde détermine les limite»' dans lesquelles l'intégrale y^.ipdc
est comprise. '
On peut observer que l'équation (a) est l'équation de condi-
tion qiù doit avoir lieu , pour que la fonction diffêrentielle
soit une (U£fêrentielle exacte , quel que soit jy ^ et dans ce cas ,
l'intégrale de cette fonction est égale au second membre de l'équa-
tion ( 3 ) ; f> est donc le Êicteur eu x seul qui doit multiplier
l'équation
o=;./.jy+iy.^ + P.^-t-etc.,
pour la rendre intégrable. Si ip était connu , ou pourrait abaisser
cette équation d'un degré; et réciproquement, si cette équation
était abaissée d'un degré , le coefficient de ^j , dans sa diâéren-
tielle divisée par JUdx, donnerait une valeur de (p ; cette équation
et réqaation (a) sont conséquemment liées entre elles , de manière
qu'une intégrale de Tune donne -une inte^ale de l'autre.
La valeur de f étant supposée connue , on aura celle de y, au
moyeu d'ime intégrale définie. L'intégration de l'équation (i) aux
différences. finies , est donc ainsi ramenée à l'intégration de l'é-
quation (a) aux di£^ences infiniment petites, et à une intégrale
définie.
Considérons présentement l'équation (5), et faisons d'abord iS=o.
Si l'on suppose que jy , -^ , i^ , etc* deviennent nuls , au
moyen d'une même valeur de x , <pie noua désignerons par h ,
et qui soit indépendante de « ; il est clair qu'en supposant C nul ,
i5
dby Google
ii4 THÉORIE ANALTTIQUE
cette valear satisfera à TéquatiOB (3), et qu'ainsi elle sera une des
limites entre lesquelles on doit prendre Ilntégraleyêiy.^dr. La
supposition précédente a lieu visiblement, dans les deux cas de
jyss=^ et de cTt^ssc^"; dans le premier cas, l'équation x=o,
et-dans le second cas, Féquation x=«o, rendent nulles les quan-
tités jy , ~^, "S^i ***^' ï'*'^ ^iToir d'autre» limites de l'intégrale
fJ^.^dx, on observera qne ces limites devant être indépendantes
de A, il EàVLt dans l'équation (5), égaler séparément à zéro, les
coefficiens de S/j -^ , etc.; ce qui donne les équations soirantes,
G =z Q^ — etc.,
etc.
Ces équations sont au nombre i , si i est l'ordre de réqtiatîoa
di£fêrentielle (a); on pourra donc éliminer, à leur moyen, toutes '
les constantes ari)itraire8 de la valeur de 9 , moins une ; et l'on aura
une équation finale en x , dont les racines seront autant de limites
del'intégrale/yy.^f/x. Ou cherchera par cette équation, un nombre
de valeurs différentes de x, égal au degré de l'équation diffêren-
tielte (1). Soient ç, 9''', ç**>, etc. ces valeurs; elles donneroot
autant de valeun di£fêrentes de tp, puisque les constantes arbi-
traires de f , moins une , sont déterminées en fonctions de ces
valeurs. On pourra ainsi représenter les valeurs de ip , correspon-
dantes aux limites ^, y*'>, 5*'>,etc.,par S.^,^'^^*^'',J^'^•'.^*'', etc.;
£, ^'^, ^''t etc. étant des constantes arbitraires; et Fon aura
pour la valeur complète de 7-, ,
^.=5./jy.x.dic4-^'* -/«iy.?^^'* .<te +£<•). /jy.xw.dic -H etc.;
l'intégrale du premier terme étant prise depuis x = A jusqu'à x= j ,
celle du second terme étant prise depuis x = A iusqu'à x ^ y^"' , et
ainsi du reste. On dét^miuura les constantes B , Sf-'^ , etc. , au
moyen d'autant de valeurs particulière de/,.
dby Google
DES PROBABILITÉS. n5
Si^posODS maintenant que dane l'équatioa (5)^ S ne soitpa» nul.
Si l'on prend l'intégrale f^f.fdx depuis x=:ih jusqu'à x égal à une
quantité quelconque ^ j U est clair que Ton aura C= o y et qqe S sera
ce que devient la fonction
^/.(^^-^+etc.)
4-etc.,
iorsqa'on y change x en p. Ainsi ponr le succès de la mâbode pré-
cédente , â est nécessaire qne S ait la fbrme de cette fonction. Fai-
sons, par exemple , «^ = jCj et
5=/ï'.[/H-/ï'>.*-f-^'*>*-(-ï— 1)+^'' .«■(*—»).(«— a) -f-etc.];
en comparant cette râleur de 5 à la précédente , on aura
r> .jj = P^ — etc. ,
etc.,
X derant être change en^ dans les seconds membres dé ces équa-
tions doM le Bombrâ est égal au degré de Téquation dififêrentîelïe
(3). On pourra donc, àleur moyen, détenniner les constantes arbi-
traires de la valeur de ^ ; et si l'on désigne par 4 » ce que devient
9, lorsqu'on a ainsi déterminé ses arbitraires, on aura
y.^fx-.-^dx.
De là et de ce que l'équation ( 1 ) est linéaire , il est facUe de con-
clure que si S est égal à
p'.ll+ ^■î.s-|-A'>.«.(«— 1) + etc.]
+ etc.
En nommant ^'j «te. , ce que devient 4 lorsqu'on y change succès-»
dby Google
ii6 THÉORIE ANALYTIQUE
sivçment p, /,?'!, etc., en;?,, /,, /['',etc., en/»,, etc.; on aura
la première inEégrale étant prise depuis x = h jusqu'à x ^p , la
seconde étant prise depuis x=A jusqu'à x =p,, etc. Cette valeur
de 7-, ne renferme aucune constante arbitraire j mais en la joignant
à celle que nous avons trouvée précédemment pour le cas de S nul',
on aura l'expression complète de /,.
3o. Si^osons maintenant que l'on ait un nombre quelconque
d'équations linéaires aux diâerences finies entre un pareil nombre
de variables ^„_7-,',j'", etc., et dont les coefiiciens soient des fonor
tions rationnelles et entières de a. Faisons alors
j',=fa:'.ijidx, y,s=/x'.^'dXy y,:=/x'.^"dx, etc.;
ces diverses intégrales étant prises entre les mêmes limites déter^:
minées et indépendantes de s. Nous aurons
A.j;=/x'.(x—i).fdjç, , A'.j.^sfic.Çx—iy.^dx , etc.;
A .j'^ r=.f3f . (ar— 1) - ^'dx , A' .j, i=fx' . (x— i)* . ^'dx , etc, ;
etc.
Les équations dont il s'agit, pourrcmt ainsi être mises sous le»
formes suivantes,
Ss^/xf.zdXj ^:=/x'.z'dx , Sf's=/j:'.z"dx, etc.,
S, jS*, jS", etc. étant des fonctions de s seul, etz,«', z'\ etc., étant
des fonctions rationnelles et entières de la même variable , et de
X, (p, <p', <ti", etc., dans lesquelles <p , ?', etc. > sont sous Une forme
linéaire.
Considérons d'abord l'équation
3=fx'.zdXj
-on a
.=Z+..A.Z + i4=;>.A-.Z + i:fc^|='i.i'.Z+elc.;
Digitized by VjOOQ le
DES PROBABILITÉS. 117
la caractéristique A des diS^reuces tinies étant relative à la variable «,
et Z , A. ^, etc. étant ce que deviennent c,A.z, etc., lorsqu'on 7
suppQse s=.o. On aura donc
5=/C.d:r.(z+«.A,Z + i^^^.A'.Z4-etc.).;
S l'on feitic's= «T/.j on aura
sx' = x.-^ f s. {5 — i).x'=«'.-T-f-, etc.'i
Téquation précédente devient ainsi
S=/<i..(z. jy +:r. A.z/^ + î;^ . ^ + etc.);
d'où l'on tire en intégrant par parties, comme dans le numéro pré-
cédent , les deux équations suivantes,
+ etc.
C étant une constante arbitraire. L'équation
traitée de la même manière , donnera
„=Z'-ii^ + £J^^_etc., M
+^-^.(^— •) ■ '"
H- etc.
les équations ^'s=fi&*^'dx; S"=fcif.z"'dx, etc. , produiront des
équations semblables , que nous désignerons par (a") , (6") ; (a'")
{b'"); etc.
(A)
dby Google
j 18 THÉORIE ANAirriQUE
Les équations (o),(o')> («")> «'c- détermineront lea variables
ç,^', ip", etc. en ftHKtion de X j et les équations (6), (6'j, (i"), etc.
détermineront les limites dans lesquelles on doit prendre les ialé-
%r»ies/x'.zdJCy/x'.z'dXf etc. L'une de ces limites est x^o. Pour
avoir les autres, on supposera d'abord S, 5*, 5", etc. nuls; les
' constantes C, C, C", etc. seront par conséquent nulles dans les
équations (b) , (è') , etc. , puisque la supposition de x = o rend nuls
les autres termes de ces équations. £a égalant ensuite séparément
à zéro , les coefficîens de Jy , -^ , etc. dans ces mêmes éq^tioos,
on aura les suivantes ,
• „ = x.A.g--'t---':-^>+eto.,
■■ """ 1.3 '*
etc.;
o = x.A.Z iî T — i-f-elc.,
o = — etc.,
1.3 '
etc. ;
e\c.
On éliminera, au moyen de ces équations, toutes les constantes
arbitraires, moins une , des valeurs de ^ , 9', f", etc. , et l'on ar-
rivera à une équation finale en x, dont les racines seront les limites
des intégrales J'x'.pdXf/x'.f'dx^ etc. On déterminera autant de
ces limites qu'il est nécessaire , pour que les valeurs de j^, ,/,', etc.
soient complètes.
Supposons maintenant que 5, ne soit pas nul, et qu'il soit
égala
/ï'.[/^+/t'> . « H-/^'î . «.(«— OH-etc.].
En Êdsant C= o dans l'équation (b) , et en y mettant x' au lieu de
. jy , on aura
^.[i+fï.H-f->.«.(*-i)+etc.]=x'.(x.A.Z-^^^^-Htc.)
+,.^.(^£i^_ete.)
dby Google
DES PROBABILITÉS. ng
d'où l'on co&dut d'abord xs=p, emorte qnelofl intégrales /i/.ffKr^
fxf.p'dxj etc., doivent être prises depuis x=o jusqu'à x=p. La
comparaison des 'coeflicieils de «-, s.^s^—i) , etc., donnera ensuite
autant d'équations entre ly f'^, etc., et les constantes aii>itrair«s
des caressions de f , 9', etc. L'égalité à.zéro de ces mêmes coeffi-
ciens, dans les équations (£'), (b"), etc.^ donnera de nourelleft
équations entre ces arbitraires que l'on pourra ainsi déterminer
au. moyen de tontes ces équations. On aura, par ce procédé , les
valeurs particulières de ^, , qui satisfont au cas où 5', 5", etc.
étant nuls , ^ a la forme que nous venons de lui supposer , ou, plus
généralement , est égal à un nomln'e quelconque de fonctions de
la même forme.
Pareillement, si l'on suppose que 5, y, etc. étant nuls, £f est
la somme d'un nombre quelconque de fonctions semblali^s , on
déterminera les valeurs particidières de j^.^y, , etc. , qui aatiâfont
àce cas, et ftinùdu reste. En réunissant ensuite tontes ces Tueurs,'
à celles que 1'<mi aura déterminées dans le cas où S, Sf, etc. sont
mÙB ; on aura les expressioiu complètes de _y, , X, etc. . corres-.
pondantes au cas. tua 3 j S'y etc. <mt les formes précédentes.
Il est &cile d'étendre cette méthode aux équations aux diCfêrencea
infiniment petites, on en partie finies, et en partie infiniment
|>etite8 , et dans lesquelles les coefficîens des vailles {HÏDcipales
et de leurs di£fêrences, sont des fonctions ratlMmeiles de «, que
l'on peut toujours rendre entières , en fiùsant disparaître les déno-
minateurs. Si l'on désigne, comme ci-dessus, par^,,^,', etc., le»
variables principales de cw équations > et si l'on ^t
j',=ifx' ,<^dx j y,=s/x'.ç'dXf etc.;
^^/jf.ipdxAo^je , ^'s=yxf.^(ir.(log. x)', etc.;
A..)'.=A'.(x— j).çda;, A.\j',ss/x'.{x~iy.pdx , etc.;
ete.;
dy
gf=/x'.ç'tixAo^x,
dby Google
^terminera les
des intégrales
plusieurs cir-
jmmodes (pie
tion de la mé-
]uations dific-
x. Les degrés
équations aux
les puissances
le considérant
îlle en p sera
Les coefficicns
rentielle en ^
as où ce plus
îtendu.
suivante ,
principale y,
tes. Si l'on fait
, eu intégrant
n' 1 f^
Digilized by VjOO^ IC
DES PROBABILITÉS. lai
par parties comme dans le' numéro précédent , les deux équations
sQîrantes ,
o=jH'.»— -
o = C+AI*.J>.
Ia première donne en l'intégrant,
H étailt une constante arbitraire. Supposons C laA dans la seconde
équation; x=o ou x = co sera l'une des limites de Vintégrale
/^,fdxy suivant que l'on prend x" ou c'~'".pour jy. On déter-
minera les aulres liiiiites , en résolvant ré<{uation o=N<p.^.
A[^liquoDs à cette inté^ale , la méthode d'ai^roximatLoii du
u^ s3.Si Ton désigne par a, la valeur de Ji^.doiuiée par l'équation
. osrf.cjv-p.jy)»
et par Q, ce que devient lafooclùux^tP'^yTloraqu'on y chailgQ
X en a } im fera
ce qui donne
*= Vlog Q — log (ATip)— log jy.
log eÇy est de Tordre s j si Fon suppose s très-grand, et si Ton feit
^ SB », a sera un très-petit coeSldeqt La quantité sous le radir
cal prendra cette forme Σ=£^ . x, X étant une fonction de x — a
et de « j on aœra donc , par le retour des suites, k valeur de «
.en /, parune série de cette fonne, '
a:ss:a4- «* . A<-|-a. AW.<*+«^ .AW.i* + etc.
Maintenant,^, étant égal à fiy.^âx^ à l'on subsUtue dans cette
inté^e, au lieu de ?.jy, sa valeur ^tr — , elle deviendra
Q*y -yy -c^*' j et si dans ^, on substitue pour «, sa valeur pré-
16
dby Google
laa THÉOaiE ANALTOQUE
eédente ài <f on abra^, par Hpe diûte de cette foniK,
y.= a'.Q.fdt.e-''.[I'^ci'.f^.tr^a..f'\.t'-\-J.fi^.t^-^ etc.],
les limites de l'intégrale relatîre à Menant se déterminer par la
condition qu'à ces limites, la quantité N<p.^j, ou son équivalent?
<2<c~''j soit nulle; d'où il suit que ces limites sont £=— oo et
< = co ; on aura donc par le n* â4 >
^,=*'.<2V'-0 + ï.«.^'>+^.»'.i««4-^.«'./^-f-etc.).
Cette expression a l'avantage d'être ind^ndante de la détenni'»
nation des limites en jc, qui rendent naUe la fonction Nf.^j'i
ensorte qu'dle subsiste dan» le cas même où cette ^Miction, éga-
lée k zéro , n'a point de racines ré^es ; elle subsiste encore dans
le cas -de « négatif. Cette remarqae analogue! à celle que nous aTona
Ëdte dans le n' 95, et i|im .tient y comme elle, à la généralité de
l'analyse , est très - remarquable en ce qu'elle donne le moyen
â'téteadre la formiUe précédente , à un grûkL nombre de cas aux-
quels la méthode qui nous y a conduits , semble 4r4bord ae
reJuser.
Cette formule ne renferme que la constante ari>îtraire /T, et
par conséquent,«0e n'est qu'une intégrale paitienfière de l'équation
différentielle proposée. en j',, si cette équation est d'un-ordre-supé-
rieur à l'unité. Pour avoir dans ce cas, l'intégrale complète, il
fendra cherdier danal'équation o=:d(?t'<p,^y ), autant de valeurs
différentes de x., qu'il y .a d'unités-danscet ordre. Soient a t a\
o", etc. ces valeurs; on changera successivement dans l'expression
précédente de y„ a en a\ a", etc. , et Jï en H', H", etc.; on aui^
autant de valeurs particulières qui renferment dracune une aibt-
traire, et dont la somme aéra l'expression complète de ^,.
Quand les coeffîciens de la proposée en ^, renferment des puis-
eances de s 8iiq>ériçur«6 & l'unité ; on peut quekpiefbis décomposer
cette éqijation en plusieurs autres qui ne renferment cjue cette pre-:
mière puissance. Si l'on a , par exemple , l'équatioa .
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. laS
}tf étant TUM fonction ratJoiuK^le cft «atjère de *-; OB^i&etlrA C«tto
tbnction sous la forme
g. Is + b). (s + b'-).0+b-). etc. _
i^+fj-(.S-i-f').is+f'].ttC.*
on fïara ensuite
f,+. = (s+/).fc , C = (H-/')-'.% etc.
Il est facile , par ce qui précède , de détenniner 2, , f, , etc. en in-
tégrales définies , et de réduire ces intégrales en séries conrei^^tes,
lorsque 3 est un grand nombre. On aura ensuite
Dans plusieurs cas où Féquation diffêrentielle en 0 etairi; d*un ordre .
supérieur au premier, ne peut être intégrée rigoureusement, on
peut détenniner ip par une approximation trèa-convergenle ; en
substituant ensuite cette Valeur de f dcme l'iatégrale /x'.fdx, on
peut obtenir d'une manière f<Ht ï^procbée la valeur de cette
intégrale.
53. Uanalyse exposée dans les numéros {véoédau^s'étend encore
aux équations à différences partielles , finies et infiniment petites.
Pour cela, considérons d'abord l'équation linéaire aux diffêrentieîles
partielles dont les coefiiciens sont constans. En désignant par^,,.^
la variable principale, «et a' étant tes deux variables dont elle est
fonction} etreprésentantcetteéquation parcelle-ci, ^=0, f'étîmt
une fonction Ùnéaire de^,,^ «t de ses dif^ênceft partielles; ou y
supposera
> étant une fonclioade a:j alors l'équaticù r=o prend cette
forme
M étant une fooctioo de x et dé x% sttns « m «'. En égalabt dooo
dby Google
334 THÉORIE ANALYTIQUE
• M à zéro, on atira la valcor de ce' eu x , et cette Taleor subsÈitaée
dansTintégrale/c. x'''.^rfx, donnera l'expression générale de j',,i„
dans laquelle ^ est une fonction arbitraire de a: j les limites de
rintégrale étant indépendantes de x, mais d'ailleurs arbitraires. Si
l'équation proposée o= V ^ est de l'ordre n, il &udra, au moyen
de l'équation JfcTsso, déterminer un nombre n de valeurs de x'
en X. La somme des n valeurs àitfsf.a^^.^àx qui en résulteront,
et dans lesquelles on pourra mettre pour 9 des fonctions arbitraires
différentes de x, sera l'expression complète de _;',,„.
Il résulte de ce que nous avons dit dans la première partie de
ce ÏJvre , que l'équation M^^ o est l'équation génératrice de Téqua-
tion proposée jr=o.
Considérons présentement l'équation aux différences partielles
o=r-*-*.7'+»'.Jî,
dans laquelle F'^ 7*, et A sont des fonctions quelconques linéaires
de^,,,/ et de ses différences partielles y soit finies , soit infiniment
petites. Si l'on 7 suppose y comme ci-dessus >
x' étant une fonction de x qu'il s'agit de déterminer. Ou aura une
équation de cette forme
0=:/x'.x'''.^d;x.(J/+2V.«4.P.«'),
Mj N et P étant des fonctions de x et de x', sans $ ni a'; or on a
donc si l'on détermine x* par cette éipiation
dy p.dx
■^"^ .ffx *
on aura
x'.x'^(A^.H-i'V)=2Vx.^:^^;
par conséquent, si l'on dés^ne x'.x''' par jy, et si l'on suppose
que l'on a substitué dans Jtf et N pour x' sa raleui' en x ,
dby Google
. DES PROBABOrrÉS. laS
tn aura
Cette équation intégrée par parties ^ comme dan» les nmnéros prér
cédens, donne les deux suivantes,
o=M<P ^ — ;
La première détermine f en x, et la seconde domie les limites de
rintégraley^.^dlx.
Cette valeur de y,-,, ne ren&rmant point de fonction arbitraire ,
elle n'est qu'une intégrale particulière de l'équation proposée aux
di£fêrences partielles. Pour la rendre complète^ on observera que
l'intégrale de l'équation
"F* -" AT '
qui détemûne *' en x , est «' = Q , Q étant une fonction de x ,
et d'une constante arbitraire que nous désignerons par «; en re-
présentant donc par 4 1 une fonction arbitraire de u , l'équation
proposée aux différences partielles sera satisfaite par cette valeur
dej',,,,
l'intégrale relative à x étant prise entre les limites déterminées par
l'équation o = ^(p . «Ty , et Tintégrale relative à u étant prise entre
des limites quelconques. Cette valeur de y,'„ sera donc l'intégrale
complète de l'équation proposée aux différences partielles , si celle-
ù'est-da premier ordre; mais si elle est d'un .ordre supérieur^ il
Ëiudra, au moyen de l'équation oi=N^.J'^y déterminer autant de
valeurs de x en u, qu'A 7 a d'unités dans cet ordre. La réunion
des valeurs de ^,,„ auxquelles on parviendra , sera l'expression
complète de ^,,^
dby Google
ij6 théobie analttiqiie
. CHAPITRE m.
Appîù;ation des méthodes précédents , à Papproxtmathn
de àuferses JurwUons d£ trèê-gnxndt nombres,
l^ARjKi les diverses fonclioiu auxquelles ces méthodes peuvent
s'appliquer, je vais Gousidérer les produits des nombres , les dévfr-
loppemens des polynômes, et les différences infiniment petites et
finies des fonctions , ces direrses quantités étant celles qui se pré-
isentent le plus souvent dans l'analyse des hasards.
De l'approximation des prùduita composés d'un grand nombre de
facteurê, et des termes des polynômes élevèa d de grandes puissances,
55, Proposons-nous (Pintégrer Téquation axix différences finies
o=(«+i)'J'.— y-*.-
fii l'on y suppose
y,x=.fxf,^dx\
on aura , en dé^nant jc par Jy ,
d'où l'on tire en intégrant pat- pailies, suivant la méthode {ffécé*
dente, lea deux équations suivantes,
o = x'"*''.ip.
là première éqaation donne, en Tintégrant,
dby Google
DES PROBABÏtïTÉS. 1*7
ri la second donne , pour, détenobicsr les deux limites de Hut^
graleyx'.^tir,
ces limites sont par conséquent x s= o et x := 00. Ainsi Ton a
y,^s.A .fifdx.c~' ,
l'intégrale ^tant |^e f^puis x =:= o jusqu'à x ii^ , et A étant une
constante arbitraire.
Four avoir cette int^^^ en série , an. déteneinera, conformé-
Kent » la méthode exposée dans le n* a5 , la valeur de x , qui
rend x*. c"* un maximum j cette videur est t. On fera donc, sui-^
Tant.la méthode citée,
£n suf^sant x^«-f'â, cette équation devient
(iH-;)'.c-< = <r-'-;
partant
ce qui donne par le retour des suites
par conséquent
<te = d9=<ù.v/n.(i+j-|^ + ^ + etc.),
la fonction yx'.pd!x.c~* deviendra donc
«■.c- ./ett. c-*'.»^ .(1 4- -^ -h gî^ + etc.).
L'intégrale relative à x devant être prise depuis x nul jusqu'à x m>-
fini , l'intégrale relative à t doit être prise depuis f =s — 00 jusqu'à
t^op. En intégrant conuue dans le n" 3o, on aura
/.=Jrf.«'+i. <r[, ,vS*.(i + ^ + etc.).
dby Google
138 THÉORIE ANALYTIQUE
Od peut détemuner fort simplement le Ëicteor 1 4- -- — h etc.
de cette manière. Désigaons-le par
i + f+? + etc.;
ce qui donne
j:=A.>'+i.c—. \/ot-(i +4 + ? + «!«•)•
En substituant cette valeur de^, dans réqoation proposée -
J',*. = («H-0-.r.i
(i + l)"^\o- .(.+-^+^+eto.)«i+f +£+etc.,
OU
(, +£ + ^ H- etc.).Cc-(' + »'»6(' +0- i]
«"—?-+: ^ '—etc.;
or on a
> -(.+i).iog(i+i)=i-(.+0- C--i+i-^+^'-)
On aura 'donc, en observant que c '*■*' ^ki— .j-^+ etc.,
(.+f+g+ete.).(-ji;+^-etc.)=-5+»^-etc.;
ce qui donne , en comparant les puissances semblables de ' ,
idonc
Dic|i1 zed by VjOOQ le
SES PaOBASILITÉS. i>9
Oa déterminera la conatanTe ail>ttniiro A » au moyen d'une Talenr
particulière de^, ; en supposant , par exemple , que « étant égal à f- 1
on ait j', = Kj on aura
Y-siA.xfdx.cr'i
ce qui donne
_i^ r ■
par conséquent,
' .cr'
V^
fxfdx.c—
('+ir;+35b+«'«-> fe>
Voyons maintenant de quelle nature est la fonction y,- Four c^,
il faut intégrer Téquation aux <li£fêrences finies
On troare &cilement que son intégrale est
^,= r.(;t+i).(/*+a).(/*H-5) *j
on aura donc, en comparant celte expression à la formule (^), '
(M+i).{At+a).(^+5)
1" + i.e-. v^îî/i + -j- + -ji-, +.«.■)
Si Ton &It ju is o , on aura yV* i£r. c^'ss 1 ; partant
i.a.5.....=.'+i.c-. v'w.(i + 7j:7 + ^+etc.).
81 Ton bit /< =3 ^ , m étant moindre que n; on aura
V étant nn nombre entier ; ainsi
»7
db, Google
i3o THÉORIE ANALYTIQUE
or oB a
(,.+ = + l).I„g(. + ^) = (.'+=+r).(»_^+etc.)
On a d'ailleurs , en faisant xr^r^
fx" .dx.c-'= —.fx" .dx.c~'=s:m./^'dt.e-f%
l'intégrale rçlallTe à * étant prise depuis l s= o fusqu'à / inâni. Ea
substituant ces râleurs dans la fom^ule (q'), elle donnera .
m.(m+ n).(m + 2n). . i . .(m-hs'n)
ji'J " '■cr-'./fl»-.(^i + ^ ^^ J^i +etc.j
= yi^.d,.,w. ■ : (O
ensorte que la valeur approchée du produit des termes de la
progression aritboiétique m, m+n^ m + a», etc. dépend des trois
trîHiscMidantes c , -ît etyî*~'dl*.o— '".
Si dans cette équation on feit pour plus de simplicité n=i,ce
qui changement*, et si Ton observe queyî dt'.(r-'=-.ftdt.<r-'i
on aura
0±î^ii#^+-)
En changeant fi dans — a»» ou aura
(i— /t).(a — ^5 C*'— A*)
En multipliant ces deux équations , Tune par l'autre, on awa
(j_^->.(4— ;.-)-(«'"-K) =
ft-fdl.c—.Jfdt.i!
db, Google
DES PROBABttlTÉS. • iSi
L'équation (r) du n* a4 doute
•»(-5-)'
Ea feisaDt n;=i et /cssr — i,0Qa
on a donc
SI l'on Ëiît iA> infiniment petit, cette équation donne
27r=i*.a'.3*....s".(i — ^H-etc.).«'-*^-'.c»^;
£viBiuU difflc râioatioD précédente par celle-câ , on atffa
SiPon fait «'infini, on a pour régression de sin 9, 4) étant égal à /t^r,
le produit infini
l'expression de sin 9 est ainsi décomposabl* dans nne infinité de
Ëicteur8}ce que l'on sait d'aiUeura.
Eo STçpoaajd p imaginaire et égal « ^'^ V^ , sin p devient
— 7=-; on a donc
c'-c-f = .^■.(i + 1) . (> + ^^) . (, + ^) ,
•■'•■('+ 7^-) • 0 + .-^■+ '"=■) '
et en Élisant e' infini, on voit que c*'— c-t' est égal au produit
in&QÎ
s^'. (1 + ^') . (i H-^.).etc,
dby Google
iSa THÉORIE ANALrnQUE
On aura, par un procédé semblable , le produit continu de ^cteon
dont le terme général est une fonction rationnelle entière ou frac-
tionnaire de s. Mais l'erpression à laquelle on parviendra, pourra
contenir d'autres transcendante» dépendantes dlntégrales d^imes
de la forme /à/'d^.c"'.
On peut observer ici que ces produite étant nris sous la forme
fjif.^dx; leur diSerentiation par rapport à la variable «, présente
. une idée claire, et alors on a pour cette di£rérentieUe,yV.f(fx.logx.
liCs expressions de y, données par les formules (g) et (?') àa
numéro précédent y ont encore lieu suivant la remarque du
n* 5o, dans le cas où < et /* sont négatif , quoique dans ce cas,
TéquatioD
qui détermine les limites de l'intégrale d^nie qui représente la
râleur dej', , n'ait pas plusieurs racines réelles. Si dans la for--
mule (y) du numéro précédent, (m change « dans — « , et /t dan»
— /i f elle devient
r.>/=T.^V».(.-^^+^-.„.)
y-'— ,_} rdx.<r- '
. Y étant la valeur de j^, qm répond à « s= — /*. Toute la difficulté
se réduit à intégrer T _m-. Pour y parvenir , il feut suivre le
même procédé dont on a &it usage pour réduire en série, TintéT
graley.
" ''J^ , On fera donc
— fi étant la valeur de x donnée par l'équation
on aura ainsi
rdx.<r' t*'. V^ r rf«.c-»V^
a/* "" (— ly 'J (^ft— m.\/^y'
DigilizedbyLjOOQlC
J x^ C-iy* J
DES PROBABILITÉS. 135
L'intégrale relaUre à x devant s'étendre entre les deux limite» qai
rendent nulle la quantité ^, il est clair que l'intégrale retatiTe
à^doits'étOTdred^uiswss— 00 jusqu'à w^oo; cnréunissant
donc les deux quantités ,—^r: et r==^ > •?" '"é-
pondent aux mêmes valeurs de <v , affectées de signes contraires ^
on aura
Tintégrale relative à «■ étant pfise depuis w^o jusqu'à 4r = ec>
Si l'on développe les quantités sous le signe/, les imaginaires
disparaissent, et Une reste qu'une fonction ré^le que nous dé-
signerons par Qdm ; on aura ainsi
partant
_r.c->..t/^.(.--J- + -g|-,-..,.)
Voyons présentement quelle fonction de s est^*.;. Pour cela,
reprenons Téquation primitive
o = (.+»).y,— ^,^.,;
en y changeant < dans — s , et fiiisant y^, ss b, , elle devient
0=(« l).U,+ B,_,J
équation dont l'intégrale est
(— ly-'-.y
"'~ l'("+rt(a+f) (<-i)— •>'-"
F étant comme d-deasns , égal à y , Si l'on compare cette ex^
db, Google
i34 THÉORIE ANALTTIQTTE
pression d&^_î à la précédente , et tà l'on obsenre que a—-'ft
est un nombre entier, et qu'ainsi l'on a {— i)*'~'''=i ; or aunt
En dinsant les deux membres de cette équatioa pw «, et le« ren*
versant ensuite, on aura
(/H-i).0*+3).(^5). . .^«ill^ . (i +^ + etc.).yi2rf<r.
;& l**n o<Hnpare cette équation à la formule (y') du numéro pré-
cédent , on a ce résultat remarquable ,
Je suis parrena à cette éqaation générale , dans les Mémoires de
rAcadémie des Sciences pour l'année 1789, par r«nalysc précé-
dente, fondée , comme on v<Ht, sur le passage du réel à Timagî-
naire. En faisant successivement dans Q, M^^irM=a,;u=:3,etc.,
on aura les valeurs d'un nombre infini d'ùité^^es définies; «inri
dans le cas de/t=i , l'équation (O) donne
/Jm.Çcoi'm+m.iinm) «■
!+•■ — ë'
annule que j'ai donnée pareî&ement dans le^ Mémoires cités. Cette
formule et toutes celles du même genre , peuvent se vérifier par
les formules du n* a6 ; car on a par ce ntuoéro,
Nous observerons ici, comme dans les Mémoires cités, quey'
étant égal à — lî—i .fQdtr j on a , en substituant au lieu de fQdtr ,
sa valeur donnée par Féqnation (0) ,
rJj:.c-'_a-,.,r,(—i)~''*i^_a*.(—i)~'*+J
'dLr.ç-'
je"
dby Google
DEè PaOBABUTTÉS. i35 ■
la preniière intégrale étant prise entre lee deux Talenrs iougincôrês
de X qui rendent nulle la quantité -^ , et les deux autres inté-
grales étant prises d^nits se nul jusqu'il œ inÊni ; ce qui donne un
moyen Êicilede transformer dans celles-ci , les intégrales rdx.snx
J xf
et/-
34. Considérons maintenant l'équatÎQn générale
Si Ton Eût
ï— n» ^_n 4-1, p=i>i
dk prend cette forme
8lipp090318
nous aurons, en intégrant par partùs,
OS=iX-.f.(x—p)
•i-fic—'.l<pdx.(n'x — 7ïp)-f.(p— x).d^>
Cette équation donne pour déterminer 9 -, la soirante,
4*611 l'on tiré en intégrant»
A étant une constante arbitraire. On aura ensuite pour déterminer
les limites de Tintégrale, l'équation
ou
o = ic^'. (;>— a:)-'-*'— .
Ces limites sont donc j: =:so et x=/ï, si n ■+- « etn'+i-*-B sont
des quantités ponUres. Ami l'on aura, en prenaiU Tinté^ale dans
ces limites ,
y Google
\ i36 THÉORIE ANAITTIQUE
On déterminera la constante ^, au mojea d'une valeur partie^'
Uère de ^,. Soit y cette valeur j on am^
-rf = -
par conséquent,
fie .dx.ip — x)
Intégrons présentement Téquation proposée aux différences en y,-
Son int^ale est
^ -_ («+^) ■ Cn+^+ 0 («+J-0 ^ „^^
•ï^' — («'+/«+0-(n'+**+a) {n'+sY-TM-P '
Dans cette expresuon, conune dans toutes celles formées de pro-
duits , les fecteurs du numérateur ne commencent que pour la
valeur de s qui rend le dernier acteur égal au premier, ce qui a
lieu ici lorsque s est égal à ^ + 1 ; il en est de même des acteurs
du dénominateur. Pour la valeur de. a égale à /£ , le numérateur ctle
' dénominateur so rédoiscnt i^ Tonité qui -est censée les multiplier
l'un et l'autre. Si l'on compare les deux ex^nresaions précédentes
de y,, on aura
Faisons ji — xss/ru'; le second membre de cette équation de-
viendra
. M-an'-^-r , -+_!
1—/1 Ju .aa.(i — u'j
P ' . »n— oV+l , , ..'•■*■/*"' '
/u .du. (i — u»)
les int^ales étant prises depuis u ss o jusqu'à uas i , parce que
ces limites répondent aux limites xsp et x=o. On a donc
(>.4-yVCB+^,)....(n+j-0_/»'^"^^'.rf».(i-u')''''^'
(«'+,.+i).C«'-|-/*+a) . . . («'+*) ~ ^^"--«H-. .du.(,_„.)''+'— » ■
Supposons n s= ï , n' ss= o et fi:^ 1 ; si Ton observe que
dby Google
DES PROBABILITÉS. iS?
on aura
1.3.1 ...^ = -—./du.Ci— a') ^
Le premier membre de cette équation est le coefficient du terme
moyen ou indépendant de a , du binôme Q *4-t aV ; on aura donc
au moyen des méthodes précédentes, ce coefficient, par une ap-
proximation rapide , lorsque « est un grand nombre. Pour cela ,
nous ferons
^ — «, 1 — «-=0— '•;
ce qui donne ______
et
Supposons
y'i_-c—f —«•.*.[! 4-a.5^'>.c+«'.9«.t*H-«'.çW.ï'+ etc.].
En prenant les dîfifêrences logarithxniijii*^ ^^ deux mmibr^ do
cette équation y on aura
1 +3« . qCO. f +5rt' ■ ç W. t*+7*' . at^J . t*+ etc. aJ.c""' .
t+A,q'-0y+<t\qW.^+K'.qm.tf+9tC. i— c""^' '
et ce dernier membre est ^al à
1— «.*»+-î^.|4 ^-(•+ etc.
' i.fl i.a.o
On aura donc en comparant cette quantité au premier membre >
et réduisant au même dénominateur ; l'équation générale
i.a ' " ' i.a.S ' 1,9.3.4
g*"' étant égal à runité. Si Ton feitauccessivement dans cette équa-
tion, i=i, i=:i,i=:5, etc.; on aura les Valeur» saccessive» }<'',
j8
db, Google
i38 THÉORIE ANALYTIQUE
?'*'» 9^% ctc.j et l'on trouvera
On aura ensuite
L'intégrale relative à u devant être prise depuis a=o jusqu'à u=i,
rintégrale relative à * doit être prise depuis t nul jusqu'à ( infini ;
on aura donc par le n* a?
[ +i:i|:2.«3.y04_etc.]
. partant '
.'■'■' ' t/('-i).-| +Li^..,..,<.)+etc. j'
Ainsi Ton aura par une suite très-convergente, le terme moyen
ou indq)endant de o , du binôme (' 4- «J •
On parviendra plus simplement à ce résultat, par la méthode
suivante , qui peut s'étendre à un polyncnne quelconque.
35. Nommons y,y le terme moyen ou indépendant de a, du bi-
nôme Q- -ha\ , ou, ce qui revient au même , le terme indépendant
de c***'^, dans le développement du binôme (c**"^"' + c~* V-'^».
iSi l'on multiplie ce développement par dv , et qu'on l'intègre depuis
1? nul jusqu'à «w = | ■* ; il est facile de voir que cette intégrale
sera i-^.y,, et qu'ainsi on a
£n effet , en développant le binôme renfermé sous le signe /, et
eubstituaiitaUliçudee*»'*V-'j sa valeur co83rw±V — i-sinarw,
dby Google
DES PROBABILITiS. i3g
on aura le terme moyen du binôme , phu une suite de cosinus
de l'angle air et de ses multiples ; en les multipliant par dm , et
les Intégrant, cette suite se transformera dans une suite de srnus
de l'angle air et de ses multiples, sinus qui sont nuls aux deux
limites ir ==0 et •»- = ^ t. Il ne restera ainsi dans l'intégrale que
le terme moyen du binôme , multiplié par 7 tt. Cela posé , si Ton
substitue au lieu du binôme c ^^' + c— V'--^, sa valeur a . cos ir ,
on aura
en 8iq>posant sin «■ ss u , on aura
l'intégrale étant prise depuis u = o jusqu'à u ^ 1 ; ce qui coïncide
arec ce que l'on a trouvé dans le numéro précédent.
Considérons maintenant le trinôme Q -f- 1 -f- a Y, et nommons ^^
le terme moyen ou indépendant de a , dans le dcvoloppement de
ce trinôme. Ce terme sera le terme indépendant de c='="V^, dans
le développement du trinôme (c*V^~4-i + c— •*^'-ï)'j on aura
conséquenunent , en appliquant ici le raisonnement qui précède ,
j',= ^./rf'*.(iH-a.cos«')';
l'intégrale étant prise depuis •s-^o jusqu'à irs=T. La condition
du Tnaximum de la fonction (i + a.cos-v)' donne sin<ir^o;
ensorte que les deiix limites de rint^rale,«-=o et 'V='7r, ré-
pondent à des maxima de cette fonction ; on partagera donc l'inté-
grale précédente dans les deux suivantes ,
/(*»,( 1 -t-a.cosir)', ( — ly. /d<ir. (a. coS'O-^i)';
la première de ces intégrales étant prise depuis ir nul jusqu'à la
valeur de •»-, qui rend nulle la quantité a.cos «•+ i j et la seconde
iht^ale étant prise depuis <arz=:o, jusqu'à sa valeur qui rend nulle
là quantité 3 . cos ir ~ 1 .
dby Google
. ^4o THÉORIE ANAimOtTE
Foor obtenir la première mtég^fdé en série convergente, oa
' fera
( 1 4- a • cos AT )' = 3* . c-*' s
en supposant a = -> extrayant la racine s de chaque membre > et
développant cos «r et (r-^% on aura
d*où l'on tire par le retour des suites,
»=«^^.V/g.(i— ^ + etc.);
partant ,
/rf'ir.(i4-a.cos«r)'=^^./d(.c-''.(i — |^+etc.).
l'intégrale relative à ( doit être prise depuis t nul jusqu'à * iit-
fini; on aura donc
/rf«-.(i+a.cos«-)' = 51~^.(a-^ + etc.).
On trouvera de la même manière
/rf«r.(a.co8«r-i)'=-7^- (i -7^;+^^^
on aura donc
v.=:-^-Ci - 4-+etc.W -^^ -(i — |-+etc.Y
s étant supposé un très grand n<Hnbre , cette quantité se réduit à
très^eu près à — y^. C'est l'expression fort approchée du terme
moyen ou indépendant de a , du binôme Q H- i H- «) "
On déterminera de la même manière , le terme moyen d'un po-
lynôme quelconque, élevé à une très-haute puissance. Supposons
d'abord le nombre des termes du polynôme , inq>air et égal à ao+i j
dby Google
DES PROBABttlTÉS. i4»
ft r^résentone ce polynôme par
— -f- -j^rr* .•-+- + !•+■«• •• .■4-a"~"'+'a".
En substituant tf*V^ pour a , ce polynôme devient
iH-a.cosw-+- a. ces air.. .,.+ a.co8 7Mrj,
or cette fonction est égale à — ^^.^ . J — ; la puissance « Aa po-
lynôme est donc
\ ein i « y
Le terme moyen de cette puissance, est le terme indq>endant d^
«9-, dans son développement en cosinus de Tangle <!»■ et de ses
multiples. On aura évidemment ce terme, en miûtipliant la pui^
sance par d^ ; en prenant ensuite l'intégrale depuis tr =o jusqu'à
vss-TT, et en la divisant par 7t. Ce tenue est donc égal à
La condition da maximum de - . \ donne réqoatioB
tang (îîi±lVw =: (an-f* i).tangi «•,
H y a depuis -w nul jusqu'à *=-*, plusieurs Jnaxima alternative-
ment positiË et négatife. Le premier répond à v nul et donne
y-
.Pour aToir rintégrale précédente , depuis ce maximum jusqu'au
■m f — ^—j-*
point où ' \^\, œt nul, ce qui a lieu d'abord lorsque
db, Google
THÉORIE ANAtTTIQUE
«r s= — ; — , on fera
(îpg_-y.,„..,.-.
En prenant les logarithmes , et réduisant eu séhe relatiTement
aux puissances .de ir , la fonction
'on aura
ce qui donne
Vintégralâ précédente devient ainsi
* J vn.in+i).s '
Elle doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini ; car à l'origine , ou
lorsque -v est nul, t est nul; et à la limite, où'ar ^— v > t est
1 ' ' » an -)- 1 '
infini ; cette intégrale devient donc, en ne considérant que le pre-
mier terme, et n^ligeant les soivans qui sont, par rapport à loi,
de l'ordre -,
Lé second maxâmmi est n^tif, et répond à tme Taleur de
/an + J\ ,g. ^ comprise entre lis* et ~w. En effet, l'équation du
maximum
tang(^î^).'W=(an4-i>.tangiw,
donne
db, Google
DES PROBABILITÉS. i45
Ainsi ( — X_Vi7 étant compris dans le second maximum entre
V et aw, tang f^^^tJ.Yflp. surpasse tj par conseillent (ï^—ij.'W
aurpasse a--f-î*iilest donc conqHÏs entre fw etf ■*. L*éq»M»tioB
précédente du maximum donne
an + 1
Ce dernier membre est plus petit que
a /■*' i-»
' 7 -v ne surpassant pas i 'jr , il est facile de s'aafiurer que '-"™
n'est jamais moindre que sa valeur qui répond à ir^Tr, et qui
est égale à - ^ le second membre duni Jl s'agit, est doue généra-
lement plus petit que
Aelatirement au second maximum , (~^j.«" étant compris entre
^?r etf TT, ce mendire sera phu petit que (*n-^i).7; ainsi la
. /an+i\
, flm [ — ^i—y^
pTiissance « de — , *, ■ . — , ne surpassera point (aBH-i)'.(|)'j
elle sera donc , lorsque s est un trés-^and nombre ^incompïo^le-
ment plue petite que la même puissance correspondante an premier
maximum y et qui est égal à (3/z4~l)'•
On verra de la même manière , que le troisième maximum est
compris entre (î^y^y^rcsi-s-, et(ïî^yir = *w, et qu'à ce
maximum, la puissance s de — — ■.— ^ — ^^ ne surpasse pas
(2n+i)'.(5)'j que le quatrième- maximum est connpris entre
y Google
t44 THÉORIE ANALYTIQUE
^?5+lV,y2=jJ. ^j et (22JhiV flpssB^^, et qu'à ce maximum^
la puissance « de — \ '[J — ne sorpasse point (a/H-ï)''(iT)'» *'
ainsi de suite.
Maintenant, si à partir de Pun quelconque de ces maxima^
on lait
A.(^)..y_/.„(î^).„Y
n étant la râleur de <v qai correspond à ce maximwns et si
l'on &it
<ir = n + ir' j
on aura en prenant les logarithmes des deux membres de l'équatioa
précédente entre ir et «,
j.log 8in(î^).(n-HpQ— s.logsini(n-h«') -
=«.riog aiii (^^)- n — log sin i n"] — *•.
En développant le premier membre de cette équation suivant les
puissances de <v-'} la comparaison de la première puissance donnera
d'abord l'équation du maximum
tong (i^).n=(an-fi)-tang i n-
En ne o<onsidérant ensuite que la seconde puissance de «-', on aura
ce qui donne
a^= , "^ . ., ;
l/».(«+0.»»'
rmtégrale
prise entre les deux limites entre lesquelles — . f ■ est nul
de
Digilized b
db, Google
DES PROBABILITÉS. i46
de part et d'autre du maximum de cette fonction , est donc à très-
peu près
l/an-Crt+O.iW
'\ sinin y'
Cette expression a généralement lieu pour les intégrales relatires
à tons les maxima qui suivent le premier ; seulement il fent n'en
prendre que h moitié relativement au dernier qui correspond à
n = 9r. . 11 résulte de ce qui précède , que cette expression par
rapport au second maximum est moii^e , abstraction Êûte da
signe, que
que relatiretnânt an troiâi^triA Tnaximum , elle est moindre qutv
» {-.y.
y' an (n+i).CT- ^'^ '
et ainsi de suite. Lorsque » est un très^and nombre , ces quan-
tités décroissent avec imc extrême rapidité , et elles sont incom-
parablement plus petites que la quantité relative au premier
maxmium, et qui; comme ou Ta ru, est
(a«+i)'.l^ .
V^fl«,(»+l).i)r
on peut donc n'avoir égard qu'à cette dernière iutégrale , et Ton
voit que cela est rigoureux dans le cas de n infini; car l'équation
de condition du maximum, donne alors (^^^Vn=(ïî^\')f,
r étant un nombre entier, ce qui rend . ^ ■ — fini, excepté
lorsque IT est zéro , ce qui répond au premier maximum.
Si le polynôme est composé d'un nombre de termes , pair et
égal à 3» , tel que
dby Google
i46 THÉORIE ANALYnQUE
en y substituant c*V^ au lieu de « , il devient
a.cos î w+ a.cosi'ir -f-a.cos (^^^^J.iir,
ou ^-r^. Ce polynôme élevé à une puissance entière et .positive,
ne peut avoir de terme moyen ou indépendant des connus de l'a-
et de ses multiples , qu'autant que cette puissance est paire j repré-
sentons-la par a« : îdors le twme moyen sera
l'intégrale étant prise depuis ir nul jusqu'à iws;*. Cette intégrale
80 compose de diverses intégrales partielles relatives aux divers
TnanimadiG la fonction ||^^; mais ou s'assurera fikcilement, par
l'analyse précédente , que toutes ces intégrales , lorsque a* est un
très-grand nombre , et lorsque n est plus, grand que l'unité , sont
incomparablement plus petites que celle qui est relative au premier
maximum qui correspond à «ar nul ; et alors on trouve à tressa
près le terme moyen de la puissance as du polynMne, égal k
«_.).(<>» 4-.
En rapprochant ce résultat, du précédent , on voit que si l'on nomme
généralement n' le nombre des termes du polynôme, et s' la puis-
aance à laquelle fl eet élevé ; le terme moyeu du développement sera,
lorsqu'il y en a un ,
'■t/g _
v^^
et pour qu'il y ait un terme moyen , ( n'— j).s' doit être on nombre
pair ; c'est-à-dire que l'un ou l'autre au moine , des nomlnres n'—i
et s', doit être pair.
36. L'analyse précédente donne encore le coeificieot de c^^ dans
le développement du polynôme
(a^'-ha""*'. . . .-Ho~'-f-i +_a... . + fl"-' -f- a")'i
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITES, 14?
fonr l'obtenir , on observera que le coefficient de (£ dans le dé-
veloppement de ce polynôme , est le même que celui de a" ; en
nommant donc ^,ce coefficient , en faisant a = c*'''— ', et réunis-
sant les deux termes du développement, relatife à tf et a~' , on
aura a^^.cos m- pour leur somme. Maintenant, si l'on multiplie ce
Ai.(ï!+i).,Y
polynôme^ ou sa valeur l — \-^ j par d^rr . cos /w , et qu'on
intègre le produit depuis 'sr:=o jusqu'à <ar=:7r; il est clair que
tous les termes disparaîtront j excepté celui où r est égal à /; .
l'intégrale se réduira donc à a-f^f/^-tr.cos'./fl»; ce qui donne
fer:
^,=-.ya4r.co8.i^.'
Fonr intégrer cette fonction , on fera r.anune rî-nlessus ,
: (an H- ly-c-''.
En prenant 1^ logarithmes et développant par rapport aux puîssancea
de ir , on aura par le retour des suites, pour «•, une expression de
cette forme »
«= ^^^|^=.(i +>i-+etc.);
ce qui transforme nntégrale précédente dans celle-^ci ,
l'intégrale étant prise depuis £.nul jusqu'à t infini. On peut &cile-
ment l'obtenir par le n° a6 , et l'on trouvé , en n'ayant égard qu'à
son premier terme, pour sa valeur ,
y Google
i48 THÉORIE ANALYTIQUE
C'est la valeur cherchée du coefficient de a* ' dans le âéreloppeméat
du polynôme , lorque sa puissance 3 est très.-élcTée.
Cherchons maintenant la somme de tous ces coefficiens , depuis
celui de a~' incluslTemeot, )U8qu'à celui de a' iaclusiremeDt^ / étant
un grand nombre, mai» d'un ordre inférieur à s. Four cek, oous
observerons que Ton a par le n* 10,
=(fr-i-â'y+v..f+e.c.;
d*où ron tire parle numéro cité,
2 .jyi = J^t . rf/— k-Jf^rï'-yj-h etc. H- constante.
£n prenant l'intégrale depuis le terme correspondant à / nul inclusi-
vement , on aura la somme des yaleurs de j, depuis cette origine
jusqu'au terme j, exclusivement. La constante arbitraire sera égale
alors à î-.y. — t:-'w~' ^^- j ^^^ ^ somme dea valeurs de yi,
depuis / Dïd inclusivement jusqu'à /i inclusiremenl , aéra
Supposons maintenant
^<
-<""+'>'- ^^ -— --^
/i..(n+.).JM7r'
alors les différences de jt seront successivement d'un ordre infé-
rieur les unes aux autres ; en ne considérant donc que les trois
premiers termes de la série précédente , on aura
pour la somme des coefficiens des termes du développement de Id
puissance s du polynôme , depuis / nul inclusivement jusqu'à ri in-
clusivement. En doublant cette' somme , et en retranchant de ce
double , le terme y, , on aura pour la somme des coefficiens , depuis
Diç|i1zed ^v
(Google
DES PROBABILITÉS. i4s
Celai da terme correspondant à a~' inclusivement, jnsqa'à cdtii du
tenue correspondant à a' indusirement,
t/».(»+i)..,r ^ ^'
57. Nous arons supposé dans les exemples précédens , que ïeaf
équations aux différences en^, , n'araient point de dernier terme >
donnons un exemple d'une équation jouissant d'un dernier terme f
et pour cela, considérons Féquatfon aux diffêrences
Enlisant
on aura
ce (pii donne d'abord pour déterminer ^, l'équation
(i+':)-d<f + (,i + l).<tdx^o;
d'où l'on tire en intégrant,
♦ = (■+»>'"'■ .
ji étant une constante arbitraire. Ensuite on a
ea
d'où Ton tire
ensortc que
.+.)'*■ '
l'intégrale étant prise depuis x 9:0 jusqu'à a: z=p. En ajoutant à
cette valeur de^;, celle-ci
db, Google
n5o THÉORIE ANALTriQUE
rint^ale étant t>rù^ depuis x nul jusqu'à x tnôni , et S étant
une arbitraire ; on aura pour Tintégrale con^jléte de M {Hr<^>esée
expression que Ton peut mettre sous cette forme
la première intégrale étant priao d^piàB x nul jusipj'à x infini j «t
la seconde étant prise depuis x^ssp jusqu'à x infini -
Maintenant, l'intégrale de la proposée
^ = *\]r, 4- (^ ■" 0 .^,+,
est
0 étant une arbitraire , et, S étâUtla câraotwistiqile des dîËKrencfts
finies; ensorte que la fonction. Z-^-' ••• '\^^"' '■"^'~^'*'^hp' est
égale à
c'est-à-dire, à la somme des s prenuers termes du binôme (i +/?)'.
Si l'on compare cette expression de ^^ à la précédente , on aura
- i.(i-o... .0-^+0 • (.'2— ^ — ..=.3 -f}
Si Ton fait ^ ^ i dans cett« équattOD , et ai l'on observe que le pro-
duit 1.2.3 (5 — i) se réduit alors à l'unité, comme on l'aita
dans le n' 54; on trouve après les îu^gratioQS J?'=<2: ainsi B'
étant une arbitraire, cette équation se partage dans les deux
suivantes,
i.a.5 (^— i) _ /■i-'.ifa
i.Ci-i)....0-«+O ~J{i+xy*"
■ .a.3....(.— 0 ;.(i— 0...(i-,i+i), ... ,. , _„ rif-'.dx.
db, Google
DES PH0BABÏLmÉ3. i5i
d'où Ton tire -
' l'intégrale du numérateur étaût ptiâe «depuis x =/> jusqu'à Jc infini;
et celle du dénominateur étant prise depuis x nul jusqu'à jc inâni.
Lorsque s et i sont de grtmds bembree , H swa fecile de réduire ce»
deux intégrales en séries conrergentes , par les formules des
n**" 33 et a5. On aura ainsi la sommé de * premiers termes du
binôme élevé à une grande puissance, par une approxîmàtioo
d'autant plus rapide , ^e cette puissance sera ;^U8 haute.
Si l'on «^ctue les intég^tions, l'éc[uatioQ précédente devient
n-r+-7:7— r—'H — ' i.3.a...cj— ) — -^
■ (i-^+0....(i— 3 P-
••"■^ i.a.3.....Cf-i) ■(.+«'-
Le second membre de cette équation est une transformatioli de
la s<Hrtme partieHe dos Uitnes da binôme (i +p )', tranaformatioD
qui peut être utik.
De ^approximation des déférences infiniment petites et Jîniea ,
trëa-élevêes ,■ deê fonciiona.
58. Considérons une fonction quelconque de z , que nous repré-
senterons par f {z). En y changeant z en i + '» désignôtiâ par
y, le coefficient de V dans le développement de cette fonction ;
nous aurons
— Z^LJ^Ssil .3.3.^ .-.*.Jf,,
t étant supposé ntil apris les dilKrentiations ; et conuôe t)n a
' d^ ^^ "^^ ' ^° supposant ( nuîj on aura ,
db, Google
iSa THÉORIE ANALTOQUE
Ainsi la recherche de la di^rence s'"" de ^ («), se rédoit à dévc^
lopper la fonction f{z + t) en série.
&ippo8ons que cette fonction de < soit une puissance d'unpolynràiie
de t , que nous représenterons par
(a + bt-i- cC+ etc.)**-
En e^rimant par
r.+J'.-'+j'.-*'- . . .+^..c4-etc.,
son développement en série^ on aura, en prenant les diCfêrences
logarithmiques ,
./4.(& + !irf+ete.) y, + ay..f....+ jyi.f*-'-f etc.
a+bt+<^+ etc. ~y,+y,.t+y^.f +_y,.C+ etc.*
Multipliant en croix, et comparant les termes multipliés par f-',
on aura
a.^.^,4-6.(* — i).^,^, + c.(j— 3).^,^-4-etc.
Représentons par ficf-'^-dx, l'expression de y,; cette équation
devient
/ b c \' (^■(-H-iH-^+etc.))
o=x'.(a-f-| + |i+etc.).^/*'J "^ / ^ \}.
^ " ^ ^ |+^d^.(*+-+etc.))
En galant séparément à zéro , la partie de cette équation , affectée
du signe intégral, ou a
o=<*p.(a+^ + J+etG.)+/i^d;r.(^+^+etc.)j
ce qui donne en intégrant ,
^ étant une constante arbitraire. La partie de l'équation précé-
dente, hors du signe intégral, donnera ensuite pour déterminer
les Umites de Tintégrale,
o=5j-.(«-|--4.^-f-etc.) ;
dby Google
DES PROBABILITÉS. i53
ces limites sont donc x=Oj et x égal aux diverses racines de
réqoation
o=aaH--H-J;-hetc.
On aura donc par les méthodes précédentes , et par une approxi-
mation très^ompte , les coefiiciens des puissances très-élerées de
t , dans le développement en série de la puissance ,
(a + ft(+c«'H-etc.)'',
et par conséquent ou aura les différentielles très-élevées de la
puissance
(a'H-6'^+cV+etc.)^
qui se change dans la précédente , en changeant x dans z + '> et
&îsaqt
o = a' -4- ô'z -f- c'a' -f- etc. ,
è = b' -h ac'z H- etc. ,
c sa c' -(- etc. ,
etc.
Appliquons cette analyse à un exemple.
X étant le sinus d'un angle 6 , on aura
Pour avoir régression du second membre de cette équation , nous
observerons que Ton a , par ce qu'on vient de voir ,
y, étant le coefficient de V dans le développement de [i — (z+()']~*\
On aura ensuite
les limites de l'intégrale étant données par Téquation
db, Google
i54 THÉORIE ANALYTIQUE
Ces limites sont
x=— — i — , x^o, «:=— — ï
i + * ' ' 1 — »
Comme x a trois yaleors , l'expression de^, prend cette forme , par
le n* ag,
A et ^' étant des constantes arbitraires , et la première int^rale
étant prise depuis x = — -«- ]as<|a'à x =s o , et la seconde étant
prise depuis a:s= o jusqu'à x = -^. Si Pon Ëtit
L'expression précédente de ^, devient
la première intégrale étant prise depuis ir=o josqu'à •» égal à
l'aide dont le cosinus est — x , et la seconde étant prise depuis
ce dernier angle jusqu'à 4rs=7. Four déterminer les arbitraires
B et B\ on observera qne
d'où il est iàcile de conclure
partant
_j,,— î — ./ifw. (s + ces <»•)',
l'intégrale étant prise depuis ir=o jusqu'à '0-=^. En prenant cette
intégrale, et observant que
féw. cos".ir= ^ ,fdisr . (c*»^^+ tr^y^')'
dby Google
i.B.3.....ar i.5.5..^.(ar— 0 ,
i".(».a.3. ....r)»'* — a.4.e....ar *'
DES PROBABILrrÉS.
VU CHU a
cette expression est fort composée , lorsque ^ est un grand nombre ;
mais alors on peut obtenir sa valeur d'une manière fort approchée ,
en appliquant à l'expression de y, sous forme d'intégrale définie ,
les méthodes exposées ci-dessus. La fonction sous le signe intégrîd
ayant deux nuunma , l'on à l'origino de l'Intégrale , et l'autre a son
extrânité , nous la décomposerons dans les deux suivantes,
y,^ î-;^.[/dw.(«+cos «■)'+(— !)■./*»•. (cos «■ — «)'] i
la première iuté^ale étant prise d^uis «■ nul jusqu'à tr égal à
l'angle dont le cosinus est — 2 , et la seconde intégrale étant prise
depuis 4F- nul jusqu'à tr égal à l'angle dont x est le cosinus. Soit
- s= CE . et Msons
(r-f-C08ir)'=(i+x)'.c"" ;
«n aura «Q prenant les logiarithmes et l'éduisant cos ir' en série ,
d'où il est Ëicile de conclure
flr= Jt. v'a.(i-*-«}-(i — '•^'~'^<'+etc.)i
on aura ainsi , en observant que Tintégrale diût être prise depui»
t nul jusqu'à t infini,
/<*sr.(r-|-C08«r)' = ^pE.(i4.,/ +^.(1 - 1^ + etc.)
En diangeant z dans — je, on aura
db, Google
i56 THÉORIE ANALYTIQUE
partant
y.= '. _ . (i - 'JSpl + etc.')
dans le cas de s très-grand , cette expression ae réduit à fort peu
près à ce terme très-simple ,
Si l'on muItipKe Texpression (b) de^, parle pro^t i.a-3.
produit qui par le n' 53 , est égal à
s'*" . C-. V'^-(l H- ^ -t- etc)r
on aura à très-peu près
' 5g. Lorsqu'une fonction ^, de s peut être exprimée par une
intégrale définie de la forme faf.^dx^ les différences infiniment
petites et finies d'un ordre quelconque n, seront par le n* ai,
^ =/(:•. (p<ir.(log*)',
Si au lieu d'eiq)rimer la fonction de 5, par Tintégrale fxf.^âx^ on
Texprime par l'intégrale fc-'^.^dx^ alors on a
-^ = (— lYtfic^.^dx.c''"^
A" .y, z=f<fdx* c~" . (c"*— i)'.
Pour avoir les intégrales »'""", soit finies, soit infiniment petites ,
il sufBra de fêtire n négatif dans ces expressions. On peut observer
qu'elles sont généralement vraies ,■ quel que soit n , en le supposant
dby Google
DES PROBABILITÉS. iS^
même firactiomiaire ; ce qui donne le moyen d'avoir les différences
et les intë^ales correspondantes à des indices fractionnaires. Toute
la difficulté se réduit à mettre sous la forme d'intégrales définies,
mie fonction de x; ce que Ton peut &ire par les n"* 39 et 3o,
lorsque cette fonction est donnée par une équation linéaire aux
différences infiniment petites ou finies. Comme on est principale-
ment conduit dans l'analyse des hasards , à dçs expressions qui ne
sont que les difierences finies des fonctions , ou une partie de ce»
différences ; nous allons y appliquer les méthodes précédentes, et
détenniner leurs valeurs en séries convergentes.
4o. Conndérons d*ahord la fonction -,. En la désignant par^,,.
eUe sera déterminée par l'équation aux di^'enoes infiniment petite-
Si l'on siq>po9e dans cette équation ,
elle deviendra
d'où l'on tire en' intégrant par parties , conformiément à la méthod!&
du n" 99 , les deux équations
0=1? — ai~>
o=x(p.jy.
La première donne en l'intégrant,
^ étant une arbitraire. La seconde équation donne pour les limités
de llntégrale fc"^. ^dx , x ss o et x =: 00. On aura donc dans
ces limites.
dby Google
i58 THÉORIE ANALYTIQUE
Pour déterminer la constante A, nous obserrerons qae s étant i,
le premier membre de cette équation se réduit à rumté j ce qui
donne
partant
OU aura donc par le numéro précédent
^•? — fi^^Jx.<r' ' W
les intégrales du numérateur et du dénonunateur étant prises depuis
K nul jusqu'à x infinL
Pour dérelo{^er cette expresàon en série , supposons
a:^ . c— '. (c— — I )" = o^' . c— .(c-*— l)". C-" ,
a étant la valeur de x qui répoi^ au maximumûa premier meml»-e
de cette équation. Si Pon fidt *=a-|-ô, on aura, en prenant les
logarithmes de chaque membre , et en déreloppant le logarithme
du premier , dans une suite ordonnée par rapport aux puis-
sances de d,
A-fl'-hA'.9' + A".0*+etc. = r;
les quantités a , A , A', h", etc. étant données par lea équations
suivantes :
i— i n.tr'
etc. i
on aura donc par le retour des suites,
fl=> 1- f, '''' I (5y-4AA-) ,. , „.„^.
dby Google
DES PROBABILITÉS. 1%
et cette suite sera d'autant plus couyergente , que le nombre n
sera plus considérable. En substituant cette valeur de fl dans la
fonction yaS-c-!*', et prenant l'intégrale dans les limites t=—ço
et ts^ooy limites qui correspondent aux limite» x^o et x^oor
on aura
/**-'dï.c-'*.(c*'— 1)»
==a'-*.c-.Cc--i)-. ^ . (1 + — ^çj^r— 4- etc.).
On a d'ailleurs
fx^'dx.c-'a^ifx'dx.c-'i •
et lorsque i est très-grand , od a par te n* Ss f
en divisant donc Tune par l'autre , le» deux valeurs de
f>^'dx,c-".(c-t-'iy et fx^'dx.c-^i
on aura
,.-^(r) ■^'-'^'"'-'>' (^■+' — TSF— +«**=■{
"•?- e«A* ■] L_etc.. \
I, la» • /
Pour avoir la ££^reDCe ffnie n'"" de la puissance positive j*;
il suffit , par le n' 5o , de changer daxu cette équation i dans -^ iV
et l'on aura
A'.*'=(H-b)'— n.(j+n— i)'4-Î^^^Î^^.CH-n— a)'— etc.
■a,l,t, t', etc. étant dasiKes par les é(]uati<H»
db, Google.
i6o THÉORIE ANALYTIQUE
_>-H_ c_
"~ a c* — I '
etc.
La série (/*') cesse d'être conTergente , lorsque a est une très-
petite fraction de l'ordre -; car il est visible que les (piantités
ly /, r, etc. , formant alors une progression croissante, chaque terme
de la série est du même ordre que celui qui le précède. Pour dé-
terminer dans quel cas a est très-pelit, reprenons l'équation
a e*— r
On peut la transformer dans la suivante j lorsque a est très-petit,
4'où Ton tire à très>pea près , dans la supposition de a très-petit ,
'+=
ainsi a sera fort petit toutes les fois que t — n sera peu considé-
rable relativement à ;+ ^- Dans ce cas, on déterminera A'. s'
par la méthode suivante.
Reprenons l'équation
âaoa laquelle se chasge la formule (^fi), lors^'on y Eût i négatif
et
db, Google
DES PROBABILÎTÉS. i6i
«t égal à — *'. On peut mettre la fonction (c~"— ï )' sous cette
forme
= (-.)-.c-?.x..(. +:L|: + i^.^+e«.)i
on aura donc
/^.o-.C^-a)-=(-.)-./^.c-<-*3'.(i+°-5 +e.4
Siron&it
on aura généralement
«r on a trauTé dans le n* 35 , par le passage du réel à l'imaginaire ,
/dj'.c— ' _ air.^l)''"' aj.(— 1)'~'
~~^' jS—d^.c-' — (r— O-C^-aj-fr— 3)Mc.'
partant ou aura
A-.;^=(i-B+i).(i-H-a).. . .(•(» + 1)"
i-Ki-njCi-»— 0-
=<('+0'
1 -Ki—»).(i-l.-0(i— »—!■)■(•— »-^- '^
+ .tc. -5..6.«^.(, + ^)
0**)
Cette série sera très-convergente, si i—n est peu consiiJéraMe
relatiTement à j + - ; elle peut d'ailleurs être employée dans le
cas où i est fractionnaire , comme il est &cile de s'en convaincre.
Quant au produit (i — n + i).(*— n-ha)....ï, il est &cile de
l'obtenir en série conrergente , par le n* Sa.
dby Google
i6a THÉORIE ANALYTIQUE
La formtOe précédente est une application triâ-sônplé de
réquatîon
que nous avons donnée dans le n" lo ; car en déreloppant le
second membre de cette équation, et £ùsant y,^=s\ ou obtient
directemeut cette fotmule que nous avons conclue des passages
du réel à l'imagiiiciire ; ce qui confirme la justesse de ces passages.
4i. Les formules (/*' ) et (/*" ) des ntunéros précédens, siqn
posent n égal ou moindre que i. En effet , si Ton considère Tex-
./-
dont le développement a produit ces formules ; on voit que les limites
des inté^aies du numérateur et dn d^iominaftear étant dâerraÏBée»
par le numéro précédent, en égalant à zéro le produit des quan-
tités sous le signe intégral , par x; ces limites seront toutes ima-
ginaires, lorsque i sera plus grand que n ; au lieu que dans le cas
où i sera moindre que n , les limites de intégrale du numéra-
teur seront réelles , tandis que celles du dénominateur seront
imaginaires ; il Ëtat donc alors ramener ces dernières limites à
l'état réeL Pour y parvenir, nous observerons que l'on a géné-
ralement
Si l'on Élit dans cette expression, i négatif et égal à — r— — ,
m étant moindre que n ; on aura
. rdx.tr' i—i.Y'*.fx 'dx.c-'
or on a par le n* 52 , les intégrales étant prises depuis x nul jiraqu'à
Digilizedby VjOOQIC
DES FROBAfiILITÉ& i65
('+;>•("+?)■ ■•=4^^^.
i étant ici positif : c'est Texpreseioa de j —^r ^oi*' <** ^^i' ^û"*
usage dans le cas qae nous examinons icL Si l'on Eût jc =t*,
et réquation (T ) du n* 34 donne, en j changeant r dans ni+ 1»
n'._p-^'dt.(r-^ ./ir~'dt.ù-<' = — ~-j
a'
on aura donc
n *
d'où l'on tire , en substituant cette valeur dans l'ei^ressîon pré-
cédente de A'.i',
A'.s*= yâ^ftc . c~'.J^^,.c~".{c-^ — l)"; (/*'") -
les intégrales étant prises depuis x nul jusqu'à x infini.
Le procédé qui vient de noue conduire à cette équation, est
fondé sur les passages réciproques du réel à l'imagioaire ; mais
' on peut J parvenir directement par l'analyse snirante ipd colIfi^-
mera aiiisi la justesse de ces paauges.
Si l'on prend l'intégrale f -J^.,- depuis »«« jusqu'à x infini j
on aura, en fttisaBt i = r+ — , la fonction *
dby Google
»64 THÉORIE ANALYTIQUE
or on a généralement, lorsqueaestiafiniment petit,
/ étant zéro ou un nombre entier positif; car si l'on développe c— **
en série, et que l'on désig^ne par i.x^s^ un terme quelconque de
cette série , on aura
En effet, si g surpasse^, ce terme devient nul par la supposition
de « infiniment petit Si g est égal ou moindre que/, 9 + r —f sera
égal ou moindre que r, et par conséquent, il sera plus petit quen;
et alors, par la propriété connue des différences finies, A'.sf*'^^
sera nul. n suit de là que A'.J-^— , omj-^ — ^. ~* -
se réduit à
(-fc-O-^'.A".*^'
/dx.c-
= ■(■+?)■(•+")••■■'
l'intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini. Si Ton £iît
a/
xv=.—j on aura
les intégrales étant prises depuis x et je' nuls jusqu'à x et x' infinis ;
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. 106
on aura donc
c_o-..ri£:^.A....
!»<■■
•(■+=>("+ï)-^'
. f^dx.c-'
En substituant pour^i-f-^V (a+^J i^saraleur-
et observant que l'on a par ce qui précède ,
iyv~ "Ac'. c-./x~dx . 0-=-^,
am — , w ,
on atffa la formule (/*'")»
Si i est un très-grand nombre , on aura par le n* Sa , Inté-
grale /x'dx.c~'; on aura ensuite par ce qui précède , l'intégrale
J — : — ^^^ ~''-;. ainsi l'on obtiendra, par une série très-conyer-
gente , la râleur du second membre de la formule citée. .
Supposons i infiniment petit, r sera nul , et - sera une fraction
infinim^it petite , on aura donc
un '
la formule (jit"^ domiera ainsi
..1 /*c~"dx f _j. v,
AMog*=— y -— -.fc— — ï)",
expression que l'on réduira facilement en série convergente, lors-
que n est un grand nombre.
43. On a soUTent besoin , dans l'analyse des basards, de ne
considérer dans l'expression de A". 5', que la partie dans laquelle
les quantités élevées à la puissance i sont positives. Nous allona
détermina la somme d« tous ces termes. Four cela, reprenons
dby Google
tee THÉORIE AWAITTIQUE
la formule (/*'") du numéro précédent. Si l'on y substitue au lien
de A".*', sa valeur
(s^^y—n.(s^nr~-iy-}- "■ ^7'^ .(^+n— ay— etc-i
et si l'on y change ensuite s dans — j ; on aura , en ne continuant
les deux séries du premier membre de l'équation suivante , que
jusqu'aux termes dims lesquels la quantité élevée à la puissance i,
devient négative , et observant que le signe -f- a lieu , si n est paÎTi
et le signe —, si n est Imptàr,
( 1 y . Qn— 5)'— n . (n— i— 1)'+ î:^-^ . (n— s— ay— etc.]
*(-iy.p-«. (,_!)'+ iLif^ria. c,-ay_etc.]
Si Ton change dans la dernière intégrale , x en— ax'.y^ï, elle
devient, ap^s toutes les réductionB ,
8— '. (— 1)^ ./x'-'-' . dx'. [cos (af— n) . jZ-V^ ■ 8iû (3tf— b) . x^ . (^^y ;
l'intégrale relative à x' étant prise depuis V nul jusqu'à x' infini.
On dura donc
(1)' . Qn— ^y— n .(»— ^— 1)'+ "•'^""'^ . (n— j— 3)'— etc.]
d=(-iy.Q'-«.(.-iyH- ïiÇ=il.(.-3)'- etc.] ^^
t=:i — — — .a"~'.(— 1) * .sîn^^dx.c~'.yjc'?~*"'.(ir'
X [cos(a* — n) V — \/— i*.sin(aj— n).^:'].^-^^^".
Supposons r=n— 1 , ce qui donne » =:n— 1+— , et comparons
séparément les parties réelles et les parties imagindires de Téquation
jtrécédente. On a
(iy:^(i)-T>.(x)^=i^i
Digilized by VjOOQ IC
DES PROBABILITÉS. 167
or on a '
I =co8a/jr + v^— i.sina/w,
/étant un nombre entier; on aura donc
(l)»=:C03 H (/i^.sm ,
Les valeurs corre^ondantes de (—1)" sont
cos CaM-i)-^-M/=^-8Jn{3H-i)-^.
Maintenant ( 1 )' devant être supposé égal à runité , dans l'équa-
tion(o),il&ut choisir / de manière que cos ^ — ^+\/^^.sin^-^
soit 1 , ce qui exige que l'on ait
"imv „
n ^ '
/étant un nombre entier que noua pouvons supposer nul;
alors on a
(—1)" = cos î^+ v/=T.8iD^;
mais on a
=fcC-i)'=±(-i)"-* "=-{-iF •■
la partie imapiaire du premier membre de l'équation (o) est donc
— l/rr.sin ^ . [^— «.(jwiy4."-C^'^'>.(j— 2y-.etcQ.
Déterminons la partie imaginaire du second membre de Téqua-
tion (o). On a
on a ensuite
(-i)~*^'=-y/=ï.(-ir
à cagse de rsan— i et de is-it—i+^; or on a par ce qui
db, Google
i68 THEORIE ANALYTIQUE
précède ,
on aura donc, pour la partie imagiiiaire du second membre de
l'équation (o),
-3— .l/:=r.^^./<te'.x'"".C08[(2^B)jc'-^3(^)'>'''''^-
Si Ton égale cette fonctioD « la partie imagimùre au. premier membre
de cette équation ; ai l'on observe de plus que
en Iài8ant*=yï'"^'^'(Û.<r-'', Tintégrale étant prise depuis t nul
jusqu'à t infini; enfin, si l'on suppose as — n=zi on aura
="±f../y-^.d^.co,{z^-^).(s^): (p)
Pans le premier membre de cette formule , la série doit être
continuée jusqu'à ce que Ton arrive à une quantité négative élevée
à la puissance n — i + — , £ ne sm^assant- point n ; dans le se-
cond membre , l'intégrale doit être prise depuis x' nul jusqu'à x'
infini.
La comparaison des parties réelles des deux membres de l'équa-
tion (o) conduit au même résultat ; et d'ailleurs » elle prouve que
pour la coïncidence des deux résultats tirés de la comparaison
des quantités réelles entre elles et des quantités imagbaires entre
sUes , il est nécessaire de supposer , comme nous l'avons Ëiit, /= o.
On
dby Google
DES PROBABILITÉS. i6g
On peut encore parrenlr à la formiile {p), au moyen de Téqua-
tion suivante}
«•[?(H-3,n)— ?(z, «)]== (n+z+a).^(a+a»»)+(»— ')•?'(•«,«),
^(z^n) étant le coefficient de ds dans la diffêrentielie de 9(z,n),
et 9 (£, n) étant égal à
tous les termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance i
est négative, devant être rejetés, et x ne surpassant point n ,
ensorte que la quantité élevée à la puissance (, ne surpasse jamais
an. En résolvant cette équation aux différences infiniment petites
et finies, par la méthode du n" 5o, et déterminant convenablement
les constantes arbitraires , on parvient à la formule (p ).
Nous allons maintenant donner quelques applications de c^te
formule , qui vont nous conduire à plusieurs Uié<Mrèmes curieux
d'analyse.
Supposons m nulj alors on a
la formule (p) devient ainsi
i.a.3 (n— â).i>"
fiaf. eo» sa/, f ■ j ■ j
on a
log(^-=„.log(, - J «'■+^ a:-* - etc.);
ce (pli donne
on aura donc , par le n' a6 , en feisant x = ry/ïï,
dby Google
1,0 THÉORIE ANALYTIQUE
^•'°t^"= V/J.-»-'"- D-^..(.-6..-5.)+eto.]
= i.a.8 (n-ÔV"" ^ ~'' ^^^
la série de ce dernier metobre devant être arrêtée aus puissance»
des quantités négatives.
En diffërentiant cette équation par rapport à r, on aura, avec
la <xnidition de l'eiclûslOD ^ca puissances des quantités négatives ,
_ ", I in ■ ■ rÇa-h- V'ii)'*^.(ii-K t^i*— a)'-'+^^^^^^^-C«+f i^»-^'~'— «*c 1
ï.a.3...n— fl.a* U i.a . _l
En coâtinuatit de dîfiërentier ainsi , on aura ks valeurs des diffi:-
rences inférieures » pourvu cependa&t que le ntMubre de ces di£^
rentiations 'soit fort petit relativement au nonabre n. On peut
observer que ces équations subsistent, en y fitisant r négatif; car
coszx' ou cosx'r^n est le même dans les deux cas de r positif
et de r négatif. .
On peut y en int^ant successivement Téquatioil (9) , obtenir ^des
ftéorémes analogues sur les.dififêrences finies des puissances su-
périeures à n , en excluant toujours les puissances des quantités
négatives. Ainsi Ton a^ par une première intégration,
' i.a.3.....».a"
- y^./rfr . c" '^[i — ^.(1 — 6r*+5r»)]H-etc.
On déterminera la constante arbitraire C, en disant conuuencer
«Teo r.lïntégrale/rfr.c"''", et en obserrantqu'alor» r étant nul,
db, Google
DES PR0BA3IUTÉa. 171
le dernier ooenatibre 4e réquatioQ s& réduit, à CQit« QOnit««t«. Hv»
ce oap 1 W premier devieut
B- -. n . (rt^a)"+ îî:teil.(ff — 4)" — etc.
Mais on a, comme on sait, sans l'exclusion des puissances de«
quantités négatives,
B"— n.(»^a)"-4-^..,.:^». (»*-»)* qs (—»)*»: 1. a. 5... J». a",
le signe supérieur ayant lieu si n est pair ^ et le signe inférieur ai
n est impair. Dans les deux cas , on voit que la somme, des termes
<tans tesqaek les quantitée éleréoe à la puissance n sont Bégativ>es >
e^ 9gale à la somme dea autres tenaoes ; (m a dfMic, avfic rexic^u-
ûon des puissances des, quantités négiMiTe&^ *,
„._„.(„_a)-+:i:^=ll.(„-.4)--fttc.^i.a.5...B.3— i
ce qui donne C=7; par conséquent,
En intégrant de nouveau cette expression, et déterminant conve-
nablement la constante arbitraire ) ou trQ«.Te
43. On peut étendre le» méthodes préc«dieiltes à la détermina-
tion de la diSèrence n*™ d'une puissance quelconque d'une fonc-
tian ratioBnelle d« <. Q mKt pour c«b lit tédaire par la métboda
du Q* 99 , cette fonction à la lorme/x' . fax. ]i(ai> «n a vn qufaluf
db, Google
173 THÉORIE ANALYTIQUE
on parvient pour âëterminer f , à une équation difiërenlielle d'un
degré égal au plus haut e^osant de s dans cette fonction, el qui
le plus souvent n'est pas întégrable. On peut obvier à cet in-
convénient , au moyen de multiples intégrales , de la manière
suivante.
Considérons généralement la fonction
Si dans l'intégrale yV-'tir.e*^^'''-', prise depuis x nul jusqu'à x
inGni, on change (sH-p).a: en x\ elle devient 7j4rrr/^'^''^-o~^>
la nouvelle intégrale étant prise dans les limites qui la précèdent. Xa
Gompaitfson des deux intégrales donnera
Il suit de là que
C'+P)'.Cj-H'r-C^-H'T.etc.
yâJ-'.a;"^-'. x"*-'. etc. dx . dx'.d^. etc. c-l^'-l''-^-P'''-*lc--'C'^-^^^-^-*^^te.) '
— ■ fa^'dx. <r' .faf-'djf.ç-'' .fx'^—âa? . c"'*. etc. '
toutes les intégrales étant prises depuis x > y, V^ etc. nuls jusqu'à
leurs valeurs infinies ; on aura donc
A'.T-
'CH^y.Cj+p'V'.etc.
— ' /x'-'<ir.c-'./a:"'-'da;'.c--'.etc. ' *
On réduira facilement en séries convergentes , par la méthode du
n" 4o, le numérateur et le dénominateur de cette expression; et si
l'on change dans ces séries, les signes de i, t', etc.; on aura la valeur
trèfr-approchée de
A-.(«-|-i'y-(«+//.etC.,
n i U ''> ^^- *^^^ supposés de très-grands nombres. On trouvera
par le amuàx) dté ,
dby Google
DES PROBABILITÉS. 173
4-.(j+i,)'.(.+i/)".etc.
) ■ C 7 ) ■ etc. ct'*l')-*H'+?0-»'-*««-'::^-«M- . (c*^'*»" — ])■
a, a', etc. étant déterminés par les équations
i + i , n-t**^"*"^-
°—a H»— /> — JJKSSTZT'
etc.
Le cas ïe plus ordinaire est celui dans lequel les expoSanâ / , i'y
i", etc. sont^aux, et s-j-p, «+y, etc. forment une progression
arithmétique. On peut obtenir alors, par la méthode suivante y la
différence finie de leur produis élevé à mie haute puissance.
Considérons la diQërence A''.(*.«— i)'. Si l'on £tit «=y-f-|,
elle devient
En développant Cette fonction en série, oti A
A".i'"— 7.A'./*fe'H-iiîî=^.A'.«'"-<— efo.
Les formules du n* 4o domneroni lai valeur approchée de chagin des
tennes de cette sérié , et l'on voit, par ces formules , que n et » étant
de très-grands nombres, A'.***-' est d'un ordre nïoindre de deux
unités, que A'.***; d'où il. suit que chaque terioe de la série précé-
dente est d'un ordre inférieur d'une tmité , à celui qui le précède -
ce qai montre la convergence de la série.
- On arriverait au même résultat en résolvant par approximation ,
l'équation différentielle du second ordre en 9, à laqueÛe conduit la
médiodç du n* 99. Lorsqu'on supposa
Q'*--{y'=A-"'<pdxi
dby Google
174 THÉORIE ANALTnqCE
on a
£a &i3^t disparaib-e s' des cô«£Bctens de cette équation , par la
méthode citée , dan» les terme» affectés du signe intégral ; égalant
ensuite à zéro , la sonuoD^ de 'ces tonnes, et si^posant ensuite daas
réquation difierentielle que l'on obtient ainsi, > égal à une suite
ascendante par rapport aux puji^ga^c^ de x ; oo aura une série
convergente. On aura e
d'où Ton tirera une valeur en série de A*/.)'' — 7) > ^' ^^"^^ laquelle
il suffira de changer le signe de c , poujc avoir la rakur d^
A..(.'._0. .
Cette manière de résoudre par approximation , Téquation di£^
ren,tieUe en ^ , et que nou» a-roa» îçdiquée à la fin du a* 3o, peut
servir dans un grand noEohre de cas où cette équatîoi;i n'est pas
intégrable exactement
Remarque gémêraU *ar la oojwêPgtnoê âaa. séries.
44. Nous terminerons c^te Introduction , par une observation
jv^rtaote sur la convergence des série» doiri; now avcms ^t nv
«i ^équent usage. Ces aédes bonvwgi^ tréA-rs>i*''^iV^B^ ^^ns letiF9
preouers termes; mais seittye^t cette coiove^oce dàvww et finit
pv se changer en diTerg«nee^ £Ue hq doit pa0 empêobier l'usage ^
ceft8érie$î en a'en^jcaot q^e leurs prQiaien lecvMs^ dom Wsqu^te
iâ convergence est rapide ; car le veste d^ là séfâ^ » que l'on n^
glige, est le développepi^ d'iwe fooctÏQii a%i^btique ou.iBté^e,
très-petitç par rapport 9, ce, qi^ p^éoèdo. Poiir reoib'e: oelft s^nsi^ci
par un exemple , considérons. ]»: développ^st^t eii ^çiç , à». If iflir
tégrate /dt . c-'" , prise depuis « =* y jusqu'à t infini. On a , par
le n* a? ,
ibyGoogle
DES PROBABarTÊS. 17S
Cette série finit par être divergente, quelque grande que soit la
valeur que l'on suf^ose à Tj mais alors on peut employer sans
erreur sensible , ses premiers termes. En efifet, si l'on considère,
par exemple, ses quatre premiers termes, le reste de la série sera
'' ai'^ -f '^' i or cette quantité, abstraction feite du signe,
est plus petite que le terme — '■■ ^-^ — qui précède j c'est-à-dire«
que l'on a
•j.f^:Ç^ = constante^ ^- 3./^.
En déterminant la constante, de manière que l'intégrale soit nulle»
lorsque t=T, on aura —- pour cette ccmstante; on aura donc,
en prenant l'intégrale depuis £ = 7*, Jusqu'à t influî ,
La série précédente peut donc être employée, tant qu'elle est c<m'
Tergente ; puisque l'on est sûr que ce que l'on néglige , est au-dessous
du terme auquel on s'arrête.
Cette série jouit encore de cette propriété , savoir, qu'elle est
altematiTement plus grande et plus petite que sa râleur entière ,
suivant que l'on s'arrête à un terme positif, ou à un terme négati£
On peut nommer par cette raison , ce genre de séries, séries-Iimitesj
Au reste , on a vu dans le n* a 7 , que dans le cas où elles sont diver-
gentes; on peut , en les réduisant en fractions continues, obt^iir
des approximations toujours convergentes.
Ce que nous venons de dire sur la série précédente , peut s'étendre
à toutes celles que nous avons considérées, et d<»t ôter toute in-
quiétude sur les usages que nous en avons bits. £n effet, on peut
toujours arrêter ces séries au point où elles cessent d'être conver-
dby Google
176 THÉORIE ANALTTIQUE
gentes , et représenter le reste par une intégrale. C'est ce qne nons
allons faire voir sur la fonuule la plus générale àa dérelf^ement
des fonctions en séries.
On a , en prenant l\ntégrale depuis 2 =: o ,
/t/z.f (x— z) = ?» (x) — (p (x— 2) ,
<p' (x) étant la différentielle de <p (x) divisée par âx. Si Ton dés^oe
pareillement par 9" (x) la diCfêreaatieUe de f' (x) divisée par dx; par
<p"' (x) la diflërentielle de f" (x) divisée par Jx , et ainsi de suite ;
on aura
yïz.f'(x— Z) = Z.Ç'(X — 2)+/zrfZ.^"(X — 1),
/2£/z.(p"(X— 2)=iZ'.ç"(X — z) + /'|2'rf2.?"'(X — Z),
etc. ^
En continuant ainsi , on trouvera gâiéralesnent
En comparant cette expression à la précédente, on aura
+ ....i....„-/'"'^'-'^"""(»-')-
Faisons * — z:=f, l'équation précédente prendra cette forme
f(t+z)=f{i)+z.if(t)+-^.^'(i) +._|L_.^«(r)
+7xr73;-/»'"''«'-'^-"'>-(«-Hi— »').
l'intégrale étant pris» depuis z'=o jusqu'à z'=;z. Il es» clair qw
si l'on feisait dans cette intégrale, ip'"*'\(/ + z — a') constant, oa
aurait un trop grand résultat, si l'on prenait ia plus grande valeur
de cette quantité; et un trop petit résultat, en prenant sa plus petits
Taleur. Il 7 a donc dans l'ioterralle de z' = o à 2'=z ,' une valeur
de z' telle qu'en supposant cette quantité constante, ou aura ua
db, Google
DES PROBABILITÉS. 177
résultat exact. Soît u cette valeur j l'intégrale précédente devient ainsi
l.fl.5....lH-L
ce qui donne
.p(f+2)=:<pC0-HZ.?'(0 + _4:_ 4iW(f)
r.â.3....n-t-i
^=r.çe+'ï.(«+Z— U),
z — a étant compris entre réro ot a. On pourra ainsi juger de la
conrergence de la série et du degré d'approximation, lorsqu'on
s'arrête à l'un de ses termes.
FIN DR LA PRElsaÈRE PARTIE.
dby Google
edb, Google
LIVRE IL
THÉORIE GÉNÉRALE DES PROBABUIXÉS.
CHAriTRE PREMIER.
Principes généraux de celie Théorie.
1 . k)s a vu dans l'bitrodactîon , que la probabJtité tPon événement,
est le rapport d« nombre des cas qui lui sont fe voraWes , au uomlH'e
d*tous les cas possibles ; lorsque rien ne porte à croire que l'un de
ces cas doit,arriv*ir plutôt «jua le» aucres, ce qui ke rend pour
SOUS , également possibles. La juste appréciation de ces cas divers ,
est un des points les plus délicats de l'analyse des hasards.
Si tous les cas ne sont pas également possibles , on déterminera
leurs possibilités respectives; et alors la probabilité dej^vénemest
sera la somme des probabi.Iit«t,_de chaque cas favorable. En effet,
nommons p la probabilité du premier de ces cas. Cette probabilité
«st relative à la subdivision de tous les ca? , en d'autres également
possibled. Soit iVla somme de tous les cas ainsi subdivisés , et n
la somme de ces cas qui sont fhvorables anj>remier cas; <m aura
jp^^. On aura pareillement p'= y,/?" =5jç, etc.j en marquant
d*un trait, de deux traits , etc., les lettres petn, relativement au
second cas , au troi»ème, etc. Maintenant, la probabilité de l'événe-
ment dont il s'agit , est, par la définition même de la probabilité , égale à
« 4- »' 4- "* + *tc.
_ j
«He est donc ^ale à p +jï'H-/»"H- «te-
dby Google
i8o THÉORIE ANALYTIQUE
Lorsqu'un éTéDement est composé de dexis érénemens simples,
indépendans l*un de l'autre; il est clair que le nombre de tous les
cas possibles , est le produit des deux nombres qui expriment tous
les cas possibles relatifs à chaque événement simple ; parce que cha-
cun des cas relatife à l'un de ces événemeùs, peut se combiner avec
tous les cas relatifs à l'autre événement. Par la même raison , le
nombre des cas favorables à l'évéoement composé , est le produit
des deux nombres qui expriment les cas favorables à chaque évé-
nement simple; la probabiKtô de l'événement composé, est donc
alors le produit des probabilités de chaque événement »mple. Ainsi
la probahiUté d'amener deux fois de suite, un as avec un dé, est
un trente-sixième r lorsque l'on suppose les faces du dé par&itement
égales j parce que le nombre de tous les cas possibles en deux
coups , est trente-six , chaque cas de la première projection pou-
vant sç pOtiïbiXier trrec les six oa» de la •ecoad» ; et parmi tous
ces cas , un seul donne deux as d« suite. . .
En général , si /> , p', p", etc. sont les poes&ilités respectives d^
nombre «pielCÔiiqûe d'événeineBs-sinipleo mdépendâiM le« uns des
autres; le prodiùt p-p'-f^> etc. sera la probabiliCc d'an événement
composé de ces ^vénemens.
Si les événemens simples sont liés entre eux , de manière que la
supposition de l'arrivée du premier , influe sur la probabilité de
Tarrivée du second ; on aura la probabilité de Pévénement composé,
en déterminant , i° la probabilité du premier événement; 3° la pro-
babilité que cet événement étant arrivé , le second aura lieu.
Four démontrer ce priudpe d'une manière générale , nommons/)
le nombre de tous lés cas possibles , et supposons que dans ce
nombre, il y en ait /»' làvoraWes au premier événement. Supposons
ensuite que dans le nombre p', il y eh ait q &vorables an second
événement^ il est clair que - sera la probabilité de l'événement com-
posé. Mais la probabilité du premier événement est ^ ; la proba-
bilité que cet événement étant arrivé, le second aura lieu, est ^;
car alors un des cas p' devant existerj ou ne doit considérer quo
dby Google
DES PttOttABimta i8i
ces cas. MaintKbtmt ob.%.
P P V *
ce qui est la traduction en analyse , du principe énoncé çî-dessua.
En considérant comme événement composé , révénement observé,
ipint à un événement futur ; la probabilité 3e ce dernier événement,
lirée de révénement observé , est évidemment la probabilité au«
^ l'événement observé ayant lieu , révénement futur aura lieu pareil-
lement; or, par le principe que iion»-'»'5nons d'eaposer^ cette pro-
babilité multipUéo yar celle de révénement observé , déterminée
à priori , ou indépendamment de ce qui est déjà arrive, est égale
à celle de l'événement composé, déterminée à priori; on a donc
ce nouveay principe ,;rçlatifà la probabilité ^esévéuemens futurs,
déduite d^es éyénemcns observés. ,
I/a probabilité d'an crcpement futur , tirée d'un événement ob-
servé , est îe quotient de la division de la probabilité de révéœniQiit
Goaposé de ces deux événemens, et déterminée à priori, par la
probabilité de l'événement observe , déterminée pareillement à
priori.
De là découle encore cet autre principe relatif à la prdsabiUté dea
causes , tirée des événemens observés.
Si un événement observé peut résulta de n causes différentes ;
leurs probabilités sont respectivement , comme les probabilités de
l'événement, tirées de leur existence ; et la probabilité de chacune
d'elles , est une traction dont le numérateur est la probabilité de
l'événement, dons l'hypothèse de l'existence de la cause, et dont la
déDominateur est la somme des probabilités semblables > rçlativea»
à toutes les causes.
Gjnsidérons , en efTel, comme événement composé , l'événement
observé , réspllaut d'une de ces causes. La probabilité de cet évé-
nement composé, probabilité que nous désignerons pa^c ^, sera,,
par ce qui précède , égale au produit de lajrobabilité de révénement
observé, déterminée àpriori,et que nous nommerons F, par la
probabilité que cet événement ayant lieu , la cause dont il s'agit,
existe , probabilité qui est celle de la cause , tirée de l'érénement
dby Google
i8a THÉORIE ANALYTIQtJE
observé, et ^e noasnommerons^. On atu-a donc
La probabilité de rérénement composé , est le produit de la proba-
bilité de la cause, par la probabilité -que cette cause ayant lieu,
l'événement arrivera, probabilité que nous désignerons j»ar .Ht_
Toutes les causes étant supposées à priori, également possibles ,
ta probabilité de chacune â'cU«a ^t - ; on a donc
La probabilité de l'événement observé ^ est la somme de tous les
J5 relatifs à chaque cause ; en désignant donc par <$.- , la somme
réquation i* = ë; deviendra donc
ce qui est le principe énoncé ci-dessus , loracfue toutes les causes
sont à^riori également possibles. Si cela n'est j)as , en nommant j?
la probabilité à priori de la cause que nous venons de considé-
rer ; OD aura E := Hp ; et en suivant le raisonnement précédent ,
on trouvera
ce qui donne les probabilités des diverses causes, lorsqu'elles ne sont
pas toutes j également possibles à priori.
Pour appliquer le principe précédent à un exemple , supposons
qu'une urne renferma trois boules dont chacune ne puisse être que.
dby Google
DES PROBABILITÉS. i83
blanche ou Doire ; qu'après avoir tiré une boule , on la remette
dans l'ume pour procéder à un nouveau tirage , et qu'après nt
tirages, on n'ait amené que des boules blanches. Il est visible que
l'on ne peut Ë:ire à priori, que quatre hypothèses; car les boiÂes
peuvent être, ou toutes blanches, ou deux blanches et une noire,
ou deux noires et une blanche , ou enfin toutes noires. Si Ton coa-
«dère ces hypothèses comme autant de causes de l'événement
observé j leit probabilités de l'événement, râktiTe& à ces causes»
seront ■
1, S, ^, o.
Les probabilités respectives de ces hypothèses , tirées de l'événement
observé , seront donc , par le troisième principe ,
3" a" I
g-^a-^-i » * 3"'+a»+ i » 5"-t-fi'H-i ' °'
On voit , au reste , qu'U est inutile d'avoir égard aux hypothèses qui
excluent révénement ; parce que la probabilité résultante de ces
hypothèses , étant nulle, leur omission ne change point les exprès
sioDS des autres probabilités.
Si l'on veut avoir la probabilité de n'amener que des boules
noires dans les m' tirages suivans; on déterminera à priori ^ les
probabilités d'amener d'abord m boules blanches, ensuite m' boules
noires. Ces probabilités sont,, relativement aux hypothèses précé-,
dentés,
a- a-'
et comme àpriori , les quatre hypothèses sont également possibles ,
la probabilité de l'événement composé sera le quart de la somme
des quatre probabilités précédentes , ou
Les probabilités de Pévénement observé, détenninées à priori- ,
dans les quatre hypothèses précédentes , étant respectivement
a3*
ï Google
i84 ' THÉORIE ANALYTIQUE
3» a» 1
35. gi» 2='- *"'
le fuart de leur sonune ^ ou
VV 3= y''
Sera la probabilité de l'événement observé , déterminée à priori;
en divisant donc la probabilité de révénement composé , par cette
probabilité , on aura par le second principe,
3^.(3-+ 2»+ 1)»
pom* la pr(^>abilité d'amener m' booles noires, dans les m' tiragef
suivans.
On peut encore déterminer cette probabilité , par le principe
suivant.
La probabilité d'un événement futurcst la somme des produits
de la pro^bîlîté de chaque cause, tirée de l'événement observé,
par la probabilité que cette cause existant, l'événement futur aura
lieu.
Ici les probabilités de chaque cause y tirées de l'événement
observé, sont, connue on Ta vu,
3" a" " I
'6-+a-+i' 3"+a"+i» S=+ïqr7> ^i
les probabilités de l'événement futur, relatives à ces causes, sont
respectivement
1 a"'
la somme de leurs produits respectifs , ou
3-'.C3"4-a-+i)'
sera la probabilité de révénement futur, tirée de l'événement ob-
servé; ce qui est conforme à ce qui précède.
Si l'on suppose quatre boules dans l'urne , et qu'ayant amené une
boule
dby Google
DES PROBABILITÉS. iSS
boule blanche aa premier tirage , on cherche la pïobâbilité dé
n'amener que des boules noires dans les m' thtiges soiranfi ; on
trouvera, par lea principes exposés ci-dessus ^ cette probabilité
égale à
Si le nombre des boules blanches égale celui des noires ; la
probabilité da n'amener que des boules noires dans m' tirages , est
^. Elle surpasse la précédente , lorsque m' est égal ou moindre
que 5 i mais elle lui devient inférieure , lorsque m' surpasse 5 , qnoi-
que la boule blanche extraite d'abord de l'arne , indique une supé-
riorité dans le Qombre des boules blanches. L'explication de ce
paradoxe y tient à ee que cette indication n'exclut point la supé-
riorité du nombre des boules noires ; elle la rend seulement moins
probable ; au- heu que la supposition d'une égaUté par&ite entre
le ncHubre dgs blanches et celui des noires , exclut cette supério-
rité i ôr cette supériorité , quelque petite que soit sa probabilité ,
doit rendre la probabilité d'amener de suite , m' boules noires , plus
grande que deûis le cas de L'égalité des couleurs, lorsque m' est
considérable.
I L'inégalité qui peut exister entre des choses que Ton suppose
par&itement semblables^ peut avoir sur les résultats du calcul des
probabilités, une influence sensible qui mérite une attention pàr-
' ticulière. Considérons le jeu de croix et pile , et supposons qu'il
soit également fecile d'amener croix que pile ; alors la probabi-
lité d'amener croix au premier coup, est 7,' et celle de l'amener
deux fois de suite , est j. Mais s'il existe dans la pièce une inégalité
qui lasse paraître une des feces plutôt que l'autre, sans que l'on
connaisse la Êice que cette inégalité Et vorise } la probabilité d'amener
croix au premier coup, restera toujours \ ; parce que dans l'igno-
tMice où l'on est , de la fece que cette inégahté fevorise ; autant
la probabilité de l'événement simple est augmentée , si cette iné-
gahté lui est Ëivorable , autant elle lest diminuée, si cette inégalité
lui .est clentfaire. Mais la prob^iHté d'amener croix deux fois de
suite , est augmentée , malgré cette ignorance ; car cette probabilité
est égale à celle d'amener croix au prranier coup, multipliée par
a4
dby Google
i86 THÉORIE ANALYTIQUE
ta probabilité que Tajant aoaeoé au premier coup » on Faméners
BU âecond; or son arrivée au premier coup ^ est un motif de croire
fpie l'JDegalité de I^ pièce , la fiiTOrise ; eUe augmente doiiic la pro-
babilité de l'amener au second ; jiinsi le produit des deux probabi-
lités est accru par cette iné^UtéJPour soumettre cet objet au calcul,
supposons que l'inégalité de la pente accroisse de la quantité a. ,
U pr<diabilit6 de l'ëvénewent simple qu'elle ikTorise. Si cet événe-
ment est croix , la jurobabilité sera 7 4^ « , et la probabUité de Famé'
ner deux fois de suite sera (j+«)'. Si l'événement Ëivorisé est
pil€} laprobabUité de croix sera 7— a, et la probabilité de Tamener
deux fois de suite sera ( r — et )'. Comme 00 n'a ^avance , awww
raison de croire que Fmégalité ferorise jJulAt Ton que Tautre des
évâiemens simples , il est clair qne pour avoir la probabilité de
f événement composé croix-croix ^ il feut ajouter tes àeas. probaH-
Ktés précédentes, et prendre la moitié de leur somme, ce qui donne
i + *' pour cette probaWUté : c'est aussi la probabilité de pile-pile.
On trouvera par le même raisonnement, que la probal^té de
l'événement composé crmx-pile ou pile-croix, tst^— a.*; ^j^on-
séquent, elle est moindre que celle de la répétitiian du m^e évé-
nement simple. -
Les considérations précédentes peuvent être étendues â des évé-
nemens quelconques, jj représentant la probabilité d'un événement
simple, et 1 — p celle de l'autre événement j si l'on désigne par P,
la probabilité d'un résultat relatif à ces événemens , et que Ton
suppose que p soit réellement jjzfco.,* étant une quantité incon-
nue , ainsi que le signe qui raffecte ; la probabilité P du résultat
sera
dâP . i . d*P
•"57"+" i.fl.5.4** •^"
£n feisant pssp\ c'est-à-dire en supposant que le résultat relatif
aux événemens } soit n fpis. Ja répétition du premier^ la probabUit«
P deviendra
l'erreur inconnue joej'qn pç«t supposer dans la probabilité
Di!::7ed ny V_T "
■: DES PROBABILÏTÉS. .j^
des évéasmm* sim^des^ accrofe twqoura la probàhffité des cvéa&-
m^ ç<Hnposëisâela répétition dp même événement
9. La {H^^rabiËté et» éréntmem «rt s détermiBer l'espérance
M la craiiite de« personnes intéresaéea à leur existence. Le mot
espéranca a diveroes acceptions ; fl exprime généralement l'avan-
tage de celui qui attend un bien quelconque , dans nne supposition
qui n'est que vraisemblable. Dans la théorie des hasards , cet avan-
tage est le produit de la sonune espérée, par la probabilité de .
l'obtenir : c'est la somme partielle qui doit revenir, lorsqu'on ne , <^_^^^^^^ 6„^„r
veut point courir les risques de l'événement, en supposant que n»^ iafuntu.
la répartition de la somme entière se Ëisse proportionnellement
aux probabilités. Cette manière de la répartir, est la seule éqmti^e,
quand on Ëiit abstraction de toute circonstance étrangère j parce
qu'avec un égal degré de probabilité , on a un droit égal sur la
somme espérée. Nous nommerons cet avantage, eapérande mathé-
'matigue, pour le distinguer de l'espérance morale qui dépend ,
comme lui, du bien espéré et de ta probabilité de l'obtenir, mais
qui se règle encore sur mille circonstances variables qu'il est près- '
que toujours impossible de définir, et plus encore, d'assujétir au
calcul. Ces circonstances, il est vrai, ne faisant qu'augmenter ou
diminuer la valeur du bien espéré , on peut considérer l'espérance
morale elle-même comme te produit de cette valeur, par la proba-
bilité de l'obtenir ; mais on doit alors distinguer dans le bien espéré,
sa valem- relative , de sa valeur absolue : celle-ci est indépendante
des moti& qui le font désirer , au lieu que la première croit avec
ces moti6.
On ne peut donner de règle générale pour apprécier cette valeur
relative ; cependant il est naturel de supposer la valeur relative
d'une somme infiniment petite , en raison directe de sa valeur
absolue , en raison Inverse du bien total de ]^ personne intéressée.
En effet , il est clair qu'un franc a très-peu de prix pour cetui qui
en possède un grand nombre, et que la manière la plus naturelle
d'estimer sa valeur relative , est de la supposer en raison inverse
de ce nombre.
Tels sont les principes généraux de l'analyse des probabilités.
Dic|i1 zed by VjOOQ le
i88 THÉORIE ANALTTIQOE
Noos allons maintenant les appliquer aux questions les plus déln
cates et les plus difficiles de cette analyse. Mais pour mettre de
Tordre dans cette matière, nous traiterons d'abord les questions
dans lesquelles les probabilités des ércnemens simples , sont don-
nées ; nous considérerons ensuite celles dans lesquelles ces possi-
bilités sont inconnues , et doivent être détenoinées par les éréne^-
mens observés.
dby Google
PES PROBABILITÉS. ' 1189
CHAPITRE IL
De ta probabilité àes éi>ênemens composés d*événemenè
simples dont les poss^i^iés respectives sont données,
9. Si l'on développe le produit (i4-/>).(i-f'p').(i+p*).etc;
coiliposé de n &cteura^ ce déreloppement renfermera toutes les
combinaisons possibles des n lettres /»,j5', p", . . •p^'~^\ prises une
à une, deux à deux, trois à trois, etc. josqu'à n; et chaque com-
binaison aura pour coefficient l'unité. Ainsi la combinaison pp'p"
résnltantdu produit (*+/>) • (i+p') • i^-i-p") ) muItipKé par le terme i
du deTcloppement des autres Ëicteurs ; son coefficient est éTidem-
ment l'unité. Maintenant, pour gyoir !e nombre total des combi-
nai8on8_de n lettres prises x à a: ; on observera que chacune de
ces combinaisons devient/?", lorsqu'on suppose p',p", etc. égaux
à p. Alors le produit des n Êicteurs précédens se change dans le
binôme (i +/>)' ; or le coefficient de jf dans le développement de
ce binôme , est
i.a.3 X '
cette quantité e^rime donc le nombre ded combinaisons des. a
lettres prises « à ». On aura le nombre total des combinaisons de
ces lettres, prises une à une, deux à deux, etc. jusqu'à n à n, en
Ëusant ps=i, dans le binôme (iH-p)', et en retranchant l'anité; ce
qui donne a'— i pour ce nombre.
Supposons que dans chaque combinaison, on ait égard non-seu-
lement au nombre des lettres, mais encore à leur situation ; on
déterminera le nombre des combinaisons , en observant que dans
la combinaison de ^çuz lettres , pp', oii peut lOettre y à la seconde
dby Google
tg» THÉORIE ANAXTnQtm
place y et ensuite à la première ; ce qui donne les denx combinai"
sons pp'j p'p. En introduisant ensuite une nouvelle lettre ^' dan»
chacune de ces combinaisons, on peut la mettre à la première,
à la seconde ou à la troisième place; ce qui donne 3.5 combinai-
sons. En' continuant ainei , cm voit que, dant une combinaison de x
lettres , on peut leur donner i . a . 3 . . . . j: situations difiërentes ; d'où
il suit que le nombre total des combinaisons de n lettres, prises
X k X, étant par ce qui précède , •
»(«-0-('-^) (»-H-0/
— — ^— — — - ,
le nombre tot^Jes combinaisons , lorsqu'on aé^rd àladiil^ent^
situation des lettres, sera cette màne fonction , en supprimant son
dénominateur.
On peut Ëicilement, au moyen de ces formules, déterminer les
bénéfices des loteries. Supposons que le ncnobre des numéros d'une
l'j.terie, soit », et qu'il en sorte r à chaque tirage; on veut avoir
la probabilité qu'une combinaison de « de ces numéros, sentira au
premier tirage.
Le nombre total des combinaisons des niun^ros, pris r à r, est
par ce qui précède ,
w.(w — i).(f»— a]... ■ .{h — r+i)
i.a.î r *
Four avoir parmi ces combinaisons, le nombre de celles dans
lesquelles les * numéros sont compris , on observera que si l'on
retranche ces numéros de la totalité des numéros , et que l'on
combine r — sk r— s , le reste n — s y le nombre de ces combi-
naisons sera le nombre cherché ; car il est clair qu'en ajoutant les
s numéros k chacune de ces combinaisons, on aura les combinai-
sons r à rdes numéros dans lesquelles sont ces s numéros. Ce
nombre est donc
(n-,].(n-*^i)....(«-T+i).
i.a.3.."."(r^r) ' '
en le divisant par le nombre total des combinaisons rkr des n nu-
méros, (m aura pour la probabilité cherchée ,
r.Cr-O.Cr-a)....(r-^+0 .
■ JI.(b—i). (»—»)....(« — *+!)*
db, Google
DES PROBABintÉS. igi
Bndiirisant cette quantité par i.«. S.... j, on atva par ce qui
pr«cèd«, la probabilité que let s noméros sraliroiit daâs ud otén
âétxnniné entre eux. On ain^ la pndsabiMté que les « preu^en
numéros do tirage , seront ceux de la combinaison proposée, ea U. in<ti •< menu, u (h m^W-i^
observant cfuc cette {«t^biUté rcTÎent k celle d'amener cette HUcytinMicn imif^viv-xM
comiànaifton, en supposant qu'il ne sort que » numéros à d»qu* "^^ ;';:''7 '*'■,' ,*' '^' ''***.
tirage ; ce qui revient a mire r s** oaas la fonctum precWenle tpn ^ ,^^'^,^ j^^ mt<i>'r ?û
devient ainsi ^,((wrD,'i»m^n<Wï-*M tw> /^:
i.a.S t - ^.
».(«— O....Cn— i + O ^
Enfin , on aura la probabilité que les a numéros clioisis sortiront le»
ftraniers dan» un ordre defi^^iiDé, en réduisant le numérateur de
cette fraction , à l'unité.
Les quotiens des mises divisées par ces probabilités , sont ce
que la loterie doit rendre aux joueui^ ; l'excédâDt de ces quotiens
sur ce qu'elle donne , est aon bénéfice. En efSst, si Ton nomme p
la probab^^ cbi joueio', m b« mfse , et x ce <pw la loterie doit tut
rendre , poiur Tégatité du jeu ; x '— m sera la mise de la loterie ;
car ayaid reçu la mise m , &t rendant « au joneor ; eOe ne met
au jeu que x — m. Q£,pfliirJ'é^litéd_u jeu., l'espérance mathé-
matique de chaque joueur doit êVde égale à sa cramte : son es-
pérance est le produit de la mise x— m de son adversaire^, par
la prt^Ktbilitéj; de l'obtenir rsa crainte est le [nrodait de sa mis«
m,) par la probabilité i —p de la perte. On a donc
;».(x-.m)=(i— /?).mi
c'est-à-dire que pour l'égalité du jeu, les mises doivent être /réct- t^fvhfrUefViO)
proquesjaux probabilités de gagner. Cette équation donne
ainsi ce que la loterie doit rendre , est le quotient de la mise di-
visée par la probabilité du joueur pour gagner.
4. Une loterie étant composée de n numéros dont r sortent à
chaque tirage , on demande la probabilité qu'après i tirages , toqs
les numéros, seront sortis.
Nommons z.,* le nombre des cas dans lesquels après i tirages,
dby Google
«93 THÉORIE ANALYTIQUE
la totalité des o**! ,3, 3, jp sera sortie. Il est clair que ce lu^nbrê
est égal au nombre x.,f_, de cas dans lesquels lesn" 1,3, 5, ...9—1
sont sortis , moins le nombre de cas dans lesquels ces numéros
«tant sortis^ le n* g n'est pas sorti; or ce dernier nomtre est éri-
demmentlemême que i^elui des cas dans lesquels les n" 1, s, S,.-?— 1
«eraient sortis , si l'on ôtait le n* g des n nnmâ'os de la loterie,
et ce nombre ests»_,,^,;waaâflaiL
Maintenant le nombre de tous les cas possibles dans tm seul tirage,
étant "■(»-0("-^>---^("— H-t) ^ ^^^^ j^ ^^^ ^^ ^^ possible»
dans i tirages, est
/B.(«-i),(»*-a) (>>-r+i)V
\ ■i.i..5....r )■
jLe nombre de tous les cas dans lesquels le n* 1 ne sortira pas dans
ces i tirages , est le nombre de tous les cas possibles , lorsqu'on
retranche ce numéro des n numéros de la loterie j et ce nomln'e est
/(a-Q.Çn-a) C«-r)V..
V. i.u.i r J*
le nombre des cas dans lesquels le n* 1 sera sorti dans i tirages»
est donc
/"-("-p.- ..(«-H-OV /Cii-i).C»i-fl)....C.*-^)V
V i.a-3....r J \ i.a.g....r J »
ou
/(H-0.(n-^)....(Br-r)Y.
*^* V, i.a.3....r / »
cVst la valeur de z,,,. Cela pose, l'équation (i) donnera, en yTaisant
succesûremeut ^ ss a , 7 = 3 , etc. ,
^'* - ^ A i.ii.3....r ; '
'' V» i.a.3....r /'
etc.;
dby Google
DES PROBABILITJÉS. 193
etjgméralenient.,
«-,.— ^' • i, 1.9.3.. ..r ) •
Ainsi la probabilité que les 0"" 1 , a , S, . . .^ sortiront danâ i tirages,
étant é^e à x,,, divisé par le nombre de tous les cas possibles ,
elle sera
C«.(i*-i).Ci.-2)....C»-r+0J •
Sironifoitdans cette expression 9 = /», on aura, -«étant îdlara-
riable qui doit être supposée nulle dans le résultat ,
&'.ls.(s-x) (J-^H-OJ
Cir.(,^o....c»-n-i)ï
pour l'expression de la probabilité que tous les numéros de la
loterie sortiront dans i tirages.
Si n et i sont de très-grands nombres , on aura par les formules
du n° 40 du premier livre , la valeur de cette probabilité, au moyen
d'une série très-convergente. Supposons , par exemple , qu'il né
sort qu'un numéro à chaque tirage , la probabilité précédente
devient
Froposons-nons de déterminer le nombre i de tirages dans lesquels
cette prol^ilité est r , n et i étant de très-grands nombres. £n
suivant l'analyse du numéro cité, on déterminera d'abord a par
réquation
ce qui donne
: ^ : ... - ^ . . «■+ »J . ^ .1 .,-.-■- ,
On a ensuite par le n' 4o du premier Livre, lorsque <r^ est une
quantité très-petite de l'orcb-e -^ , ciMUzne cela n lieu dans la ques-
tion présente} on a f d^je, aiix quantités près de Tordre \,s étant
95
DigilJzed
b, Google
ï94 THÉORIE ANAÏ-TTIQUE
supposé nul dans le résultat du calciil ,
.... G?r)-+-.c--.c-o-
or on a , aux quantités près de Vordre ^. »
O+t) =• '
en supposant ensuite c~' = r, on a
de plus , réquation qui détermine a , donne
»-t-i— na=(»+i).xî
d'où Ton tire
on aura donc, atix quantités prés de Tordre ^ ,
Pour- déterminer *, reprenons l'équation
on aura par la formule (p) du n'ai du second livre. de Ut
Mécanique céleaUt
-f— V
j *e«nt supposé ^ à c '^"-'. Cette Taleuriej doBBe
db, Google
DES PROBABIUTÉÏ. 195
par coiuëqnëiit', .
En égalant cette quantité à la fraction ^ , on Auti
or on a
i+i»— «.logy; "
on aura donc à très-peu près pour rexprëssion du nombre i cte
tirages , après lesipieb la probabilité que tous les numéros seront
sortis est
» = Gog B— log log i) . (b— i H- i log A) -H 1 log i ;
on doit observer que tous ces logarithmes sont hyperboliques.
Supposons la loterie ctHnposée de dix miUô numéros , ou n^ioooOf
et Â:= 3, cette formide donné ■
» i= 96767,4
pour rexprëssion du nombre de titrages, dans lesquels on peut
parier nn contre un, que les dix mille billets de la loterie sortiront ;
il y a donc un peu moins d'un contre un à parier qu'ils sortiront
dans 95767 tirages, et un peii plus d'un comreun à parier qu'ils
sortiront dans 96768 tirages.'
On déterminera par une analyse, semblable , le nombre des tirages
dans lesquels on peut parier un ooatre un,qne tous les niunéros
de la loterie de France- sortiront. Cette loterie est, coname on sait,
composée de 90 numéros dont ànq sortent -à chaque tirage. La
prolMtbilité que totus ies nnm^x}8 sortiront dans 1 tirages, est alors
par ce qui précède,'.
C«.(»-0.C'>-a).('i-3).C'— 4)]' *
n étant val égal à 9oVet s' derant être suppoàé nul dans le résultat
dby Google
,196 THÉORIE ANAiYTIQUE
du calcul. Si l'on ait s=s' — a, cette fonction ttevieut
ou en développant en s^e ,
j devant être supposé égal à — a dans le résultat du calcul.
On a par le n* 4o du [nremier Livre, en négligeant les tenues
de l'ordre^, et supposant c~* très-petit de l'ordre -î^,
a étant donné par Tequation
(5M-i).(i-c-^
Ou a ainsi , en négligeant les termes de Tordre ' ,
7 îïi:^'— 7 "^TTÏ! — -(l— C^'-C
(n— a)»' (1— c-")'" ^ ■'
or on a
■ ■ ' - ' ^"''^ .
on aura donc aux quantités près dé Fordre 4 1
db, Google
DES PROBASaiTÉS. 197
En sidïstituAnt pour a sa râleur, et observant qae i est fort peu
difG^rent de n^a, dans le cas présent , coiume on le verra ci-
après; ou a.à trè&-peu près,
10. i a-(n— s) '
Je conserve pour ploa d'exactitude , le terme ^V^_^< » quoique de
l'ordre \, à cause de la grandeur de son Êtcteur la ; on aura donc
(n — a)* ^ ' \ a-C» — S) * a /
Si l'on change dans cette e^ression 5i dans 5i — a , on aura celle
de
A". 4*^
(~'L- v»-* ' "i^^^ ^ râleur de a ne sera plus Ut même. Soit a'
cette nouvelle râleur, (m aura
->— (Si-O.Q-c-O
c— ■>•(■ + ^)
ce qui donne à trés-peuprès ,
, a
"" "*« — a'
Alors on â
»— a'
d'où Toa tii'e ; en négligeant les quentitéa de l^ordre ' ,
(l-^)-=(,-c-)-.,
tor oanséqûent on a , en négligeant les quantitéa de l'ordie \,
On anra donc , aux quantités près de l'ordre i, ;
i;i..(n-0.(»-a).(n--3),(n-4)J
db, Google
,98 THÉORIE ANALTnOUE
Cette quantité doit, par la condition du problème, être égale à j,
ce qui donne
d'où Ton tire
par coméqoent on a en logarithmes hypeii>oliques ,
or on a , aux quantités près de Tordre |-.|
a= ^i
on aura donc
En substituant pour n sa valeur 90 , on trouve
ensorte qu*U y a nn peu moins d'An- cootre ns à parier, que tràs
les numéros sortiroitt dans 85 tirages , et un peu plus d'un contre
un à parier qu'ils sortiront clans 86 tirages'.
. Un moyen fort simple et très-approcbé d'obtoilirl^ Taterdei,
est de supposer ^-r- , ou la série
dgale au développement
Digilizedby VjOOQIC
DES pjEtQpABarrÉa. i^
fln binôme Ti — (~^—)T- ^^ ^^^i '** ^'^^^ séries ont les lieui
premiers termes égaux re^ectifemeat Leurs troisièmes termes
sont aussi, à très-peu prés, égaux entre etis^ car on a à fort peu
près (— ~) ^(pl à (— ~) • En effbt , lemrs It^àri^mies hyper-
boliques sont, en négligeant^ le* termes de Tordre ^,é^ux l'un
et l'autre à — -.On verra dç la même manière , que les qua-
trièmes termes, les cinquièmes, etc., sont très-peu dtfférens, lors-
que n et i sont de très-^ands nombres; mais la diffêrence s'accroît
sans cesse , à mesure que les termes s'élMgnent du premier , ce
qui doit à la fin, en produire une sensible entre les séries elles-mêmes.
Four l'apprécier , déterminons la valeur de i conclue de l'égalité deà
iieux séries. En égalant à J, le binôme fi — (^^)'l') on aura
ces logarithmes pouvant être à volonté , hyperboliques ou tabu-
laires. Soit ij^ = I — £. Nous Mirons en [H-enant les logarithmes
hyperboliques de chaque membre de cette équation ,
i.log*=si-i-Iog(V— «>«='«+ ^ +«tc.
ce qui donne à très-peu prés ,
■ A ara-/'
on aura donc en logarithmes hyperboliques ,
log (x - V/^) = log * = log log *- log n - i^V
dby Google
aoo THÉORIE ÀNALTriQtE
On a ensuite '
log^^^ = — i ^3— etc.
L*espres9ion précédente de i devient ainsi à très-peu près,
ic=».(Iogra— loglogA).(i — ^H-i.logi;
l'excès de la râleur trouvée précédemment pour i , sur celle-ci , est
î^.(log»-loglogA)î
cet excès devient infini , lorsque n est infini ; mais il &ut un très-
grand nombre pour le rendre bien sensible ; ,et dans le cas ds
p= loooo et de ^= a ; il n'est encore que de trois unités.
Si l'on considère pareillen^ent le développement
-5V
.-».("-=iy+
etc.
• de l'expression ^■^^^''~'Y''~^Y''l?.^''~^7 > comme celui du
)»nome Fi — (— — -) J î on aura pour déterminer le nombre iàe
coups dans lesquels on peut parier un contre un^ que tous les
numéros sortiront, l'équation
C!S qui donne
M.
Ces logarithmes peuvent être tabulaires. En disant n = 90 , on
trouve
re tabulaire!
) = 85,aoé,
ces
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. *oï
ce qtù diffère très-peu de la râleur c s= 85,g5 que nous âvona
trouvée ci-dessus.
6. Une nme étant supposée renfermer le nombre x de boules,
on en tire une partie ou la totalité > et Ton demande la pFcbabi-r
lité que le nombre des boules extraites serap^r.
La somme des cas dans lesquels ce nombre est l'unité , égale
évidemment x; puisque chacune des boules peut également être
extraite> La somme des cas dans lesquels ce nombre égale 3, est
la somme des combinaisons des x boules prises dçux à deux , et
cette somme est , par le n' 5 , égale à '^ , ~ ■ La somme des cas
dans lesquels le même nombre égale 3 , est la somme des com-
binaisons des boules prises trois à trois, et cette somme est
f-'u^^^^-^'^TlV- et ainsi de suite. Ainsi les termes successiÊ du dé-
veloppemeut de la fonction (1 + 1 )'— 1 , représenteront tous les
cas ^ms lesquels le nombre des boules extraites , est successive-
ment 1, a, 3, etc. jusqu'à x; d'où il est Ëicile de conclure que
la soname de tous les cas relatif aux nombres impairs, est
x.(iH-i)' — î.(i — 1)% ou a*"*; et que la somme de tous les cas
relatife aux nonibres pairs, est ï.(i+i)'+7.'(i — i)* — i jOua*-'— i.
La réunion de ces deux sommes est le nom*bre de tous les caspos-
siUes -j ce nombre est donc a* — i ; ainsi la probabûité que le nombre
des boules extraites serajair, est _^ ^ , et la probabilité que
ce nombre sera impair . est "i,-; il y a donc de l'avantage à parier
avec égalité , pour un nombre impair.
Si le nombre x est inconnu, et si l'on sait seulement qu'il n»
peut excéder n, et que ce nombre et tous les inférieurs sont éga-
lement possibles ; on aura le nombre de tous les ca» possibles rela-
tl& aux nombres impairs , en faisant la somme de toutes les
valeurs de a*-*, depuis xc= 1 jusqu'à x=in, etfl estfecile de voir
que cette somme est a" — i. On aura pareillement la somme de tous
les cas possibles relati& aux nombres pairs , en sommantla fonction
«'"-'— I , depuis jc=: I jusqu'à xssn,et l'on trouve cette somma
a6
dby Google
^oa THÉORIE ANALYTIQUE
«gale à a" — n-— i ; la probabilité d'un nombre pair est donc' aloW
■~^-—~—i 6t celle d'un nombre impair e8t-=§— ^ — .
Supposons meiintenant que l'urne renfeitne le nombre xde-
boules blanches , cl le même nombre de boules noires ; on demande
U probabilité qu'en tirant un nombre pair quelconque de boules,
og_aménera autant de boiJes bïancbes que de boules noires , tous
fcs nombres pairs pouvant être également amenés.
Le nombre des cas dans lesquels une boule blanche de Fume
peut se combiner avec ime boule noire, est évidemment x.x. Le
nombre des cas dans lesquels deux boules blanches peuvent se
combiner avec doux boules noires , est ^'^^~'^ . f-v^^~~0 gt ainsi
de suite. Le nombre des cas dans lesquels on amènera autant de
boules blanches que dd boules noires , est donc la somme des carrés
des termes du développement du binôme ( i + i ]*, moins l'uRtté.
Pour avoir cette som^ne ^ noua observerons qu'elle est égale au
terme indépendant de a , dans le développement de ^i H-^T ■( I -H*)'
Cette fonction est égale à ■'"^— . Le terme indépendant de a, dans
«on développement, est ainsi le eoeffident dtt terme-moyen da
binôme (i -f-a )"; ce cqefficieiit est /'"'g-'-"— ■^;; le nombre des
cas dans lesquels on peut tirer de. l'urne autaiU de boules blanches
que de boules noires, est donc
1 ,3.5. ..ax
(i.3.3....a:)»
iiC nombre de tous les ca» possibles est la somme des termes
impairs dans le développement du binôme ( i -f' r)**, moins le pre-
mier, ou l'unité. Cette scHMitté est ■î-,(i+ï)"'-|-ï'(i—'')*';l* nombre
•des cas possibles est donc a*""'— i ; ce qiâ donne pour l'expression
de la probabilité chercbéi , '
Kg.3-..flj _ ■ , -
(>.a.5....j;)' '
'Dans le cas où ar est un grand nombre , cette^obabilité se réduil
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. ao5
par le n° 5a du premier livre , à --7=) « étant toujours la demi-
cffconférenGe dont i est le rayon.
6. Considérons un nombre ^ -f- a/- d'urnes , dont la première
renferme p boules blanches et ^-boules noires; la seconde, p' boules
blanches et q' boules noires ; la troisième , p" boules blanches et
g" boules noires, et ainsi de suite. Supposons qpie l'on tire succes-
sivement une boule de chaque urne. Il e^t clair que le nombre de
tous les cas possibles au premier tirage, est^ + §-; au sccon<l
tirage , chacun des cas du premier pouvant se combiner avec les
jj'+j' boules de la seconde urne, on aura (/)-l-9).(p'-j-ç') pour le
nombre de tous les cas possibles relatif aux deux premiers tirages.
Au troisième tirage , chacun de ces cas peut se combiner avec
les p" 4- ç" boules de la troisième urne ; ce qui donne
Cp+?)-(y+?')'Cp"'+*9") po"*" le nombre de tous les cas_po8r
sibles relatils à trois tirages , et ainsi du reste. Ce produit pour
la totalité des urnes , sera composé de x+x' facteurâ; et la somme
de tous les termes de son développement , dans lesquels la lettre
Py avec ou sans accent , est répétée x fois , et par conséquent la
lettre ç,x' fois, exprimera k nombre ^es cas dans lesquels on
peut tirer des urnes, x boules btauches et x' boules noires.
- Si p', p", etc. sont égaux à 7; , et si y', g", etc. sont égaux à y ;
le produit précédent devient ip-hg)'*''. Le t^me multiplié par,
p^. g"' dans le. développement de ce binôme est
(a>K)-(x+j:'-0 .... (x+i; ^
ou ;
. i.fl.3....(a>KiO
..a.3....a'*'
.p-.j-.
Ainsi cette quantité exprime le nombre des cas dans lesquels on
peut 'amener ^ boules hlaUc^es et x' boules noires. Le nombre
de tous les cas possibles étant (p +y )'^'', la probabilité d'amener
X boules blandics et x' boules noires , est
i.g.g...(g+y) f P y { 'j Y
DigilizedbyLjOOQlC
io4 th]§orh: analtoque
où l'on doit observer que — ^ est la probabilité de tirer un*
boule blanche de Fune des urnes > et que -^ est la probaMIité d'éa
tirer une boule noire.
Il est visible qu'il est par^tement égal de tirer x boules blanches
etx' boules noires, de x+y urnes qui ren&rment chacune p
boules blanches et q boules noires, ou d'une seule de ces urnes,
pourvu que Ton remette dans l'urne la boule extraite à chaque
th-age.
Considérons maintenant un nombre x-^x'-j-x" d'urnes dont la
première renferme/» boules blanches, g boules noires, et r boules
rouges; dontlaseconderenferme;7'boiilesblanches,j'boules noires,
«t / boules rouges ; et ainsi de suite. Supposons que l'on tjre une
boule de chacune de ces urnes. Le nombre de tous les cas possibles
«era le produit des xH-a:'+ ^" facteurs ,
(i>+î+r).(p'-f-y'-f-/^).(p"+9''+r'0.«tC.
IjB nondïre des cas dans lesquels on amènera x boules blanches f
^ boules noires, et x" boules rouges, sera la somme de tous les
termes du développement de ce produit , dans lesquels Ja lettre p
*era répétée x foisj là lettré y, x' fois, et la lettre r, x" fois. Si
toutes les lettres accentuées /)', <?', etc., sont égales à leurs corres-
pondantes non-accentuées , le prodiùt précédent se change dans le
trinôme ^ p + g -|- r)'*'''^"*. Le terme de son développement qui a
pour ïaoteur/ï'.5''.r^, est
ainsi le nombre de tous les cas possibles étant (/H-gH"'")'*''"^'*» ^
probabilité d'amuier 4: boules blancheà, x' boules noires, et a^
boules rouges , sera
i.fl.3...x.Kfl.3...a/.i.a.3.:..jr ' Kp^^rJ 'Kp-H+rJ 'V.p+ç+r/ '
t>ù ron doit observer que-^^_^_^, J:^^i ?+?+7 ^**°' *^ P^**'
habilités respectives de tirer de chaque urne , une boule blanche,
«ne boule noire , <l une boule rouge.
dby Google
DES PROBABILITÉS, ao5
On voit généralement que si les urnes renferment chacune ]«
même nombre de couleurs , p étant le nombre des boules de la pre-
tnièré couleur; q celui des. boules de la seconde couleur; r,«, etc.,
ceux des boules de la troisième, de la quatrième, etc.; a>f-a:'-4-^'+aj"'
•4- etc. étant le nombre des urnes ; la probabilité d'amener x boules
de la première couleur , a^ boules de la seconde, x" boules de la
troisième, x"' boules de la quatrième, etc. , sera
i.a.5...x.i.a.3...a:'.i.a.3...a;'.i.a.5...a;*.etc * \p-f-ç+r-fj+etcy
*j. Déterminons maintenand la probatàlité de tirer des nmea
précédentes, x boules blanches , avant d'amener soit J:^' boules
noires}, soit jc" boules rouges, etc. Il est clair que n exprimant
le nombre des couleurs, cela doit ^arriver au ï^u? .tard , après
o-+a/^a:"+etc.— »-f-i tirages: Car lorsque le nombre des
boules blanches extraites est égal ou moindre que x , celui des
boules noires extraites , moindre que a:', celui des boules rouges
extraites, moindre que x", etc. ; le nombre total des boules extraites,
«t par conséquent, le nombre des tirages est égal ou mcnndre que
*i:4--^+ x"-+-etc.— »+ 1; on peut donc ne considérer ici que
a>4-ar'+x"H-etc.— n+x urnes.
Poiur avoir le nombre des cas dans lesquels on peut amena*
x boules blanches au ^ÎÈH-j)'™' tirage, il feut déterminer tous leâ
cas dans lesquels x — i boules blanches seront sorties au tirage
x+i — 1. Ce nombre est le terme multiplié par jj*-' dans le dé-
reloppement du poljnqme (iH-ff+TH-etc.)'*?"', et ce terme est
i.fl.3. ...fx+i— 0 ,_ / . ■ . .1
i.^.s...(x-o.T.».3...r^^ .<s4-H-elcJ'.
En le combinant avec lea p boules blanches de Furne x-f /, on
aura un produit qu'il Êuidra encore multiplier par le iionilH'e de
tous les cas possibles relatifs aux x'-f-o^'-f-etc— n — j-f-i tirages
cuiraus, et ce nombre est
dby Google
ao6 THÉORIE ANALYTIQUE
on aura donc
pour le nombre des cas danâ lesquels l'événement peut arriver
précisément au tirage x + i. Il faut cependant en exclure les cas
dans lesquels g est élevé à la puissance S^, ceux dans lesquels r est
élevé à la puissance j:", etc. j car dans tous ces cas , il est déjà ar-
rivé au tirage x + 1 — i , ou x* boules noires , ou x" boules rouges,
ou etc. Ainsi dans le développement du polynôme (y-+-r4-etc.)', il
ne faut avoir égard qu'aux termes multipliés par ç/./^.V.etc. ,
dans lesquels /est moindre que x', f est moindre que x", /" est
moindre que x"', etc. Le terme multq>lié par y', t^, V.etc, dans
ce développement, est
i.a.3.../...u'i!.'^>'.';Vg---/'-^c-'^''^'*^'^^'
Tous les termes que l'on doit considérer dans la fonction (a) 8ont
donc représentés par
i.fl.3...j:— i.i.3.3.../.i.a.3.../'.elc. ^ *
XCp+9H-'-+etc.)-'-^''+«'-J^/'-~— +•; (b)
parce que i est égal à /-hf'-¥- etc. Ainsi en donnant dans cette
dernière fonction, k / toutes les valeurs entières, depuis f=ff
jusqu'à /sxx* — 1 ; à /"' toutes les valeurs depuis f=o iusqu'à
/'= x" — 1 , et ainsi de suite , fô somme de tous ces termes exjHi- ■
mera le nombre des cas dans lesquels rérénement proposé peut
arriver dans x-f-x'+etc. — n + i tirages. Il feut diviser celte
somme par le nombre de tous les cas possibles, c'est-à-dire par
(p-f-ç-f-'H-etC. )'**'*•''*'*"""*'. Si Ton désigne pary la probabilité
de tirer une boule blanche d'une quelconque des urnes ; par y'
celle d'en tirer une boule noire; par r* celle d'en tirer une boute
rouge, etc.; on aura
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. hoj
la foiicti<Hi (A) divisée par (jj+g+r-î- etc.)'^"'"^"'-~""*"S deviea-
ifati ainsi;
L^-.(^/+/--Htc-i) ■..,>, ,/.^>^.^tc.
i.a.3...x-i,i.a.3.../.i.?.3.../'.etc ■'^ ' ■
La somme des termes que Ton obtiendra eir donnant à f toutes
les valeurs depuis /^ o jusqu'à /= x' — i } à y toutes les vàleara
depuis _^'=o jusqu'à, y ^x" — i,etc.,ser& la probabilité cher-
chée d'amener x boides blanches avant x' boules noires, ou m^
boules rouges y ou etc.
On peut, d'après cette analyse, déterminer <e sort d'un nombr(î_
n de^jouwirs_^, 5jC, etc., dont y, 5', X, etc. représentent ks
adresses respectives, c'est-à-dire, leurs probabilités de gagner uni
coup, IcirsquC pour gagnerlapartie,ilmaiiqueji: coups au joueur^,
j^ coups au joueur B , or" coups au joueur £7, et ainsi de suite ;
car il est clair que relativement au joueur A , cela revient à dé-
terminer la probabilité d'amener x boules blanches avant x' boules
noire», ou af' boules rouges, etc.j en tirant successivement une'
boule d'un nombre j::^H-a/-f-a:"+etc.— n-f-i d'urnes qui ren-
ferment chacune p boules blanches , q boules noires , r boules
Touges, etc., p, y, r, etc. étant respectivement égaux aux numé-
rateurs des fractions p^, g', r' , etc. réduites au même dénomi-
Bateur.
8- Le problème précédent peut être résolu d'une manière fort
simple, par l'analyse des fonctioos^nératEicfîp. Nommons^,,^,,, „(,
la probabilité du joueur-^ pour gagner la partie. Au coup suivant,
■cette probabilité se change dans jr,_, „,^,,„(, , si ^ gagne ce coup ,
■et la probabilité pçur cela est p'. La même probabilité se change
"dans^,,„_,,,»,,„ »si le coup est gagné par le joueur B, et la pro-,
fc^îKté pour cela est ç' ; elle se change dans _j',,^,r„_,,„e. si le coup
«st gagné par Iç joueur C, «t la: probabilité pour cela est r*, et
ainsi de suite ; on a doiu l'équation aux diSerences partielles ,
.^-.^>,.A.=i/-^,-.,^,«/,eK.+î'-^r,«/-t,«»,«c.H-'^.r',i',"'— ,«..4-eta
Soit « une fonction de ï, *', *", etc., telle que ^,,1/,,/,, ,„. , soit le
coefficient de f,t''^J''*.çtc. dans son développement; l'équatioQ
dby Google,
ao» THÉORIE AIÎALTTIQUE
{»%eédenfe ans différences partielles donnera , en passant des coefIî|)i
ciens aux fonctions génératrices^
B= w.(jP'( + jrY -4- /^«"^ etc) ;
d'où l'on tire
j — p'f-f-yVH- //("+ etc-i
par conséquent ,
oequi donne
t — 1 — oV— Vf — ei
i-hr.(yY+r'ï"-+-etc.)
uy ^ ,, \+ ^^ . (sV+/^'+etc.)'
^ lj-iiï±^ï±î2.(2V+/f"+etc.)'
etc.
Maintenantle coefficient de (•.«'*'.("**. etc. dans p est ^,,i,,;^,Mc;
et le même coefficient dans nn terme quelconque du dernier
membre de l'équation précédente, tel que ku. p''.t/''.^"^. etc. , est
^i'''-j'o,^~w.^'-w,Mc-j la quantité,^e,,/_j/ ,,»_«/, ne. eat^ale à l'uniîé,
puisqu'alors il ne manque aucim coup au joueur ^. De plu» , il
feut rejeter toutes les valeurs de^,,,,_i,,,„_i„,^, dans lesquelles l'.
est égal ou plus grand que x', ï' est égal ou plus grand que a/', et
ainsi de suite ; parce que ces termes ne peuvent être donnés par
réqoation aux difiËrences partielles , la partie étant finie , lorsque
Tun quelconque des joueurs B , C, etc. n'a plus de coiqis à jouer ;
il ne Êiut donc considérer dans le dernier membre de l'équation
précédente , que les puissances de i' moindres que x*, que les
puissances de f moindres que a:", etc. L'expression précédente de
~ donnera ainsi , en repassant des fonctions génératrices aux
coefficiens, '
- i4-x.(î'4-/+etc.)
-^^■(/H-'^+etc;)- ^
-^^^#=*=2i.(,'+XH-etc.)'
(-frète.
pourvu
Digilizedby VjOOQIC
r!r^.-*",*«.=P
Ï)ES PROBABILITÉS. 109
pomrvTi qne Ton rejette les termes dans lesquels la puissance de g'
surpasse x'— 1 , ceux dans lesquels la piJssance âe r' surpasse
«"— 1 ^ etc. Le second membre de cette équation «e âév^opp^
dans une suite de termes compris dans la {brmule générait
i,a.3.
i.fl.8..;(aH-/+/'-Hitc.~i) ^ ,/ - .
La somme de ces termts relatiâ à toutes les valeurs de / , depuis
/ nul jusqu'à /=*' — 1 ; à toutes les valeurs de /', depuis /'
nul jusqu'à /'s=x" — 1 , etc., sera la probabilité ^,,^,,„,,te.; ce qui
est coi^orme à ce qui précède. * -
Dans le cas de deux joueurs A et 27 , on aura pour la probar
bilité du joueur A y
En changeant j/ en ^, et ;r en je^, et réciproquement, on aura
^ \ ^ r ' i.a ■'^ ' i.!ï.3,..,(a:— 1) 'ir f
pour la probabilité que le joueur B gagnera la partie. La somme do
ces deux expressions doit être égale à l'unité ; ce que l'on voit cvi-
demment en leur donnant les former suivantes. La première ex-
pression peut , par le n" 67 du premier Livre, être transformée
dans celle-ci.
^— 0 ^' _, Cj-Hc'-t).(:t>4^— a) g^
i.a.3. ...(;!/— 0
et la seconde peut être transformée dans celle-ci,
, (x-)-a/-l)...Cx'+i) ,■»-■
^ l.!i.3...C»>-i) • ,"-'
Xa somme de ces expressions est le déreloppement du binôme
■r
db, Google
flio THÉORIE ANALYTIQUE
(y-^j' )«-*-«'-•, et par conséquent elle est égale à IMnîté; parce
que AonB devant gagner chaque coup, la 8(Hiune-p'4- q' deleurs
^ probabilités {)our cela , est Tuiitté.
Le problème que nous Tenons de résoudre, est celui que l'on
nomme problème des partis . dans l'analyse des hasards. Le cheva-
lier de Meré le proposa à Pascal, avec quelques-autres problème»
sur le jeu des dés. Deux joueurs dont les adresses soqt égales , ont
mis au jeu la même scnmne; Us d<»vent jouer jusqu'à ce que l'un
d'eux ait gagné un nombre de fois donné , son adversaire ; mais
ils conviennent de quitter le jeu, lorsqu'il manque encore x points
au premier joueur pour titteindre ce nombre donné , et lorsquHI
manque x' points au secoad joueur. Ou demande de quelle manière
ils doivent se partager la somme mise au jeu. Tel est le problème
que Pascal résolut au moyen de son triangle arithmétique. H le
proposa à Feïmat qui en donna la solution par la v6ie des caish-
"binaisons; ce qui occasionna entre ces deux grands géomètres une
discussion , à la suite de laquelle Pascal reconnut la bonté de la
méthode de Fermât, pour un nombre quelconque de joueurs.
Malheureusement nous n'avons qu'une partie de leur corre^on-
dance, dans làquellâ oii vbït les premiers élémens de la théorie des
probabilités, et leur application à l'un des problèmes les {dus curieuï
de cette théorie.
Le proUème proposé par Pascal à Fermât, revient à détcrminet'
les probabilités respectives des joueurs pour gagner la partie; car
il est clair que l'enjeu doit être partagé entre les joueurs , propor-
tionnellement à leurs probabilités. Ces probabilités sont les mêmes
que celles de deux joueurs .^ et 5 , qui doivent atteindre un nombre
donné de points, x étant le nombre de ceux qui manquent au
joueur -^, et a/ étant le nombre de ceux qui manquent au joueur^,
en imaginant une urne rei^ermant deux boules dont l'une est
blanche et l'autre est noire , toutes deux portant le îi" i , la boule
blanche étant pour le joueur ^ , et la boule noire pour le joueur B.
On tire successivement une de ces boules , et on la remet dans
l'urne après chaque tirag*. En nommant j-*,*' 1^ probabilité que
le joueur ^ atteindra le premier, le nombre donné de points, ou,
ce qui revient au même, qu'il aura x points avant que f en ait
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DES PROBABILITÉS. aix
V, on aura
car si la boule que l'on extrait est blanche, j'^,,^ se d^^e en
^•-i,»'» et 81 la boule extraite est noire, ^,,„ se change eayl_^_,f
et la probabilité de chacun de ces érénemeiis est ^; bu a donc
l'équation précédente.
I^ fonction génératrice de ^,,^ dans cette équation aux difîc-
^rences partielles, est ^ par le n* ao du premier Livre,
j|f étant une fonction arbitraire de ^. Four la déterminer, nous
obs^rrerons quej;,,, ne_£eutj!iYO,ir_ lieu, puisque la partie cesse ,
lorsque l'une ou l'autre des variables * et x' est nulle ; M doit
donc avoir pour facteur t'. De plus^?-,,^ est l'unité , quel que goit x'; la
probalulité du joueur ^ se changeant alors en certitude : or la fonc-
tion génératrice de l'unité, est généralement —_Ji car les coeffi-
dens des puissances de ^ dans le développement de cette fonc:
tion, sont tous égaux à l'unité j dans le cas présent, ^.^«, pouvant
avoir Ueu lorsque j:' e^ ou i , ou a , ou 5, etc. ; i doit être égal à
l'unité; la fonction génératrice de /.„ est donc égale à —~p-t
c*est le coefficient de f dans le développement de la fonction gé-
nératrice de/,,,,, ou dans
M
on a donc
ce qui donne
-i(— if ■
par conséquent la fonction génératrice de /,
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su THEORIE ANALYTIQUE
En la déreloppant par rapport aux puissances de £ , on a
Le coe£&àent de f dans cette série , est
y^;;^ est donc le coefficient de /''' dans cette dernière quantité :
or on a
t
i-+-.j'.r+-. ^^ .f ..■•^^„_.. i.a.3..,(a/— 0 •'^ ^^''-
_ ~ -_^ .
En réduisant en série le dénominateur de cette dernière fraction ,
«t multipliant le numérateur par cette série , on voit que le coefii-
dent de H dans ce produit, est ce que devient ce numérateur lora-
qa^on j Eût £* s=s 1 j on a donc
.^\
^ -c/.^]-^-(^+0_ ^^1 a:.(aH-0.(^+a)
..-1-
3.3
g.(a;+i)...(j+y— a)
i.a.3...Ca:'— i) " *
résultat conforme à ce qm précède.
Concevons présentement qu'H y ait dans l'urne une boule
blanche portant le n' i, et deux boules noires, dont une porte le n' i,
et l'autre porte le n* a j la boule blanche étant favorable à .^ , et
les boules noires à sun adversaire : chaque boule diminuant de
son numéro, le nombre de points qui manquent au joueur auquel
elle est favorable. y^,„ étant toujours la probabilité que le joueur
A atteindra le premier le nombre donné , on aura Téquation aux
^difi^nces partielles
car au tiTEtge suivant, si la boule blanche SfMrtjjK.^, deTientj-,.^,;^
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DES PROBABILITÉS. 9i5
«! la botUe ncnre numérotée i sort , y,,t, deTieiit_/^j;^^, ; et si la
boule noire numérotée a sort, _?',,„ de™nt^^^_,j et la probahi-
lité de chacun de ces érénemens est j.
La fonction génératrice de y,^:,, est
M
'M étant une fonction arbitraire de ^, qui doit , par ce qui pré-:
cède, avoir pour Ëicteur x', et dans le cas {o^ent, être égale à
cnsorte que la fonction génératrice de y,;^ est
''■(■-
lie coefficient de e danâ le déreloppement de cette fonction , est
3--1 — i-'o— ji-— 11")"
«t il résulte de ce que nous Tenons de dire , que le coefficient de
tl'' dans le développement de cette dernière quantité, est égal à
i+
j.f.Ci+O , j.(x+i) f-Çt-K)'
i.(»+0.(»+a) f'-Çi+O'
-i-etc.
CH rejetant da déreloppement de cette série , toutes les puissances
de i supérieures à t!''^ et supposant dans ce que l'on conserve ,
/'= 1 , ce sera l'espression de j»,,,,.
Il est &cile de traduire ce procédé en formule. Ainsi en suppo-
«ant x' pair et égal à a/H-a, on trouve
_-_J_ f, I -r • I »■(*+') i-'l- »-(»+0-
■[«•
+..:.t:^<;4:.f:^.-{'-HH-.)+^r±^....+^r±i^j
x.(:r+0...(^r+i) I , |.^_^v I (■r+a).(r+0....41
^i.a.3,...Cr+s).3"**'' l'^^l'^^-' ^ ..a.3...(r-0 )
:j x.(j+i) (-r-f~3r) ;
^'^ j.a.3.. ..iar-H;.3'-^'*'' :
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91^ THÉORIE ANALYTIQUE
Si l'on suppose x' impair et égal à ar H- 1 , on aura
T^..!..3...(r+0.5-^'- i'-t-l.'^-'-lJ-t r:^ + i.a.3...(r-,)J
I ».(:»+i)...(»+H-0 f , I (r I j1 I fr+'iC^+O 1 (r+a)(r+0...5l
^^i.a,l..(r+a).3"-'" ' ('"n'^-aM ^-' +..a,S.. . .(i^j;
..(j;-<-2r— 0
^ i.a.3 ar.3"
Ainsi dans le Câs de j: = a et x*^ 5 , on a
35o
J-..»»
7^9
Concerons encore qu'il y ait dans l'urne deux boules blanches
distinguées pomme les deux boules noires , par les n" i et s ; la
probabUite du joueur jé sera donnée par Téquation aux] djifêrences
partielles .
y..„=i.j',-,,« + i.j'.-,,»+ j. /.,«-,+ i-7„,_i.
- La fonction génératrice de j',,„ est alors , par le W ao du premier
livre,
ar+N.t
■-i'-i'-î'^-!'"'
M^XN étant deux fonctions arbitraires de i. Four les déterminer,
on observera quey.,,, est toujours égal à l'unité, et qu'il &ut exclure
dans ilf la puissance nulle de ^; on a donc
Pour déterminer JV, cherdions la fonction génératrice de^,,,,.Sî
rqn_observe gue j',,,, est égal à l'unité , et que le joueur A n'ayant
plus besoin que d'un point , il gagne la partie , soit qu'il amène la
boule blanche numérotée i , ou la boule blandie numérotée a ;
Féquation précédente aux différences partielles donnera
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DES PROBABILITÉS, ai5
Supposons y..;< = i — y^;onaufra
La fonction génératrice de cette équation est
m + nif
m et n étant deux constantes. Pour les déterminer, on obserrera
quey.^.^Ojet que par conséquente^ c= i j ce qui donne nissi. La
fonction génératrice de y'^ est donc
1— Jf— ij--'
On a eiMuite^idetniiient.j',,, = |,ce qui donne ^1=1; j'^ est le
coefficient de f' dans le développement de la fonction précédente ,
et ce coefficient est n-f-j; on a donc »+^ = j, ou n=:^. La
fonction génératrice de l'unité est -^— j , parce qu'ici toutes les ■
puissances de /' peuvent être admises ; on a ainsi
t''
pour la fonction génératrice de ^i,,,. Cette même fonction est le
coefficient de t dans le développement de la fonction génératrice
de^,,^, fonction qui, par ce qui précède, est
f
r=7-
..(i — il' — ji'')+jr.i
ce coefficient est
c-o-o
en l'égalant à
>— i' — 4'' — f— l""-
N
■JC-il") 1 — Ji- — il"'
il"
(.-O.C.-if-Jl-)'
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ii6 THÉORIE ANALYTIQUE
La fonction génératrice de y,,., est ainsi
Si Ton déretoppe en série te fonction
C+Q.^t'
i+^''.C>+0+^-t".C»+0'+^.f^Ci-K)^-Kte.
+^^^£>+^.*'-(i+0+|-.f.(H-t')'+^.t^.(i+fy+etc.]
+ etc.
Si Ton rejette de cette série, toutes les puissances de t autres <jae
<*, et toutes les puissances de ^ supérieures à t^'', et si dam ce qui
reste, on Êiit ï=i, «'=1 , on aura l'expression de ^,,w lorsque x est
égal ou plus grand que l'unité : lorsque a: est nul, on a^,,^=i. II
est fecile de traduire ce procédé en formule , comme on l'a ^t pour
le cas précédent.
Nommons z.,,/ la probabilité du joueur B; la fonction généra^
trice de r,,^ sera ce que devient la fonction génératrice de ^,,^
lorsqu'on y charge t eç t', et réciproquement j ce qui donne pour
pette fonction ,
En ajoutant les deux fonctions génératrices , leur somme se rér
duità
dans laquelle le coefficient de f . f'*' est l'unité ; ainsi Ton a
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DES PROBABILITÉS. 017
ce qui est TÎsible d'ailleurs, puisque la partie doit être nécessaire-
ment gagnée par Tau des joueurs.
' 9. CoDceyoos dans ime urne, r boules marquées du n° 1 , r boules
marquées du n' a , r boules marquées du n" 3 , et ainsi de suite
jusqu'au n* n. Ces boules étant bien mêlées dans Turne, on les
tire toutes successiremeot ; on demande la probabilité qu'il sortira
au moins une de ces boules , au rang indiqué par son numéro ,
ou qu'il en sortira au moins deux, ou au moins trois, etc.
Cherchons d'abord la probabilité qu'il en sortira au moins une.
Pour cela , nous observerons tpa'aucui» hmilp n*» [««nt sortir à son
rang , que dans les n premiers tirages ; on peut donc ici faire
abstraction des tirages suirans ; or le nombre total des boules étant
771, le nombre de leurs combinaisons n à n , en ayant égard à l'ordre
qu'elles observent entre elles , est par ce qui précède ,
nt.(m—i).(m'—a).. ..(wi— n+i)i
c'est donc le nombre de tous les cas possibles dans les n premiers
tirages. -■ . ■
Considérons une des boules marquées du n* 1 , et supposons
qu'elle sorte à son rang , ou la première. Le nombre des combi-
naisons des n^— 1 autres boules prises n— 1 à n— 1 , sera
(m — 1) . (r»— 3) .... (m—n-^l) j
(^est le nombre des cas relata à la supposition que nous venons
de &îre ; et comme cette supposition peut s'appliquer aux r boules
marquées du n* i , on aura
■ r.(m— i),(m — 3) (ra — w+i)
pour le nombre des cas relatife à l'hypothèse qu'une des boule&
marquées du n" 1 , sortira à son rang. Le même résultat a lieu pour
l'hypothèse qu'une quelconque des n — 1 autres espèces de boules
sortira an rang indiqué par son numéro : en ajoutant donc tous les
résultats refôtifs à ces «Ûverses hypothèses , on aura
nr.{m—i).(rn — a) (m — n-i-i), (a)
pour le nombre des cas dans lesquels une boule au moins sortira 9.
a8
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si8 THÉORIE ANALYTIQUE
son rang , pourra toutefois que Ton eu retrandie les cas qid sont
répétés.
Pour déternïiner ces cas, coosidérons une des boules du n' i ,
sortant la première , et une des boules du n* a , sortant la se-
conde. Ce cas est compris denx fois dans le nombre précédent ;
car il est compris une fois dans le nombre des cas relatiâ à la
supposition qu'une des bonles numérotées i , sortira à sou rang ,
et une seconde fois y dans le nombre des cas relatife à la supposir
tion qu'une des boules numérotée a, sortira à son rang; et comme'
cela s'étend à deux boules quelconques sortant à leur rang, on voit
qu'il fetrt retrancHer ffuTkombre-drô oae précédens, 'le nombre de
tous les cas dans lesquels deux boules sortent à leur rang.
- Le nombre des combinaisons de deux boules de nnméros diflGkens
est -■>"—■--. r*; car le nombre des numéros étant n, leurs combi-
naisons deux à deux sont au nombre "'^"~-< ; et dans chacune de
ces combinaigons , on peut combiner les rboules marquées d'un des
numéros, arec les r boules marquées de l'autre numéro. Le nombre
des coml»naisons des m— a boules restantes , prises n — a à n— a y
«I ayant égard à l'ordre qu'elles observent entre eUes , est
(ffî— a).(m — 3) (m — n+i);
«insî le nombre des cas relatife à la suppoatioQ que deux boules
Matent à kur rang, est
ï:^.,-.(r«-3).Cr«-3). ... .(m-n+i);
«n k retrancfafmt du nombre (a) , on aura
»r.(m— i).(rn — a). . .(m— n-f-i)
pour le nombre de tous les cas dans lesquels une boule au moins
sortira à son rang, pourvu que l'on retranche encore de cette
fonction , les cas répétés j et qu'on lui ajoute ceux qui manquent
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DES PROBABILITÉS. big
Ce* cas sont ceux dans lescfuels trois boules sortent à leur rang.
En nommant k ce nombre , il est répété trois fois dans le premier
terme de la fonction (a'); car il peut résulter dans ce terme, des
trois suppositions de chacune des trois boules sortant à son rang.
Le nombre^^ est pareillement compris trois fois dans le second
terme de la fpnctioa; car il peut résulter de chacune des suppo-
sitions relatives à deux quelconques dès trois boules sortant à leur
Irang ; ainsi co second terme étant a£fecté du signe — , le nombre
k ne se trouve point dans la fonction {a') ; il faut donc le lui ajouter
pour qu'elle contienne tous les cas dans lesquels une boule au moins
sort à son rang. Le iiomlw« xtcs combinaisons dès n niunéros pris
trois à trois, est"'^"~ g"*-, et aMoame on peut comlnner les r
boules d'un des numéros de chaque combinaison, arec les r bouleft
Aol second nuinéro, et arec les r boules dii troisième nuniéro, on
aura le nombre total des combinaisons dans lesquelles trois
boules sortent à leur rang , en multipliant "■'■ ~ '^'s """ ■^' P^
(rn— 5).(m— 4), . .(m^^n-f-i), nombre qui exprime celui des com-
binaisons des rn— 5 boules restantes , prises n — 5 à n— S , en ayant
égard à Tordre qu'elles obserrent entre elles. Si l'on ajoute ce ^o-
duit à la fonction {a') , on aura
n.r.{m — 1).(7»— a)., .(m— n+i)
— "•^"~'\r-.(ra— 3).(wi-^)...(rff— B+i)
Cette fonction e:q>rime le nombre de tons les cas dans lesquels une
boule au moins sort à son rang, pourra que l'on en retranche
encore les cas répétés. Ces cas Sont cetix dans lesquels quatre
boules sortent à leur rang. En j a|^Uquant les raisonnemens
précédens , on verra qu'il faut encore retrancher de la fonction {a") ,
le terme
— i^ ^ ^ g ' i.r*.(/7i— 4).(rn— 5). . . .(m— n+l).
En continuant ainsi , on aura pour l'exgression du nomlu'e des cas
dans lesquels une boule au moins sort à son rang
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«3P THÉORIE ANALTnQtJE
n.r.(rtt— i).(r«— a). . .(m— n+i)
— ÎL^Z:1Ï.,-.(to— a).(ni— 5). . .(/7»-^n+l)
■^-"•^""'^^■^"^^7^.(771— 5).(m-4)...(/7i--«+i)î (A)
«.(b— i).(n— a).(n— S) , , ,, , r\ / i .^
■~ j.a.â.4 ^.r«.(m— 4).(m— 5). . .(m— n-f-i)
+ etc.
la série étant continuée aussi loin qu'elle peut Téfre. Dans cette
fonction , rTif»<]iift «ombmaùan n'est point répétée ; ainsi la. combi-
naison de s boules sortant à leur rang , ne s'y trouve qu'une fois ;
car cette combinaison est comprise s fois dans le premier terme
de la fonction, puisqu'elle peut résulter de Chacune des s boules
sortant à son rang; elle est retranchée '■' ^*~.'.j fois dans le second
terme , puisqu'elle peut résulter des combinaisons deux à deux des
ê boules sortant à leur rang ; elle est ajoutée *-'-—■ 'S*^- fois dans
le troisième terme , puisqu'elle peut résulter des combinaisons de
s lettres prises trois à trois, et ainsi de suite ; elle est donc dans
la fonction (A) , comprise un nombre de fois égal à
et par conséquent égal à i— fi — i)',ou à l'unité. En divisant la
fonction (A) par le nombre 77i.(r;^-i). (m — a)....(/7i— n-4-i)de
tous les cas possibles, on aura pour Pexpressîon de la probaÛlité
qu'une boule au moins sortira à son rang,
*■ i.a.(m— i)^i.a.3.(n»— O-Cm— a)
(a-0.C«-a).(n-3).r^ .
~i.a.3.4.(r«-i).Cni— a).(ni— 3) ^ ^"^- W
Cherchons maintenant la probabilité que x boules au moins sorti-
ront' à leur rang. Le nombre des cas dans lesquels a boules sortent
à leur rang, est, par ce ^ précède ,
""""•.'.rî!l;.>"'~'"^"-'-'-t"-»)-t"-'-')- ■ ■('■"-'■+'). w
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. aài
potirva que l'on retranche de celte fonction , les cas qui sont
répétés. Ces cas sont ceux dans lesquels « + 1 boules sortent
à leur rang, car Us peuvent résulter dans la fonction, de «-f-i
boules prises s k s ; ces cas sont donc répétés s + i fois dans cette
fonction ; par conséquent U faut les retrancher s fois. Or le nombre
des cas dans lesquels s-^i boules sortent à leur rang, est
ï±=lL^^^j^P^.^..(™_^.).(„_^>) (™-^,).
En le multipliant par «, et le retranchant de la fonction (b),
on anra
I.!l,3...f ^ ' ^ ' ^ '
Bans cette fonction , plusieurs cas sont encore répétés , savoir , ceux
dans lesquels «+a boules sortent à leur rang j car ils résultent
dans le premier terme , des 5 + ^ boules sortant à leiu* rang , et
prises « à « ^ ils résultent dans le second terme , des « + a boules
sortant à leur rang , et prises «H-ià« + i, et de plus multipliés
par le Ëtcteur s , par lequel on a multiplié le second terme. Us
sont donc compris dans cette fonction , le nombre de fois
■^"^ '— ^.(j+a)) aûMÎ il feut multiplier par Tunité moins
ce nombre de fois, le nombre des cas dans lesquels ^ -f-a boules
sortent à leur rang. Ce dernier nombre est
n.(n~-\)An — 3)...(ft— *— 1) ,.. , . , •T\ f , \
-^ ,.a\3...C,+a) ^.^'-(m— ^3).(/w— ^— 5)....Cr»-n+l);
le produit dont il s'agît sera donc
'•^r::i::(::;:7"-'^--("-^-')- • • •('»-»+o .'41^.
£n rajoutant à la fonction {b') , on aura
l^^j + a * i.a.Cm— j).(rrt— j— i)
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S99 THÉORIE ANALYTIQUE
c'est le nombre âe tous les cas possibles dans lesquels s botdes
sortent à leur rang , pourvu que Ton en retranche encore les cas
qui sont répétés. En continuant de raisonner ainsi , et divisant la
fonction Bnale par le nombre de tous les cas posaiUes ; on aura
pour Texpression de la probabilité que s boules au moins sortiront
à leur rang ^
(n-i).(„_a)...(»-j+i).f-'
i.a.t... *.(rn— i).(ra-^). ..(m— j+i)
*+i * rn—s *+a* i,3.(rn— j),(rA— i^i) I ffn
j+^*i.9.3.(ra— O-Crn— •— 0-("— *— a) T^ J
On aura la probabilité qu'aucune des boules ne siHtira à son
rang , en retranchant la . formule ( B ) de l'umté ; et Ton trouvera
pour sou expression ,
Ei.».3...ni]— n.r.Ci.a.3...Cni— i)]+^i-^^^^.r*.[i.a.3...(m— a)3— etc.
' i.s.3.^..m
On a , par le n' 53 du premier Livre , quelque soit »,
1,3.3. ...»=/x'dir.c~',
rintégntle étant prise depuis x nul jusqu'à x jnfinL L*expre8sioti
précédente peut donc élre mise soua cette forme ,
— 7^^.-^ — ■ w
Supposons le nombre m de boules de Tume , ti^s^and ; alors
en appliquant aux intégrales précédentes , la méthode du n' 34
du premier Livre , on trouvera à très-peu près , pour 11zd£grale du
numérateur ,
X étant la valeur de x qui rend un maximum « la fonction
jc'"-'.(x— r)".c~*. L'équation relative à ce maximum donne pour X,
les deux vîdcurs
X==-
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DES PROBABILITÉS. aaj
On peut neconùdérericiqueldplua grande de cesvakursqui est,
aux quantités près , de l'ordre — , égale à m -h -^^ ; alors l'int^
grale du numérateur de la fonction (o) devient à peu près
V/cr-0.(.-i) + i
L'intégrale du dénominateur de la même fonction est , par le n* Sa ,
à fort peu près,
la fonction (o) devient ainsi
On peut la mettre soxis la forme
o-r
m étant supposé un très-grand nombre , cette fonction se réduit
à fort peu près à cette forme très-simple ,
C'est donc Texpreséion fort approchée de la probabilité qu'aucunç
des boules de l'urne ne sortira à sou rang, lorsqu'il y a im grand
nombre de boules. Le logarithme hyperbohque de cette expression,
étant
on voit qu^elle va toujours en croissant à mesure que n augmente ;
.qu'elle est nuUe j lorsque nssiy et qu'elle devient -, lorsque a
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S34 THÉORIE ANALYTIQUE
est infini, c étant toujours le noudtre dont le logaritluiie hjper-i
bolique est l'unité.
Concevons maintenant un nombre i d'urnes renfermant cha-
cune le nombre n de boules , toutes de couleurs dilKrentes ^ et
que l'on tire successivement toutes les boules de chaque urne.
On peut , par les raisonnemens précédens , déterminer la proba-
bilité qu'une ou plusieurs boules de la même couleur sortiront au
même rang dans les i tirages. En effet , supposons que les rangs
des couleurs soient réglés d'après le tirage complet de la première
urne , et considérons d'abord la première couleur : supposons qu'elle
sorte la première dânsTës"ïirâge5 de»*— i autres urnes. Le nombre
total des combinaisons des n—\ autres couleurs dans chaque
urne est , en ayant égard à leur situation entre elles , i . a . 3 . . .-(n — i ) ;
ainsi le nombre total de ces combinaisons relatives aux i — i
urnes , est [i '. a ■ 3 . . . (n — 1)]'~' ; c'est le nombre des cas dans lesquels
la première couleur est tirée la première à la fois de toutes ces
urnes ; et conune il 7 a n couleurs , on aura
».[i,a.3. ...(n— 1)]^'
pour le nombre des cas dans lesquels une couleur au moins arri-
vera à son rang dans les tirages des i — 1 urnes. Mais il y a dans
ce nombre , des cas répétés ; aiusi les cas où deux couleurs arrivent
à leur rang dans ces tirages , sont compris deux fois dans ce
nombre ; il làut donc les en retrancher. Le nombre de ces cas est ,
par ce qui précède ,
en le retranchant du nombre précédent, on aura la. fonctioa
«.[1.3. 3.. ..(»-i)]'--ï:^.[i.=. 5.. ..(»-!■)]-.
Mais cette fonction renferme elle-même des cas répétés. En con-
tinuant de les exclure , comme on l'a fait ci-dessus relativement à
une seule urne ; en divisant ensuite la fonction finale ,' par le nombre
de tous les cas possibles, et qui est ici [i.a.5. . ..ra]'""'; oa aura
pour la probabilité qu'une des n — 1 coiUeurs au moins sortira
dby Google
■ DES PROBABILITÉS. aaS .
à son rang dans les î — i tintes qui suirent le premier ,
' ■ ^ — i.=..t«.(«-03'-! + i.9.3.Cn.(«_.).0.-a)ï-'-"-^**'-»
expression dans laquelle il faut prendre autant de termes qu'il y a
d'imités dans n. Cette expression est donc la probabilité qu'ail
moins une des couleurs, sortira au même rai:^ dans les tirages
des i urnes.
lo. Ck)nsidérons deux joueurs jé et Sj dont les adresses soient
p et ^ , et dont le premier ait a jetons, et le secood, ( jetons.
Supposons qu'à chaque coup , celui qui perd donne un jeton à son
adrersaire , et que la partie ne finisse que lorsqu'un des joueurs
aura perdu tous ses jetons ; on demande la probabilité que l*ua
des joueurs , -^ par exemple , gagnera la partie, avant ou au a'"*
coup.
Ce problème peut être résolu avec Êicilité par le procédé sui-
vant qui est en quelque sorte, mécanique. Supposons b égal ou
moindre que a, et considérons le développement du binôme C/H-?)*-
Le premier terme p* de ce développement sera la probabilité de jé
pour gagner la partie au coup b. On retranchera ce terme, du dé-
veloppement, et l'on en retrandiera pareillement le dernier terme
9*, si & = a ; parce qu'alors ce terme exprime la probabilité de JR
pour gagner la partie au coup b. Ensuite on multipliera le resta
parp-hff. Le premier terme de ce produit aura pour fecteurp'.j',
et comme l'exposant b ne surpasse que de 6 -^ i l'exposant de y >
il en résulte que la partie ne peut pas être gagnée par le joueur ^^
au coup b -hijce qui est visible d'ailleurs ; car si ^ a perdu un
jeton dans les b premiers coups , il doit , pour gagner la partie
gagner ce jeton plus les b jetons du joueur B, ce qui exige b~i-a
coups. Mais si a = 5 + 1 1 on retranchera du produit, son dernier
terme qui exprime la probabilité du joueur B pour ^gner la partie
au coup b-^i.
On multipliera de nouveau ce second reste, par jj+y. Le pre-
mier terme du produit aura pour facteur p**'.?, et comme l'ex-
posant de p y surpasse de b celui de y , ce terme exprimera la
probabilité de -^ poiu* gagner la partie au coup $ + 3- On retrao-:
39
Digilizedby VjOOQIC
aafi THÉORIE ANALYTIQUE
chera pareillement du produit , le denùer terme , di Texposant de f
y surpasse de a celui de p.
On multipliera de nouveau ce troisi^e reste, par />+ ^ , et Ton
continuera ces multiplications jusqu'au nombre de fois n — 6 , en
retranchant à chaque multiplication , le premier terme , si Texpo-
sant de p y smpasse de b , celui de q, et le dernier terme , ta
Fexposant de ^ y surpasse de a, celui de p. Cela pose, la somme
des premiers termes ainsi retranchés , sera la probabilité de ^
pour gagner la partie , avant ou au coup n j et la somme des der-
niers termes retranchés sera la probabilité semblable relative aa
joueur -ff.
Pour avoir une solution analytique du problème , soit y,^^ la
probabilité du joueur J pour gagner la partie , lorsqu'il a x jetons ,
et lorsqu'U n'a plus que x' coups à jouer pour atteindre leç n coups.
Cette probabilité devient au coup «uivant , ou^,^,.,,_, , ou^_,^_„
suivant que le joueur ^ gagne ou perd le coup ; or les (HrabaUlilés
respectives de ces deux évéuemens sont j> et jf j on a dond'équatioD
aux di£^ence8 partielles,
Vwir intégrer cette équation, nous consid^erons , comaie fotécé-
demment , une fonction u de f et de ;' génitrice de j',,^, ensorte
qae^«,„ swt le coefficient de t't''' dans le dévdf^pemeiit de cette
fonctJoiLBn repassant des coef&ciens, aux fonctions génerabiccs,
Féquation précédente dcmn^ra
iPen Fon tire
par conaéçMDt
ec qui donne
DigiUzedbyLjOOQlC
, D£S PROBABILITÉS. ^47
donc
Cette équation peut être mise sons la forme suirante,
u ■ If
( 0+v^^)'+(?-v/î^^)' 1
pV?— *w 77=7=^ — l
l VF'"*' )
LVxptessioD précédente de ^ , donne
±y'^.-4p} = ^ — fi
oa a donc
c--^)a+v/p^y-(?-\/^)'.
\/r.-'W
«ons cette forme , Pambiguité dn s^e =t disparaît
Maintenant « l'on repasse des fonctions génératrices à Icurtt
coefiiciens , et si ?on observe que ^,,., est nul , parce que le
iouenr ^ perd nécessairement la partie , lorsqu'il n'a plus de jetons;
réquation précédente donnera , en repassant des fonctions géné-
ratrices aux coeffîciens ,
"x[JP*-".^,.,+i,_.H-X— «j'.,.^_,. . .+^— "^■\^,.,^_^.+etc.J,
la série du second membre s'arrêtant lorsque n—'ar—i a une
Taleur négatiye. X^*^, XS"^, etc., sont les coefficiens de p^.
dby Google
Aa8 THÉORIE ANALYTIQUE
p^ f etc., dans le développement de la fonction
0+ v^^7)-G- \/r.-4P9y
vIT
(0
■4P9
Si Pon nomme «' le coefilcient de f dans le déreloppemént de ui
il' aera une fonction de ** et de je , génératrice de^;'^.^,. Si l'on nomme
pareiUemeut 7^ le coefficient de t dans le développement de », le
produit de -rp=> psr ^ fonction (i), sera la fonction génératrice
dû second membre de l'équation précédente; cette fonction est donc
égale à «'. Supposons «=a+i, alors ^,_,, devient y^»_,,, et cette
quantité est égale à l'unité ; car il est certain que ^ a gagné la
partie, lorsqu'il a gagné tous les jetons de B; u' est donc alors la
fonction génératrice de l'unité; or s'est ici zéro ou un nombre pair^
car le nombre des conps dans lesquels J peut gagner la partie , est
égal à 6 plus un nombre pair : en efifet , ^ doit pour cela gagner
totts les jetons àeff, et de plus il doit regagner chaque jeton qu*il
a perdu , ce qui exige deux coups. Ensuite n exprimant im nombre
de coups dans lequel ^ peut gagner la partie, il est égal à b plus
un nombre pair ; x' étant le nombre des coups qui manquent au
joueur J pour arriver à », est donc zéro ou un nombre pair. De
là il suit que dans le cas de »=sa4-A, u' devient -:^i on a
donc
/r-^T-Q-Vh-'^ T
ce qiù donne la valeur de T'. En la multipliant par la fonction (i)
divisée par a'.p*", et dans laquelle on Ëtit «s: a, ou aura k
fonction génératrice de ^,,,/ égale à
bigilizedby VjOOQIC
DES PROBABEJT^.
Dans le cas de a^^thj elle deTient
(i-t").i:(:+*^i-4pv-''*)'+c>-/^^^-o*a'
£d déreloppant la fonction
(i 4. Vi— 4pç.i")'+(i— Vi— 4pî.t"}', (?)
suivant les puissances de ^*; le radical disparaît, et le plus haut
exposant de *' dans ce développement , est égal ou plus petit que a.
Mais si l'on développe (1 — V»— ^ro,!")- suivaui lea puissances
de ï'% le plus petit exposant de i' sera aa; la fonction (5-) est donc
égale au développement de(i+ Vi—V?-*'*)'»^** rejetant les puis-
sances de ^ supérieures ka.
Maintenant on a , par le n» 5 du premier Livre ,
«•=1 — o.«+— ^^ i.*'— ^^^^ ï i.a'+etc.,
• ^.a i.a.3 ' '
jT étant celle des racines de Féquation
qui se réduit à ruDité> lorsque a est nul. Cette racine est
a '
en supposant donc »s=pq.^% on aura
•n aura ainsi, .
eLÏI ^____
,-a.„.C+±S£^.p-^.^.-±<£=&L^.^^.f.+ .„. '
db, Google
s5o THÉORIE ANALYTIQUE
la série du dénominateur étant contiimée excluairemcot jusq^aat
puissances de ^ supérieures à a- Ce second membre doit être ,
par ce qui précède, dirisé par i — ï'*,potor avoir k fonction gé-
nératrice de/,,,,; la quantité ^,,1, est donc la somme des coeffîciens
des puissances de f', en ne considérant dans le dévelc^pement de
ce membre , par rapport aux puissance de ^, que les puissances
égales ou inférieures à ar'. Chacun de ces coeffidens exprimera
la probabilité que A gagnera la partie au coup indiqué par l'expo-
sant de la puissance de /'.
Si l'on nomme z, le coefficient correspondant à t'''^, on aura
généralement
o 3= £,-~a .pq . rt_, + °'^^ ^ .p'y' .%_,— etc. ;
d'où il est &cile de conclure les valeurs de x. , x^,, etc., en obser-
vant que «_,, £_,, etc. sont nuls, et que *.=^'. La valeur de zj
étant ^ale à^,,.^^, on aura celles de ^,,,,j',.,^,/,^^, etc. L'é-
quation aux différences partielles à laquelle on est immédiatement
conduit, se trouve ainsi ramenée à une équation aux difiërences
ordinaires qui détermine, en l'intégrant, la valeur de/,,,,. Mais
on peut obtenir cette valeur par le procédé suivant qui s'appliqua
au cas général où a et 6 sont égaux ou dififêrens entre eux.
Reprenons la fonction génératrice de /,,x, trouvée ci-dessus;
/, „ est le coefficient de f^~* dans le développement de la fonction
3».p*,
Ç.(i-.")'
en supposant
Il résulte du n* 5 du premier Livre , que si l'on considère les deux
termes
db, Google,
DES PROBABILITÉS. a5x
que Ton &S8e «ssuite successÏTeDient y=i et ^ss—-! dans le
premier terme , et t' égal saceessirement à toutes les racines de
réquation Q = o , dans le secood terme ; la somme de tous les termes
que l'on obtient de cette manière , sera le coefficient de /*', dans la
déreloppement de la fraction
P
Q.ii-n'
Ce que le premier terme produit dans cette somme est
Four avoir les racines de l'équation Qs=o, nous ferons
(' = -
ce qui donne
X«s racine» de l'éqiution Q =o aont donc représentées par
(r+Q.ir
r étant un nombre entier positif qui peut e^étendre depois r=o
jusqu'à r=a + ^ — 3. Lorsque a + & est un nombre pair, 7 'TT
est ime des valeurs de •»*; il feot Texdure , parce que cos <9 de- .
Tenant nul alors , cette valeur de <ir ne rend pas Q nul. Dans ce
cas , l'équation Q^o rfa que a-f-i — a racines; mais comme le
terme dépendant de la valeur trss^itj e^ multiplié dems régres-
sion de _/,,„, par une puissance positive de cos ■ - ■ î. ^"^ ? on peut
conserver la valeur de r qui donne ir = ^V, puisque le terme qui
lui corre^ond dans l'expression de j',,,, disparaît
Maintenant on a
db, Google
33â THÉORIE ANALYTIQUE
d'où l'on tire , en rertu de l'équation sin (a + Â) . «■ := o ,
dQ _4-(fl-H>)Vp^-^o'(r+i).w _4.(a + b)V^.i-^i)'^
le terme
— p
Cl -(-).«"*-' -^
derient ainsi, en observant que
la somme de tous les termes que Ton obtient , en donnant à r toutes
les valeurs entières et positives, depuis r=BO jusqu'à r=a-H> — a»
sera ce que produit la fonction
— p ,
nous dési^erpD3 cette somme par là caractéristique S placée devant
la fonction (h).
Si Tonfeit r'4-is=aH-6— (r-|-x),on aura
a+b ■ a+o '
cos *• T" / ?= COS ^^ '
pe là ^ est fecile de conclure que dans la f<Hiction (h), le terme
relatif à r+i est le même que le terme relatif à r'-j- i ; on peut
donc doubler ce terme , et n'étendre alors la caractéristique iS
qu'aux valeurs de r comprises depuis n^o jusqu'à r e= ~ — - ,
dby Google
DES PROBABILITÉS. aSS
«i o+i est pair, ou r= ''"'"^~', si a -H i est impair. Cela posé,
on aura en observant que
•J^'.-*"— V^»-^ 5+5
En changeant a en 6 , ;? en ^ , et réciproquement , on aura la pro-
babilité que le joueur B gagnera la partie arant le coup a + ai ^
ou à ce coup.
Supposons o = 6 ; 8in ^i^^f^ deviendra ain 7. (#■+ i).w. Ce
6inus est nul, lorsque 7+1 est pair; il suffit donc alors de considérer
dans l'expresMondej',,,^,!, les valeurs impaires de r + i. En les
exprimant par a* + i , et observant que sin "■^■— - == (— j y,
on aura
'-+^
3.$ -i- 1 devant comprendre toutes les valeurs impaires contenues
dansa — 1.
Si Ton change dans cette expression , ;> en y , et réciproquement y
on aura la probabilité du joueur B pour gagner la partie en a+a*
coups. La somme de ces deux probabilités sera la probabilité que
la partie sera finie api^s ce nombre de coupsj cette dernière pro-
i>abilité est donc
3o
db, Google
>54 THÉORIE ANAtTTIODE
Si lea adresses jp et j| aaat égiale?, cette eipresûtMi derienl
,.(2£±0j:)— ■)
Lorsque a+ ai est im grand nombre, on peut en conclure d'iule
manière fort approchée , le nomlM'e de coups nécessaire pour que
la probabilité que la partie finira dana ce nombre de coupe, soit
égale à une fraction donnée 7. -Un aura alors
«+ at étuit suppoeé un tt^graiidiKwnbrâlÔFt supérieur au BOBfcre
«, S 8u0lt d« considérer te tenue du premier immthn qui conea-
pond à s nul, et alors on a
ces logarithmes pouvant être à ToI<mté hyperboliques, os tabulaires.
Si dans les formules précédentes, on suppose a infini, b restant
un nombre fini ; on aura le cas dans lequel le joueur j4 joue contre
le joueur B qui a primitivement te nombre ô de jetons , jusque
ce qu'il ait gagné tous les jetons de £ , sans que jamais celui-ci
poisse gagner ^, quel que. soit le nombre dea jeton» qu'il Mga^ie.
Sajos ce cas^ b fonotioa génératrice (6) de j;^„ se réduit à
car. alors ( 1— Vi -— V^. f")* et (1 — V/i —Vî- *")**■* ^^®"
loppés , ne renferment que des puissances infinies de ^, puissances
que l'on doit négliger , quand on ne considère qu'un nombre fini
DigiUzedbyLjOOQlC
ms PROBABILITÉS. a35
<fe wapê. On ft par ce ^ fwécède
(H-^i_ép5-.i")-»
i.a.3 '^^ '
•t-«tc
En multipliant ce secftsd membre par -^'^■■^,. , le coefficient de
i'M-.i aéra
c'est la râleur de y,,t^,i , oa la {ffobdxtté -«[tte ^ gagnera la ^irtie
avant ou au coup b -f- ai.
Cette valeur serait très-pénihle à réduire en nombres, si  et si
étaient de grands nombres ; Û serait surtout très-difïlcile d'obtenir
par son moyen , le nombre de coi^s dans lesquels ^ peut parier
un contre un de gagner la partie ^ mais on peut j parvenir Ëtci-
lement de cette manière.
Reprenons la formule (H) b'ouvée cî-desms. Dans le cas de a
infini , etp étant supposé égal ou plus grand que g, si l'on y sup^
pose ■^^^^.'Ts*^, et - = dç, elle devient
^ fl***^.p'.(P9)"^ /•dp.rin a».ain 6». (cpay)*-*-»
Fintégrale devant être prise depuis ?^o jusqu'à ç=ia-. Danslo
cas de p moindre que g , la même expression a Ceu ^ pourvu que
Ton change le premier terme i y dam ^
8i psstg, cette expression devient
a rdp.ain b^.jco» »)*^*"-'
Fint^rale étant prise depuis 4) nul jusqu'à f =: ^ ?r. Supposons
maintenant que b et i soient de gran^ sombres. I^ maximum d«
la fonction
dby Google
«36 THÉORIE ANALYTIQUE
répond à f ^ o ; ce qui donne i pour ce maximum. La fonctioa
décroît ensuite arec une extrême rapidité, et dans l'iotervalle où
elle a une valeur sensible , on peut supposer
logsin? = log (p +log (i — ir)=log«>— î.?",
log (cos?i)'*"^'= {b+»i+i).loi(\—i.r+Ti-f)
ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de 4>, et ses
quatrièmes puissances qui ne sont pas multipliées par fi+ai-t-i ,
en Élisant donc
„.= i±ii±i.
a
OU aura
partant,
/•■».^.i,.(c.>).^. ^ p>(-|'>')
Cette dernière intégrale peut être prise depiiis 4) ss o jusqu'à 4) in-
fini; car elle doit être prise depuis 9=0 jusqu'à ^s^'x'; or a*
étant un nombre considérable , c-*'*" devient exces&ÏTement petit,
lorsqu'on y feit ^ =; { w , ensorte qu'on peut le supposer nul , vu
l'extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle dkninue , lorsque
f augmente. Maintenant on a
on a d'ailleurs par le n* a6 du premier liyre ,
y Google
DES PROBABtLrrÉS. jiSy
/- - " '
/lilp.co» J». «->•»•= -^.c ^',
_3j^ -p / 4; _i!_y
d'où Ton tire» en snttposant
Ainsi hi probabilité que ^ gainera la partie dans le nombre b-i-ai
de coups, est
.__^.[>.^--î:éi.(.-î7»)].
Fintégrale étant prise depuis t nul jusqu'à {ssT, T' étant ^al
.A»
^^-
Si Ton cherche le nombre des coups dans lesquels on peut parier
m contre un que cela aura lieu , on fera cette probabilité égale
à 7, ce qui donne
/d,.c-^== ^ + I^.(i_î 2-).
Hommous T la râleur de <, qui correspond à
et snpposoiu
g 4tiiit de l'ordre ^. L'intégrale fdt.c->' sera augmentée à tréi-
db, Google
«38 THÉORIE ANALYTIQUE
peu près de ç,c~^';ce qm donne
on aura donc
Ayant eifisî y* aux. ^andtés prés de l'ordre ^, l'équation
aa' = *4- ai+ feap ^
donnera, aux quantités près de l'ordre -^^
Pour détermina la raleiia' de 7**, nou» obscrrerons <jt>?ici T ett
plus petit quie j ; ainsi Féquation transcendante et intégrale
p«nt 4tre trajuToimée dass ia sniraiite ,
£a résolvant cette équation , on trouve
!r'*=o,9ioa497.
En supposant (e^ loo, on aura
6+a*=sa5780ji4.
Il 7 a donc alors du désavantage à parier un contre un , que A
gagnera la partie dans 33780 coups, jnais il y a de l'avantage à
parier qu'il la gagnera dans 93781 coups,
11. Un nombren+i de joueurs jouent ensemble aux conditions
suivantes. Deux d'entre eux jouent d'abord , et celui qui perd se
retire après avoir mis un fi^c au jeu, pour n'y rentrer qu'après
dby Google
DES FBOBABIUfÉS. 339
que tous les autres joueurs ont )oaé f ce qui a Inu généralenent
pour tous les joueurs qui perdent, etquî par là devleunent les der-
niers. Celui des deux premàers joueurs qui a gagné , joue arec le
troisième , et s'il le gagne, il continue de jouer avec le quatrième,
et ainsi de suite jusqu'à ce qu'à perde , ou jusqu'à ce qui! ait gagné
successivBment tous les joueurs. Dans ce dernier cas, Ea partie est
finie. Mais si le joueur gagnant au premier coup , est taiacu par
l'un des autres joueurs, le.rainqeeur joue arec le joueur suivant,
et continue de jouer jusqu'à ce qu'il soit vaincu, ou jusqu'à ce
qe'il a^ gï^né de suite tous les ioacurs ; le jeu «ontiaue ainâi
jusqu'à ce qu'il y ait un joueur qui gagne de suite tous les autres,
ce qui finit la partie, et alors le joueur qui fô gagne , emporte tout
ce qui a été mis au jeu. Cela posé ,
Déterminons d'aAocd la prohabilité que le {eu finira précisément ,
au coup s ; nommons 2^ cette probahilité. Four que la partie finisse
au coup x,it&at(faeleiowewqacenb-eaujeu:au coup^;— n-f-i,
gagne ce coup et lès n — 1 coups suivans ; or il peut entrer contre
un joueur qui n'a gagné qu'on seul coup : en nommant^P la pro- ,
habilité de cet événement , -^ sera la probahilité correspondante
que la partie finira au coup x. Mais Ik probabilité z_, que la partie
finira au coup «—1, est évidemment -^i^. Car il est nécessaire
pour cela qu'il- y ait ua joueur qui ait gagné un coup , an eoup
X— n+ 1) et qui jouant à ce coup, le gagne et les /t — a coups
suivans j et la probabilité de chacun' de ces événemens étant .Pet
-^=\ , la probabilité de Tévénemeat composé sera -^r^ ; on aura
donc «_,=!-ïrj-, et par conséquent.
\ . z,_ , est donc la probabilité que la partie finira au coup x , rela-
tive à ce cas.
Si le joueur qui entre au jeu a<t coup x — n-f- 1 , joue à ce coup
contre un joueur qui a déjà gagné deux coiq>8 ; en nommantP' la
probabiËté de ce cas , ~ sera la probahilité- relatire à ce cas , que la
dby Google
34o TBiÉOIUE ANALYTIQUE
partie finira an coup x. Maia on a
car pour que la partie finisse au coup « — a , il feut qu'au coup
X — n + 1 , l'un des joueurs ait déjà gagné deux coups, et qu'il gagne
ce coup et les n — 5 coups suirans. Chi a doue
■^ . 2^_ est doue là probabilité que la partie finira au cdup «,
relatire à ce cas; et ainsi de suite.
Eu ra38emMant toutes ces probabilités partielles, on aura
Ia fonction génératrice de s, est, par le premier livre,
4CO ^
""S' ""a* '^ar^i '
DU
i.4(0.(a-0
Pour déterminer •\'(t),nom observerons que la pardenepeutfinir
au plus tôt qu'au coup », et que la probabilité pour cela est-;^;
car il làut que le rainqueur au premier coup , gagne les n — i coups
suirans ; -^(t) ne doit donc renfermer que la puissance n de £ , et •—-
doit être le coefficient de cette puissance ; ce qui donne 4 (0 = ~^i •
^usi la fonction génératrice de z. est
La somme des çoefficiens des puissances de t jusqu'à l'infini, dans
Je développement de cette fonction, est la probabilité que la partie
doit
dby Google
DES PROBABarrÉS. 34i
doit fiqir après une infinité de coups ; or on a cette somme en
faisant f = i dans la fonction , ce qui la réduit à Tunitc ; il est donc
certain que la partie doit finir.
On aura la probabilité que la partie sera finie au coup x ou.avant
ce coup , en déterminant le coefficient de f dans le développe-
ment de la fonction précédentef divisée par i — (; la foncUon gé-
nératrice de cette probabilité est donc
Donnons à la fonction génératrice de z<, cette forme
2, '■•("-0 A 1. J!_ . J_ *" ^■tc^
le coefficient de f dans ■C'5'~.\r est
OQ a donc
' - <-^t.'ii^^'' •(--^^) +^"'- .
expression qui n'est relative qu*à x plus grand que n, et dans laquelle *
il ne Ëtut prendre qu'autant de termes qu'il y a d'unités entières
dans le quotient- : lorsque x = n, on a z«= -^
En développant de la même manière la fonction génératrice de la.
probabilité que la partie finira avant ou au coup x, on trouvera
pour l'expression de cette probabilité,
+ ^^"'"t'i.tr'"^°^-(^-5^+6)-etc.,
cette eiq>re89ion ayant lieu dans le cas même de x=n.
il
db, Google
«43 THÉORIE ANALYTIQUE
Déterminons maintenant Jes probabilités respectives des jonenrS
pour gagner la partie au coup x. Soit ^.,, celle du joueur qui h
gagné le premier coup. Soient y^, , ^,_, , . . .y.-,,* celles des )Oueur8
suivans, et y„_, celle du joueur qui a perdu au premier coup , et
qui par là est devenule dernier. Désignons les joueurs par (o),(i),
(a), ...(» — i), («). Cela posé, Ifc probabilité y,^, du joueur(r)
devient y^,_,_,, si au second coup le joueur (o) est vaincu par le
loueur (i); car il est visible que (r) se trouve alors, par rapport
au vainqueur (i) , dans la même position où était (r— i) par rap-
port au vainqueur (o) : seulement, il y a un coup de moins à jouer
pour arriver au coup x , ce qui change x dans a: — i. Présentement
la probabilité que le joueur (o) aéra vîôncu par (i) est ~; ainsi
T-j'f-i,*-. est la probabilité du joueur (r) pour gagner la partie au
coupx, relative au cas où(o) est vaincu par (i). Si (o) n'est vaincu
que par (a) , y,^, devient y,^,,,_, , et la probabilité de cet événement
étant ^, on a ^._yr-.,«-. pour la probabilité du joueur (r), de gagner
la partie au coup as, relative à ce cas. Si le joueur (o) n'est vaincu
que par le joueiir (r) , j-,,, devient ^e.»-r) et la probabilité de cet
événement est — j ainsi ^,.^,.,_, est la probabilité du joueur (r)
pour gagner la partie au coup x, relative à ce cas. Si le joueur
(o) n'est vaincu que par le joueur (rH-i),^,_, se change dans
T",-,.,—^, ; car alors le joueur (r) se trouve-, par rapport au
■vainqueur, dans la position primitive du joueur ( n — i) par rap-
port au joueur (o) : seulement il ne reste que x — r— i coups à
jouer pour arriver au coup x. Or la probabilité que ( o ) ne sera
vaincu que par le joueur (r+i),est-;^; -;^.^^,,i^_,*stdonc
la probabilité de (r) pour gagner la partie aucoup x, relative à -ce
cas. En continuant ainsi, et rassemblant toutes ces probabilités par'
tielles , on aura la probabilité entière _/,,, du joueur (r) pour gaguec
la partie ; ce qui donne l'équation suivante,
dby Google
DÈS PROBABILITÉS. a45
Cette expression a lieu depuis r= i jusqu'à r =n —a. Elle donne
£a retranchant cette équation, de la précédente; on aiira ceUe-oi
aux dU^ences partidles,
>',..— r^-,,_, + ^.^,,^-— o; Cl)
celte éqttâtion s^étend depuis r=:±» )usqu*à r==fi— a.
On a y par le raisonnement précédent , les deux équations
suivantes.
Mais l'expression précédente de ^,,. donne
Ea retranchant cette équation de la préoédente y on aura
ainsi Téquation (i) subsiste dans le cas de r=:n— i.
lie raisonnement précédent conduit encore à cette équation
^... = 5.^-^.,^.+ ^.^^.,;_. . . .+ ^.^..._.^,.
00 qui donne
En retranchant cette équation, de celle-à que donne rexpression
générale dey,,,,
Dic|i1ized by VjOOQ le
244 THÉORIE ANALTTIQUE
©t Élisant -.(j',,,4-j»',,,) =5,,,; on aura
L'équation (1) subsiste donc encore dans le cas même de rs= 1 ,
pourvu quel'on y change j',,, dans^y,,^ On doit observer <iue_j',_^
est la probabilité de gagner la partie au coup x , de chacun des
deux premiers joueurs, au moment où le jeu commence^ car cette
probabilité devient, après le premier coup, y,,, ou ^,,,, suivant
que le joueur gagne ou perd , et la prob£d>iUté de chacun de ces
événeraens est î.
Maintenant, la fonction génératrice de Téquation (1) est, par le
n* so du premier Livre,
— ^^^^, (^)
»■- «'+^-*'
t étant relatif à la variable a?, et ** étant relatif à la variable r,
ensorte que j^,,. est le coefficient de tf'^ dans le développement
de cette, fonction;^ (f) est une fonction de t qu'il s'a^tde dé-:
terminer.
Four cela, nous ferons
r==-
la fonction génératrice de y,^ sera le coefficient de f' dans le dé-
Teloppement de la fonction (a) ; elle sera donc
la probabilité que la partie finira prédsément au conp x, est évi-
demment la somme des probabilités de clique joueur pour la gagoer
à ce coup -j elle est donc
par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est
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DES PROBABILITÉS. 945
'•VW- 1— (ï-
EnPégalantàla fonction génératrice de cette probabilité, que noua'
aroDS trouvée ctdessus , et qui est
• i '
onaiBH
J^.t-.Ca— 0(1— *7')
*(0— ^ 7 r~\î
Ainsi la fi)ncti<m génératrice de Téquation (i) aux diffêrences par-
tielles^ est
r.(a-ïr-('T-).(i-t+^.c).(i-B'+^»-)*
la fonction géné-atrice de y,,, est donc
Le coefficient de ^ dans le développement de cette fonction , est
la probabilité du joneor {f)- de gagner la partie an coup x. On pourrEt
ainsi déterminer cette probabilitépar ce développement. La sonuue
de tous ces coefiîciens jusqu'à x infini , est la probabilité du ioueuf
(r) de gagner la partie j or on a cette sonuue, en &isant <=i
dans la fonction précédente, ce qui donne rs=— ^— ;; nonunon»
P cette dernière quantité, et désgnons par ^^ la probabilité de (r)
de gagner la partie , on aura
dby Google
«46 THÉORIE ANALYTIQUE
Cette expression s'étend depuis rsso jusqu'à rasn-^i, pourVtt
qu'on y change j'« dans y^ ^j^ exprimant b probabilité de gagner
la partie , des deux premiers joueurs aa moment où ils entrent
an jeu.
Bfaintcnant, chaque joueur perdant déposant on franc an jeu,
détenninoDS l'avantage des difiërens joueurs. Il est clair qu'après
X coups , il y arait x jetons au jeu ; l'avaiitage du joueur (r) relatif
à ces X jetons, est le produit de ces jetons par la probalâlité /,y
de gagner la' partie au coup x; cet avantage est donc x.^,,,. la
valeur de x.j',,. est le coefficient de ^~^.dt dans la difiërentîella
de la Tonction génér&tric« de y^yy en divisant donc cette diffîren-
tielle par cU, et en y siq>po6ant ensuite /^ i , on aora la somme
de toutes les valeurs de x.y,_, jusqu'à x infini ^ c'est l'avantage du
joueur (r). Mais il &ut en retrancher les jetons qu'il met au jeu à
diaque coup qu'il perd; OT y,^, étaïUja probaÛJité de gagner la
partie au coup x, a'.^,,,_.^, sera sa probabilité d'entrer au jeu,
au coup X — n-\-\y puisque cette dernière probabilité y multipliée
par la probabilité -^y qu'il gagnera ce coup , et Ica r —- 1 coups
suivans est sa probabilité de gagner ia partie au coup x. E^ suppo-
sant donc qu'il perde autant de fois qu'il entre au jeu , 4a somme de
toutes les valeurs de 3'.^,,,_,^., jusqu'à x inâcti^ serait le désavau'
tâge du joueur (r) ; et comme la somme de toutes les valeurs de
y. ,.-,+, est égale à la somme de toutes les valeurs de y._,y ou à
y,y on aurait a"._y,, ou— '^^'""^^^ pouf le désavantage du joueur
(r). Hais il ne perd pas chaque fois qu'il entre -au |eu , parce qu'il
peut entrer au jeu et gagner la partie ^ il faut doac àVec d& a'.^,,
la somme de toutes les valeurs de^. ou^r> «t alors le désavantage
de (r) est ^""^^IJ^^- Pour avoir FaTantage entier de (r), fl
£iut retrancher cette dernière quantité, de la somme des valeurs
de x.y,_,-y en désignant donc par S cette somme, Pavantage di)
loueur (r) sera
5 (='--O-0-f)-P-
a — p — p- »
B étant, comme on l'a vu, la différentielle de la fonction généra*
dby Google
mS PROBABILITÉS. 947
trice dey,,; divisa par dt / el dans laquelle on siçpose easiûte fc=i .
Dtms cette 8U|q>OBition , on a
^^Pi ^ — — "P-i^—p)-
Désignons pw T, I^yanlage de (r) , on troarerit
Cette équation servira depuis ^s=to jnsqu'à re»» — 1, pourvu
que l'on y change F, dans ï^,, Y, étant l'avantage des deux pre-
miers loueurs , au moment ou ils entrent au |eu.
Si au commencement de la partie , chacun des joueurs dépose
au jeu une somme a; l'avantage du joueur (/■) en sera augmenté
de(n-f-i).a, multiplié par la probante ^, , que ce joueur gagnera
la partie ; maisil&ut enôter la mise a de ce joueur; illautdoac,
pour avoir alors son avantage, augmenter l'expression précédentv
de Y',y de la quantité
B— p— <
Lorsque Favantage de (r) devient négatif, il se change en désa-
vantage.
13. Soit q la probabilité d'un événement simple , à chaque coi^ ;
on demande la probabilité dé TuneDér i fois de suite, dans te
nombre x de coups.
Nommons z« la probalnlité que cet événement composé aura
lieu précisément au coup x. Pour cela , il est nécessaire que l'éré-
nemlent simple n'arrive point au coup*—/, et qu'il arrive dans
les ( coups suivans , Pévénement auuposé .n'étant .point arrivé
précédemment. Soit alors P la probabilité que l'événement simple
n'arrivera point au coup x — i — 1. La probabilité correspondante
qu'il n'arrivera point au coup x— /, sera(* — y).P; et la proba-
bilité correspondante gue Tévénement composé aura lieu précisé-
nunt au coupx, 8era(i -—q).P.^.Ce, sera la partie de 2« cor-
ci byGoOglc
a48 THÉORIE ANALTOQUE
respondante à ce cas. Mais la probabilité que l'évéûement con*r
posé arrivera au coup a? — i , est évidemment F. j' j on a donc
ainsi la valeur partielle de z,, relative à ce cas, est(i — y).x,_,.
Ck>nsidérons maintenant les cas où révénemeut simple arrivera
au coup X — i — \. Nommons P la probabilité qu'il n'arrivera
pas au éoiqp x — »— a; la probabilité qu'il arrivera dans ce cas
au coup * — ( — 1, sera y.f et la probabilité qu'il n'arrivera pas
au coup j; — t'usera (i — q).q.P';\A valeur partielle de z, relative
à ce [cas, sera donc {\—q).q.P'.^. Mais la probabilité que l'évé-
nement composé arrivera précisément au coiq) a:— a, est P'-j';
c'est la valeur de z,_,j ce qui donne
(1 — q).q.*t^ est donc la valeur partielle de 2,, relative an cas
où l'événement simple arrivxra au coup x—i — 1, sans arriver
au coup X — I — a-
Ou trouvera de la même manière que (1— f).^. 2.^, est la va-
leur partielle de s,, relative au cas où l'événement simple arrivera
aux coupa x — »— 1 etx— > — a, sans arriver au coup «— t— Jj
et ainsi de suite.
En réunissant toutes ces valeurs partielles de zv, on aura
«, = (i— y).(z^,H-y.z_+9».r_...H-y^".z,_,).
n est làcile d'en conclure que la fonction génératrice de 7. est
car cette foQction génératrice est
. f(0 ■ ^
un
»(0.(.-^0
dby Google
' DES PROBABILITES. aig
jLa faoction p (t) doit être détenninée par la cofiditûm qu'elle ne
doit renferaoer que la puissance i de t, puisque réTénement com-
posé ne peut commencer à être possible qu'au coup i ; de plus *
le coefficient de cette puissance est la probabilité f', que cet éré-^
Dément aura lieu précisément à ce coup.
£n divisant la fonction génératrice précédente , par i—t,on aura
pour la fonction génératrice de la probabilité que rérénement
composé aura lieu avant ou au coup x.
En développant cette fonction , on aura pour le coefiicient de
r*', la série
■+.etR., _-
la série étant continuée jusqu'à ce que l'on arrive à des lacteura
tiégatife. Cest l'expression de la probabilité que l'événement com-
posé aura lieu au coup x — i, ouavantce coup. •
Supposons encore que deux joueurs A fil B, dont les adresses
respectives pour' gagner un coup , sont y et 1 — 7 , jouent à cette
condition,, que celui des deux qui aura le premier vaincu i foi^
de suite son adversaire , gagnera la partie ; ou demande les pro-
babilités respectives des deux joueurs pour gagner la, partie preci*
sèment au coup x.
Soit y, la probabilité de ^ , et y'^ celle de B. Le joueur A ne
peirt igagner la partie au coup x, qu'autant qu'il commence bu
récranmence à gagner B an coup x — i-^ 1 , et qu'A «ontinue d«
le gagner les i — 1 coups auivans. Or ovïuit de commencer le coupr
X — i-i-i , B aura d^jà gagné ^, ou une fois, ou deux fois, o^
■54 ■ '
dby Google
*5o THÉORIE ANALYTIQUE -
i — 1 fois. Bans le premier cas , si l'on nomme P la pTobabifit^ Ae
ce cas, P.{i — y)*"' sera la probabilité^^, de 5 pour gagner la
partie au coup * — i , ce qui donne
Mais si B perd au coup jr— i-f-i et aux i — i coups stûrans,
^ gagnera la partie au coup « , et la (nrobabilite de cela est P.f'i
■^j^!;:2, est donc la partie de ^, , relative au premier cas.
Dans le second cas , si Ton nomme P' sa probabilité , i* . (i— ^)'-*
serala probabilité,/^ de JB pour gagner la partie an coup x— a.
La probabilité de ^ pour gagner la partie au coup ic, relative à
ce cas , est P'-^*; on a donc .^ '^^il^ poui: cette pro]>abilité.
£n continuant ainsi, on î^ura
j''=^r[i^~9)-y^,+(i-^y-y:^ M^-9)'~'y^i.j-
Sii'on change ç en i — f,^« ea^^^et réciproquement, on aura
Maintenant, u étant fonction génératrice de y, , celle de j'^ sera ^
par tout ce qui précède,
iç . ut. (i+yf-H^C . . .+ ^'-'t'~*) ,
i étant égîJ à ^'"^ . Mais Pexpressîon précédente de y'^ ne com-
mençant à avoir Ueu que lorsque xs=j-f-i , parce que pour des
valeurs plus petites de x, ^,_,, y,^,, etc. sont nulsj U &ut, pour
compléter Véxpre^on précédente de la fonction génératrice de^^,
lui ajouter une fionctioa ratkamelle et «itiére de f , de Tordre i, et
dont tes coefficiens des juiissemces de t soient les valeurs dç X >
loràqué ar est égal ou plus petit que ï. Or^^ est md, lors^exest
moindre que * ; et lorsqu'il est égal à * , ^^ est f i — 9 )*, parce quil
dby Google
DES PROBABILITES. aSi
caprime aïon ta probabilité de S pour ga^er U- partie a^è*
i coupa; la fonctÎDBà ajouterez dmc(<t— 9)'.*'; aiunia fiwctioa
Çéoérabice de jr'^ est
Si Ton nomme u' ceUe fooction , l'expression dey, en /^, , ^1^,) etc.,
donnera pour la fonction génératrice de y. , en changeant dans
celle deyâ} ^ dans 4, y dans 1 — ?,
Cette fjantité est donc égale à u^ d'où Ton tire* en. 7 wbstltiuuH
pour u sa valeur précédeute ,
En changeant y en 1 — y , on aura la fonctiony génératrice de y_.
Si Ton (firise ces fonctions par 1 — < , on aura les fonctions généra-
-liriees deïprobadsililésrespectiTee de.<tf etde ^, poor gagner la pailû
iBTaot on ancoup «.
Si Ton suppose / = 1 dans u, on aura ]a probabilité que jf ga-
gnera la partie ; car il est cjair qu'en développant u suivant les
puissances de t, et en supposant ensuite < = i , la somme de tous
les termes de ce développement sera celte de toutes les valeurs
de r,. On trouve ainsi la probabilité de ^ pour g<igaer la partie^
ég^e à
la probabilité de S est doôiË
ns maintenant 4jue les )ouiatirB , k cimifaer cenp 4»%
perdent j déposent un franc au jeu , et détemiilions leur sort res<
pecti£ Il est clair <|q9 le gain du iotvmr J sera Xj s'il gagne la
dby Google
afia THÉORIE ANALTTIQTJE
partie au coup x, puisque y aura x francs déposés au jeu ; aiisa'
la probabilité de cet évéaenent étant ^, par ce qui précède, S.ajr,
sera l'expression de l'avantage de ^, le signe S s'étendantà toutes
les valeurs possibles de x. La fonction génératrice, de y^ étant u
ou =r , T' étant le numérateur de l'expression précédente de « ,
'et 3r étant son dénominateur; il est facile de voir que l'on aura
S-wr» en diffërentiant ^ , et en supposant ensuite *^i dans cette
di£fêrentielle , ce qui donne avec cette condition ,
:Pour avoir le désavantage de ^, on observera qu'à chaque coup
qu'il joue , la probabilité qu'il perdra , et par conséquent qu'il dé-^
posera un franc au jeu, est i — ^; sa perte est donc le produit
de 1 — ^ , par la probabilité que le coup sera joué ; or la probabilité
gue le coup x sera joué, est i — ;»'_, — ^^,; la fonction généra-
trice de l'unité, est ici _ ,et celle de^^^.+j-^, est —J, . — .- ;
r" étant ce que devient î" lorsqu'on y change 9 en t ■ — y , et réci'-
proquem«Bt j ainsi la fonction génératrice du désavantage de A eat
Le numérateur et le dénommateur de cette fonction sont divisibles
par 1 — 1\ de plus , on aura la somme de tous les désavantages
' de ^ ; ou son désavantage total , en faisant ttsi\ dans cette fonc-
tion génératrice ; le désavaotage total est donc par tes méthode»
connues, et en observant que r'H- 7"' ^'ï', lorsque ï = i,
{^—q).{àT—âT'~dT•)
t étant supposé égal à ronité, après les di£^[%ntiations. Si Toirre'^
tranche cette expression , de celle dé l'avantage total de ^ , on aura
pour rexpresaioji du sort de de joUeur,
qàT^{\—<i).{àT-~dT^ T.dT
- - T.dt ~~Tr3t'
y Google
DES PROBABILITÉS. b55
le fiort de B eera .
t étant su[yposé runité après les diffêreDtiations j ce qui domiQ
^ r=^.(a-y).[9^'+(i-^)'--V'-'.(i-79)'-'];
Ç= ï.(i— f).9'.[i— 3.(1— y)']— ?-9'-[i— (i^?)']
<>n aura 7^' et -^ , eu changeant dans ces deux dernières expres-
sions,y dans i—jv,
i3. Une 'urne étant supposée contenir n+i boules, distinguées
par les n^o, 1 , a, 3,. . ..n j on en tire une boule que l'on remet
dans Tume après le tirage. On demande la probabilité qu'après
) tirages, la somme des nombres amenés sera égale à «.
• Soient^,, ^, /sj^.../!, les nombres amenés au premier tirage , au
second, au troisième , etc. ; on doit avoir
*.4-*.+'s. ..■+'.=*• (i)
/, , (3. . . .*) étant supposés ne pas varier, cette équation n'est sus^
ceptible que d'Une combinaison. Mais si l'on fait- varier à la - fois
't. et f. , et si l'on suppose que ces variables puissent s'étendre indé-
finiment depuis zéro , alors le nomlure des combinaisons qui donnent
réquation précédente sera
car 2, peut s'étendre depuis zéro , ce qui donne
/. = *— fa— (4,.. — ft, ,
jusqu'à^ — ts — t^. . .r— (,, ce qui donne f,=ojles valeurs négative»
des variables f, , U devant être exclues.
dby Google
«54 THÉOHIE ANALTTIQUE
Maintenant ^ le nombre 5+ 1 — /s— £4. • .— /i «et stucenptible de
plusieurs valeurs, en rertu des yariatioias de /j, '4, etc. Supposons
d'abord t^, ts, etc. inrariables , et (|ue t, puisse s'étendre iadéfinimeot
depuis zéro^ alors si l'on fait
en intégrant cette variable dont la diffîrence finie est Tunité , oa
aura — -~- pour son intégrale ; mais pour av(Kr la somme de
toutes les valeurs de x , il &ut , comme Ton sait, ajouter x à cette
intégrale ; cette somme est donc î-i^iii. Il fiiut y firire « égal à
sa plus grande valeur , que Ton obtient en Ëdsant tt nul dans la
fonction *+ 1 — t, — (<. . . . — f,; ainsi le nombre total des combi-
, naisous relatives aux variations de t, , i; et t.,«9t
I.S '
En faisant encore dan3 cette fonction
elle devient ^'- f ^ '■ ; en rintégrant depuis »:= o , et ea ajoDlant
la fonction elle-même, à cette intégrale, on aura Ç^^O-j?-(^0.
' ^^ ' 1.8.3
la valeur de x nulle répond à i^ssss•^a—ti,.. .—t,, et sa plus
^ande valeur ré{M»id à /4 niU , et par conséquent elle est égale à
f-t-S-^ft... — t,; en stdètituant donc pour a:, cette valeur dans
rintégrale précédeode, on aura
- O + 5 —h—te. . .— tihis+a^ts — U- . —'ti).{s+i — ts—k' ■ -^'Û
pour la somme de toutM les combinais!^ relatives aux variations
de 2, ,/., /j, ^4. En continuant ainsi, on trouvera généralement que
le nombre total des combinaisons qtd donnent Féquation {i}, dsBft
la supposition où les variables f.,j;,.,.ti peu vent s'étendre indéfi^
nisicnt depuis zéro^ est
DigiUzedbyLjOOQlC
Di:S FROBABUITÉS. ntS
mais dans la question présente, ces variables ne peurént pat
s'étendre au-delà de n. Pour exprimer cette condition , nous obser-
verons que l'urne renfermant n+i boules, la probabilité d'extrair»*
Tune qudconque d'entre elles , est —~~^ ; ainsi la probabilité d«
chaculie des valeurs de /, , depuis zéro jusqu'à n , est -■^- I^
pr(^)ab3ité des valeurs de /, égales ou sapérieteres à n + 1 > «st nufie ;
on peut donc la représenter par ^-^^ — , pourvu que Ton fosse
i^ 1 dans le résultat du cakul; alors b pixdïabilîté d'ane valeur
quelconque de t, peut être généralenient exiaimée par ' *3i-' »
pourvu qu'on ne fasse commencer l, que lorsque t, aura atteint
n-i-x, et qu'on le 8U{^>eoe à la. fin, égale à l'unité: il en est de
même des probïd>ilités des autres variables. Maintenant, là proba-
bilité .de l'équation (i) est le produit des probabilités des.raleurs
de <,,«>, ^, etc. ; cette probalùlUé est donc ('•-^- -) î le nombre
des combinaisons qui donnent cette équation , mnltipHées par
leors probabilités réactives , est ainsi le produit de la fraction (a)
mais il iaut dans le développement de cette fonction , n'appL'quer
i*^' qu'aux combioaisoDS dans lesquelles une des variables com-
mence à surpasser n : il &ut n'appliquer Z""^' qu'aux combinai- "
sons dans lesquelles deux des variables commencent à surpasser n,
et ainsi du reste. Si dans l'éqoaâon (i) oa suppose qu'une des va-
riables,/,, par exemple, surpasse n; en faàsâBKt,:ssn-^i^t[y
cette équation devient
« — n^i^ (,'+(, + '3+etc. j
■ ■• ,-■] >. ""
la variable /,' pouvant s'étendre i nd^mqaent <$ d^^ das. variablas
telles que f, et /, surpassent n; en Élisant
DigiUzedbyLjOOQlC
/
356 THÉORIE ANALYTIQUE
l'équation devient
*— an— 3 =ï,'+/^ + ^i+etc.,
et ainsi de suite. On doit donc, dans la fonction (a) t^e nous avons
dérivée de Téquation (i), diminuer « de n+i, relativement au
système des variables £| ,/,,«, , etc. Ou doit le diminuer de an+ 3 ,
relativement au système des variables <^ , <ô 's, etc. ; et ainsi du
reste. Il faut par conséquent , dans le développement de la fonc-
tion (b) par rapport aux puissances de /, diminuer dans chaque
terme, a de l'exposant de la puissance de /jenfêuaant ensuite /^i,
.cette fonction devient
(H-^-w-a)
)-C'H-0' ,
la série devant être continuée jusqu'à ce que l'un des fecteurs s^-n^
«— 3n— 1,.«— 5n— 3, etc. devienne nul ou négatif.
Cette formule donne la probabilité d'amener un nombre donné «,
en projetant i âéa d'un nombre n+i de faces chacun, le plus
petit nombre marqué sur ces Ëtces étant i. Il est visible que cela
revient à supposer dans l'urne précédente , tous les nombres des
boules, augmentés de l'unité; et alors la probabilité d'amener le
nombre a +i dans i tirages , est la même que ceUe d'amener le
nombre a dans le cas que nous venons de considérer; or en £ii-
gant *+»=*', on a s^=sa' — »; la formule (c) donnera donc pour
la probabilité d'amener le nombre s' en projetant les i dés ,
- (/-,).(/-a)....c/-i+o t.(y-^i-^).(^-/.-^....(/-t-B)
i.a.3....{i— !).(«+ 0* i.a.3....0—i ).(«+!)'
, '-O— ■)' (/— an— 3).(y— an-^. ...(/.-fc-an^i)
"* r^-* i.a.3....Ci-i).(H-i}' *'"'■
lia formule (c) appUquée au cas où ^ et n sont des nombres infinis,
«e transforme dans la suivante ,
Celts
dbyGoogle
DES PROBABILITÉS. 967
Cette expression peut servir à déterminer la probabilité que la
somme (^s inclinaisoDS à Pécliptique , d'un nombre i d'orbites , sera
•omprise dans des limites données^ en supposant que pour chaque
orbite, toutes les inclinaisons depuis zéro jusqu'à l'angle droit,
soient également possibles. En effet , si l*oh conçoit que l'angle droit
^ie, soit divisé en un nombre infini n de parties égales, et que *
renferme un nombre infini de ces parties ^ eu nommant f la somme
des inclinaisons des orbites , on aura
* 9 ^
Eâ multipliant donc l'expression précédente par da ou par ^ .
et en l'intégrant depuis 9 — * jusqu'à f -{- < , on aura
(o)
. I (?^0-'--(^-O+^M^-O^tc.|
c'est l'expression de la probabilité que la somme des inclinaisons
des orbites sera conq>ri8e dans les limites <p — < et <p-^t.
Ai^Uqnons cette fi>rmuie aux orbites des t)IaDétes. La somme
des inclinaisons des orbites des planètes à celle de la terre, était
de gi*,4i87 au commencement de 1801 : il y a dix orbites, sanï
7 comprendre Féd^tii^e ; on a donc ici isss 10. Ifous ferons
«nsuite
*+i = 9i%4i87.
Lafi>rmule précédente. devient ainsi, en observant que fv, ou le
quart de la circonférence est de 100%
....3!...o:(°>9'^'87)"
Cest Texpression de la probabilité que la somme des inclinaisons
des orbites serait comprise dans les limites zéro et 9i'',4i87, si
toutes les inclinaisons étaient également possibles. Cette probabilité
estdoncD,ooooooii355.Efie est déjà très-petite; mais iliaut encore
53
dby Google
sdS THtiOaiË ANALTTIQIIE
ta .combiqçr ftTOc.I« ptob^ùbtë d'une circonstasce tléârPemoitqimble
dans le systèiue clv;inoiide^ et qui conâate «a ce itfaê itâutos 1«3
[^èteç^ç K^envçnt dan» le mêpae senâ que la tebre.:&k«niou>>,
yeo^^is diriqcts .et rétrogrades sçnt svqtpoaés égatementipossiUtcs,
cette demièye probabilité est ^ - j j il faut donc multiplier
OjQQOoooaiaSS par ^^ V, pour avoir la pT<^)alûlité que tous les
mouvemens des planètes et de la terré sefont dirigés dans le même
scDs, et que la somme de leurs inclinaisons à l'orbite de la terre ,
sera comprise dans les limites zéro et 9i',4i87 ; on aura ainsi
Y^~ pour cette p:çob.abi]i;té ; ce ^ d^nne i — ^^^pourlapr^or
habilité que c^ n'a pas dû avoir lieu , si toutes les iiuïlipaisons ,
ainsi que les mouvemens directs et rétrogrades , ont été également
feciles. Cette juvbabilité approche t^ement de la c^^itude, que le
iléaultat observé devient invraisemblable «Jans cette hypothèse ; ce
résultat indique donc avec une très-grapde prohabilité , l'existence
d'une cause primitive qui a déterminé les mouvemens des planètes
à se rapprodier du plan de Fécliptique , ou plus naturellement y du
plan de l'équatear -solaire , et à se mouvoir dans le sens de la
çofiiltion du soleil. Si Fon considère ensuite que les ^-hi^t satel-
^8 çh^errés jusqu'ici , foaat leur révolution ^ns le même sens j et
^e 1^ rotations observées an nombre de traÎEe dans les [danètes ,
1^9 A9-teUites. et Tanneaii de Saturne., sont encoi% dirijgées dans le
même sens- enfin, si l'on considère que la moyenne des indinai-
8ons des orbes de ces astres , et de teurs équateurs à Téquateur
solaire , est fort éloignée d'îateiodre «n demi-angle droit j on verra
cpie l'existence d'une cause commune qui a dirigé tous-ces mouf
Temensdansi le sens de la rotation du soleil, et sur des plans peu
inclinés à celui de son équatexir, est indiquée avec une probabilité
bien supérieure à celle du plus grand noinbre des faits historiques
eor lesquels on ne se permet aucun doute.
s maisfçnapt ai ,oeflije .ca^se a influé .sur ■ }^ in^uv^çoept de^
le pjoçiibre de^jles qji'Qo a obïjmrp^ jfi9qu'àla.ftn,<^
comptant pour ta.méoie les diverses aiipf^ritfoqs de oeil»
&'éi«ve à cent , dont çinquan|;e-trois 6.opt <^ectes , et qi^<r
dby Google
ISeS PItOBABlLrfÉS. aSj
rantc-sept Sônlrétrogrades. La somme âhs inclinaisbns'deSi'drbUeS
des premières, est de a65.7%9û5, et celle des incllDaïsons des autre»'
orbites , est de 35ifi%6âi( ; l'incliiiaisori môyemie de toutes ces or-
bites est donc de 5i%75677j par conséquent la somme de tDUI«s les
inclinaisons est i^+i.1%75677 , i étant ici égal à 100. On voit
déjà que l'inclitiaison iuOyenne surpassant le demi-angle dfoit, les
comètes , loin de participer à la tendance des corps du système. pla^
netairé, poui- se mouvoir dans des plans p'eu inclinés "à Pécïïptîqûe ,"
pairaissent avour 'une tendance contraire, iïais lâ probabilité dé*
celte tèùdancè, éât très-petite. En effet, si l'on suppose dans la
formule (o), .
.» = ^ . <=i.i*i75677V'
elle devSeM i,
l^^iltè .■(f.-:^-'-'-7^^-4')'.f etc; )
V i.a \ «■ . / . / .
« étant aoo*. C'est l'expression de la probabilité qae la somme
des incUnaisoDS des <^bite^ d^ i comètes, doit- être compris*
dans les limites de 1. 1*,75€77. Le nombre des termes de cette for-
mule, et la précision avec laquée il faudrait avoir chacun d'eux ,
en rend le calcul impraticaïdè; il'Ëtut donc recdurir aux méthodes
d'approximation développâmes dans la seconde partie du premier
livrtï. On a par le a* 4a du même livre,
les puissances des quantités négatives étant ici exclues , comme
dby Google
a6o THÉORIE ANALYTIQUE
«lies le sont dans la formule précédente ; en Ëiîsant donc
la formule (p) devient
Va»-' lo.i' V 9W *■ ' '
fintégrale étant prise, depuis r nul. On trouve ainsi 0,474 pour kt
probabilité que l'inclinaison des 100 orbites doit tomber dans les
limites 5o*zb i",! 7577 ; la probabilité que finclinaison moyenne doit
être inférieure à l'inclliiaison observée, est donc 0,757. Cette pro-
babilité n'est pas assez grande pour que le résultat observé ^sse
rejeter l'hypothèse d'une égale ^cîlité des indlnaisons des orbites,
et pour indiquer l'existence d'une cause primitive qui a influé sur
ces inclinaisons , cause <|ne l'on ne peut s'empéclrar d'admettre dans
les inclinaisons des orbes du système planétaffe.
La même chose a heu par rapport au sens du mouvement La
probabilité que sur 200 comètes, quarante -sept au plus seront
rétrogrades, est la somme des 48 premiers termes du binôme
(p+yj"", en.feisant dans lé résultat du calcul ;)=3 ^ =3 ^. Hais la
somme des 5o premiers termes , plos la moitié du 61""* ou du terme
moyen^est la moitié du binôme eatier,oud£(sH-T)'%c'est-à-dîre;j
la probabilité cherchée est donc
1 100.99. ..5i /'a.^-i-^:^\-
l i.a.5.....5o.fl'- • Va ^ 5i ^ STTW'
OU
. I __ i.a.g....iQo.i^
■~â (i.a.5 5o)Var.6^'
En verta du théorème
on a , à très-peu près ,
, j.,.3...,oo=(>oo)-"+4.o-".(i + j^).^/5;,
^■".(i.a.S. . .60)-= 100'°° + ■ . o-'~.(. + jl;)>.
db, Google
DES PROBABILITÉS. a6i
tsi probabilité précédente devient ainsi ,
i _i^ . ii9Zd^== o,5o46.
a t/5o.îT iaoo.663 '
Cette probabilité est beaucoup trop grande pour indiquer tme cause
qui ait iavorisé, dans l'origine, les mouyemens directs. Ainsi la
cause qui a déterminé le sens des mouvemens de révolution et de
rotation des planètes et des satellites , ne parait pas avoir influé sur
le mouvement des comètes.
i4. La méthode du numéro précédent a l'avantage de s'étendre
fiu cas où le nombre des boules de l'urne , qui portent le même
buméro, n'est pas égal à l'unité, mais varie suivant une loi quel-
conque. Concevons, par exemple , qu'il n'y ait qu'une boule por-
tant le n' o, qu'une boule portant le n' i^ et ainsi de suite jusqu'au
u* r inclusivement Supposons de plus qu'il j ait deux boules por-
tant le n" r+i, deux boules portant le n* r+a, et ainsi de suite
jusqu'au u* n inclusivement. Le nombre total des boules de l'urne
sera an—r-^i., la probabilité d'en extraire un des numéros infé-
rieurs à r+i , sera donc — _^ _: ■ j et la probabilité d'en extraire
le n'r+i ou l'un des numéros supérieurs, sera __° : nous la re-
présenterons par _■ — j mais nous ferons / = i dans le résul-
tat du calcul. Quoiqu'il n'y ait point de numéros au-delà du n* n,
nous pouvons cependant considérer dans l'urne des numéros su-
périeurs à n, jusqu'à l'infini, pouryu que nous donnions à leur
extraction , une probabilité nulle , nous pourrons donc représenter
cette probabilité par ^ ait— 7^ — » ®° Élisant / = i dans le ré-
sultat du calcul Par cet artifice, nous pourrons représenter géné-
ralement la probabilité d'un numéro quelconque, par l'expression
précédente ; pourvu que nous ne usions commencer r*' que lors-
qu'un des numéros commencera à surpasser r , et que nous ne
fessions commencer /^' que lorsqu'un des numéros commencera
à surpasser n. Cela posé, on trouvera, en appliquant ici lesraison-
Qemens du numéro précédent, que la probabiÙté d'amener le nombre
dby Google
969 THÉORIE ANALYTIQUE
s dam i tirages, est égale à
C<+i-0-(H-i-^)-(j+i-31-...-0+0 r,a-*^— aï^'V
i.a.3....(.-i).(an-^i)J tl+f"— a*" } f
pourvu que dans le déreloppemeot de cette fonction, suirant les
puissances de l, on diminue dans chaque terme, s de Fexposantde
la puissance /, qu'on suppose ensuite /= i , et qu'on arrête la série
lorsque l'on parvient à des Ëicteurs négatif.
i5. Appliquons maintenant cette méthode à la recherdie dà ré-
sultat mojen que doit donner un nombre quelconque d'obsenra-
tions dont les lois de facilité des erreurs sont connues. Ponr ceki ,
nous allons résoudre le prc^Ième suivant ^
Soient i quantités variables et positives t, t, , i, ,. . . f|_, dont la
somme soit s , et dont la loi de possibilité soît connue ; on proposé
de trouver la somme des produits de chaque vaieor que peut rece^
voir une fonction donnée 4 ('; '< r '•> ^^^■) ^ ces variables, multi-
pliée par la probabilité correspondante à cette valeur.
Supposons pour plus de généralité, que les fonctions qatexi^rîment
les possibilités des variables t, t, , etc. soient discontinues , et repré-'
seiitDiispar ^ (t) la possibilité de t , d^oia t^sio jusqu'à t=:q ;
par ^'(*)4-^((), sa possibilité depuis * = ff jusqu'à ts=g';psr
♦"(0"^"P'(')+?(')' ^* possibilité depuis (= y' jusqu'à t=^g", et
ainsi de suite jusqu'à rinfinL Désignons ensuite les mêmes quantités
relatives aux variables ^, , f. , etc. par les mêmes lettres , en écrivant
respectivement au bas, les nombres 1, a , 3, etc.; ensorte que y,,
g\ , etc. ; ip,((,), ?^ {i,), etc. correspondent , relativement à /,, à ce
que g, q\ etc.; ^>(<),Ç'((), etc. sont respectivement à ï, et ainst
de suite. Dans cette manière de représenter les possibilités des va^
riables, il est clair que la fonction 7 (2) a lieu d^tds f cso jusqu'à
r infini; que la fonction (p'{t) a U^ depuis t^g Jusqu'à t inâm,
et ainsi de 8uît& Pour reconn£^b*e les valeurs de t , t„ ^t etc^ lors-
«pie ces diverses fonctions ccmmeacent à avoir lieu, nous 'multi-
plierons conformément à la méthode exposée dans les numéros
précéden8,ç(ï)par ?• ou l'unité, <ff (t) par l'}^"it) par /^,etci
nous multiplierons pareillement ^. (t,) par l'unité, ç[ (t,) par f'j et
i^insî de suite : les exposans des puissances de / indiqueront alors
y Google
T^S PROBABILITÉS. »65
^ Tdleurs. Il suffira ensuite de làire /=: i dans le dernica- résal-
tat 4v calcul Jdï moyen de ces artifices très-simples , on peut &ci-
lement résoudre le problème proposé.
La probabilité de la fonction 4 (*> '.> '*) etc.) est évidemment
égale au produit des probabilités de i, f,^f,,etc.,eiisoirtequ6siron
substitue pour t sa yaleur « — t, — f.— • «te. que domie^équi^OB
Je produit de la fonction proposée par sa probabilité , sera
4C* — *i~< — etc., f,,*„ etc.)
X[^(i--(,—ï;—etc.)+/'.^'(«—(,—ï,—eèc.)4-K.*"(5— #,—/,— etc.)-f-etc.j
X{.Mt')-\-^'-<l>: {t)+f''.<p\ (/.)-|-etc.]j (A)
Xetc.
on am^ donc la somme de tous ces produits, i*. en multi^diKDt la
quantité précédente par dt^ , et en Tint^raut pour toutes les valeurs
doat t. est 6uaceptU>Ie ; a* ea multipliant cette intégrale par dt, , et
en l'intégrant pour fa>i;Aes les valoirs dont t^ est susceptible, et amsi
4e suite joac^'à la 4ermère yatiajale ^, ; mais ces intégratirais suc-
et^ves exigent quelques attaitions particulières.
^Osjdéroos un ten^e quelconque de la quantité (A) , tel qu«
/Ï+''' "'■'•+'*''"■ .4 C*-(.-(.-etc.,(.,/.,etc.)
X^'C*— (,—/.— etc.). ?;(*.).?; (/.).etc.;
enle multipliant par (ft, , fl fautïntégrer pour toutes les valeurs pos-
sibles de ï^j or la fonction f' (s — t, — t^ — etc.) n'a lieu que lorsque f,
dontla valeur est*— f,— *,• — etc., égale ou surpasse y ;k plus grande
valeur que (, poisse réceyoU-, est donc « — 51— (,— fj — ietc. De
plus, (pî (£,) n'ayant lieu que lorsque t, est égal ou plus grand que
q,t cette quantité est la plus petite valeur que t, puisse recevoir ;
Û. £iut donp proxtre l'intégrale dont il s'agît , depuis f. = g, jusqu'à
(4 = *—^ — '»— 's — etc.;
OQ, qeq^i revient au nn^iae , depuis t,^—^,=s:o jusqu'à
t,-^ y,:= f—gr— y,— /,— /,— etc.
dby Google
«64 THÉORIE ANALTTIQXJE
On trouvera de la même manière qu'en multipliant cette nourell*
intégrale par dt„ il làudra l'intégrer depuis /, — g', =so jusqu'à
4 — g',= *— y— y, — 9^— ^— etc.
En continuant d'opérer ainsi , on arrirera à une fonction dé
4— ç— y, — j^_etc., dans laquelle il ne restera aucune des va-
riables*,*,, f„elc.Cettefonctiondoitêtre rejetée, si* — g—Çt — jl— etc.
est nul ou négatif; car il est visible que dans ce cas, le système deç
fonctions ^'(t), ^', ((,), <pl (/,)» «te. ne peut pas être employé. En
e^t, les plus petites valeurs de f„ ^, etc. étant par la nature de ces
fonctions , égales k q,f q[ , etc. ; la plus grande valeur que t puisse
recevoir est j — y, — g[ — etc. } ainsi la plus grande valeur de-
*— j-.est
«— y— jf,— y^— etc.j
or ta fonction <p'{t) ne peut être employée qu'autant que t-^^
est positif.
De là résulte une solution très-simple du problème proposé. Que
l'on substitue, i*. ^-|-< au lieu de f,dan8 ^'(f);9'+£aulîeudef,
dans ^"(i)j2"Hr/8uJdeude(,dan8^'"((),etainMde8uite;a'. y.-H,
au lieu de t, , dans (p[ (t,) j q[ + 1, au lieu de t, , dans ?' ((,) ; etc. ;
Z". <?,+/, au lieu de ^, dans «pi (f.) ; çl+t, au lieu de /, , dans
^1 ('0* ^^-i ^^ ^Dsi ^B suite; 4*. enfin, A:-f-/ au lieu de t, £.4-'i
au lieu de t, , et ainsi du reste, dans 4 (f» h , /. , etc.) j la fonction (AJ
deviendra
•4- (*+*— f 1 — tj—ti— etc. , *,+/. , A,+f, , etc.)
X if (*—«.— /,—fe—etc.)+/*.<p' (j-i-y— (.— f,— etc.)
+;»'.?" (^y'—/,— fr-^ta)+etc.] j(A')
xr?.(f.)4-i''.*; (?.+<.>+•/''.< (î:H-(,)+etc.]
X[«P.(f,)-f''*.fl»;(î.+f.)-(-etc.]
^ multq;iliant cette fonction par dt, , on l'intégrera depuis t, nul
jusqu'à f,=« — *. — /, — etc. On multipliera ensuite cette pre-
mière intégrale par d(. , et on l'intégrera depuis /, nul jusqu'à
f,=* — tî-^U — etc. En continuant ainsi, on parviendra à un«
«derniers intégrale qui sera fonction de «, et qi;e nous désignerons
par
dby Google
DES PROBÀBarrÉs.
afiS
par n (s); et cette ibnction sera la somme cherchée de tontes les
valeurs de 4 ('}'>* ^ > ^tc.) multipliées par leurs probabilités re»-
pectives. Mais pour eela , il faut avoir soiu de changer dans un
terme quelconque , multiplié par une puissance de Ij telle que
^-»-9i+?.+e c-^ ^ ^jjjjg |g parijg ^e l'exposant ^la puissance relative
à la variable t^ et qui dans ce cas est^j et s^ctte partie manque ,
il £iut supposer k égal à zéro. Il Ëiut pareillement changer k, dans
la partie de Texposant relative à la variable t^y et ainsi de suite;
il &ut diminuer s de l'exposant entier de la puissance de l, et
écrire ainsi dans le cas présent, s — q — q, — q'^ — etc. , au lieu
de £ , et rejeter le terme , si s, ainsi diminué , devient négatif. Enfin,
il £tut supposer l^si.
Si >[/(«, ï,,f., etc.), 4>{ï),(p'(/), etc. ;?,((,), etc. sont des fonctions
rationnelles et entières des variables f, f,, t„ etc.; de leurs expo-
nentielles , et de sinus et cosinus | tontes les intégrations successives
seront possibles , parce qu'il est de la nature de ces fonctions , de se
reproduire par les intégrations. Dans les autres cas, les intégra-
tions pourront n'être pas possibles ; mais l'analyse précédente
réduit alors le problème aux quadratures. Le cas des fonctions
rationnelles et entières , o&e quelques simplifications que nous
allons e^oser.
Supposons que l'on ait
*(0+^-'P'(î + *)+^'/'(/+0+etc.=-/4-5.*+C.i*H-etc.,
<P.(t,)-\-^'-f[ (?'.+f.H-''';'Pl C?;+'.)+etc.=^.+5,.(,+C,.(tH-etc., -
«P. ('.H-i^'-^l (î.+O+^'-'p; (s;-H.)+«tc.=^,-f-5../,-|-C..(;+etc.,
etc.
et désignons par /r.(".("'.^.etc. un terme quelconque de
4 (*+*, *.+'■, *.+/., etc.); il est facile de s'assurer que la partio
de n {s) correspondante à ce terme , est
i.a.5...B.i.a.3...n..i.3.5...B..etc.fl'.*^''+"'+"*+"*'=-'
X[^ + («+i).S.*-Hn-f-i).(n+a).C.*'H-etc.]
X [^,^-(/^.^-l).5..H-(«.+l)■(n.^-a).a.*^^-etc.] ; (B)
x[^,+(rt,+i)..ff..iH-(n.-|-l).(n,-|-3).C..J*-l-elC.i
xetc.
34
dby Google
tm THÉORIE ANALTTIQrE
pourm qae dans le développement de cette quantité, an Uea d'usé
puissance quelconque a de « , on écrire ■■' » ' ' ■ On aura enamte
la partie correspondante de la somme entière des râleurs de
4 {i, tt t '» etc.) , multipliées par leurs probabilités respectives , en
changeant un tenu%quelconque de ce développement » tel que
/A. ^.a' dans JI>^.(s—fi)', et eu substituant dans H, au lieu
de tf la partie de l'exposant /a, qui est relative à la raiiable ty au
lieu de jt, , la partie relative à 2, , et ainsi du reste.
Si dans la formule (B) on suppose /f=:i, etn, n,,»., etc. nuls;
on aura la somme des valeurs de Tunité, multipliées par leur pro-
babilité respective ; or il est visible que cette somme n'est autre
chose que la somme de toutes les combinaisons dans lesquelles
l'équation
*+/, + ',.... -l-ft_.=*
a lieu , multipliées par leur probabilité ; elle exprime conséquem-
ment la probabilité de cette équation. Si dans les hypothèses pré-
cédentes , où suppose de plus que la loi de probabilité est la même
pour les r premières variables «,(,,/;,... ^, , et que pour les i — r
dernières, cite soit encore la mêmej mais diffêrente que pour les
premières j on aura
^ = ^. = J,...= >/_,,
B = B, = 5....= J^,,
etc.
J,= J^, s= ^^i,
Br^B,^, = 5.-.,
'» etc.,
et la formule (fi) se changera dans la suivante ,
*^'.(^-f-5.H-3<?-*'H-etc.)'.(^,H-5,.i-|-3C;.*"+etc.)'-'. (C)
Cette formule' servira à déteminer la probabi^ que la somme des
erreurs d'un nombre quelconque d'observations dont la loi de
facilité des erreurs. est comme, £era ctHnprise dans des limites
données.
dby Google
D£S FROBAfiniTÉS* 107
Sopposons, par exemple , que Ton ait î— l obsemtti«iis dont
les erreurs pour cfaaqHe observation puissent s'étendre depuis —A
jusqu'à -hg; et qu'en nommant z l'erreur de la première de cea
obserrations , la loi de fecilité de cette erreur soit exprimée par
a+bz +c;s*. Supposons ensuite que cette loi soit la même, pour
les erreurs r., »,,...«*_, des antres observations, et dierchon»
la [tfobabilité que la aomma de ces erreurs, sera comprisa dons les^
ïœîtes;» ^j7-)-«.
Si Ton lait
zssc— A, x,!=/,— A, s,=s/,— A, etc.;
il est clair que r, ^, /,, etc. seront -positif et pourront s'étendre
depui» zéro, jusqu'à A-f*^ j de plus, on aura
«-f.r,-f-r....-|-r(_,= *+«.+ f....-H_,— (»— l).A;
donc la plus grande valeur de la somme r+2,-t-£>* • •+£i-. étant
par la sùpf)osition , égale àji-^7,et la plus petite étant égale kpi
la plus ^ande râleur de <+«,+*,.. .•+-^_, sera Ct—i).A-f-3ï-H#
ft la plus petite sera (i—i).A-Hpj en faisant aioai
(»— i).A+i7+e=:»
et ■■ ■
^, sera toujours positif, et pouira s'étendre depuis zéro jusqu'à e.
Cela posé, si l'on applique à ce cas, la formule {C); on aura
q7=ih-\rg- D'ailleurs la loi de Ëioilité des ureurs z étant a+bz-^cz*,
on en conclura la loi de Ëtcilité de £, en j changeant z en t— A ;
soit
a'=:a— M+cA*, y=s 6— acA,
on aura o'+ô'^-f-cC pour cette loi; ce sera donc la fonction
<p,(i). ïfois toouae depuis <asA+^ iusqu'à t infini^ la fadlité des
valeurs de f ^ nujl^ par l'hypothèse; on aura
■ ?'(i)+>(Os=o;
ee qui donne
dby Google
aBg THÉORIE ANALYTIQUE
donc si Ton fiût
a"=a' + b' {h-^g)-^cih-j-gr,
on aura
.. ?(/) + /'.<p'(î+0=a'H-6'iH-ci'— ?+'.(a"4-6"' + ci')j
et cette équatioii aura encore tieu, en y changeant ten t,, f,, etc. ;
puisque la loi de facilité des erreurs est supposée la même pour
toutes les observations.
Quant à. la variable /,_, , on observera que la probabilité de
réquation
«+«.••• -H- Zi—=^
étant, quel que soit^ égale auin^duit des probabilités âejr,Z[,z„ etc.;
la probabilité de réquation
sera égale an produit des probabilités de f, t,,tt, etc. ; la loi de pro-
babilité defj_, est donc constante et égale àTunité; et comme cette
variable ne doit a'^codre que depuis fi_, =so jusqu'à ^,_,sse>
on aura
et par conséquent
ce qui donne
la formule (C) deviendra donc
«•— . [a'-K'H-acy— i»+' . (a'*+6"H-aM')]'— • (i— /*)• (C)
Soit
{a'-hh'a-^acs*)'-' = a<''4-i'''^4-c<''«'-f /('V+etC,
(a'+6'*H-2c«*)'-'. (a"+6"H-3w') = fl**-|-6<»'H-c*''*H- etc.,
(a'+ô'H-acJ*)'-* . (a"-f-6"^+ac«'} = at«4-i(«,+c(»i*H- etc.,
etc.
La formule précédente (C) donnera, en j diai^eant un terme qnel-
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. DES PROBABILITÉS. 969
conque tel que X.f'.s*, en
i.a.3....a *
etc.
%^*^.l(s—ah^-3gy~^—(s — sA— a^— e)*-^]
_fc0Ji=?).
1+7-' [(*--aA— fl^)'— (5— aA— 3^— e)Q
-etc.
\ — etc.
n faut rejeter de cette expression, les termes dans lesquels la quait-
tité élevée sous le signe des puissances , est native.
Supposons maintenant que x , z, , z, , ^c. , représentant toujouis
les erreurs de i — 1 observations , la loï de fiiciÛté , tant de TerreiH*
t que de l'erreur négative — *, soitÇ(A-^z), et que k et — h
soient les limités de ces erreurs. Siqyposons de plus que cette loi
soit la même pour toutes les observations; et cherchons la pro-
babilité que la somme des erreurs sera çonc^rise dans les limite»
jjet^ + e.
SironÈiitr=*— A,js, = i.— A, etc.; il est clair que t, t,, etc-
seront toujours positife, et pourront s'étendre depuis zéro jusqu'à
ah; mais ici la loi de &cilité est discontinue en deux points. Depuis
t=o jusqu'à t=sh, elle est exprimée par Ct. Depuis f =A)U3qu'à
t =: 3hj elle est exprimée par f (aA— f) ; enfin, eUe est nuUe depui»
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a?© THÉORIE ANALTTIQUE
f ss a A jusqu'à t iofim. On a donc
'gs=hi q'tssih ;
on a ensuite
ce qui donne ,
<p'(^ = (ithst).C, (p"{t)=s{t—ah)'.Ç,
ainsi Ton a dans ce cas ,
. . 9(0H-/'.?'C!H-0+P'-'P"Cî'+0=ff-*-(i-O'ï
équation qui a encore lieu en y changeant f en «,, f„ etc. Frésen-"
tement on a
donc la somme des erreurs x, £, , etc. devant être par hypothèse,
renfermée dans Jes limites p etp-t-e, la somme des valeurs de
*,/„..../)_i sera comprise dans les limitea (i — i).AH-p el
(i--i}.h'^P'^e-f ensorte que si Ton Ëtit
fêtant supposé 'égal à (i—i).A+p-|-e;ft_, pourra s'étendre de*
puis zéro jusqu'à e j et l'on verra , comme dans Fexemple précé-
dent , que sa &cilité doit être supposée égaie à l'unité dans cet
intervalle j et qu'elle doit être supposée auUe au-delà de cet intep-
ralle; ainsi Ton a 2i_,=s: Cf et
Cela posé , si Ton observe que a€fd£.(h-~s) étant la probabilité'
que l'erreur d'une observation est comprise dans les limites •— h
et + ^» ce qui est certain, on a €=;^; la fônoole (C) donnera
pour l'expression de la probabilité cherchée.
dby Google
DES FROBABILITÉS. «71
(—etc. )
en ajant soin de rejeter tous les termes dans lesquels la quantité
élevée à la puissance ai— a, est négatire.
Nous allons encore appliquer cette analyse ail problème suivant.
Si l'on conçoit un nombre i de points rainés en ligne droite , et
sur ces points , des ordonnées dont la première soit au moins
égale à la seconde , celle-ci au moins égale à la troisième,~et ainsi
de suite ; et que la somme de ces i ordonnées soit constamment
égale à s. En supposant s partagé dans une infinité de parties , on
i peut satisfaire aux conditions précédentes , d'une infinité de ma-
nières. On propose de déterminer la" valeur de chacune des ordon-
nées , moyenne entre toutes les valeurs qu'elle peut recevoir.
Soit z la plus petite ordonnée, ou l'ordonnée i'™*; soit z4-r, ,
Tordonnée {i — i)*"'; soit «-Hz,-h«,, l'ordonnée (i — a)'™*, et ainsi
de suite jusqu'à la première ordonnée qui sera i-f-z,. . . . .+«;_,.
Xes quantités r , z,, «., etc. seront ou nulles ou positives, et leur
somme (.a-t-fi— i).z^-4-(»— a).z,...+zi-i sera, par les condi-
tions du problème , «gale à 3. Boit
i.z=itj (»-— i).i,c3ï(,, (»— a).r,Œ:(,, ...z,_,=fj_,j
OU aura
les variables t, t^, t^y etc. pourront s'étendre jusqu'à s. L'ordonnée
/>"' sera
t + J^ + îhL.
n feut déterminer la somme de toutes les variations que cette
quantité peut recevoir , et la diviser par le nombre total de ces
variations , pour avoir l'ordonnée moyenne. La formule (B) donne
très-£icUement cette somme , en observant ^'ici
4-(«j'.,'oetc.)=;4-j^ -f-'^î
dby Google
S79 THÉORIE ANALYHQUE
et on la troure égale à
En divisant cette quantité par le nombre total des combinaisons ,
'qui ne peut être qu'une fonction de i et de ^ , et que nous dési-
gnerons par Nf on aura pour la valeur moyenne de l'ordounétt
5...i.N' V "^ n^* " '"^ r/
Pour déterminer N , nous observerons que toutes les valeurs
moyennes doivent ensemble égaler « ; ce qui donne
■" — i.a.3....Ct— 0'
la valeur moyenne de Tordonnée r^ est donc
Supposons qu'un effet observé n'ait pu être produit que par l'un*
des » causes J^ B^ C, etc.j et qu'une personne , après avoir ap-
précié leurs probabilités respectives , écrive sur un biliet, les lettres
qui indiquent ces causes , dans l'ordre des probabilités qu'elle leur
attribue , en écrivant la .première , la lettre indiquant la cause qui
lui semble la plus probable. Il est clair que Ton aura par la formule
précédente, la valeur moyenne des probabilités qu'il peut supposer
a chacune d'elles , en observant qu'ici la quantité s que l'on doit
répartir sur chacune des causes, est la certitude ou l'unité, puisque
la personne est assurée que l'efièt doit résulter de Tune d'elles. La
valeur moyenne de la probabilité qu'elle attribaci à la cause qu'elle
a placée sur son billet au rang r*™*, est donc
?-C'+réT +0-
De là il suit que si un tribunal est appelé à décider sur cet objet,
et que chaque membre exprime son opinion par un billet semblable
Ml précédent; alors, en écrivant sur chaque billeti à cdté deslettres
' qui
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DES PROBABÏtrrÉS. jyS
qot iiiâiqiien{ lès' causes y les vïdeiirs moyennes qiii r^xMKlent an
rang qu'elles ont sur le billet; en Ëiisant ensqite tme- sctaffie'dd
tontes les valeurs qui oorrespondent à chaque cause , sur les divers
billets; la coase à -laquelle répondra la plus grande soixmte, sértf
celle que le tribunal jii^era la plus prbbîdile.
' Cette règle n'est point applicable atix choix des assemblées élec- '
totales^ parce que le» électeurs ne sont point astreints, comme
les juges» à répartir une même somme prisé pour unité , sur les
divers partis entre lesquels ils doivent se déterminer : ils peuvent
Supposer à chaf[ue candidat y toutes les nuances de mérite com-
prises entre le mérite nul et le maxirmtm de mérite , que noua
désignerons par a : l'ordre des noms sur chaque billet, ne Mt qu'in-
diquer que i'électeUr préfêre le premier au second, le second au
troisième , etc. On déterminera ainsi les nombres qu'il &ut écrire
sur le billet, à cdté des noms des candidats.
. Soient ^,, ^, f,. . ./î les mérites respectif des i candidats, dans
Topinion de l'électeur , t, étant le mérite qu'il suppose à celui des
èandîdats qu'il a mis au premier rang, /, étant le mérite qu'U suppose
au second, et ainsi de suite. L'intégrîdey>>-df*..A.. . .^, exprimera,
la somme des mérites que l'électeur peut attribuer au candidat r,
pourvuquel'on intègre d'abord par rapporta f|, depuis f^ = o jusqu'à
t, =: t,-, ; ensuite par rapport à (t_, , depuis f^_, jusqu'à *,_„ et iiinsi de
suite , jusqu'à l'intégrale relative à t, , que l'on prendra depuis t,'
nul jusfpi'à (,=:a. Car il est visible qu'alors ti ne surpasse jamais
*!_„ **-! ue surpasse jamais ii_ , etc. £n divisant l'intégrale précé-.
dente par celle-ci /<2f,.^... .dt, qui exprime la somme totale des.
combinaisons dans lesquelles la coaditioin précédente est retpplie„'
on aura l'expression moyenne du mérite que l'électeur peut attri-
buer au candidat r*™. En exécutant les intégrations, on trouve .
-'^— . a pour cette ezpresàon.
De là il suit que l'on peut écrire sur lé billet de chaque ^ecte^j:
i à côté du premier nom, »— i -à côté du second, *'— a à c6té du
troisième , etc. En réunissant ensuite^-tous les nombres relatif à
chaque candidat , sur les divers billets ; celui des candidats qui aura
la plus grande somme , doit être présumé le candidat qui , aux yeux
55
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*74 THÉORIE ANALYTIQUE
^ fasMot^d^ âect(Nrale,ale ^iisgradd mérite, et doHpar CoiH
y^qn^ être cboisL -
, C^,inode d'élection serait sans doute le mciUear, si des consi-
déi:atipa8,.«traiigèfes au mérite n'infliuûcaat pdint souvectt sur la
choix des électeurs, m^me les plus faoïmétes, et De les détermi*
xtaiçnt point à placer aux derniers rangs , tes candidats les {dos
redoutables à celui qu'ils préfèrent ; ce qui doipie un grand ayan--
tage'aux candidats d'un mérite médiocre. Aussi l'espérience Tart-ello
Eût abandonner aux établissemens qui l'avai^it adopté.
Supposons que les erreurs d'nne observation puissent s'étendre
dans les limites +a et — a; mais qu'^orant la loi de probabi-
lité de ces erreurs , on ne rassujëtisse qu'à la condition de leur
donner une probîibilîté d'autant plus petite , qu'elles SQ|it phia
grandes j là probabilité des erreurs positives étant, siipposée. la màne
que celle des erreurs négatires correspondantes, toutes choses qu'il
est naturel d'admettre, La formule (e) donnera encore la loi moyenne
des erreurs. Pour cela on concevra l'intervalle à partie dans un
nombre infini i de parties représentées par i£r, ensorte que ias^*
©n fera enwât© rss ^ j îa formule (i) devient ainsi '
s-th; /'dx
a 'J X '
rintégrale étant joise depuh st=x jusqu'à x=a; dans la question
présente 5=^5 car l'erreur devant tomber dans les'Hmites— o et
+ a, la probabilité qt^eSft tombera dans les limites o et a est i;
c'est la quantité s qu'il Aut répartir sur tous les points de Hnter-
TaHe a ; la formule (<) devient donc alors
^.log2.
Ainsi la loi moyenne des probabilités des erreurs positives XjOa
né^tivee-i<iryÎKt^ '■ ' ■ ■,■'•' ■ ' i ■■
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DES ^aOBABIUTÉS. 9-^5
CHAPITRE ïHv
Des lois ât laprobahUité , fui résulteni de la multiplication
vndéHnie des épénemerts»
16. A. MESURE que lee'é^f^éaraAëUs semnoltiplieiit, leurs probabi-
lités, respeetives se dereloppeat déplus en plus : leurs résultats
moyens _et Ifes bénéfice» ou les^ertesq^ end^pendfcnt^ convergent
vers des Iltaitës dont tts'approchent avec des probàbfUtés toujours
1tro)astuites.,.f» dét^nÛBAti^ii^^ ces aqiîroiseemen» et de ces li-
mites , est une des parties les plus intéressaates et les plos délicates
de l'analyse des hasards. .
Considérons d'abord la manière dont les possibilités de deux
jÇTénem^ns simples dont un, seul doit arriver à chaque coup , ^e dé-
veloppent lorsqu'on multipUe te nonÀre de coups. Il est visible que
Févéaenient dont la ÊiClÈté est là ^!us grande, doit probablement
arriver plus Souvent dans un nombre dùnne de coupsi etTôn est
porte naturellement à penser qu*en répétant les coups un très-
grand nombre de fois , (3iacun de ces événemens arrivera prppot^-
tionnellement à sa fecilitp, que l'on pourra ams(. dA^ouvrir par
l'eigérience. Nous allons démontrer fmalytiquànènt cet ïînportant
théorème. 7_ ■ _ j^'
On a vu dans le n* 6 que si j> et 1 — ^ sont tes preteibilitcs res-
pectives de deux événemens a et, 6; la probabilité que -dans x-^sf
coups , révénement a arrivera x fois , et l'événement b , x'' fois , ett
égale à . { . • ' . . 1 ,''-*. . , r .. ,
i.«.3...a....a.3..vP^- y^—pr^
Û.il I 1. ;; ■>
c'est le (ar'+i)'~ terme du binôme [p-\- (1— p)]*^^- Considérons le
plus grand de ced termes que nous désignerons par k. I<e tenue
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'»76 TlïÉORlE ANALYrtOUE
antérieur sera — ^ . — -— , et le terme suivant sera Jt.— ~^ . ->v--
JPouT que A 8Ôît le plus grand terme , il faut que l'on ait à la fois
il est &cUe d'en conclure que si Ton fait x+ 0^';= n , on aura
' "x<(*4-ï)./»>(n+i).i'— !;■ ■■
ainsi x est le plus grand nombre entier compris dans ( n-f-i).p j
en ^sant donc
ce qui donne
rje'+-i-rj'
' i' sera moindre que Fnnité. Sixet j[/eont de très- grands nombre^,
^ on aura à très-peu près , - •■
p _ a:. ■ >
-■ ■ ■ ■■! ■ " i-^/» ^'
c'est-^-dire que les exposans dejjet de \—pi dans le, plus grand
-terEae du binôme^ sont à fort peu près dans le rapport de ces quan-
tités; ensorte que de toutes les combinaisons qui peurent avoir
lieu daus un très-grand nond)re n de couf s , la plus probable est
celle dans laquelle chaque événement est répété proportiomielle-
ment à sa probabilité.
Le terme i^, apo^a le i^us grand, est
i.a.3....R
On a par le n" Sa du premier Livre ,
i.a,5.. .»=»";*'•. c"".|/5ï.{i-f;^-hete.}î '' '
ce qui donne '
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: «DES PROBABILITÉS. ■177
1 ' ' ' j/ j ' (,ï'-»-i f ' 1 1
Développons le terme (* — /) . . '. Son logaritlime hyperbo-
lique est
or on a .
nous négligerons les quantités de Tordre - , et nous suppo8aH)ns que
/* ne surpasse point l'ordre n; alors on pourra négliger les termes
de l'ordre -j-, parce que ^ et x' sont dt Tordre n. On aura ainsi
(f_x-i).[log:r-f-log(i- ^)]
•ce qui donne , en repassant des logarithmes aux nombres,
on aura pareillement ,
On aenOûte par ce qin précède, ^7 = ^^, s étant taMMndre que
funité; en &isant donc^ =: ^^^ , z sera compris dans les limites
«TT *' "" ^l^T'^ ** P^ conséquent il sera, abstraction Êiite du
signe , aa-de980us 'de runitér-Lct valeur d»jî donsç ~i r-j» = ~T^'
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978 TBÉORIE ANALTnOp:
on aura dono par l'analyse précédente ,
de là on tire
i.».8. ■ .(:rll^'..".a'.3:.";(V+o--p^''^^~^^'''
-i^
' v^». \/âxï^
■ (* + ^+ '"^^ — g&+ ï:?^)
On anra le tenne antérieur au plus grand terme , et qui en est élo^é
à la distance /, en Ëiiaant / négatif dans cette équation; en réuni»-;
saut ensuite ces deux termes , leur somme sera
_ "^
ù.\/n ' axx^ ■
L'intégrale finie
-. "^ ■
T a. V^ ta?
prise depuis 1=0 inclusivement, exprimera donc la somme de
■tous les termes du {ùnome Cp-h (i-^i*)]'» comprise entre les detit
termes, dont l'un a p*-^' poxir facteur, et l'autre a /i^'poxu- Êc-
teur, et qui sont ainsi équicfetans du plus ^«nd terme; mais il
&ut retrancher de cette somme , le plus grand terme qui j est évi-
demment compris deux fois.
Maintenant, pour avoir cette ùilégrale finie, nous observerons
qu^ l'on a, par le n* 10 diï premier livre , jr étant fbnctjoa de./,
tfoù i'on tire par le m^e numéro , ^
S -^ =T>6''*'— î -if + A* aji- et*ï. + constante'
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. «79
_ _ n?
y étant ici ëgalà ;°--j^Li^^.c ^ , les dififérestielles successires
de y acquièrent pour Êicteur ——7 et ses puissances \ ainsi / étant
supposé ne ponroir être au plus que de l'ordre \/n , ce fiicteur est
de Tordre -~ , et par conséquent ses différentielles divisées par
lés puissances respectives de dî., décroissent de pïué es ptos; en
négligeant donc , comme on Ta feit précmleounent , les termes de
l'ordre ' , on aura , en faisant commencer avec / les deux inté-
grales finies et infiniment petites, et désignant par Kle plus grand
terme du binôme ,
Ta somme de tous les tenues du binôme [p+Ci— p)? compris enfr*
les deux termes équidistans du plus grand terme du nombre l^
étant égale à S-j* — ^.I^elle sera
fydt~\-y\
et si Fon. y f^'oute la somme de ces tetmes extrêmes , m aura pour
la somme de tous céâ- termes,
' Jyàl^\.^- ■ ■ >
Si l'on fidt , . ' ...
cette somme dévient : . -
Les termes ipie l^oif a négligés étant de l'ordre - , cette expresàon
est d'autant plus exacte, que n est plus jgrand : elle est rigoureuse,
lorsque n est infini. Il serait &cjle,j)ar l'açmljsç précédente , d'avoir
égard aux termes 4e l'ordre - , et des ordres supérieurs.
On a, par ce qui précède, a!=s=»p-f-z, « étant ua nombre plu4
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98d THÈOÏUE ANAXrnQtîE
petit que l'unité ; on a donc
ainsi la formule (o) exprime la probabilité ^e la diâerence entre
le rapport du nombre de fois que TéTénement a doit arrÎTer , an
nombre total des coups , et la Ëtdlitép de cet éréneiq.eatj est coiqt
pçi^e .<Uai9 les limites
s/%M^ étant égal k
on Toit que rinterralle compris entre les limites précédentes est
de l'ordre -^.
Si la linute de / , que nous désignerons par T, est supposée inva-
riable, kl probabilité déteimioée par La fonction (o), reste la niême
à très-peu près ; mai* l'intervalle compris entre les limites {t) , di7
mînOe sans cesse à mesure que les coups se répètent, et il devient
nul , lorsque leur nombre est inânL
Cet intervalle étant supposé inviariable j lorsque les événemens se
multiplient, T croit sans cesse, et à fort peu près comme la racine
carrée dii nombre des coups, lHAaia.. lorsque T est considérable,
la formule (o) devient , par le n" 37 du premi^ Livre,
.-T'a
inu<
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« (Sjottt égal à -jî, Lorsqu'on Élit croître r, c , diminue avec une
extrême
DES PROBABItrrÉS. a8i
Extrême rapidité , et la probabilité précédente s'approche rapide-
ment de l'unité à laquelle elle devient égale , lorsque le nombre des
coups est infini.
II y a ici deux sortes d'approximations : l'une d'elles est relative
aux limites prises de part et d'autre de la fadlité de Pévénement a ;
l'autre approximation se rapporte à la probabilité que le rapport
des arrivées de cet événement, au nombre total des coups , sera
renfermé dans ces limites. La répétition indéfinie des coups accroît
de plus en plus cette probabilité , les limites restant les mêmes : elle
resserre de plus en plus l'intervalle de ces limites, la probabilité
restant la même. Dans l'infini , cet intervalle devient nul, et la pro-
babilité se change en certitude.
L'analyse précédente réunit à l'avantage de démontrer ce théo-
rème, celui d'assigner la probabilité que dans un grand nombre n
de coups, le rapport des arrivées de chaque événement sera com*
pris dans des limites données. Supposons, par exemple, que (es
Ëicîlités des naissances des, garçons et des filles soient dans le rap-
port de 18 à 17 , et qu'il naisse dans une année, i4ooo en&ns ; on
demande la probabilité que le nombre des garçons ne surpassera
pas 7365, etne sera pas moindre que 7067,
Dans ce cas, on a
ps:~, jt:=7aoo, x'=69oOf re=:i4ooo, /=si65j
la formule (o) donne à fort peu près 0,994503 pour la probabilité
cherchée.
Si l'on connut le nombre de fois que sur n coups , l'événement
a est arrivé ; la formule (o) donnera la probabilité que sa fiicilité p
supposée inconnue , sera comprise dans des lûnites données. En
effet, si Ton nomme i ce nombre de fois, on aura , par ce qui pr'é-
céde , la probabiUté que la diflereuce - — p sera comprise dans les
hmites ± •*^- 4- ^ ; par conséquent, on aura la probabilité
que p sera compris dans les limites
i T.y'axx' ï
5Q
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s89 THÉORIE ANALTTIQUE
La fonction • -■ °5-étant(ie l'ordre -^, on peut en négl^eaut
les quantités de l'ordre - , y substituer » au lieu de ar, et »— i au
lieu de x'; les limites précédentes deviennent aittsi, en négligeant
les termes de l'ordre - ;
et la probabilité que la facilité de FéTénement a est contenue dans
ces limites, est égale à
On rait ainsi qu'à mesure que les événemms se mahipUeDt, llnter-
valle de» limites se resserre de plus en plus, et la probabilité que
la- valeur de p tombe dans ces limites, approche de plus eu plus d&
^unité ou de la certitude. C'est ainsi que les événemensi, en se dére*
loppaut, font connaître leurs probabilités respectÏTes.
On parvient directement à ces résultats, en considérait^ comme
" une Tariable qui peut s'éteudr» depuis zéro jusqu'à l'unité, et en
déterminant , d'après les événemens observés, la probabilité de ses
diverses valeurs, comme on le verra lorsque nous traiterons de
ta probabilité des causes, déduite dies événemens observés.
Si l'on a trois ou un plus grand nombre d'événemens a , 6 , c, etc. ,
dontun seul doive arriver à chaque coup; on aura, par ce qui pré-
cède, la probabilité que dans' un très-grand' nombre n de coups,
le rapport du nombre » de fois qu'un de ces événemens, a por
«xemple, arrivera, au nombre n, sera compris dans les limites
p±«, a étant une trè»-petite fraction; et l'on voit que dans le cas
extrême du nombre n infini, l'intervalle aet de ces limites peut être
supposé nul , et la probabilité peut être supposée égale à la cer-
Utudc , ensorte que les nombres des arrivées de chaque événement
seront proportionnels à leurs facilités respectives.
Quelquefois les événemens , au lieu de Ëiire connaître directement
les Hautes de la valeur de j? , donnent celles d'une fonction de cette
dby Google
DES PROBABILITÉS. >8$
iraletil' ; alers en en conclst les Tuiittes de p^ par la résolution ^cs
équations. Foar en donner un exemple fort simple, considérons
deux joueurs A fsX B, dont lee adresses respectives soient p et
1 — i?, et jouant ensemble à cette condition , que la partie soit
igagnée par celui des deux joueurs qui, sur trois coups , aura vaincu
^ deux fois son adversaire, le troisième coiq> .n*étafit pas joué ,
«omme inutâe , lorsque l'un des joueurs a vaincu dans les deux:
premiers coups.
La probabilité de A pour gagner la parde , est la somme des
deux premiers termes du binôme [pH-(i — /7')]';dle estparcon-
séqueat égale à p" -{- 3p' . (i ~p\ Soit /* cette fonction ; en élevant
le binôme /* -f- ( i — 'P) à la puissance n , on aura , par l'analyse
.précédente, la probabilité q«e4m".leiiondire« départies, le nombre
des parties gagnées par^ aéra compris ijans des limites données. H
juflit pour cda' de changer /kcb .JP dans la ibrmide (o).
Si l'on nomme i le nombre des partie gagnées par A , la for-
mule (o') donnera la probabilité que P ^era compris dans les
limites
&àt donc j^'la racine reeHe et positive deréquation
«n dêsi^iant par j>'qci;r;> les limites de j7, les limites correspon-
jdantcs de P seront à très-peu près 5p'' — ^p'^^^Gp' ■(i-—p').J'pi
«en égalant ces -limites aux précédentes , on aura
'^ 6/.(.-p').».(/»
ainsi la formule (o*) donnera la probabilité que p sera compris dans
les ]imil£8 -
, r.Vai.(n— 0
Le nombre n des partie5.ne détermine ppfl le nombre des coups ,
fiùisqu'il peut y. avoir des parties de deux coups, et d'autres de
db, Google
•^H THÉORIE ANALYTIQUE
trois conps. On aura la probabilité que le nombre des parties de
deux coups, sera compris dans des limites données, en observant
que la probabilité d'une partie à deux coups, est;7"+(i — p)'j
désignons ccttefonction par P". En élevant le binôme i" +(i — i*')
à-Ia puissance n , la formule (o) donnera la probabilité que le nombre
des parties de deux cot^ sera compris dans les limites nP' ± /;
or le nombre des parties de deux coups étant nP' ± / , le nombre
des parties à trois coups serï^n(i— i^)^/; le nombre total des
coups sera doncSn — nP'^l; la formule (o) donnera donc la ^oba-
bitité que le nombre des coups sera compris dans les limites
an.(i +p^p*) =F T.^/sinP'.{x—P').
17. Considérons une urne j4 renfermant un trés^;rand nombre
n de boules blanches et noires, et supposons qu'à chaque tirage ,
on tire une boule de l'urne , et qu'on la remplace par une boule
noire. On demande la probabilité qu'après r tirages , le nombre des
boules blanches sera x. ^
r7oaunons^,,,cetteprobabilité.Après un nonveau tirage, elledçTÏent
^,,^,.Maiâ pour qu*il yait x boules blanches après r+i tirages , il Ëiut
qu'il y ait ou x-^i botdes blanches après le tirage r, et que le tirage sui-
vant Ëiâse sortir une boule blanche , ou x boules blanches après le ti-
rage r, et que le tirage suivant &sse sortir une boule noire. lit proba-
bilité qu'il y aura x+i boules blanches après 7- tirages , e3t_j',^,_, , et
laprobabihté qu'alora le tirage suivant fera sortir une boule blanche y
est ^^jlaprobabilitéderévénementcomposé est donc -^!^^^.^,+,,^
c'est la première partie de /",,,+;. La probabilité qu^l y aura x boules
blanches après le tirage r , est ^,,, ; et la probabilité qu'alors il sor-
tira une boule noire , est "~^- , parce que le nombre des boules
noires de l'iHUe est n^x;]a probabilité de l'érénement composé
est donc •^-^— .^,,,; c'est la seconde partie de ^.,,^.|. Ainsi
l'on a
zedbyGoOgle
BES PROBABILITÉS. a85
cette équation devient
R étant supposé un trèa-grand nombre, on peut réduire en sâries
couTergeutesj'^ ,, etj'-' , ; on aura donc, en négligeant les
canes et les puissances supérieures de ^»
rintégrale de cette équation aux dififêrences partielles est
^(j/.{^) étant une fonction arbitraire de j^.tf*j qu'il &utdétenn£^
ner par la valeur dey^, ,. ,
Supposons que Furne ^ ait été remplie de cette manière. On
projette un prisme droit dont la base étant un polygone régulier
de j? + ? côtés , est assez étroite pour que le prisme ne retombe
. ■ jamais sur elle. Sur les p + 9 ^ces latérales , p sont blanches et
g sont noires , et Fon met dans Fume ^ , à chaque projection , une
boule de la couleur de la Ëtce sur laquelle tè prisme retombe.
Après n projections , le nombre des boules blanches sera à fort
peu près , par le n" précédent , -^^ , et la probabilité qu'il sera
-^^^'^l,e&tj par le même numéro.
Si l'on m
celte fonction derient
(r-m
db, Google
»8« THÉORIE ANALÏTIQUE ^ .
c'est la valeur de^,,„ ou Aey'^.y, mais la Talcnr précédente do
^-,.= <P(;)-.
on a done
partant,
d'où l'on tire
La valeur de * la plus probable esteejle qui rend luil «-c"-^-^»
fit par conséquent elle est égale à
■ "P .
la probabDUié ^e Ja rdeur de r sera contenue dons les Ëmites
e«t
/i<ii( — iV'
l'intégrale étant prise depuis j»=3o,
CherchouB maintenant la yaleur moyenne 4u nombre des boules
blanches contenues dans l'urne A, après r tirages. Cette Tâleurest
la siHmne de tous les nonibres possibles de boules blanches, mul-
^pljéspar leurs probabilités-respectives; elle est donc égale à
dby Google
DES PROBABILITÉS. 2*7
fintégraie étant prise depuis f».= o jusqu'à jti. = oo. Cette vaïetù^
est ainsi
par conséquent , efle est. la même que la inaleur de x la plus
probable.
Coneidérous maintenant deus lu'ncs A el B reoTermant chacune
le nombre n de boulea , et. supposons que dans le nombre total
an des boules , ily en aît.autant de blanches que de noires. Conce-
vons que l'on tire en mâme tems , une boule , de chaque unie , et
qu'ensuite on mette dans une urne , la. boule extraite de l'autre.
Siqiposona que l'on répète œttc opônttioB^ un jutmbre quelconque.
F de fois , en autant à chaque lois les urnes, pour en bien mêler leS:
boules ; et cherchons la. probabilité qu'après ce noijobra^ d'opéra-
tions, il y, aura x boules blanches dans l'unie^.
Soit z.,, cette probabilité. Le nombre des combinaisons possibles
claus r opérations , est n"; car à chaque <^>émtion, les n boules de.
l'urne A peuvent se combiner ayec chacune des n boules de l'urne
£, ce qui produit /^ combinaisons; n" , r^ , est donc le nombre des
(jombinaisons dans lesquelles il peut y avoir x boules blanches dans
l'urne A après ces opérations. Maintenant, il peut arriver que l'opé-
ration ( r-f- 1 )'"" fasse sortir une boule blanche de l'urne .^ , et y
fasse rentrer une boule blanche ; le nombre de cas dans lesqueb
cela peut arriver, est le produit de «".z^^par le nonibre x des.
Ixmles blanches de l'urne A, et par le nombre n — x dés boules
blanches qui doivent être alors dans l'urne By puisque le nombre
total des boules blanches des deux urnes , est n. Dans tous ces cas,
il reste a- boules blanches dans l'urne j^; le produit a:.(n — x).n".js,^, .
est donc ime des parties de n'^'.z,,,^.,.
Il peut arriver encore que l'opération (r-Hi)"** iàsse sordr et
rentrer dans l'urne A , une boule noire , ce qui conserve dans cette
tiroe, X boules blanches. Aiost n — x étant après' l'opération r*™*,
le nonabre des boules noires de l'urncf ^ , et » étant celui des
boules noires de l'urne B y{tt—x).x.T^'.z,, est encore une partis
de «•'*'. «,_,^,.
^'il y a X— 1 boules blanches dansl'umç A après l'opération r*^,
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â88 THÉORIE ANALYTIQUE
et qne l'opération suivante en fasse sortir une boule Doire , et y
fesse rentrer ime boule blanche ; il y aura x boules blanches dans
l'urne ^ après Topéralion (r4-i)'™';Ienombredescas dans lesquels
cela peut arriver, est le produit de «".ïj—.^fpar le nombre n — *+i
des boules noires de l'urne ^ après le tirage /*", et par le nombre
Rw^x^-i des boules blanches de l'urne B , après la même opé-
ration; (n—x+i)'. »".«._,_, est donc encore une partie do
Enfin, s'il y a «-f- 1 boules blanches dans l'urne J après l'opé-
ration r'™', et que l'opération suivante en fesse sortir une boule
blanche , et y fesse rentrer une boule noire; il y aura encore, après
cette dernière opération , x boules blanches dans Fume. Le noinbre
des ras dans li^squels oola pcui arriver, est le produit de if.t,^,)
par le nombre s -4- 1 des boules blanches de l'urne J , et par le
oombre «+1 des boules noires de l'urne B après l'opération r*"*;
(a:'+-i)'.B".«,^.,,; est donc encore une partie den*^'.*,,^^,.
En réumssant toutes ces parties , et en égalant leur somme à
it*c:^*.£.,,^,, on aura féqnation aux différences finies partielles^
Quoique cette équation soit aux dififêrences du second ordre par
tapport à la variable x , cependant son intégrale ne renferme qu'une
fonction arbitraire qui dépend de la probabilité des diverses valeurs
de X dans l'état initial de l'urne A. En efibt, il est visible que si
l'on connaît les valeurs de £,,. correspondantes à toutes les râleurs
de «, .depuis x:^o jusqu'à «= n; l'équation précédente donnera
toutes les valeurs de «,_,, r,,,, etc. , en observant que les valeurs
négatives de x étant impossibles , r,,, est nul lorsque x est négatif.
Si n est un très-grand nombre, cette équation so transforme dans
qne équation aux diffêrences partielles que l'on obtient ainsi. On 9
fljors à très^u près.
Soit
db, Google
DES PROBABILITÉS. aSg
Soit
n + u.. y^
X— ^7 , r=nr', x.,,^U;
réquation précédente aux différences finies partielles deviendra, en
négligeant les termes de l'ordre —^
Pour intégrer cette équation qui , comme on peut s'en assurer par
la méthode que j'ai donnée pour cet objet « dans les Mémoires de
PAcadémîe des Sciences, de l'année 1773, n'est intégrabk en termes
finis y qu'au moyen d'intégrales définies ; fusons
p étant fonction de t et de /. On aura
*'*•(©" ac~^./fl»— îi/c~^.(^<û+ ft*p),
Féqoation aux différentielles partielles en 17, devient ainsi
/>.(*).A=«-*'.^+/c-*'.*.[<-*-«.(g)].
En égalant entre eux les termes affectés du signe /, on aura l'éipisr
tion aux difierentielles partielles ,
G^)='^-«-C
Le terme hors du signe/, égalé à zéro, donnera pour l'équation
aux limites de l'Intégrale ,
L'intégrale de l'équation précédente aux difierentielles partielles de
ç, est .
37
db, Google
190 THÉORIE ANALYTIOUE
4 Càp) étant une fonction arbitraire de ^; on a donc
Soit
l'expression de U preodra cette fonue ,
V^o-''\/J..c-^.T(p!^); (A)
U est &cOe de Toir qne l'éqtMtion précédente, aux linùbes de Tinté-
grale, exige que les limites de riiit^;rale relative à i, soient prises
depuis j = — co jusqu'à « = oo. En prenant 1q radical V — i , arec
le signe — , on aurait pour Jf une expression de cette forme,
r= -"■./*. -'■.n(ï±i^),
la fonction arbitraire n (s) pouvant être di£fêrente de T{s). La somme
de ces deux expressions de U sen sa valeur complette. Mais i] est
&cile de s'assurer que les intégrales étant prises depuis «=•— oo
jusqu'à ssstXy l'addition de cetle DourèOe expression de U n**-
ioute rien à la généralité de la première , dans laquelle elle est
comprise.
Développons maintenant le second membre de l'équation (A),
suivant les puissances de -^^ et considérons un des termes de ce
développemeot ^ tel que
ce terme devient , après les int^;rations ,
l.3■5■■■(a^-0 .- gW.ç-^'
L 1-3 ' i.a.3.4 1.9,3.4. 5. s J
Considérons encore un terme de ce développement, relatif aux
dby Google
©ES PROBABILITÉS. agi
pmssancea impures de -^ , tel que
Ce terme deWent , après les intégrations »'
a-.c^HM^)'^ |_i— Txr ^ i.a.3.4.5 — *'"'• J
On aura donc ainn Texpression générale de la probabilité V, àé-
veloppée dans une série ordoBaée suivant les piussanees de -^ ,
série qui devient très-couTergente, lorsque / est un nombre con-
sidérable. Cette expression doit ^e tefle , qaeJtTdx ou j ./Udfit . \/n
soit égale à l'unité , les intégrales étant étendues à toutes les va-
leurs dexet de^, c'est-à-dire depuis X nul jusqu'à j:=n, et depuis
/*.=:—' Vn jusqu'à /* = V» ; CM" il est certain que l'une des valeurs
de X devant avoir lieu, la somme des probabilités de toutes ces
valeurs doit être égale à l'unité. £n prenant l'intégrale fc-f' . d/i dans
les limites de ju, on a le même résultat à très-peu près, qu'en la
prenant depuis ft =— 00 jusqi^à ^ ^ co : la dii^rence n'est ^ve de
l'ordre -—zr ', et vu réxtiêtne xapidité avec laquelle c~' diminue à
mesure que n augmente , on voit ^e cette dlffêrence est insensible
lorsque n est un grand nonïbre. Cela posé, considérons duis l*intég?riilQ
\.fUdfJi.,y/n, le terme
i.3.5....Ca;-i).igt')VOT
XyH>..^-.C.-i# + ^^^^- etc.].
En étendant Tintégraie depuis fissi-^ec jusqu'à ^ ss oo , ce terme
devient
■ .5.5...(a.— ).i gW.Tl^; r. .■■•■f— ) i-Çi— )■(■-») 1 .t--!.
a^ci" ■ L' '^ ns Tïa — i-etc.j
Ire&cteuri— »+''^|~'' — etc. est égala (i— i)';il est donc nul,
db, Google
99a THÉORIE ANALYTIQUE
excepté dans le cas de tcso, où il se réduit à Punhé. Il est Tisîble
que les termes de Texpression de 17 qui renferment des puissances
impaires de j», donnent un résultat nul dans l'intégrale ^./E7ci|(t-\/n»
étendue depuis ^ = — 00 j osqu'à ^ s= 00 j car ces termes ont pour
Ècteur c~ j et Ton a généralement dans ces limites ,
- 91+1 , ^-U.'
ffJk .flÇM-.C =0.
Il n'y a donc que le premier terme de l'expression de Uy terme
que nous représenterons par H.c~^ ^ qui puisse donner un ré-
sultat dans l'intégrale \.fUdfi. v'n, et ce résultat est î-lf . V»^»
on a donc
par conséquent,
ynw .. .,
L'expression générale de 27 a ainsi la forme suiratkte,
■r -p ( "y-i — -f -^ i-«e.j
(^'\ QC»>, etc., L^\ L^'\ etc. étant des constantes indéterminées qui
dépendent de la râleur initiale de U.
Supposons que 27 devienne X lorsque r est nul, X étant une
fonctioa donnée de /c. On a généralement ces deux théorèmes,
o a^ Q».//*" . dfi. D .c"^',
lorsque q est moindre que i; r^j et V, étant des fonctions de ju,
par lesquelles "" '" ■ et • >_'^^^^' sont multipliés dans l'ex-
pression de U. Pour démontrer ces théorèmes, nous obserrerons
dby Google
DES PROBABILITÉS. 993
que , par ce qui précède , -^ — -;= — - est égal a
il £tat donc faire roir que Ton ft
les intégrales étant prises depuis /& et « égaux à -— co jusqu'à fi
et ê égaux à +«>■ Eu internant d'abord par rapport à ^, ce
terme derieot
En continuant d'intégrer ainsi par parties relatirement à fi ^on par-
vient enfin à des termes de la forme
c n'étant pas zéro , et par ce qui précède , ces termes sont nuls.
On prouvera de la même manière , que l'on a
De là il suit que l'on a généralement
i et i' étant des nombres di£fêrens. Car si , par exemple , i' est plus
grand que i, toutes les puissances de ^ dans P) , sont moindres que a/'-
chacun des termes de Ci donnera donc , par ce qui précède un ré-
sultat nol dans l'intégrale /Ï7j. V^.dfi,.^" . Le même raisonnement
a.lieu pour l'intégrale JVÎ .U'y.dft. c""'**.
Mais ces intégrales ne sont pas nulles, lorsque is^V. On les
dby Google
394 THÉORIE ANALYTIQUE
obtiendra dans ce cas , de cette manière. Od a , par ce qui précède ,
' i.3.5...(ai-i).ï/*
Le terme qui a pour acteur /«■*' dans cette ei^ressioB , est
i.3.5...(2i— 0 •
or j on peut nie considérer que ce terme dauâ le premier fitcteor Ut
de l'intégrale fV,. T/i.dfx,.c^ ; car les puissances inférieures de /*,
dans ce Êtcteur , donnent un résultat nul dans l'intégrale. On a
donc
On a, en intégrant par rapport k ji, dt^is }u = ^— «o jusqu'à
Le premier terme du second membre de cette équation est nul
par ce qui précède ; ce membre se réduit donc à son second terme.
On trouve de la même manière , que Ton a
j7>"-' .dfi.ds. c"^'"^ . (^4-, v^^)"-
et ainsi de suite ; on a donc
par conséquent
/R.c;.«..<r^-=î;^4^^^2LS5.
i-5...Cai-0'
db, Google
DES PROBABILITÉS.
On trouvera de la tDéme manière ,
•95
On a éridenuuent^
1 ,a.j.6...t;.'i/^
"a* 1.3.5.. .(ai+O*
dans le cas jx^ne où t et i' sont égaux , parce que le produit
Z7| . Vy ne contient que des puissances impaires de fi. Cela
posé.
L'expression génénde de U donne pour sa valeur initiale , que
nous avons désignée par X,
■r— •^~'" I i+C?".Ci— 3/*')+etc. I
Si Von multiplie ^cette é^tion par U,.df4,j et si Ton prend les in-
tégrales depuis ft^=-^(x) jusqu'à /!'= 00, on aura, en vertu des
théorèmes précédens ,
d*où l'on tire
on trouvera de la mémemanière ,
On aura donc ainsi les valeurs sucoessives de Çf'', Çto^ etc.;
X,w^ i(o^ etc. , au moyen dïntégraies définies , lorsque X ou la valeur
initiale de lésera donnée.
Dans le cas où X est ^al à — ser.o ^ , l'expression générale
de V prend une forme très - «mple. Alors la fonction arbitraire
dby Google
396 THÉORIE ANALVriQUE
r (î=i^=;) de la formule (A) est de la forme i.c ^ ^^ '' .
Pour déterminer les constantes f et A^ nous obserrerons qu'en
supposant
on aura
En disant ensuite
et obserraut que l'intégrale retatlre à a devant être prise depuis
« = — oo just^u'à a =: 00 , l'intégrale relatÎTe à a' doit être prise
dans les mêmes limites, on aura
£n comparant cette expression à la valeur initiale de tT , qui est
F= -11. -■■■'*";
et observant que S est la râleur initiale de €', on aura
d'où l'on tire
* I» . ' * — K^'-
On doit aroir ensuite
k.\/7 _ ai
ce qui donne
k. y'^ = -^,
valeur que Ton obtient encore , par la condition que ; ./U.âfi. x/nësn ,
l'intégrale
dby Google
DES PROBABILITÉS. a^f
rîDtégrale étant prise depuis /t=—oo jusqu'à /«^oo; on aitradonc
pour l'cxpresùon de Uj quel que soit /,
^=5-
i//W.Cl+f}
On trouve en c£fet, que cette valeur de U, substituée dans l'équo'-
tionaux différentielles partielles en U^ j satisËiit.
C diminuant sans cesse quand r' augmente , la valeur de U
varie sans cesse, et devient à sa limite, lorsque /est infini^
Four donner une application de ces formules , ima^ons dans une-
urne C, un très^and nombre m de boules blanches , et un pareil
non^re de boules noires. Ces boules ayant été mêlées, supposons
que l'on tire de l'urne, n boules que Ton met dans l'urne ^. Sup-
posons ensuite que Ton mette dans l'urne £f autant de boules
blanches , qu'il j a de boules noires dans l'urne J , et autant da
boules noires , qu'il y à de boules blanches dans la même urne. I!
est clair que le nombre des cas dans lesquels il y aura x boules
blanches , et par conséquent n — x boules noires dans Pume ^ ,
est égal au produit du nombre des combinaisons des m boules
blanches de Turne C, prises x k x, par le nombre des combinai-
sons des m boules noires de la même urne, prises n— x à n— x.
Ce produit est, par le n* 3 , égal à
m. (m — i).(fB— a). ..(m— »+i) jn.(m — Q.Çnt — g). ..(w— n-f-J^-f*')
i.a.3.. .a: ' I.2.3.. .(n— ^r) '
ou à
(i.n.g m)'
l.a.3.. .X. 1.3.3. ..(n — ce). 1.3. 3.. -Cm — a:).i.3.3. . .(m— B-fjc)*
Le nomln'e de tous les cas possibles est le nombre des combt*
naisons des am boules de l'urne C, prises n à n;, ce nombre est
i.3...(am— n)'
en avisant la fraction précédente par celle-ci, on aura, pour la
38
dby Google
ag» THÉORIE ANALYTIQUE
prc^abiUté de i: , ou pour k yalenr initiale de V ,
(i.fl.5...m)*.i.3.5...n.i.a.5...(am— fi)
i.a.3...x.i.a.3...Cni— a:).i.a.3...(n— «).i.a.3. ..(m— n-fo:).i.».3f...a7n*
Maintenant. , si Ton observe que Ton a à trèsrpeu près , lorsque
« est un grand nombre ,
on troorera fecilement après toutes les réductîoiis, en fitissoit
a *
et en négligeant les quantités de l'ordre -, qui ne sont pas multi-
pliées par /i',
U — " /m am— »_
en faisant donc
Si l».aoiiibr« m est infiui, alors i* = i, et la valeur initiale de
Cest
Sa valeur, après un nombre quelconque de tirages, est
V».(.4-rï)
Le cas de m infini rerient à «elui dans iequel les urnes A ^X B
seraient remplies , en projetant R.fois une pièce qui amènerait in-
diffîremi&eat trove ou pile, et mettant dws l'urne ^^une boula
dby Google
DES FROBABILITËS. «99
blanche , chaque fois que croix anirerait^ et une boule ooîre , chaque
fois que pile arriTerait ; et Ëûsant rinrerse pour l'ume S. Cac il est
visible que la probabilité de tirer ime boule blanche de l'ume C, est
alors ;, comme celle d'amener croix ou pite.
Ënprenant l'intégrale /{7dr, ou j/J7dfi. \/n, depuis fiz=:^a
jusqu'à /As=af on aura la probabilité que le nombre des boules
Manches de l'urne j^, sera compris dans les limites^ta. y/n.
On peut généraliser le résultat précédent, en supposant l'urne ^
rempHe comme an commencement de ce numéro , par la projection
d'un prisme de.p 4-9 &ce8 latérales , dont p sont blanches et q sont
noires. On a ru qu'alors si Pon &it
on a à Torigine, ool<M»qae r est nul,
. -i-Y^ T-\
ynw
Supposons p et ^ très-peu diffêrens, ensorte que r<»iait
*=^-('-^)^
a
1 — -
OU à très-peu près î» œ: a j donc
. jt \ a a /
En bisant donc
"+yV"
db, Google
5oo THÉORIE ANALYTIQUE
Snpposoiu maintenant qu'après un nombre quelconque de tirages^
on ait
ê et « étant des fonctions de /. Si l'on substitue cette Taleur
dans réquation aux dilTérences pfirtielles en Z7> on aura
-4.(e-i).[i -'•'Y*''^- 8. ■(>.-»)•,
d'où Ton tire les deux équations suivantes,
£n les intégrant , et obserrant qu'à l'origine de r', «^ a et f =3,
on aura
ce qui donne
Cherchons maintenant la valeur moyenne du nombre des boules
blanches contenues dans l'urne J , après r tirages. Cette valeur est
la somme des produits des divers nombres des boules blanches ,
multipliées par leurs probabilités respectives ; elle est donc égale
à rintégrale
J à ' ' a '
prise depuis ju=— ce josqu'à fis^oo.Efi substituant pour C^sa valeur
donnée par la formule (k) , on aura , en vertu des théwèmes pré-
cédens , pour cette inté^e ,
ar
^,n + \M-\c ».
A rorig^e où r est nul, cette valeur est i n -+-i A^iainai l'on aura
dby Google
DES PROBABILITÉS. Soi
ï,w au moyen dû nombre des boules blanches que Vaine J cod-
tient ft cette çrîgine.
On peut obtenir fort simplement de la manière suivante, la valeur
moyenne du nombre des bi>ules blanches , après r tirages. Imaginons
que chaque houle blanche ait une valeur que nous représente-
rons par l'unité , les boules noires étant supposées n'avoir aucune
valeur. Il est clak que le prix de l'urne A sera la somme des produits
de tous les nombres possibles de boules blanches qui peuvent exister
dans l'urue , multipliés par leurs probabilités respectives ; ce prix
est donc ce que nous avons nommé valeur moyenne du nombre des
boules blanches. Nommons-le e , après le tirage H"". Au tirage sui-
vant , s'H sort une boule blanche , ce prix diminue d'une unité ; or
si l'on suppose que x est le nombre des boules blanches contenues
dans Tume après le tirage r"™', la probabilité d'en extraire une boule
blanche sera ^ ; en nommant doue U la probabilité de cette suf^o-
sîtion, l'intégralej , étendue depuis 3c;^o jusqu'à xssrty
sera la diminution de e, résultante de la probabilité d'extraire une
boule blanche , de l'urne. Si l'on feit , comme ci-dessus , - = r',
et si l'on désigne la fraction très-petite - par d/, cette diminution
sera égale à zdr'; car s est égal à fUxdx , somme des produits des
nombres des boules blanches , par leurs prohabilités respectives.
Le prix de l'urne J s'accroît, si l'on extrait unelioule blûiche de
l'urne B, pour la mettre dans l'urne ^^ or, s étant supposé le
nombre des boules blanches de l'urne -4', n — x sera celui des
boules blanches de l'urne £ , et la probabifité d^extraire ime bouk
blanche de cette dernière unie, sera 2^^; en mnttipMant cette
probabilité par la probabilité U de xj l'intégrale /V.^^^.dr,
prise depuis x nul jusqu'à x = n, sera l'accroissement de z.
fV. (n — x^ . dx est le prix de Tume B ; en iiommanl donc «' ce prix,
z'dr^ sera l'accroissement de e : on aura d<»ic
rfz == z'dr''— iéi-',
Xék sonime .des pris des ^ux urnes e$t évidemment é^e à n >
dby Google
Soi THÉORIE ANALYTIQUE
nombre des bouks blanches qu'elles contiennent» ce qtû donne
z' = n — z; substituant cette Taleur de z' dam Téqualion préeé-
dente^élle derient
& = (« — a£).dr';
d*où l'on tire en intégrant ,
^ — i» + 4?T.
jjf'i étant une constante arbitraire ; ce qui est cwifi>rme À ce qiù
précède.
On peut étendre toute cette analyse , au cas d'an nombre quel-
conque d'urnes : nous nous bornerons ici à chercher la valeur
moyenne du nombre des boules blanches que chaque urne contient
après r Uragea.
Considérons un nombre e d'unies , dbposëes cinrulairement , et
renfermant chacune le nombre n de boules , les unes blanches ,
et les autres noires ; n étant supposé un très-grand nombre. Suppo-
sons qu'après r tirages, z,, x„r,,...«,_, soient les prix respectif
des diverses urnes. Chaque tirage consiste à extraire en même
tems , une boule de diaque urne , et à la mettre dans la suivante ,
en partant de l*nne d'elles dans un sens déterminé. & l'on fitît
^==/ et ^ = dr* ; on aura, par le raisonnement que nous Tenons
. de faire relativement à deux urnes ,
â£t^= (2*_,— Zl).d/j
cette équation a lieu depuis * se i jusqu'à i sse-^ i. Dans le cas
de i3=^,ona
en intégrant ces équations , et 8iq)po3ant qu'à l'origine les prix res-
pectif de chaque orne , ou les nombrês.des boules blanches qu'eUes
contiennent, soient
OnpàrTÎexd à ce résultat qui a Ueu depuis ts=o jusqu'à iss«—i,
dby Google
DES PROBABILITÉS. 5o3
A..co8(î^-or')
z.= -.S.c »■ •'' ■j+;,..e„s(!£j;=2).-_a/)
le signe ^ s'éteadant à toutes les valeurs de Sj depuis s= i jus-
qu'à s = e, et a étant égal à sin ^ Le terme de cette expres-
sion, correspondant à f = « , est indépendant de r', et égal à
~.(X,-^?i,,. ..+ A;_,); c'est-à-dire, à la somme entière des boules
blanches des urnes, divisée par leur nombre. Ce terme est la limite
de l'expressioD de Zt ; d'où il suit qu'après un nombre infini de tirages,
les prix de chaque urne sont égaux entre eux.
y Google
THÉOME AWALTHOtlE
CHAPITRE IV.
De la probabilité des errairs des résultats moyens d'un grand
nombre d'observations , et des résultats moyens les plus
avantageux.
18. Vjonsidérons maintenant les résultats moyens d'un grand
nombre d'observations dont on connaît la loi de facilité des erreurs.
BnpposoDS d'abord quepour chaque obserration^Iesarearspiàssent
être également
— n, — n+i, — n-f-9,^..— ij Oji, j,..^— a, n— j, n
La probabilité de diaque orair sera ——■' Si Fan nomnie s, le
nombre des observations, le coefiRcient de c'*V^ dans le dévelop-
pement du polynôme
f c-n-V^î + cH— »•»/"+ C-(»->)-V^ 1»
{ ....4-c— ^^^+i+c-V^ +c»-»^^}
sera le nombre des combinaisons dans lesquelles la somme des
erreurs est /. Ce coefiFicient est le terme indépendant de c^'
et de ses puissances , dans le développement du même polynôme
multiplié par c~^*'V^^ et il est visiblement égal au terme in-
dépendant de 19' dans le même développement multiplié par
X i- ou par cos ftr, on aiffa donc pour rexpreasion
de ce coefficient ,
-.yîf'W.cos/*.(i+aco8'»+acosa'W. . . . -h a cos n»)'?
l'intégrale étant prise depuis ■w=o jusqu'à «r=-7f.
Ou a vu dans le n' 56 du premier livre, que cette intégrale est .
dby Google
DES PROBABaiTÉS. 5oB
le nombre total des combiDâisons des erreurs est (an 4^ i)*; en
divisant la quantité précédente par celle-ci, on aura
•8 i.(»+i)'
t/».Cn+0.!U» . ^
pour la probabilité que la somme de» erreurs des t obserratioiu
sera L
Si l'on feit
la probabilité qne ta somme dea erreurs sera comprise dans les
limites + ar. y/?'-("+')-^ et — ar. ^"•C"+0-' ggj^ ^gale à
»/;r
.fdt.c~*\
Vîntégrale étant prise depuis t=sio jusqu'à tznT. Cette expression
a lieu encore dans le cas de n infini. Alors en nommant sa l'inter-
valle compris entre les limites des erreurs de chaque observation ,
on aura n^a, et les limites précéduites deviendront zt. - 'yL— :
ainsi la probabilité qne la somme des erreurs sera con^rise dans
les tbnitea Aar, V« est
.s/l./dr^
c^est aussi la probabilité que Terreur moyenne sera comprise dan»
les limites =t -^ ; car on a Terreur moyenne , en divisant par «
la somme des erreurs.
La probabilité que la somme des inclinaisons des orbites de 0
comèteSjSera comprise dans des limites données, en supposant toutes
les inclinaisons également possibles, depuis zéro jusqu'à l'dngle droit,
est évidemment la même que la probabilité {Mrécédente ; l'interralle
sa des limites des erreurs de diaque observation est, dans ce cas,
5a
db, Google
So« THÉORIE ANALTllQim
rinterr^e ' dés Bmites des inclinaisons poseîMeii ; alors la pro-
babilité que la somme des mclinaisons doit être comprise dans les
limites ds-'^' est s.\J -^Jctr.c ; ce qui s'accorde avec ce
que l'oB a trouvé dans le n' i5.
Supposons géuéralunent que la probabilité de chaque erreur
positire ou négatÎTe, soit exprimée par p(f), x et /i étant des
nombres infinis. Alors , dans la fonction
I + a cos <»■ "i- 2 coa 3'»+ a ciss 3ot . . .+ a cos ww ,
chaque terme , tel que a cos «<»■ , doit être multiplié par ? (^ ;
or os a
aip 0) . C(» JOT = 3fl /0 — ^ . ^ Q . n*w'-h etc.
En Msant donc
laibnction
' '^C»)"'^'*'^ QYcos'» + af ^Vcosfl'W — 4-3f (0.COS »w,
devient
an.yîfo;' . ^ («')-"«*'»■' ■7â/*fte' . ^(fl/) H- etc. j
les intégrales devant être ét^adues depuis x'sso jusqu'à a:'s=i.
Soit alors
•k='ifdoé.(^{3d)^ 1^'=fx''<y,(p{x')j etc."
La sme précédente devient
(v \
1 — -r.n'flr' + etcj.
Hamlenant la probabifité que la somme des errcôrs des « cdfser-
vations sera comprîser dans lès limites =b: /, est , comme il est
iïœile de s'en Assurer par les rai8(Hmemen8 précédens ^
dbyGoOgk
~./fàa:dl.C03l^,
DES PROBABBLITÉS. 5oy
.... + a^f-YcosMi
Vintégrale étant prise depuis «• nul jusqu'à «■ := * j cette probabilité
est donc
a'^^''j7''**'<^-co8**-(i— ^•«^^— etc.)'. <«)
Supposons
(i — j. n*^ — etc. Y= c ;
en prenant les logarithmes hyperboliques , on aura à très-peu près ^
lorsque a est un grand non4>re ,
ce qui donna
Si Ton obsenre ensuite que ni ou ù.fdx.p (^ exprimant la pro-^
babitité que Terireur d*une obserratkm est comprise dans les limites
d^rtf cette quantité doit être é^Àe à Tunité ; la fonction (u)
deTÎeadra
Tintégrale relatire à t devaiit 4tre prise depuis t nul jusqu'à
fss it.n. y-^, ou jusqu'à <;=soo, n étant supposé infini; or on a,
par le n* 35 dU' premier livre ,
F k
en faisant donc
db, Google
\fk:
5o8 THÉORIE ANALYTIQUE
la. fonction (u) devient
Ainsi en nommant , comme ci-dessus, aa l'intervalle compris entre
les limites des erreurs de chaque observation, la probabilité que
la somme des erreurs des a observations , sera comprise dans les
limites ± ar . V«, est
si fl (^ est constant; alors p^= 6 , et cette probabilité devient
ce qui est conforme à ce que Ton a trouvé ci-dessns.
Si ip (^ ou 4> (V) est uue fonction rationnelle et entière die -xt',
on aura , par la méthode du n" i5 j la probabilité que la somme
des erreurs sera comprise dans les limites db ar. \/s , exprimée par
ùné suite de puissances » » a« , etc. de quantités de la forme
« — ^±r. y/a , dans lesquelles pt. augmente en pr(^ession arith-
' métique, ces quantités étant continuées jusqu'à ce qu'elles deviennent
négatives. En comparant cette suite à l'expression précédente de
la même probabilité , on obtiendra d^une manière fort approchée , la
valeur de la suite ; et Fon parviendra ainsi sur ce genre de suites ,
à des ^éorèmes analogues à ceux que nous avons donnés dans le
' n°- 43> du premier Livre , surles différences finies des puissances
d'une variable.
Si la loi de &ciUté des erreurs est exprimée par une exponen-
tielle négative qui puisse s'étendre jusqu'à rinfîni,'et généralement
si les erreurs peuvent- s'étendre à_l'iE(&i\; aI<H's a devient infini, et
l'application i de la méthode -^écédbnfc peut offrir quelques diffi-
cultés. Dans tous ces cas , on fera
dby Google
DES PROBABILITÉS. 509
h étant une quantité quelconque finie , et en suivant exactement
l'analyse précédente, on trouvera pour la probabilité que la soimne
des erreurs des « obserrations est comprise dans les limites
'V^./rfr..
Al*
'4k'
expression dans laquelle on doit observer que p (j\ ou <p (x') ex-
prime la probabilité de Terreur dzx, et que l'on a
k=a/d^.f(x'), k'^fx'-âx'.ipia:'),
les intégrales étant prises depuis x'= o jusqu'à x' =s 00.
19. Déterminons présentement U probabilité que la somme des
erreurs d'un très^and nombre d'observations sera comprise dans
des limites données^ abstraction £ùte du signe de ces erreurs,
c'est-à-dire , en les prenant toutes positivement. Pour cela , consi-
dérons la suite
9 (^ étant l'ordonnée de la courbe de probabilité des erreurs,
correspondante à l'erreur d= x , et x étant ainsi que n , considéré
comme formé d'un nombre infini d'unités. Si l'on élève cette suite
à la puissance s, après avoir changé le signe des exponentielles
négatives; le coefficient d'une exponentielle quelconque, telle que
^{*+/mJ-K— i^ sera la probabilité que la somme des erreurs prises
abstraction £tite du signe , est l+fia\ cette probabilité est donc
Tintégrale relatire à ■»• étant prjçe depuis «r =— « jusqu'à tr^T^
dby Google
5ip THÉORIE ANALTnQUE
car dans cet ïnterralle , l'intégrale fâar.c^^ * ~' , ou
yH«-.(cosrv — V — i.wDP»)
disparaît , quel que soit r , pourvu qu'il ne soit pas nul.
On a , en développant par rapptHt aux puissances de 4r ,
j ♦a)+^o+»'C) +>♦©)
l— etc. J
En Élisant donc
n 'a '
/x"dx'.^(x') =*"', /x'*da:'.^ (x') = A", etc.,
les intégrales étant prises depuis x' oui jusqu'à x' ^ i ; le second
membre de Féquation (i) devient
s.lo$nk+a.log(l-i'~-.Tvm-\/^^—~jt*'m*—eiC^—fUV\^-
l'erreur de chaque observation devant tomber nécessairement
dans les limites zk n , oa & nk =^ i ;}& quantité précédeote dericot
ainsi ,
'\T—n) ■ n* V— 1 p etc.;
en disant donc
et négligeant les puissances de w supérieures an carré , cette quan-
tité se réduit à son second terme, et la probabilité précédeatt
dby Google
DES PROBABILITES,
devient
(tt'-aft") .
l'intégrale précédente devient-
(-^)-
Cette intégrale doit être prise depuis <:= ^ oo jusqu'à /=:x; et
alors la quantité précédente devient
al/ir.Ti. V^ï'
En la mtdjipliant par dl ou par mfr. v^ y l'intégrale
sera la probabilité que la râleur de ^, et par conséquent, la
somme des erreurs des observations est comprise dans les limites
^ .(M=tar- V^ ) ^=a étant les limites des erreurs de diaque obser-
vation , lùoites que nous désignons par ± n , quand nous les Conce-
vons partagées dans une ii^nité de parties^
On voit ainsi que la somme des erreurs, la plus probable, abs-
traction faite du signe , est celle qui répond à rr= o. Cette somme
est V'os- Dans le cas où ^(x) est constant, -r- :s -, la somme
des erreurs , la plus probable , est donc alors la moitié de la plus
grande somme possible , somme qui est égale à sa. Mais si p (x)
n'est pas constant et diminue à mesure que l'erreur x augmente ,
alors -r est moindre que i , et la somme des erreurs , abstraction
dby Google
5ia THÉORIE ANALYTIQUE
Ëiite dii signe , est au-dessous de la moitié de la plus gi^de somme
possible.
On peut, parla même analyse, déterminer la probabilité que la
somme des carrés des erreurs , sera l-i- fis; il est &cile de voir
que cette probabilité a pour expression , Tintégrale
prise depuis «a-:^-— -ff, jusqu'à 'srss^. £n suivant exact^neQti'ana*
I jse précédente , on aura
_ an'.A' .
et en Ëùsant
€' =
la probabilité (jue la somme des carrés des erreurs des s obserra-f
k
lions sera comprise dans les limites-^ .a's^a'r. V«, sera
La somme la plus probable est celle qui répond à r nul j elle efil
donc ^.a*.«. Si « est un très-grand nombre, le résultat des obser*
vations s'écartera très-peu de cette valeur , et par conséquent il fera
connaître à très-peu près le Ëicteiir --jr-<
flo. Lorsque Ton veut corriger un élément déjà connu à fort
peu près, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, on
forme des équations de condition de la manière suivante. Soit z
la correction de l'élément , et ê l'observation ; l'expression analy-.
tique de celle-ci sera une fonction de l'élément En y substituant,
au lieu de l'élément, sa valeur approchée, plus la correction z ;
tgx réduisant en série par rapport à x , et négligeant le carré de z;
cette
dby Google
DES PROBABILITÉS. 5i5
catte fonction pren<lra la forme A-f>/jz; en régalant à la quantité
obserrée € , on aura
€ = A + Jjz;
r serait donc déterminé , si robserration était r^oureuse; mais
conune elle est susceptible d'erreur, en nommant i cette erreur,
on a exactement, aux quantités prés de l'ordre z',
et en Ëùsant C— Asaa, on a
l=J)Z — «t.
Chaque observation fournit une équation sranblable , que Von peut
représenter pour l'observation (i+i)'"', par celle-ci
En réunissant toutes . ces équations y on. a
le signe S se rapportant à toutes les valeurs de i, depuis l'ss o
jusqu'à i:=s~-i,s étant le nombie total des observations. En
supposant nulle la somme des erreurs , cette équation donne
c'est ce que Ton nomme ordinairement , résultat moyen des obser'
vationa.
On a va dans le n* 18 , que la pr(^abilité <pie la somme
des erreurs des « observations sera comprise dans les limites
dsar.Vf , est
v^
l,.far.r^..
.Nommons =ktf Terreur du résultat x; eu substituât dans Téqua-
■tion (1)^ :±:ar. V/^ au lieu de ^'C^*^; et 7^ ±u au lieu de z-^
tile dMw ,. .
db, Google
»i4 THÉORIE ANALYTIQUE
ta; [^dtalalité quel'esretf dtti:ésattats>aera comqHiw âansl«a li-
mites ± u est donc ,
Au lieu de supposer nulle la somme des erreurs , on peut snppo-^
aer nulle une fonction quelconque linéaire de ces erreurs, que
nous 3représenterons ainst,-
mfm^% m^^ etc. étant des nombres entiers positife ou négatif. En
sujoistikiaat dan» cette fonction (m), au lien de e, e^'^, etc., leivs
valeurs données par les équations de condition , eBe dewnt
en ég^dant donc à zéro , la fonction (m) , on a '
Soit u Terreur de ce résultât , ensorte que Ton ait
la fonction (m) deyient
îïéterjninons la probabilité' de l'erreur u, lorsque les obserraUon*
'sont en grand nottilire.
Pour cela , considérons, le produit . ■ . - ,
^(f)--'^xy*©.«"■■"-'-^....x/<î).c~■— v=,
le signe / s^étendant à tdute^ ïes Taleurs de x, depuis la-Tafcnr
^négati^e extr^mi de i:,- itïsqn'à sa valeur poutife eitrêiM-
^ (^ est , comme dam les numéros précédens , la probaMHté d'oA
erreur x , dans chaque observation j x étant supposé , ainsi que a ,
DigilizedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. 5ifi
£)mié d'une âofimté de poHles piises pour màiê. 1! est elair que
le coefficieHt d'une esponentiâlle queleonque c'* ^^^, dans le dé-
veloppement de ce produit, sera la probabilité que la-sonmie des
erreurs des observations, multipUées re^ectivement par m, m^'\ etc^
c'est-à-dire, la fonction (mj, sera égale à /^ en miiltipUant donc le
produit précédent par c~ ''*'"', le terme indépendant de «* V^~'
et de ses puissances, dans ce nouveau prodmt, exprimera cette pro-
babilité. Si l'on siq>pose, comsie nous le ftrons id,4a probabilité
des erreurs positives , la même que ceUe des erreurs négatives ;
on pourra , dans la somme /•? ^- c"** ^"^j réunir les termes
iiinit^>IîéB, Vwi par. c"^ *'^, et fseala^ par e" "*^~'j dors oetlB
somme prend la forme aJ^(^.co&7ttx^. H en est de même da^
toutes les sommes semblables. De là il suit que la probabilité que la
fonction (m) sera égale à i , est égale à
l'intégrale étant prise depuis «-sss — * jusqu'à i» =x. On a en
réduisant les cosinus en séries ,
/pQ.cosmxflr=y^(g-i.m'o'.^./^.ç(D-i-etc.
Si l'on fait ^ = ^) et si Ton observe que la variation 4e x étant
Funité , on a. da^ ss ' j <m aura
Nommons , comme dans Les mmiéros précedens , k l'intégrée :
a/î2r' . 9 (x') , [Hdse d^uis a^ nul jusqu'à sa valeur positive extrême ;
nommons pareillement A" l'intégrale yV*f/x'} prise dans les mêmes
Umites, et ainsi de suite; nous aurons
a/^(|)*co8ma?»=aA:/i — j.ro'a'-»'+-Y2ç-.»Wir*— etc.).
DigilizedbyLjOOQlC
Si6 THÉORIE ANAITTIQUE
Le logarithme 4n second membre de cette équation est
T . m'a*m*-^ ^ . m^a*'»^ — etc^ -f- log oA ,
ak on ia.fdaf.^{3f) exprime la probabilité que Terreur de chaque
obeerration, sera comprise dans ses limites, ce qui est certain; on
a donc «t silice qui réduit le logaritbme précédent à
— j.mfifm'-i- ""^ — .m4B<»*— etc.
De là il est aiaé de condore que le produit
ay^0).co8 BUJ» X a/^Q.C08m<''a>»... X ay»(j).C08i«*^'>i»>
('+ ""i^"" •a''»*-g-'»"*+e'c). ~^'
rintégrale précédente (i) se réduit donc à
»4"— a»
—%-.*^.S.iifir
X» '
ija*>v*=<*, cette int^rale devient
> /-j, f ■ iSi"— 64" *.!»»< j , . »
Xc «V^' *' ' ■ /
S.rnf^, S.m^'^y etc. «ont éTÏdemmenf des goantitéa de Tordre f,
ainà -—, — est de l'ordre - ; en négligeant donc les terme» de ce
dernier ordre , Tis-à-vis de Pamté , la dernière int^rale se réduit à
—;•/*-
db, Google
DES PROBABILITÉS. Si?
7a\Dté^à]fi relàtire à ■»■ devant être prise depuis w=— ir. jusqu'à'
0-= -»■ , l'intégrale relative à t doit être prise depuis ( ^ —a-jr. v^
jusqu'à t =aT.\/^; et dans ces cas, l'exponentielle sous le signe/
est insensible à ces deux limites , soit parce que « est un grand
nombre , soit parce que a est ici supposé divisé dans une infîmté de
parties prises pour unité ; on peut donc prendre Tintégrale depub
/'=■—«! jusqu'à tsssoo. Faisons
^—V s -V-^ M.A'.5.mt> /'
la fonction intégrale précédente devient
«■
'VP-
^.fâi.o
mt»
L'intégrale relative à *' doit être prise, comme l'intégrale relative
à f, depuis ('== — oo jusqu'à /'c=5 0oj ce qui réduit la quantité pré-
cédente à celle-ci ,
"îir:
■^■V¥-
i.m'v
Si l'on &it /:=ar.v^, et siFon observequelavariation de /étant
Tunité , Fon a atfr= i , on aura
■ ' ' fa*-'
V^
pour la probabilité que la fonction (m) sera comprise dans les limites
zéro et ar.y/sy l'Intégrale étant prise depuis r nol.
Nous avons besoin ici de connaître la probabilité de l'erreur u ,
de l'élément déterminé en Ëiisant nulle la fonction (m). Cette fonc-
tion étant supposée égale à / ou à ar.\/s; on aura , par ce qui
précède,
y Google
Si8. THÉORIE ANALYTIQUE
eu subfltibuitf cette râleur duw la feoetioB inté^e préoédette,
elle jdeTÙnt
hi'.tS.inlOpB)'
^■"■'V y;,,, ,. a-..-.J.m<')- .
c'est rexpreasion de la probabilité que la Taleur de u sera com-
prise dans les limites zéro et u : c'est aussi l'expression de la pro-
babilité que u sera compris dans les limitea zéro et — u- Siïoa
fiit
la probabilité précédente devient
MaintesEmt la prob^HËté restant la m&ne* trettele même , et Tio-
terralle «Les deux liiaites de u , 8e reaserre d'autant (dus que
"• V T* ^■nJV'^' **' P^"" î**^** *^' intervalle restant le même,
la râleur iet, et par conséqnent la probabilité que reirear i^
l'élément tombe dans cet intervalle , est d'autant plus grande , que
la même quantité a.yj . g^^^^ est plus petite ; il Ëiut doac
choisir le systèmç de &cteurs m®, qui rend cette quantité un
rmmmums et comme a, kj k' sont les mêmes dans tons ces
systèmes , fl Ëtut choisir le système qui rend ^^^^ un minimum.
On peut parvenu- au même résultat, de cette manière. Repre-
nons l'e^tresàon de la probabilité que u sera compris dans les
limites zéro et u. Le coefficient de du dans la di£fêrentieKe de cette
expression , est l'ordonnée de la courbe des probabilitcs des areiu^
u de rélément , erreurs représentées par Tabscisse » de cette eoan)^
que Tcm peut étendre à l'infini , de diaque c6té de l'ordoiuiee qo*
répond à u doL Cela posé , toute erreur, soit positive, sûit^'
tive, doit être considérée comme un désavantage ou anep^
réelle, àtm jeu quelconque ; or, par les principes de Ift tbeo"^
y Google
DES PROBABILITÉS. 5ig
dea probabilités^ exposés au ctumnencemezit de ce livre, on éva-
lue ce désavantage, en prenant la sonune de tous les produits de
chaque désavantage par sa probabilité ; la valeur moyenne de
l'erreur à craindre en plua, est donc la somme des produits de
chaque erreur par sa probabilité ; elle est par conséquent égale à
l'intégrale
fudu.S.mf.'ipiO.c - 4*- "■•J"'*-^-
"V^
T'
.J.ntO
I«îse depuis- u nul }asqn'à a infini ; alnâ cette erreur est
,/v i/jns^
Cette quantité prise avec le signe ~-, donne l'erreur moyenne à
craindre en moins. Il est visible que lé système des &cteurs rnf^.
qu'il ftiut choisir, doit être telque ces erreurs- soient des minùna,et
par conséquent tel que -^ — ^g-gy sort un minimum.
Si l'on djffêrentie cette foncticm par rapport à m^^ on aura
en égalant sa diffîrentielle à aéro, par la condition du nUmmum^
Cette équation a Ben quel que soit i; et comme la variation de i
ne fait point changer la &actkn ^y-^^ui; î en nommant /* cette
firaction , on aura <
et l'on peut, quels que soient p, //'>, etc., prendre fâ, tel que les
.nomt»'es m,ni,('', etc. soient des nombres entiers, cottùnèyanalyM
précédente le suppose. Alors on a
db, Google
5ao THÉORIE ANALYTIQUE
et l'erreur moyenne à craindre devient
c'est dans tontes les hypothèses que Ton peut foire sur les focteurs
m , m^'\ etc. , la plus petite erreur moyenne possible.
Si l'on Élit les valeurs de m , m*'^ etc. ^ales à =b i j l'erreur
moyenne à craindre sera plus petite lorsque le signe ± sera déter-
miné de manière que irf^p^'^ soit positif; ce qui revient à supposer
i = m=m^'^=etc., et à préparer les équations de condition «
de sorte que le coefficient de z dans chacune d'elles , soit positif;
c'est ce que l'on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat
moyen des observations est
' = 57^'
et l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, est
mais cette erreur surpasse la précédente qui , comme on l'a vu ,
est la plus petite possible. On peut s'en convaincre d'ailleurs de
cette manière. Il suffît de £ure voir que l'on a Finégalité
ou
En effet, 2pp^'^ est moindre que p*'{-p^'\ puisque {p^'^—p}* est
une quantité positive ; on peut donc, dans le second membre de l'ioe'-
galité précédente , substituer pour spp^'"^, p*~^p^''^ — f, f étant
une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour
tous les produits semblables , ce second membre sera égal au pre-
mier, moins une quantité positive.
Le
DigilJzed
b, Google
DES PROBABILITES. 5a i
Le résultat
auquel corresponcl le rmnimum d'erreur moyenne à craindre , est
celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des
obserrations j car la sonmie de ces carrés étant
(i7.z— *)'+ {f^'Kz— *«)'. . . + (/)<'-".ï— aC-'ï)';
la condition du minimum de cette fonction , en Ëiisant varier r ,
donne pour cette variable, rexpreaaion précédente; cette méthode
doit donc être employée de préférence , quelle que soit la loi de fitci-
lite des erreurs, loi dont dépend le rapport -j.
Ce rapport est ;, si f{x) est une constante; il est moindre
(pie 7, si 9 (x) est variable , et tel qu'il diminue à mesure que x
augmente , comme il est naturel de le supposer. En adoptant la
loi moyenne des erreurs que nous avons donnée dans le n' i5 , et *
suivant laquelle ^ (x) est égal à — .log - , on a -r- ^ -s- Quant aux
limites rt a, on peut prendre pour ces Umitea, les écarts du résultât
moyen , qui feraient rejeter une observation.
Mais on peut, par les observations mêmes , déterminer le Ëicteur
a.y T- de l'expression de l'erreur moyenne. En effet , on a vu
dans le n* précédent , que Ja somme des carrés des erreurs des obser-
vations, est à très-peu près 3«'^j et que si elles sont en grand
nombre , il devient extrêmement probable que la somme obser-
vée ne s'écartera pas de cette valeur , d'une quantité sensible ; on
peut donc les égaler ; or la somme observée est égale à S.é-'^^ ou
kS.{jP.z-^d'>Yj en substituant pour z sa valeur -^-^i oa
trouve ainsi ,
^'•'T- = - s7p^F^ •■
L'expression précédente de Terreur moyenne à craindre sur le
4i
dby Google
523 THEORIE ANALYTIQUE
rcsultat £, devient alors
exprcssicH) dam laquelle il n'y a rien qui ne soit donné par les
observations et par les coefïiciens des équations de.conditioD.
31. Supposons maintenant que l'on ait deux élémens à corriger
par Vensemble d'un grand nombre d'(^servations. En'nommaQt
z et z' les corrections respectives de ces ctcmens , on formera ,
comme dans le numéro précédent, des équations de conditioD,
qui seront comprises dans cette forme générale
(M étant, comme dans ce numéro, rerreurderobserTation(i+i)'*'.
Si l'on multiplie respectivement par m, m^%., .m*""'' ces équations,
et que l'on ajoute ensemble ces produits , on aura une première
équation finale
En multipliant encore les mêmes équations respectivenaent par
n_, n^'\r. .n^'~'\ et ajoutant ces produits, on aura une seconde
équation finale
S. nW^=z . S.n^Y'^ -\-z'.S. n«j»— S, n«««'^
lesigne^s'étendant ici, comme dans le noméro précédent, à toutes
les valeurs de i, depuis i = o jusqu'à i=« — j.
Si l'on suppose nulles les deux fonctions S. m^'^f% S. n*'V", fonctions
que nous désignerons respectivement par (m) et (n); les deas
équations finales précédentes donneront les corrections s et s'
des deux élémens. Mais ces corrections sont susceptibles d'erreurs
relatives à celle dont la supposition que nous venons de fàiro , est
elle-même susceptible. Ck)ncevons donc que les fonctions {m) et (n),
au lieu d'être nulles, soient respectivement / et /', et nommons «
ei «Mes erreurs correspondantes des correcUonsz et z', délermi-
dby Google
DES PROBABILÏTÉS. 5*3
nées par ce qui précède; tes^deux équations finales deriendront
H Êiut maintenant déterminer les Ëicteurs m , m^% etc. j n , n^'\ etc.,
de manière que Terreur moyenne à craindre sur chaque élément,'
soit un minimum. Pour cela , considérons le produit
/»'©•''"'"'"""■" "^ X/» 0)- '="'""""'"'"*''**^- ■• •
■ • • • x/K:)- °~"'""**"'~"^'^^'
le signe / se rapportant à toutes les râleurs de x , depuis xzx — a
jusqu'à x=a , f f-j étant , comme dans le numéro précédent ,
la probabiKté de Terreur * , ainsi que de Perrcvff —■ x. La fonc-
tion précédente devient, en réunissant les deux e^K)aentJelle8
relatives à x et à — *,
a/(P^).C08 {mxv-i-nx^') X 3fp(^.C0d(m^''^x<v-j-i^'''x'Jr').. .
le signe / s'étendant ici à toutes lea valeurs de x, depuis a;=:o
jusqu'à a:=a; x étant supposé, ainsi que a , divisé dans une infi-
nité de parties prises pour unité. Présentement, il est clair que le
terme indépendant des exponentielles , dans le produit de la fonc-
tion précédente, par c •*'^~' y— i^ ^^^ 1^ probabilité que la
somme des erreurs de chaque observation , multipliées respecti-
vement par m , m*"', etc. ou la fonction (m), sera égal à / , en même
tems^que la fonction (n) , somme des erreurs de chaque observa-
tion, multipliées respectivement par n, n^'\ etc., sera é^ à /';
cette probabilité est donc
, i , i' afa^.coa(mw4-n<9')x I
^.ff^.<i^.o-"^-'-'^-'.\ '^;l ' '^ [
db, Google
324 THÉORIE ANALYTIQUE
les intégrales étant prises depuis -w et 'w' égaux à — ^, jusqu'à la
et la' égaux à *. Cela posé ;
En suivant exactement l'analyse du numéro précédent, on trouve
^e la fonction précédente se réduit à très-peu près à
■ , — l-V/^— r^'V^— ^•"'■[•■■■'y-»»<'>H-!««»'-y-m<'>n«+«''.J.n«']
k et ^' ayant ici la même sigmficatton que dans le numéro cité. On
.voit encore, par le même numéro, que les intégrales peuvent
s'étendre depuis a4r= — oo, ais-'^s — oo, jusqu'à attssioo et
an^ = 00. Si l'on fait
■ hl. V^i
" , k (/.5.m«„W_/'.5.mC0»).|/Z:r
si l'on Ëiit ensuite
E = 8. /»<■>• . 5. i^'^— {S.m<-'>rP)%
la double intégrale précédente devient-
* X>.S.Tm^~-ali!.S.Tnf-'>nP)-\-e*.S.mVi^-}
.-j_,S.„a«_j-j_^
En prenant les intégrales dans les limites infimes positives et né-
gatives , comme celles relatives à «aw et air', on aura
' 4A V ■ E
(o)
11 Ê)ut maintenant, pour avoir la probabilité que les valeurs de /
.et de l' seront comprises dans des limites données , multiplier
cette quantité par dl. dV, et l'intégrer ensuite dans ces limites. En
Bommaut X cette quantité, la probabilité dont il s'agit sera donc
dby Google
DES PROBABILITÉS. 5>5
jfXâl.dl'.yiMS pour avoir ia probabilité que les erreurs u-et u'
' des corrections des étémens seront comprises dans des limites
données, il faut substituer dans cette intégrale , au lieu de /et de T,
leurs valeurs en w et u*. Or si l'on diffîrentie les expressions de / et
de r, en supposant V constant, on a
dl=. du.S.m'y> + dii!.S.m">q<'>,
o=<4i.4.»<«/)«i + dB'.i.n<V'>i
ce qui doime
dl=—u c -^jfg^ 3— .
Si l'on diflerentie ensuite Texpression de f, en supposant u consr
tant, on at
dr = du'.S.n'y>;
on aura donc
dl.dl'=lS.m^Y^.S.n<-'>q">—S.iifY''.S.m'Y''].du.du'.
£n Élisant ensuite
F-:S.nf'>-..(S.i^Y«j-—aS.m"'ifi>.S.m'y'>.S.n<'>jfi>
+ S.nf'>-.(S.i^Y'');
C = 5'.n<'>-.5.m'V=.5.n.(V>4-J.m'*.*.rfV''.*.n<V'-
— i.in<'V».[*.nty»..y.m<V''+.ï.m''y.5.nBy<'1,
iîr=*.n<'>'.(i.7n<V)'— a.5.m«>)lO.J.m»yM.J.n<■Y''■
+5.m<»•.(*.n<•y')^
/= i.m'V'.'S-n'V— «•«'V'"^-'»V>
la fonction (o) devient
h . ( Fu'+2Gaït'4- gu" )
Intégrons d'abord cette fonction depuis u' c= — oo jusqu'à u'scco.
Si l'on fiiit
db, Google
5ii6 THÉORIE ANALTTIQtJE
«X 91 l^on prend l'intégrale depuis t= — oo jusqu'à tss oo,onaani
en ne considérant que la variation de i/,
Or on a
Fg— G' _
l'intégrale précédente devient donc
On aura , par le numéro précédent , l'eirear moyenne à craindre
en plus ou en moins, sur la correction du premier élément, en
multipliant la quantité sous le signe / par =£: u , et prenant l'in-
tégrale depuis u^o jusqu'à u = oo, ce qui donne pour cette
erreur ,
le signe -f- indiquant Terreur moyenne à craindre en pins , et le
signe — * l'erreur moyenne à craindre en moins.
Déterminons présentement les facteurs m<'^ et n^'^, de manière
que cette erreur soït un minimum. En Élisant varier m^'^ seul , ou a
rf.log ^= dm^'>. C-P^'^-^"^V'H^^'>-y-"^'V"3
11 est Ëtcile de voir que cette dîflfêrenlieUe disparait, si l'on sup-
pose dans les co^ïiciene de dm%
/«étant un coefficient arbitraire indépendant de i-, et au moyen
duquel on peut rendre m'-^ et n® des nombres entiers; La suppo-
dby Google
DES PROBABILITÉS. 3a»;
ntion précédante rend donc nulle la difierentielle de ■— , prise par
rapport à m^". On verra de la même manière, que cette suppo-
sition rend nulle la différentielle de la même quantité , prise par
tapport à n^^. Ainsi cette supposition rend un mimmum, l'erreur
moyenne à craindre sur la correction du premier élément ; et l'on
verra de la même manière , qu'elle rend encore un minimum ,
l'erreur moyenne à craindre sur la correction du second élé-
ment, erreur que l'on obtient en changeant dans l'expression de la
précédente, H en F. Dans celte supposition, les corrections des
deux élémens sont
^■qCO'.^.pCO«t('')— ^.pCV')..$.<;Wa(0
n est facile de voir que ces corrections sont celles que donne la
méthode des moindres carrés des erreurs des observations , ou du
minimum de la fonction
d'où il suit que cette méthode a généralement lieu, quel que soit
le nombre des élémens à déterminer ; car il est visible que l'ana-
lyse précédente peut s'étendre à un nombre quelconque d'élémens.
En substituant pour o. y j;^, la quantité i/-^-— , à laquelle on
peut, par le n" ao, le supposer égal , e, j''', etc. étant ce qui reste
dans les équations de condition , après y avoir substitué les cor-
rections données par la méthode des moindres carrés des erreurs ;
l'erreur moyenne à craindre sur le premier élément , est
L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur le second
élément, est
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538 THÉORIE ANALYTIQUE
d'où l'on voit que le premier élément est plus on moins bien
^étertniné que le second, suivant que S.^'^ est plus petitou plus
grand que 5.j)*^.
Si les r premières équations de condition ne renferment point g,
et si les s — r dernières ne renferment point ^; alors S.jfi'^^'^—o,
et les formules précédentes coïncident avec celle du numéro
précédent.
On peut obtenir ainsi l'erreur moyenne à craindre sur diaque
élément déterminé par la méthode des moindres c^arrés des
erreurs , quel que soit le nombre des élémens , pourvu que l'on
considère un grand nombre d'observations. Soient z , z', «", z'", etc.,
les corrections de chaque élément , et représentons généralemeDl
les équations de condition , par la suivante,
rfo— ^o.x+/o.2'^_ ^0.2"+ (W.z"'4-etc.— ««.
Dans le cas d'un seul élément , l'erreur moyenne à craindre esf ,
comme on l'a vu,
««■ ' y'S.t^'y*
w
Lorsqu'il y a deux élémens , on aura l'erreur moyenne à craiudrc
sur le premier élément, en changeant dans la fonction (a), S.f'
dans S.^'^ — ^^^to^' *^^ 'I"^ donne pour cette erreur.
i5f M
Lorsqu'il y a trois élémens, on aura l'erreur à craindre sur le pre-
mier élément, en changeant dans cette expression (a'), S.g^'^àans
ce qui donne pour cette erreur,
/
^.- (»")
—S.r<'>'.(.S.|f•>(|'•>^)'+2.S.^i'>l^'>.S./'>!V>.S.1'■V).
db, Google
' DES PROBABaiTÉS. Sag
ty* is le Câsde quîttre élémens, on aura Terreur moyenne à craindre
siff le premier élément , en changeant dans cette espression (a") ,
S.ffO;àm.S.i^o._iJ^y. 5.yo,<o, dans S.pV-'-^Tvf''-
etc. En continuant ainsi , on aura Terreur moyenne à craindre sur
le premier élément, quel que soit le nombre des clémens. En
changeant dans l'expression de Cette erreur, ce qui est relatif au
premier élément, dans ce qui est relatif au second, et récipro-
qaement; on aura Terreur moyenne à craindre sur le second élé-
ment, et ainsi des autres.
De là résulte un moyen simple de comparer entre elles direrses
tables astronomiques , du côté de la précision. Ces tables peuvent
toujours être supposées réduites à la>méme forme, et alors elles
ce diffèrent que par les époques, les moyens monremens, et les
coefificiens de leurs albumens ; car si Tune d'elles , par exemple ^
contient un Eirgument qui ne se trouve point dans les autres , il est
clair que cela revient à supposer dans celles-ci, ce coefficient nul.
Maintenant , si Ton comparait ces tables à la totalité des bonnes obser-
THtions , en les rectifiant par cette comparaison ; ces tables ainsi rec-
tifiées , satisfelt'aieDt, par ce qui précède , à la condition que la somme
des carrés des erreurs qu'elles laisseraient subsister encore , soit
un minimum. Les tables qui approcheraient le plus de remplir cette
condition , mériteraient donc la préiërence ; d*où il suit qu'en com-
parant ces diverses tables , à un nombre considérable d'observa-
tions , la présomption d'exactitude doit être en &veur de celle
dans laquelle la soDune des carrés des erreurs est plus petite que
dans les autres.
. 33. Jusqu'ici nous avons supposé les &cifités des erreius posi-
tives , les mêmes que celles des erreurs négatives. Coiisidéronâ nùin-
tenant le cas général dans lequel ces fecilités peuvent être dififé-
rentes. Nommons a Tintervalle dans lequel les erreurs de chaque
observation peuvent s'étendre, et 8upposons4e partagé- dans un',
nombre infini n + V de parties égales et prises pour Tunité, » étant
le nombre des parties qui répondent aux erreurs' négatives , et h'
étant le nombre des parties qui répondent aux erreurs positives.
dby Google
350 THÉORIE ANALYTIQUE
Sur clhaque point de l'interralle a , éler^His une ord(»uiée qui ex~
prime la ^^abiUté de l'aTeur correspondante , et désignons par
f (jj^^V l'ordonnée ooirespMiâaxUe à reireur x. Cela posé, coo-
tàdéTOM la 8u^
Reprégentons cette aoite par fçf- ^- ,Y c''**^'y le ôgne f
s'étendant à tontes les valeurs de x y depnis s == — n jusqu'à x =: n'.
ha terme indépendant de c ' et de ses puissances, dans le dé-
Teloppeœent de la fonction
...X /•»©.c"-""'^-.
dera,{>ar le n* âi, la {irobabflité que la fonction
ç«+ffW<?o„.. + ^.-.V-o^ (m)
sera égaleà /i(-jk> ««tte probabflité est donc
-./d^.c-'" *^' -c"'"^^ X r9(~^y c'""'-'x etc. , (i)
riiitégrale étant prise depuis -s- as — «■ jusqu'à io-^?. Le lo^
rithme de la li»kction
^'~^' X /, (j^).„«~'^x./l.(^).c'"~*^Xetc., {.)
est
-y^i/^r+log [/^>(^,).c''-»^^4-ete,,
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. 55i
R et n' étant supposés des nombres inSnis, si Ton Eût
si de plus on suppose
ks=/dx'.<p(x'), Ji^=/x'dx'.<p{jc'), k'—fi^"dx'.ip{xr), etc.,
les îttt^r^es étant prises depuis x' = — -—^ îusqu'à *^= -—^ ;
on aura
^»+»^ { -Ï5.5-.Cn+»')-.»-+etc.J
L'erreur de chaque obserration devant tomber dans les linûtes — n
et + »', et la probabilité que cela aura lieu étant /ç (-t~^) î ***
(n + n').Â^, cette quantité doit être égale à l'unité. De là il est
facile de conclure que le logarithme de la fonction ( a ) est , eu
feîsant fi.' = ^;£^ t
{^.5./0-;»').(/H-R')-'^*/=^-^^"y-9*'^.(«+n?.'»'-hetc.,
le signe S embrassant toutes les valeurs de i , depuis i nul jus-
qu'à î=£^i. On fera disparaître la première puissance de -ir,
en Élisant
et si Von ne considère que sa seconde puissanc« , ce qôe Ton peut
faire par ce qui précède , lorsque s est un très-^and nombre , on
aura , pour le logarithme de la fonction (a) ,
Ed repassant dea logarithmes aux nombres, la fofikction (a) se tran»*
forme dans la suivante ,
db, Google
35a THÉORIE ANAIYTIQUE
l'intégrale (i ) devient ainsi ,
— /«ï/rï — ^*' 7, *" ■ (B+n')*.*'.^ Y'^
Supposons
i =(»+»')•'■• V^^^î
'="V^^ SÂ^^^-CH-B')-» 5 — VEïcir:-
Ia variation de / étant limité, on aura
l'intégrale précédente devient ainsi, après l'avoir intégrée depuis
i = —-00 jusqu'à tssooj
ft'f*
k'a.CW— A").t'
Ainsi la probabilité que la fonction (m) sera comprise dans les
limites
est égale
___ ky
a r hdr â\kk'—h"i
l'intégrale étant prise depuis r nut
^ est l'abscisse de l'ordonnée qui passe par le centre de gra-
vité de l'aire de la courbe des probabilités des erreiurs de chaque
observation} le produit de cette abscisse par >$./'^, est donc le
résultat moyen vers lequel la fonction (m) converge sans cesse. SI
l'on suppose 1=9=9*''= etc.j lalÎMiction (m) devient la somme des
erreurs, et alors 5./'' devient s; en divisant donc par s la somme
des erreurs , pour avoir l'erreur moyenne ; cette erreur converge
sans cesse vers l'abscisse du centre de gravité, de manière qu'en
dby Google-
DES PROBABItmêS. 553
pretiant de part et d'autre un uiterralle quelcoAque aussi petit que
ToD. voudra, la probabilité que Terreur moyeime tombera dans
cet intervalle , finira , en multipliant indéfiniment les observations ,
par ne dlffêrer de ia certitude, que d'une quantité moindre que
toute grandeur donnée.
a5. Nous venons de rechercher le résultat moyen que des obsep
rations nombreuses et non liutes aicore , doivent indiquer avec
le plus d'avantage , et la loi de probabilité des erreurs de ce ré-
sultat Considérons présentement le résultat moyen des observations
déjà Ëtites , et dont on comijùt les écarts respectif. Pour cela , con-
cevons un nombre s d'observations du même genre , c'est-à-dire ,
telles que la loi des erreurs soit la même pour toutes. Nommons A
le résidtat de la première; A + q, celui de la seconde; J-i-q'-'^
celui de la troisième, et ainsi de suite; 7, q^'\ (f-% etc. étant des
quantités positives et croissantes , ce que l'on peut toujours obte-
nir par une disposition convenable des observations. Dessous
encore par 9 (z) , la probabilité de l'erreur z pour chaque obser-
vation, et supposons que J-\-x soit le vrai résultat. L'erreur dé
la première observation est alors — x ; q — x , ^'' — x , etc. sont
les erreurs de la seconde , de la troisième, etc. La probabilité de
l'existence simultanée de toutes ces erreurs, est le produit de leurs
probabilités respectives ; elle est donc
<p{ — «).?(?— "«).<p (9^''— a:). etc.
Maintenant, x étant susceptible d'une infinité de valeurs; en les
considérant comme autant de causes de l'événement observé la
probabilité de chacune d'elles sera , par le n" 1 ,
/(tc.f (— xj.f (ç— ^e).ç (çt'J— a;).etc. '
l'intégrale du dénominateur étant prise pour toutes les valein-s dont
X est susceptible. Nommons ~ ce dénominateur. Cela posé ima-
ginons une courbe dont x soit l'abscisse , et dont l'ordonnée y
aoit
/f . <p (— ») . ç (y— *) . ^ C9':o_a:) . etc. j
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354 THÉORIE ANALYTIQUE
cette courbe so'a celle des probabilités des râleurs ie x. La râleur
qu'il faut ctiaisir pour résultat moyen» est celle qui rend^erreur
iBoyaiDe à craindre, ula mmwMtm- Toute erreur, soît poMdve,
soit négative, djerant être considérée comme tm désaTantage,
ou une perte réelle au jeu; on a le désaTantage mcjen, ea
prenant la somme des produits de cHaque désavantage , par sa
j[»robalMlité; la valemr moyenne de l'erreur à craindre, est donc
la somme des produits de diaqoe erreur, abstracticm Ëtîte dtt
signe , par sa probabHité. Détermintms FabsGÏsae qu'il feut cIhàuf
pour que cette somme soit un minimum. Four cekt, donnons aux
abscissee , pour origine , la première extrémité de la courbe ipré-
cédente, et noBomons;!/ étales coord<mnées delà courbe, à partir
de cette origine. Soil l la valeur qu'il feut cboisir. 11 est clair que
si le vrai réankat était a/, Perreur du résultat t serait , abstraction
feite du s^n«, t — x'^ tant que jt' serait moindre que /; or y est
la probabiBté que x' est' te résidtat vrai ; ta somme des erreurs à
craindre, abstraction fiiite do signe,. multipliées par leur probabi-
lité, est donc pour toutes les valeurs de jt', moindres que /,
f{l — jt'). y die', l'intégrale étant {srise depuû x'=io jusqu'à
V = /. On verra de la mâne manière , que pour les vakurs de x'
supérieures à /, la s<Mmne des erreiov à craindre , multipliées par
leur probabilité , est /(jc' — t) .y'éa^, Intégrale étant prise depuis
s^=s=l jusqu'à l'abscisse x' correspondante à la dernière exÈrémité
de la courbe ; la somme entière des erreurs à craindre , abstrac-
tion feite du signe , et multipliées par leurs probabilités respec-
tives, est donc
/(/-x') .yd^ 4-/( ^-^ i),^^^-
La différentielle de cette fonction, prise par rapport à /, est
dl.ffdx'—dl.£/d3l %
car on a la difKrenlieUc de /( / — je') .y<tc', en difiEérentiant d'abord
la valeur de l sous le signe /, et en ajoutant à cette différentielle ,
raccroissement qui résulte de la variation de la limite de l'inté-
grale, limite qui se change en /+ dl. Cet accrussement est égal à
l'élément {l — x'^.y'dx'^ à la limite où x'=i; il est donc nul,
et dl-fy'dx' est la diffërenlieUe de l'intégrale /(/—*') .y d»'. On
dby Google
DES PROBABUrrÉS. 535
verra de la même manière, que — di.fydx' est la difië^ntièUe
de l'intégrale /(x*— /).yd;a7'. La somme de ces diffirenticUes
est nulle relativement à l'abscisse / , pour laquelle l'erreur
moyenne à craindre est on minimum f on a donc, relativement à
cette Ed>9cÎ38e,
fydx'=fydjc\
la première intégrale étant prise depuis y=o jusqu'à x' = /, et
la seconde étant prise depuis y;=i jusqu'à la Videur extrême dex'.
Il suit de là que l'abscisse qui rend l'erreur moyenne à craindre ,
un minimum , est celle donft Pordoonée divise l'aire de la courbe en
deux parties égales. Ce point jouit encore delà propriété d'être celui
en deçà duquel il est aussi probable que le vrai résultât tombe ,
qu'au-delà ; et par cette raison, il peut encore être nommé milieu
de probabilité. Des géomètres célèbres ont pris pour le milieu qu'il
Ëtut choisir , celui qui rend le résultat observé , le plus probable ,
et par conséquent l'abscisse qui répond à la plus grande ordonnée
de la courbe ; mais le milieu que nous adoptons , est évidemment
indiqué par la théorie des probabilités.
Si Ton met f (x) sous la forme d'exponentielle, et qu'on le dé»gne
par c * , afin qu'il puisse «gdement convenir aux erreurs po-
sitives et n^atives ; on aura
Si l'on ïàit x=a-f-*» et que l'on développe l'exposant de c par
rapport aux puissances de z , ^ [N'endra cette forme ,
„_„ — Jf— aTVs— P»»— 0^3— etc.
expression dans laquelle on a
M^ 4 (a') + 4 C«^'-f- 4 («— /■*}'-!- etc. ,
JV=a.4V) + (a— y).4'Ca— ?)'+ {«— 9*'')-4'(a— ï^'')'+etc. ,
P — 4'(a') + 4' («—?)'+ 4' (a— ?")•+ etc. + Jia'. 4 (a')
+ 3(a— y)'.4"(a— 9}' + a(a— 9*'^)'.4"(a— V')'+etc.,
etc.,
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536 THÉORIE ÀNALYTIOUE
4'(') étant le coefficient de dt dans la diffîrentîene de 4 (')»
•<j."(/) étant le coeSlcient de <A dans la di£fêrentielle de4'(0) etainsi
de suite.
iSupposons le nombre 5 des observations, très-grand, et détermi-
nons a par l'équatiou N=o que donne la condition du maximum
de ^ ; alors on a
— j!f— i»»'— Qb>— «te.
'M, P, Q , etc. sont de Tordre « : or , si e est très-petit de Tordre -^ ,
Qe.' devient de Tordre -^, et Teiponentielle c~^ ^' peut se
réduire à Tunité; Ainsi dans Tinterralle depuis r =3 o jusqu'à
jBs= -— , on peut supposer
y^H.c
'Au-delà, et lorsque z est de Tordre s ",»i étant plus petit que
Tunité , Pz' devient de Tordre s j par conséquent c" devient
ainsi que^, insensible; ensorte que l'on peut, dans toute l'étendue
de la courbe , supposer
— jtf— p*'
y^H.c
Xa valeur de o donnée par l'équation ^=0, ou
0 = 0. 4'(o') + {a—q) . 4'(a— ?)'+ f<i-V*) ■+'(«— î^'*)'+etC- »
est alors Tabscisse x correspondante à Tordonnée qui divise Taire
de la courbe en parties égales. La condition que Taire entière de la
courbe doit représenter la certitude ou Tunité , donne
I ., —M—Pi.^
â^fdz.c
Tintégrale étant prise depuis z= — 00 jusqu'à z = <», ce «^
doQLue _
^ — VF'
L'erreur
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DES PROBABILITÉS. 53?
L'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins , en prenant a
pour résultat moyen des obserrations , est làzfzydz, Tintégrale
étant prise depuis z nul jxisqu'à z infini, ce qui donne pour cette
erreur
Mais rignorance entière où Ton est de la loi c ^^^ des erreur»
de chaque observation , ne permet pas de former l'équation
o =a.4'(o') +(a— 9)-4'C<'"^)'+ ^^•
Ainsi la connaiseance des valeurs de q, <f% etc., ne donnant à poa^
teriori , aucune lumière sur le résultat moyen a des observations ;
il Êtut s'en tenir au -résultat le plus avantageux déterminé d priori y
et que Ton a vu être celui que fournit la méthode des moindres
carrés des erreurs.
Cherchons la fonction 4(^) <I^ donne constamment la rè^e
des milieux arithmétiques , admise par les observateurs. Four cela ,
concevons que sur les s observations, les i premières coïncident,
ainsi que les s — i dernières. L'équation AT =; o devient alor»
o = ( . a . 4'(fl-) + («— i) . (a— 9) . 4,'(a— 9)',
La règle des milieux arithmétiques donne
réquation précédente devient ainsi
+'C(^)>>4'$.^>
Cette équation devant avoir lieu quels que soient - et 7, il est aè-^
eessaire que 4' (') soit indépendant de tj ce <]ui donne
Jt étant one constante. En intégrant, on a
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558 THÉORIE ANALYTIQUE
î, étant une constante arbitraire ; putant,
Telle est donc la fonction qui peut seule , donner généralement la règle
des milienx arithmétiques. La constante L doit être déterminée d&
manière que l'intégrale fdx.c , prise depuis jces-^co jusqu'à
^r = 00 , soit égale à l'unité ; car il est certain que l'erreur x d'Une
obserratiou doit tomber dans ces limites ; on a donc
par conséquent la probabilité de l'erreur x est U-.c
■ A la Terité , cette expresùon donné l'infini- pour la limite des
erreurs, ce qui n'est pas admissible j mais , vu la rapidité avec laquelle
ea gem-e d'esponentiell«s diminue à mesure que x augmente-, on
peut prendre i assez grand , pour qu'aunietà de ta limite admissible
des erreurs, leurs probabilités s(ùent insensibles, et puissent étire
supposées nulles.
La loi précédente des erreurs donne pour l'expression générale
(i) de Y,
-s/§-
en déterminant H de manière que l'intégrale entière fydx soit
l'unité, et iàisant ^
L'ordonnée qui divise l'aire de la courbe en deux parties égales, est
v^t qui répond à u S3 o, et par consoquentà
c'est donc la valeur de x qu'il fout choisir pour résultat moyen des
observations ; or , cette valeur est celle que donne la règle déh
nùlieus arithmétiques; la loi précédente des erreurs de chaque
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BES probabilités. 359*
observation , donne donc constamment les tnémes résultats que,
cette règle , et l'on a vu qu'elle est la seule loi qui iouisse de cette
proprie'té.
En adoptant cette loi, la probaLilrté de l'erreur é^ de Tobserva-
tion(iH-i)^',est
or on a TU dans le n* ao, que z étant la correction d'un élément /
cette obsetration fournit Féquation de condition
La probatilité de la valeur de />*''.«— *®, est donc
la probabilité de l'existence simultanée deâ £ Valeurs p.g^-tt ^
p^'^.z— «ï'V ..jï^~''.z — *^~'*,sera donc
(VIT
■S-S-Cpt")»-^»)'
Cette probabilité varie avec x ; on aura donc la probabilité d'une
valeur quelconque de z, en multipliant cette quantité par dz , et
divisant le produit par l'intégrale de ce produit , prise depuis
c = — 00 jusqu'à z = oc. Soit
«ette probabilité devient
ensorte que si l'on décrit une courbe dont le coefficient de du soit
l'ordonnée, et dont u soit l'abscisse; cette courbe étendue depuis
u = _ 00 jusqu'à u =s 00 ^ peut être considérée conoBS la courbe
des probabilités (k» erreurs », dont le résultat
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B4o THÉOHtE ANALYTIQUE
est sascéptible. L'ordonnée qtû divise Taire de la couri>e en detuc
parties égales , est ceUe qui répond à u = o , et par conséquent à
X égal à ■ ^ ^- j ce résultat est donc celui qu'il feut choisir ; or ,
il est le même que celui que donne la méthode des moindres carrés
des erreurs des observations; la. loi précédente des erreurs de
chaque observation , conduit donc aux mêmes résultats que cette
. méthode.
La méthode des moindres carrés des erreurs devient nécessaire,
lorsqu'il s'agit de prendre un milieu entre plusieurs résultats doonés,
chacun, par l'ensemble d'un grand nombre d'observations de divers
genres. Supposons qu'un même élément soit donné, i*. par le ré-
siiltât moyen de s observations d'un prenlier genre , et qu'il 8<ût
par ces observations , égal à A, a', par le résultat moyen de ^
observations d'un secgnd genre , et qu'il soit égal à ^H- y; 5". par
le résultat moyen de *" observations d'un troisième genre, et qu'il
soit égal à ^+ ?'> et ainsi du reste. Si l'on représente par ^+«,
l'élément vrai^ l'erreur du résultat des observations s sera — r;
en supposant donc C égal à
/,
si l'on Ëiit usage de la méthode des moindres carrés des erreurs,
pour détenniner le résultat moyen; o& à
si l!on &it usage de la méthode ordinaire; la probabilité de cett«
erreur sera, par le n" ao ,
L'erreur du résultat des observations s' sera y — a: , et en désignant
par €' pour ces observations , ce que nous avons nommé € pour
}es observations ij]a probabilité de cette erreur sera
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SES PROBABILITÉS. «Mi
iParaficment l'errtfnr du résultat des obaerratioDS *" sera 7'—* ;
et en nommaDt poor elles , €", ce que nous arons nommé € pour
les obserrations s; la probabilité de cette erreur sera .
et ainsi de suite. Le produit de tontes ces probabilités sera k
probabilité que — x, 9— x, g'--x, etc. seront les erreurs des
résultats moyens des observations a , ^, «", etc. £n le multipliant
partir, et prenant l'intégrale depuis x=— 00 jusqu'à xc=:oo, on
aura la probabilité que lés résultats moyens des observations
s'y s", etc. , surpasseront respectivement de q, q't etc. , le résultat
moyen des observations s.
Si l'on prend Tintégrale dans des limites déterminées , on aura
la probaMlité que la condition précédente étant remplie, t'eireur
du premier résultat sera comprise dans ces limites ; en divisant
cette probabilité par celle de la condition elle-même , on aura la
probabilité, que l'crreiu' du premier résultat sera comprise dans de&
limites données , lorsqu'on est certain que la condition a e£fectiver
ment lieu ; cette probabilité est donc
l'intégrale du numérateur étant prise dans les Hmites données, et
celle du dénominateur étant prise depnis x ^-^ co jusqu'à xssoo.
On a
Cx^+C'-C*— 9)"+€"'.(«— î'}'4- etc.
s=CÊ'+^"-fff"H-etc.).»'— 3x.(C"y+CV+elc.)
Soit
la pr(d»abilité précédente deviendra
/rff.c-<f'-'^'+^'+*'°0-'' .
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54a' THÉORIE ANALtTlOlJE
rintégrale dn numérateur ëtant prise dans des limites domiées , et
celle du dénominateur étant prise depuis <=:^oo judqu'a t^oc^
Cette dernière intégrale est
_t^ :.
£n disant donc
t' = « Vé''+ér"+é"*+etc. ;
la probabilité précédente devient
La valeur de f' la plus probable , est celle qui répond à / nul ;
d'où il suit que la valexu: de x la plus probable , est celle qui répond
à (=!0, ainsi la correction du premier résultat, que l'ensemble
de toutes les observations s, s', s", etc. donne avec le plus de pro-
babilité, est
fr+.C»^C^ etc.*
Cette correction ajoutée au résultat ^ , donne pour le résultat qulT
Ëiut choisir,
^■^■K^+g).c"+U4•'n^g'M-rtc.
La correction précédente est celle qui rend un minimum , la
fonction
Or la phis grande ordonnée de la courbe des probabilités du pre-
mier résultat est , comme on vient de le voir , —7=- ; celle de la
courbe des probabilités du second résultat, est — r=-, et ainsi de
suite ; le milieu qu'il feut chcHSir entre les divers résultats ,
est donc celui qui rend un minimum , la sonune des carrés de
Terreur de chaque résultat, multipliée parla plus grande ordonnée
de sa courbe de probabilité. Ainsi la loi du minimum des carrés
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t^S PROBABUTTÉS. 5^
desetretirs^ derient nécessaire , lorsque Toa doit proiidre un milieu
entre des résultats donnés , chacun , par un grand nombre d'ob-
servations.
34. On a m préeédenûseid , que de toutes les manières de comr
biner les équatioas de conditioD, pour en former des équations
finales Unéaires , nécessiàres à la détermination des élémensj la {dus
avantageuse est celle qui résoUe de la méthode des moindres carrés
des errenrs des obs^ratioBS ^ du moins lorsque les observatii»»
sont en grand noioère. Si au heu de considérer le minimum- des
carrés des erreurs » on conaidérftic le minimum d'autres puissances
des erreurs , ou. même de toute autre fonction des erreurs ; les
équations finales cesseraient d'être linéaires y et hvx résolution de-
viendrait impraticable , si les obserrations étaient en grand nombre
Cependant il est un cas qui mérite iHie attention particulière^ ea. ce
qu'il donne le système daos lequel la plus grande erreur, abstrac-
tion Ëute du signe , est moindre que dans tout autre système. Ce
cas est celui dû nUnimtmt des puissance» infinies et paivea des
erreurs. Ne considérons ici que la correction d'un seul élément j
et z exprimant cette correction, représentons, comme précédem-
ment, les équations de condition, par la suivante ,
i pouvant varier depuis z.éro jusqu'à & — \fS étant le nombre des
observations. La somme des puissances an des erreurs , sera
S,{ay>—p^'^.z)"y le signe ^s'étendant à toutes les valeurs de i. Ou
peut supposer, dans cette Somme , toutes les valeurs de p^'^ po-
sitives ; car si l'une d'elles était négative , elle deviendrait positive
en changeant , comme on peut le fkire , les signes des deux termes
du binôme élevé à la puissance an , auquel elle correspond. Nous
supposerons donc les quantité&a-— j?.z, a^'^— *^'^z, a^'^— t/j^'^z, etc.,
disposées de manière que les qifântités p, />'■', p^''\ etc. soient po^
sitivea et croissantes. Cela posé, si an est infini, il est clair que
le plus grand terme de la sonune 5.(ciW— p^'^.e)", sera la somme
sidère , à moins qi^iL n'y ait un ou pUuiieurs autres termes qù
-lui soient égaux,, et c'e&t.ce cpii. doit avoir, lieu dao^Ife *^A^
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544 THÉORIE ANALYTIQUE
■ minimum de la somme. En aflfet , s'il n'y avait qu*ime sente dnazi-
tité la plus grande y abstraction Ëtite du signe , telle que a® — ^ . z ;
on pourrait la diminuer en Ëtisant varier z convenablement, et alors
la somme S. {a<'>—fp>.z)*' diminuerait et ne serait pas un minimum.
U jàut de plus que si *w — ^o.^ eta^'^ — f^-* *ont, obstractioB?
Ëiite du signe , les deux quantités les plus grandes et égales entre
elles, elles soient de signe contraire. En effet, la somme (af-'*-~j/^^.z)"
4- (at*^ — ffi^.z)" devant être alors un minimum , sa diffîreutleUe
^anA:.(>(o.(a«_p(0.jjM-.4.y:o.(4tiT_pCO.e)«'-'] doit être nulle,
ce qui ne peut être lorsque n est infini, que dans le cas où aff^-^'^.s
et aff^ — jj^'^.s sont infiniment peu différons, et de signe contraire.
S'il y a trois quantités les plus grandes , et égales entre elles
abstraction faite du signe ; on verra de la même mamère que leurs
Aiguës ne peuvent être les mêmes.
Maintenant, considérons la suite
«c.->_^-o j , «('—'— p('-«^ , afi-'i—jfi-'U, . . . a— p j , (o)
—x^p.z, .... «--«o-w+p^» ï, — «c-.)4.p&-.î;,, __«&-.)+pC-o.,.
Si Ton suppose z=x — ' w, le premier terme de la suite surpasse
les suivans , et contioue de les surpasser en faisant croître z , jus-
qu'au moment où il devient égal à l'un d'eux. Alors celui-ci, par
l'accroissement de z , devient le plus grand de tous ; et à mesure
que l'on Eut cxottre z , il continue toujours de surpasser ceux qui
le précèdent Pocor déterminer ce terme , on formera la suite des
quotiens
Supposons que ^^,^_ ,^ soit le plus petit de ces quotiens en avant
^ard au ^ne, c'est-à-dire en regardant une quantité négative plus
grande, comme plus petite qu'une autre quantité négative moindre.
8'il 7 a plusieurs quotiens les plus petits et égaux, nous conaidé-
renHis celui qui se rapporte au terme le plus éloigné du premier
4ans la suite (o); ce terme sera le plus grand de tous, jusqu'au
fnoment où, par L'aqcroiâsemeat de z, il devient égal à l'mi des
fiUivans j
dby Google
CES PROBABILITÉS. 345
suivans > qui commence alors à être le plus grand. Pour déterminer
ce uouyeau terme , on formera la nourelle suite de quotiens
fe terme de la suite (o) , auquel répond le plus petit de ces quotiens ,
sera le nouveau terme. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'un des
deux termes qui deviennent égaux et les plus grands, soit dans la
première moitié de la suite (o) , et l'autre dans la seconde moitié.
Soient a<?*—p«.z et — a<^H-jj^.« ces deux termes; alors la valeur
dé £ qui correspond au système du minimian de la plus grande des
erreurs, abatractîoii ^te du signe , est
««+ aCf >
â*il 7 a plusieurs élémens à corriger, les équations de condttton
qui déterminent leurs corrections , renferment plusieurs mconnues ,
et la recherche du système de correction , dans lequel la plus grande
erreiu* est , abstractiou &ite du signe, plus petite que dans tout
autre système , devient plus compliquée. Ftd considéré ce cas
d'une manière générale , dans le troisième Livre de la Mécanique
Céleste. J'observerai seulementici, qu'alors ta somme des puissances
andes erreurs des observations est» comme dans le cas d'uno
seule inconnue, un mi>zûnz«m , lorsque an est infini; d'où il est
Ëicile de conclure que dans le système dont U s'ï^t, il doit y
avoir autant d'erreurs plus une, égales, et les plus grandes abs-
traction faite du signe , qu'il y a d'élémens à corriger. On conçoit
que les résultats correspondans à sn égal à un grand nombre »
doivent peu di£fêrer de ceux que donne an infini. Il n'est pas même
nécessaire pour cela , que la piùssance an soit fort élevée , et j'ai
reconnu par beaucoup d'exemples, que dans le cas même où cette
puissance ne surpasse pas le carré , les résultats difiE&rent peu de
ceux que donne le système du nûnimum des plus grandes erreurs ;
ce qui est un nouvel avantage de la méthode des moindres cairrés
des erreurs des observations.
Depuis tongtems , les géomètres prennent un milieu arithmétique
«Are leurs observations i et pour déterminer les élémens qu'ils
44
Digilized
byCoogk
546 THÉORIE ANAtYTIQUE
veulent connaître, ils choisissent les circonstances les plus favorables
pourcrt objet, savoir, celles dans lesquelles les erreurs des observa-
tions îdtèrent le moins qu'il estpossible, la yaleurde ces élémens.Mais
Côtes est, si je ne me trompe , le premier qui ait donné une régie
générale pour faire concourir à la détermination d'un élément,
plusieurs observations ,' proportiOnilellement à leur in&uence. En
considéi-ant chaque observation comme une fonction de l'élément,
et regardant l'erreur de l'observation Comme une diSerentielle infi-
niment petite ; elle sera égale à la ^fférentielle de la fonction , prise
par rapport à cet élément. Plus le coefficient de la diSerentielle
.de l'élément sera considérable, moio^il faudra feire varier l'élé-
ment , pour que le produit de sa variation , par ce coefficient , soit
égal à l'erreur de l'observation; ce coefficient exprimera donc
rinfluence de l'observation sur la valeur de l'élément. Cela posé ,
Côtes représente toutes les valeurs de réiément, données par chaque
obserradon,par les parties d'une droite indéfinie, toutes ces parties
ayant une commune origine. Il conçoit ensuite , à leurs autres
extrémités , des poids proportionnels aux influences respectives
des observations. La distance dej!acigifie conununedes parties,
bu centre conmnnrde^ gravité de tous ces poids , est la râleur qu'it
choisit pour l'élément.
Reprenons l'équation dû condition du n* 20 ,
€« = ;>«.« — ««
é^ étant l'erreur de l'observation (i-f-i)'™', et s étant la correction
de l'élément déjà cMinu à fort peu près j p^'^ que l'on peut tou-
jours supposer positif, eiprimeta l'influence de l'observi&tion cor-
respondante.^ étant la valeur de z résultante de l'observation,
la règle de Côtes revient à multiplier cette valeur par p% à faire
une somme de tous les produits relatifs aux diverses valeurs, et à
la diviser par la somme de tous \e%p% ce qui donne
J.a(0
C'était en effet la correction adoptée par les obserrateurs , avant
DigiUzedbyLjOOQlC
- DES PaOBABILlTÉS. U7
Fusage de la méthode des moindres carrés des erreurs des ob-
servations.
Cependant on ne voit pas que depms cet esceflent géomètre ,
on ait employé sa régie , jusqu'à Euler qui dans sa première
pièce de Jupiter et Saturne , me paraît s'être servi le premiw ,
des équations de condition , pour détennîncr les élemens du mou-
vement elliptique de ces deux planètes. Presqu'en même tems,
Tobie Mayer en fit usage dans ses belles recherches sur la Ubra-
tion de û lune , et ensuite pour former ses Tables lunaires.
Depuis , les meilleurs astronomes ont suivi cette méthode , et le
succès des Tables qu'ils ont construites à son moyen , en a constaté
l'avantage.
Quand on n'a qu'un élément à détierminer, cette méthode no
laisse aucun embarras; mais lorsque l'on doit corriger à la fois
plusieurs élémens ^ H faut avoir autant d'équations finales formées
par la réumon de plusieurs équations de condition , et au moyeu
desquelles on détermine par l'élimination , les corrections des élé-
meos. Mais quelle est la manière la pl|is avantageuse de combiner
les équations de condition , pour former les équations finales ?
Cest ici que les observateurs s'abandomuik>ikt k des tâtonnement
arbitraires qui devaient les conduire à des résultats diffërens,.
quoique déduits des mêmes observations. Pour éviter ces tâton-
nemens, M. Legendre eut l'idée simple de considérer la somme des
carrés des erreurs des observations, et de la rendre un minimum ;
ce qui fournit directement autant d'équations finales , qu'il y a d'élé-
mens à corriger. Ce savant géomètre est le premier qiii ait publié celte
méthode ; mais on doit à M. Gauss la justice d'observer qu'il avait
«u, plusieurs années avant cette piditication, la même idée dont
il faisait un usage habituel , et qt^il avait communiquée à plusieurs
astronomes. M. Gauss , dans sa Théorie du Mouvement elliptique ,
a cherché à rattacher cette méthode à la Théorie des ft'obabi-
lités, en faisant voir que la même loi .des erreurs des observations,
qui dorme généralement la règle du miUeu arithmétique entre plu-
«ieurs observations , admise par les observateurs , donne pareil-
lement la règle des moindres carrés des erreurs des observations ;
et c'est ce qu'on a vu daoa le n* a3. Mais comme rien ne prouve
dby Google
348 THÉORIE ANALYTIQUE
que la preimére de ces règles donne le résultat le ptua STantagenx^'
la même incertitude existe par rapport à la seconde. La recherche
de la manière la plus avantageuse de former les équations finales,
est sans doute une des plus utiles de la Théorie des Probabilités :
son importance dans la physique et l'astronomie , me porta à m'en
occuper. Pour cela , je con»dérai que toutes les manières de com-
Inner les équations de condition/ pour en former une équation
finale linéaire, revenaient à les multiplier respectivement par des
£icteurs qui étaient nuls relativement aux équations que l'on n'em-
ployait point , et à faire une somme de tous ces produits ; ce qui
donne une première équation finale. Un second système de facteurs
donne une seconde équation finale, et ainsi de suite, jusqu'à ce
que l'on ait autant d'équations finales, que d'élémens à corriger.
Maintenant , il est visible qu'il faut choisir les systèmes de Ëicteurs,
de sorte que l'erreur moyenne, à craindre en plus ou en moins
sur chaque élément, aoit un minimum ; l'erreur moyenne étant
la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité. Lors-
que les observations sont en petit nombre , le choix de ces systèmes
dépend de la loi des erreurs de chaque observation. Mais si l'on
considère un grandjqoîûhiie-^»l^«'rTîttions , ce qui a fieu le pFus
souvent -deinr^es' recherches astronomiques j ce choix devient
indépendant de cette loi; et l'on a vu dans c« qui précède, que
Tanalyse conduit alors directement aux résultats de la méthode des
moindres carrés des erreurs des observations. Aina cette méthode
qui n'oETrait d'abord que l'avantage de. fournir , sans tâtonnement ^
les équations finales nécessaires à la correction des élémens,
donne en même tems les corrections les plus précises , du moins
lorsqu'on ne veut employer que des équations finales qui soient
linéaires, condition indispensable , lorsque l'on considère à la ibis
UD grand nombre d'observations; autrement', l'élimination des
iDconnues et leur détermination seraient impraticables.
dby Google
DES PROBABILITÉS. 349
CHAPITRE V.
application du Calcul des Probahiliiés, à la recherche
des phénomè/ies et de leurs causes.
nS. Xjss phénomènes de la nature se présentent le plus sourent
accompagnés de tant de circonstances étrangères; an si grand
nombre de causes perturbatrices y mêlent leur influence , qu'il
est très-difficile, lorsqu'ils sont très^petits^ de les reconnaître. On
ne peut alors y parvenir, qu'en multipliant les observations, afin'
que les effets étrangers venant â se détruire , le résultat moyen des
observations ne laisse plus apercevoir que ces phénomènes. On
conçoit par ce qui précède , que cela n'a lieu rigoureusement ,
que dans le cas d'un nombre iuCni d'ohservatiotis. Dans tout autre
cas , les phénomènes ne sont indiqués par les résultats mu^eas , quo
d'une manière probable , mais qui l'est d'autant plus , que les obser-
vations sont en plus grand nombre. La recherche de cette proba-
bilité est donc très-importante pour la physique, l'astronomie, et
généralement pour toutes les sciences naturelles. On va voir qu'elle
rentre dans les méthodes que nous veuons d'exposer. Dans le
chapitre précédent, l'existence du phénomène était certaine ; soH
étendue seule a été l'objet du Calcul des Probabilités ; ici l'esistehce
du phénomène et son étendue, sont l'objet de ce calcul.
Prenons pour exemple, la variation diurne du baromètre , que
l'on observe entre le» tropiques, et qui devient sensible même
dans nos climats , lorsque l'on choisît et que l'on multiplie conve-
nablement les observations. On a recMinu qu'en général, vers
neuf heures du matin, le baromètre est plus élevé que vers quatre
heures du soir; ensuite il remonte jusque vers onze heures du
soir , et il redescend jusque vers quatre heures du matin , poitr
revenir à son maximum de hAUteuf^^ vers neuf heures. Supposon»
dby Google
i
- 35o THÉORIE ANALYTIQUE
que l'on ait observé la hauteur du baromèU'e vers neuf heures du
matin et vers quatre heures du soir, pendant le nombre ^ de jeurs;
. et pour éviter la trop grande influence des causes perturbatrices ,
choisissons ces jours de manière que dans l'intervfdle de neuf heures
â quatre heures, le baromètre n'ait pas varié au-delà de quatre
millimètres. Supposons ensuite qu'en Msant la sonune des a hau-
teurs du matin , et la somme des s hauteurs du soir, la preniière
, dé ces sommes surpasse la seconde de la quantité q ; cette dif^
rence indiquera une cause constante qui tend à élever le baro-
mètre vers neuf heures du matin , et à l'abaisser vers quatre heures
du soû*. Pour déterminer avec quelle probabilité cette cause est
indiquée , concevons que cette cause n'existe point , et que lâ
diflërence observée 9, résulte des causes perturbatrices acciden-
telles , et des erreurs des observations. La probabilité qu'alors la
.différence observée entre les somiues dce hauteurs' du malin
et du soir, doit être au-dessous de qy est, par le n' 18,
égale à
rintégrale étant prise depuis r = — » jusqu'à r= — ^ , x et **
étant des constantes dépendantes de la loi de probabilité des diâe-
rencea entre les hauteurs du matin et du soir, et =ba étant
les limites de ces différences y a étant ici égal à quatre millimètres,
pr étant au moins égal à six, comme on l'a vu dans le n* 30
■jj-i ne peut pas être supposé moindre <pie |; en faisant donc fE=4oo,
et supposant rétendue de la variation diurne, d'un millimètre, ce
qui est à peu près ce que M. Ramond a trouvé dans nos climats ,*
par la comparaison d'un très-grand nombre d'observations , on aura'
i;=;4oo»^. Ainsi rs=5, etTjp- est au moins égal à 37,6 1 en fiii--
«Oflt 5onc
dby Google
DES PROBABILITÉS. 5bi
la probabîtilé précédente devient au moins
l'intégrale étant prise depuis tz=i\/Z^ jusqu'à ^=00. Cette inté-
grale est à fort peu près, par le n* 37 du premier Livre,
et elle approche tellement de l'onité ou de là certitude , qu'il est
extrêmement probable que s'il n'existait point de cause constante
de l'excès observé de hi sonune des hauteurs barométriques du
matin , sur celles des hauteurs du soir , cet excès serait plus ptetit
que ^uo"'; il indique, donc avec une extrême vraisenàblance ,
l'existence d'une cause constante qui l'a produit
Le "phénomène d'une Variation diurne étant ainsi bien constaté,
déterminons la valeur la plus probable de son étendue , et l'erreur
<jue l'on peut commettre sur son évaluation. Supposons pour cela,
que cette valeur soit 2 d= .^ ; la probaJîlUié <juû l'étendue de la
variation diurne du matin au soir, sera comprise dans ces Mmîtes ,
est, par le n* 18,
nmégrale étant prise depuis r^o.
On peut éliminer j , en observant que par le n° 30 , cette fi-ao-
Hon est à peu près égale à -~- ; =fc e® étant la différence . de
5 à l'étendue observée le (»+i)''"'joar, et le signe 5 s'étendant à
toutes les valetirs de i , depuis isso jusqu'à i =s s— 1 ; en fiiisant
donc
<tr=sst.'
dby Google
55a THÉORIE ANALYTIQUE
la probabilité qne l'étendue de la rariation diurne da matin, aa
soir, est comprise dans les limites -ifc— ri.i/ — ^— , sera
-^.fdt.e~^\ l'intégrale étant prise depuis / nul.
Y'
La variation diurne des hauteurs du baromètre , dépend unique-
ment du soleil ; mais ces hauteurs sont encore affectées par les
marées aériennes que produit l'attraction du soleil et de ht lune
sur notre atmosphère , et dont j'ai donné la théorie dans le qua-
trième Livre de la Mécanique Céleste. H est donc nécessaire de
considérer à la fois ces deux variations , et de déterminer leurs
grandeurs et leurs époques respectives , en formant des équations
de condition analogues à celles dont les astronomes font usage »
pour corriger les élémens des mouveœens célestes. Ces variations
étant principalement sensibles à l'équateur, et les causes perturba-
trices j étant extrêmement petites ; on pourra, au moyen d'exceH
lens baromètres , les déterminer avec une grande précision; et je
ne doute point que l'on ne reconnaisse alors , dans l'ensemble d'un
très-grand nombre d'observations , les lois qu'indique la théorie de
la pesanteur dansjesjnaiweff atmosphériques, et qui se mani-
festentd^ttmmlânière si frappante dans les observations des marées
de FOcéan , que j'ai discutées avec étendue , dans le Litre cdté de
la Mécanique Céleste,
On voit, par ce qui précède, que Ton peut reconnaître l'effet
très-petit d'une cause constante , par une longue suite d'observa-
tions dont les erreurs peuvent excéder cet efifet lui-même. Mais
alors , il feut avoir soin de varier les circonstances de chaque ob-
«ervation , de manière que le résultat moyen de leur ensemble ,
n'en soit point altéré sensiblement, et soit presqu'entièremenC
feCfet de la cause dont il s'agit : il faut ensuite multiplier les obser-
vations, jusqu'à ce que l'analyse indique une très^rande probabi-
Uté (pie l'errexu- de ce résultat sera comprise dans des limites très-
rapprochées.
Supposons , par exemple, que l'on veuille reconnaître par Pobser-
vation , la petite déviation à l'est, produite par la rotation de la terre,
dans la chute des corps. J'ai feit voir dans le dixième Livre de la
Mécanique Céleste, que si du soounet d'une tour fprt élevée, on
abanâomie
dby Google
DES PROBABILITÉS. : 555.
ahaDdoimc un corps à sa pesanteur; il retombera aur un plan <
horizontal passant par le pied de la tour, à une petite distancé à
Test du point de contact de ce plan arec une boule suspendue par
uu-til dont le point de suspension est celui du départ du corps. J'ai
donné dans le livre cité , l'expression de celte déviation , et il en
résulte qu'en Élisant abstraction de la résistance de l'air , elle est
uiùquement vers Testj qu'elle est proportionnelle au cosinus de la
latitude , et à la racine carrée du cube de la hauteur, et qu'à la latitude
du point de départ , eOe s'élève à 5,i millimétrés , lorsque la hau- - -
teor de la tour est de 5o mètres. la résistance de l'air change
ce dernier résultat : )*en ai donné pareillement l'expression dans
ce cas, au Livre cité.
On a déjà iàit un grand nombre d'expériences pour con6rmer ,
pap-oe-moyen,Ie mouvement de rotation delà terre, quid'aiUeurft
est démontré par tant d'autres phénomènes , que cette confirmation
devient inutile. Les petites erreurs de ces expériences très-délicates,
ont souvent excédé l'effet que l'on voulait déterminer; et ce n'est
qu'en multipliant coBsidérablement les expériences , que l'on peut
ainsi constater son existence et flxn- oa valeur. Nous allons sou-
mettre cet objet à l'analyse des probabilités.
Si l'on prend pour origine des coordonnées, le point de contact
du plan et de la boule suspendue par un fil dont le sommet de
suspension est celui du départ d'une balle que l'on fiiit tomber ;
si l'on marque ensuite sur .ce plan, les divers points où ta balle va
toucher le plan dans chaque expérience ; en déterminant le centre
commun de gravité de ces points , la li^e msnée de l'origine des
coordonnées àce centre, déterminera le sens et la qua^utité moyenne
dont laballe s'est écartée de cette origine; et l'un et l'autre seront
déterminés avec d'autant .plus d'exacUtude, que les expériences
seront plus nombreuses et plus précises.
Considérons miuntenast, comme axe des abscisses, la lign«
menée de Foraine des. coordonnées , à Pest ; et désignons par
ar, a^'\a^'>..'.3c^~'^yyi^^%y^'^, . .^y^^'Ues coordonnées respectives
des points déterminés par les e^^riences dont le nombre est a.
.En «zprimant par X et Kles-coocdowéesdu centre de gravité do
45
dby Google
554 TïiÉOfilE ANALYTIQUE
tous ces points; on aura
, x=5.^, r=sJÇ.
le signe S s'éteudant à toutes les valeurs de i, depuis isso jusqtt'à
1=4 — 1. Cela posé , en désignant par ±a les limites des erreurs
de chaque expérience, dans le ^ens des x ; la probabilité que l'écart
moyen de la balle , du point origine des coordonnées , est compris
àaina les limites X^ ~[,8era^ par le n' 18]
" r./rfr.c ^,
/;
'4k'
i et ^' étant des constantes qui dépendent de U loi de fàolîté de*
erreurs de chaque expérience dans le sens des x.
Pareillemeat , ^ ti étant les limites des erreurs de chaque ex-
périence dans le sens des/-; la probabilité que la valeur moyenne
de la déviation dans le sms dee ^ , est comf»we daas le» limites
r:b^.,8era - ""
' ^^
î et î" étant des constantes dépendantes de la foi des eTTenr» dès expé^
* JE
rieaces dans le sens des y. Les lractions27ï et-^ étant, par ce qu
précède , plus grandes que \ ; on pourra juger du degré d'approxlma-
Uon et de probabilité des valeurs de JT et de K, et déterminer la
probabilité de l'écart au sud et au uord,indiqué parles observations.
L'analyse précédente peut encore être appliquée à la recherché
des petites inégaHtée des te(Kive&iens célestes ^ dont retendue est
comprise dans les limites , sôit des «reurs des observations , soit
des perturbations jH'oduites par les causes accîdenteUee. Cest à
peu près ainsi que Ti<Jio-&ahé reconnut que l'équation du tems,
relatÏTe ftU soleU et aux planètes , n'étût point appticabie à la lune ,
DigiUzedbyLjOOQlC
DES PROBABILITÉS. 355
«t qu'il fallût en retrancher la partie dépendante {!« Tanoinalie du
«oleii , et méine une quantité beaucoup plus grande ; ce qui conduisit
Flamsteed à la découTerte de rinégalité lunaire que Ton nomme
équation annuelle. C'est encore dans les résultats d'un grand notodiro
d'dMenraticHis, que Majer reconnut que l'équation de la préces-
«ion , reiatlTe aux [rianètes et aux étoiles , n'était point applicable
à la luiiej il évalua à la" décimales environ, la quantité doot il
Ëtllait alors la diminuer, quantité que Mason élera ensuite à prés
de s4", par la comparaison de toutes les observations de Bradlejr,
et que M. Burg a réduite à ai", au mojen d'un bien plus grand
nombre d'observations de Ma^elîne. Cette inégalité , quoiqu'indi-
quée par les observations, était négligée par le plus grand nombre
des astronomes ; parce qu'elle ne paraissait pas résulter de la
théorie de la pesaôtear universelle. Mais ayant smimis son exis-
tence au calcul des probabilités , elle me parut indiquée avec unii
probabilité si forte , f{ue je crus devoir en recha-cher la cause. J«
Vis bientôt qu'elle ne pouvait résultu* qne de l'ellipticité du sphéroïde
terrestre , que l'on avait négligée jusqu'alors dans la théorie du
mouvement huiaipe , comme ne devant y prodiâre que des termes
insensibles ; et j'en conclus quV était «xtWImement vraisemblablft
^e ces termes devenaient sùinbles par les intégrations Buoeeastves
des équations diflferentielles. Ayant déterminé ces termes par une
analyse particulière , que j'ai exposée dans le septième Livre ds
la Mécanique Céleste; je découvris d'abord l'inégalité du mouve-
ment de la lune en latitude, et qui est proportionnelle au sinus ds
sa longitude : par son moyen, je reconnus que la théorie de la pesan*
tenr donne effectivement la diminution observée par les astronomes
cités , dans l'inégalité de la précession , applicaûe au mouvement
lunaire en longitude. La quantité de cette din^nutlon, et le coe£S-
cient de Finalité en latitude dont je viens de parler , sont dono
très-propres à déterminer l'aplatissement de la terre. Ayant &it
part de mes recherches à H. Bur^ qui s'occupait alore de ses Tables
de la Lune ; je le priai de déterminer avec on soin pMtiouher , les
coefficienB de ces deux inégaUtés. Par un coQcour» remarqaàUe t
les coeffîciens qu'il a déterminés, s'accordent k donner à la terre,
l'aplatiasement ^, aplatissement qui ^iffêre peu du môùu coudu
y Google
" 556 THÉORIE ANALYTIQUE
des mesures des degrés du iaéridien et du pendule^, mais qui-ttt
l'influence des erreurs des observations et des causes perturba-
trices , sur ces mesures, me paraît plus exactement déterminé par ifea
inégalités lunaires. M. Bm-ckhardt qui vient de former de noaveties
Tables de la Lune, très-précises, sur l'ensemble des observations
de Bradley et de Maskeline , a trouvé le même coefficîeHt que
M. Burg, pour Pinégalité lunaire en latitude : iltrouve nu trente-qua-
trième à ajouter au coefficient de l'inégalité en longitude, ce qui
■ ;réduit l'aplatissement à J~ y par cette inégalité. La diffiârence très-
légpre de ces résultats , prouve qu'en fixant à ^, cet aplatisse-
ment, l'erreur est insensible.
' L*analyse des probabiTités m'a conduit pareillement à la cause
- des^ grandes irrégularités de Ju{Mter et de Saturne. La difficulté d'«n
reconnaître la Icâ, et de les ramener à la tliéerie de l'attraction
' uiûveraelle , avait ^t ctmjecturer qu'elles étaient dues aux actions
■ passagères des comètes ; mais un théorème auquel j'étais parveaiu
■sur l'attraction mutuelle des planètes , me fit rejeter cette hypo-
' thèse, en m'indtquantraUra£^Me»imitaêUe des deux planètes, comafte
■la vMttc-cattSe'de ces; irrégularités- Suivant. ce théorème, si le
..•mouvement, de Jupiter s-'accélère en vertu de quelque grande iné-
'galité à très-longue période ; celui de Saturne doit se ralentir de la
-ïnéme manière , et ce ralentissement est à l'accélération de Jupiter,
-comme le produit de la masse de cette dernière, planète, par la
-racine carrée du ^and axe. de son orbite, est au [HTtduit-semi-
. blaUe relatif à Saturne. Ainsi en prenant pour unité , le ralentisse-
• ment de Saturne , l'accttlération correspondante de Jupiter doit
-être o^4o884j.or Halley avait" trouvé, par la comparaison des
• observations.modemes auxanciennes, que l'accélération de Jupiter
• corre^ondaitauralenttssement de Saturne, et qu'elle était o^4823
< de. ce ralentissement-Ces résultats^ dbiend'accord avec la théorie,
I me portèrent à penser .qu'il existe dans les mouvemens de ces pla-
. nètes, deuxjgrandes inégalités : correspondantes et de signe con-
, traire, qui produisaient ■ ces phénomènes. J'avais reconnu que
. l'action mutuelle des, planètes ne pouvait point occasionner dans
leurs moyens mOuremeiis , des variations toujoars croissantes , ou
dby Google
DES PKOBABILlTEâ. 35f
périodiques, maiâ d'une période indépendante de leur configuration
mutuelle ; c'étîdt donc dans le rapport des moyens mouTcméns de
Jupiter «t de Saturne , que je devais chercher celle dont il s'agit ;
or en examinant ce rapport, il est- facile de réconnaître que deux
Ibis le moyen mouTément de Jupiter ne surpasse que d'une quan-
tité très-petite, cinq fois celui de Saturne j ainsi les inégalités qui.
dépendent de cette différence, et dont la période est d'enviroa
neuf siècles, peuvent devenir fort grandes par les intégrations
successives qui leur donnent pour diviseor , le carré du coefficient
très-petit dti tems , dans l'argument de ces inégalités. En fixant ver»
l'époque de Tycho-Brahé, l'origine de cet argument; je voyais que
HaÛey avait dû trouver par la comparaison des observations
' modernes aux anciennes,- les altérations qu'il avait observées^
tandis que la coin|>araîson des observations modernes entre eUes,
" devait présenter des altérations contraires et pareilles à celles que
Lambert avait remarquées. L'existence des inégalités dont je viens
de parler, me parut donc extrêmement vraisemblable, et je n'hési-
tai pomt à entreprendre le calcul long et pénible , nécessaire pour
m'en assm^r cwaplettement. Le résujtat de et calcul, non-seule-
ment les confirma j mais ti iBo fit connaître beaucoup d'autres
inégalités dont l'ensemble a .porté les Tables do Jupiter et de
Saturne, au degré de précision des observations mêmes.
' On voit par là combien II ùmt être attentif aux indications de
la nature , lorsqu'elles sont le'résultat d'un ^and nombre d'obser-
vations, quoique d'ailleurs tilles soientinexpUcablés par les moyens
connus. J'engage ainsi les astronomes à suivre avec une atten-
tion particulière, nn^alité lunaire à longue période, qui dépfflid
principalement du mouvement du périgée de la lune , ajouté au
doubie du moyen monvement de ses nœuds ; inégalité dont j^ai
parié dans le septième Livre de la Mécanique Céleste, et que
déjà les observatiobs indiquent avec beaucoup de vraisemblance.
-Les cas précédëns ne sont psEs les seuls dans lesquels les obseàrva-
'tions' ont re^esisé les analj'stes. Le mouvement du périgée tù-'
naire et l'accélération du mouvem&at de la lune, qui n'étaient
■poiM dotinés d'abOlrd par les approximations, out fait sentir
"la uécesdité de reçtiger ces approximations. Aùuiiroa-pctït
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5S8 THÉORIE ANALYTIQUE
dire que la Dattire elle-niéine a concouru à la perfection anal^tiqito
des théories fondées sur le principe de la pesanteur unirerseUe ; et
c'est à mon sens , une des plus fortes preuves de la rérité de ce,
princ^ admirable.
On peut encore , par l'analyse des probîibflités , vérifier Texistence
ou rinâuence de certaines causes dont on a cru remarquer TaclkHi
sur les êtres organisés. De tous les instrumens que nous pouvons
employer pour connaître les agens imperceptibles de la nature, les
plus sensibles sont les nerfe , surtout lorsque leur sensibiUté est
exaltée par des circonstances particulières. C'est à leur moyen ^
que Fca a découvert la faible électricité que développe le contact
de deux méta,ux hétérogènes; ce qui a ouvert un champ vaste
aux recherches des physîdens et des chimistes. Les phénomènes
singuliers qui résultent de l'extrême sensibilité des ncrfe dans quel*
ques individus, ont donné naissance à diverses opinion^ sur Texis-
teocB d'un nouvd agent que l'on a nommé magnétiame animal^ sur
Faction du magnétisme ordinaire et l'influence da soleil et de la
lune, dans quelques affections nerveuses ; enfin, sur les impressions
que pent^e naUre la proxHnité des métaux ou d'une eau cou-
rante. Il est aaturel de pensai tjoe Taction de ces causes est
très-feible, «t-peniËicilement être ti'oablée par un grand nombre
de circonstances accidontdles , ainsi de ce que , dans quelque
Gtts , die ne s'est p<rint manifestée, on ne doit pas conclure
qu'elle n'existe lamais. Nous sommes si éloignés de connaître tous .
les agens de k native , qu'il serait peu philosophique de nier l'exis-
tence des ph^omènes, uniquement parce qu'ils sont inexplicables
dans Fétat actuel de dos connaissances. Seulement nous devons
les s^aniner avec nne attention d'autant plus scrupuleuse , qu'il
parait {to difficile de les admettre; et c'est ici que Fanal3rse des
probabilités devient indispensaUe pour déterminer jusqu'à quel
point il Ëtut multiplier les observations ou les expériences , pour
avoir en &veur àet Texistence des agens «|u'eUes semblent indi-
quer, une probabilité supérieure à toutes les raisons que l'on peut,
avoir d'alUeurs de la rejeter.
Lft même analyse peut être étendue anx divers résultats de b
Rtédecifîe et de l'économie politique, et même à l'influence des
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DES PROBABILITÉS. SSg
Causes morales; car Taction de ces causes, loraqu'elle est répétée
un grand nombre de fois , offre dans ses résultats autant de régu-
larité j que les causes physiques.
On peut encore déterminer par l'analyse des probabilités, compa-
rée à un grand nombre d'expériences, l'avantage et le désavantage
des joueurs , dans les cas dont la complication rend impossible leur
recherciie directe. Tel est l'avantage de la main , au jeu du piquet :
telles sont encore les possibilités respectives d'amener les différentes
iàces d'un prisme droit rectangulaire , dont la longueur , la largeur
«t la hauteur scmt inégales ; lorsque le prisme projeté en l'air , re-
tombé sur un plan horizontal.
Enân , on pourrait faire usage du calcul des probabilités , pour
rectifier les courbes ou carrer leurs surfaces. Sans doute , les géo-
mètrea n'emploieront pas ce moyen ; mais comme il me donne lieu
de parler d'ua genre particulûu- An combiaaiaona dtt basard , je vais
l'exposer en peu de mots.
Imaginons un plan divisé par des lignes parallèles , équidistantes
de la quantité a ; concevons de plus un cylindre très-étroit dont
ar soit la longueur, supposée égale ou mcMudre que a. On demande
la pr<Â>abilité qu'en le projetant, il rencontrera nao den divisitm&du
plan.
Elevons sur un point quelconque d'une de ces divisions ^ une per-
pendiculaire prolongée jusqu'à la division suivante. Supposons que
le centre du cylindre soit sur celte perpéndicuUûre , et à la hauteur^
au-dessus de la première de ce's deux divisions. En fetsanl tourner
le cylindre autour de son centre, et nommant <p l'angle que le cy-
Undre fait avec .la perpendiculaire , au moment où il rencontre cette
division; stf sera la partie de la circonférence décrite par chaque
extrémité du cylindre , dans laquelle il rencontre la cûvision ; U.
somme de toutes ces parties sera donc ^ffdy, ou ^Jf — iÔ'dfj
or on a y = r.cos ? ; cette somme est donc
4^._y — 4r.8in ^ 4- constante.
Pour détfflininer cette constante, nous observerons que l'intégrale
doit s'étendre depuis j' nul jusqu'à y = r, et par conaéquent depuis
45"*
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36o THÉORIE ANAIYTIQTIE
ip s= - jusqu'à f ^ o ^ ce qui doaae
constaDte = 4r}
ainsi la somme dont il s'agit est 4r. Depuis y^a^r jostpi'à
^ = a ; le cylindre peut rencontrer la division suivante , et il e^
visible que la somme de toutes les parties relatives à cette reo-
contre , est encore ^r ; Br est donc ta somme de toutes les parties
relatives à la rencontre de Tune ou de l'autre des divisions par le
cylindre, dans le mouvement de son centre le long de la perpeo-
^culaire. Mais le nombre de tous les arcs qu'il décrit en tournant
en entier sur lui-même , à chaque point de cette perpendiculaire,
est sott; c'est le nombre de toutes les combinaisons posùbles;
la probabilité de la rencontre d'une des divisioHs du plan par lo
cylindre , est donc ^. Si l'on projette un grand nombre de fois ci
cylindre , le rapport du nombre de fols où le cylindre rencontrera
Tune des divisions du plan , au nombre total des projections, sera
par le n' 16, à très-peu près, la valeur de— , ce qui fera connaît»
la valeur de la circonférence a^r. Os aura , par le même numéro,
la probabilité, qu« l'cmittr de cette valeur sera comprise dans des
limites données ; et il est fiicile de voir que le rapport — qui, pour
im nombre donné de projections , rend l'erreur à craindre la plus
petite , est l'unité ; ce qui donne la longueur du cylindre égale à
l'intervalle des divisions, multiplié par le rapport de la circonfëreoc»
à quatre diamètres.
Concevons maintenant le plan précédent divisé encore par des
lignes perpendiculaires aux précédentes , et équidistantes d'une
quantité b égale ou plus grande que la longueur ar du cylindre.
Toutes ces lignes formeront avec les premières , une suite de
rectîuigles dont h sera la longueur et a la hauteur. O>nsidéroas
un de ces rectangles ; supposons que dans son intérieur, on mène
à la distance r de chaque côté , des lignes qui lui soient parallèles.
Elles formeront d'abord un rectangle intérieur, dont b — arsera
la longueur, et a — ar la hauteur; ensuite deux petits rectangles»
dont r sera la hauteur, et 6— ar la longueur j puis doux autres
petite
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DES PROBABILITÉS. 56i
{>elîfs rectangles dont r sera la longueur, et a—3 r la hauteur ; enfin ,
quatre petits carrés dont les côtés seront égaux à r.
Tant que Je centee du cylindre sera placé dans le rectan^e
intérieur , le cylindre en tournant sur son centre , ne rencontrera
jamais les côtés du grand rectangle.
Lorsque le centre du cylindre sera placé dans l'intérieur d'un de»
rectangles dont r est la hauteur et fi — ar la longueur ; il est &cile ,
de Toir par ce qui précède , que le produit de 8r, par la longueur
b—ar, sera le nombre des combinaisons correspondantes, daxuf .
lesquelles le cylindre rencontrera l'un ou l'autre des côtés 6 da
grûtd rectangle. Ainsi 8r.(fi— ar) sera le nombre total des combi-
naisons correspondantes aux cas dans lesquels le centre ducylindre
étant placé dans l'un ou l'autre de ces petits rectangles, le cy-
lindre rencontre le contour du grand rectangle. Par la même raison,
8r,(a — ar) «M'a 1« oembrc total. des combinaisons dans lesquelles
le centre du cylindre étant placé dans l'intérieur des petits rec-
tangles dont r et a -^ ar sont les dimensions , le cylindre rencontre
le contour du grand rectangle.
Il nous reste à considérer les quati"e petits carrés. Soit ÂBCD
l'un d'eus. De l'angle A commun à ce carré ei au grand rec-
tangle , comme centre , et du rayon r, décrivons un quart de
circonférence , se terminant aux points B et D. Tant que le
centre du cylindre sera compris dans le quart de cercle formé
|»ar cet arc , le cylindre en tournant , rencontrera dans toutes ses
positions , le contoxu' du grand rectangle ; le nombre des combi-
naisons dans lesquelles cela aura Ueu , est donc égal au produit
"de a-TT par la sur&ce du quart de cercle, et par conséquent il est
égal à —^—. Si le centre du cylindre est dans la partie du carré
qui est au-delà du quart de cercle ; le cylindre en tournant autour
de son centre , pourra i'encontrer l'un ou l'autre des deux côtés
AB eXJD prolongés, sans jamais les rencontrer tous deils à la
fois. Pour déterminer le nombre des combinaisons relatives à
cette rencontre , Je conçois sqr un point quelconque du càtéJB,
distant de x du point A , une perpendiculaire y dont l'extrémité
soit au-delà du quart de cercle. Je pla6e le centre du cylindre sur
cette extrémité de laquelle j'abaisse quatre droites égales à r, et
46
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Saa THÉORIE ANALYTIQUE
dont deux aboutissent sur le cdté JB prolongé* si Cela est néc^
saire, et deux autres sur le côté ^Z>pareiUement prolongé.ieDonime
: a^ l'angle compris entre les deux pr«mière8 lignes, et ^ Tangle
compris entre les deux secondes. Il est TÏaible que le cylindre en
tournant sur son centre, rencontrera le côté JB [H-olongé, tant
qu'une de ses moitiés sera dans l'angle g^ , ^t qu'il rencontre le
côté AD prolongé , tant qu'une de ses moitiés sera dans l'au^ a^';
le nombre total des coiobinaisons dans lesquelles le cyliiK^ ren-
contrera l'on ou l'autre de ces côtés, est donc 4.(9+^'); ainsi ce
nombre, relatireinent à la partie du carré, extérieure au quart de
cercle, est
or on a évidemment ,
«î5=r.C05f', ^sxr.COS^;
nutégrale précédente devient ainsi ,
4r'./( ^ + f ') . rf(p . dp' . sin ^ sin^'î
et il «8t fâcUfi de voir qae Ilntégrale relatire à ip', doit être prise
depuis fi'= o jusqu'à ^':s- — f, et que Finté^aJiB relative à f
doit être prise depuis ip=o jusqu'à ^=;'ice qui donne Ir». (12— ît")
pour cette intégrale. En lui ajoutant , on aura le nombre des
combinaisons relatives au qiiarré ; et en quadruplant ce nombre ,
et le réunissant aux nombres [o-écédens des. combinaisons rela-
tives à la rencontre du contour du grand rectangle , par le cyb'ndrc;
on aura , pour le nombre total des combinaisons,
8.(a+6).r— 8r».
Mais le nombre total des c<Hnbinai5ons possibles , est évidemment
égal à 3:r multiplié par la surfece ab du grand rectai^e; ti
probabilité de la rencontre des divisions du plan par le ceindre,
est donc
db, Google
J>ES PROBABILITÉS.
CHAPITRE VI.
De la probabilité des causes et des évèneirtens futurs ,
tirée des événemem observés^
s6. l^A probabilîtë de la plapart des éréDemens sitnplés, est
inconnue : eu la considérant â priori , elle nous paraît atisceptible
de toutes les valeurs comprises entre zéro et l'unité; mais si Ton
a observé un résultat composé de plusieurs de ces événcmens ,
la manière dont ils y entrent , rend quelques-unes de ces valeurs
plus probablds que I«8 auti'âs. Ainsî à mesure que le résultat ob-*
serve se compose par le développement des évéuemens simples ,
leur vraie possibilité se &it de plus en plus connaître , et il devient
de plus en plus probable qu'elle tombe dans- dès limites qui se re»'
serrant sans cesse , fînlraïetitpn' coïncider, si le nombre des évé-
nemens simples devenait inSni. Pour déterminor les lois suivant
lesquelles cette possibilité se décoBvre, nous U nommerons x. La
théorie eiqK>sée dons les chapitres précédens, donnera la proba-
bilité du résultat observé , en fonction de «. SoU y cette fonction ;
si l'on considère les différentes valeurs de x Gcnnme autant de
causes de ce résultat , la probabilité de x sera, par le troisième
principe du n' i , égale '& une fraction dont le ûmnérateur est ^ ,
et dont te dénominateur est la somme de toutes les valeurs de y ;
en roulti^iant donc le numérateur et le dénominateur de cette
fraction po* àxy cette probabalité s»a
pi*
l'inté^alâ dû détlomînatcur étant prise" depuis x=^'a jasqu*à »=!,
la probabilité que la valeur de x est comprise dans le» limites
X = 6 et x=i^i est par conséquent égale à
fydx
(1)
dby Google
364 THÉORIE ANAtyTÎOtJÏ
l'intégrale du numérateur étant prise depuis j;=fl jusqu'à Ji^sfi',
et celle du dénominateur étant prise depuis x=o iosqu'àxaei?
La valeur dexla plus probable, est celle qui rendy.un maximum.
Nous la désignerons par a. Si aux limites de x, j' est nid, alors
chaque valeur de _y a tme valeur égale correspondante de l'autre
côté du maximum.
Quand les valeurs de x , considérées indépendamment du résultat
observé , ne sont pas également possibles ; en nommant z la fonc->
tion de * qui. exprime leur prdsabilité; il est facile de.vijir, par
jçe qui a été dit dans le premier chapitre de ce Livre , qu'en chan-
geant dans la formule (i) , y dans yz , on aura la probabilité que
la valeur de * est comprise dans les limites x=:â et *=â'. Cela
revient à supposer toutes les valeurs de x également possible»
à priori t et à considérer le résultat observé, comme étant formé
de deux résultats indcpendans , dont les probabilités sont y et z.
On peut donc ramener ainsi tous les cas à celui où l'on suppose.
à priori , avant l'événement, une égale possibilité aux différ^ites
valeurs de x , et par cette raison , nous adopterons cette hypo-
thèse dans cequLva ©uirre.
Nous avons donné dans les n"* as et suivans du premier Livre ,
les formules nécessaires pour déterminer par des approximations
convergentes , les intégrales du numérateur et du dénominateur de
la formulé (i), lorsque les évenemens simples dont se compose
l'événement observé, sont répétés un très-grand nombre de fois ;
car alors y a pour làcteurs , des fonctions de x élevées à de grandes
puissances. Nous allons, au moyen de ces formules, déterminer la
loi de probabitité des valeurs de « , à mesure qu'elles s'éloignent
de la valeur a , la plus probable , ou qui reaây un maximum. Pour,
cela, reprenons la formule (c) dun" 37 du premier Livre ,
,+I..-^.f--r.Jl^-Kr.+o.^&^tc.}.w
_r...-...{-£H.r._±^+(^.+.,_£-^+e.c.j
db, Google
lïES PROBABILITÉS. S6ê-
%- est égal à ' ^~° ,Vt T^'^'f^ ^'^ . etc. sont ce que de-
Tiennent ♦- , -^, ii ■ , etc., lorsqu'on y change après les dififêr
rentiations , » en a , o étant la Taleur de x qui rendj^.un maximum :
T est égal à ce que devient la fonction \/log F— ^ logy , lorsqu'oa
change x en a — 6 dans^, et 7^ est ce que devieht la même
fonction, lorsqu'on y change <x dçns 0 + â'. L'e^ression précé-
dente de^dx donne la valeur de.-cette intégrale, dans les limites
jc=a— fl et «=«+0'; l'intégrale /di.c-«' étant prise depuis
i=—~T jusqu'à (= î*.
Le plus souvent, aux limites de Tintégrale Jydx, étendue depuiâ
«=o jusqu'à x^szi^y est nul; ou. lorsque j^ n'est pas nul, il
devient si petit à ces hmites , qu'on peut le supposer ntd. Alors ,
OQ peut faire à ces limites T et^î" infinis, ce qui^oune pour l'inté-;
gralej^f^jc, étendue depuis « = o jusqu'à «== 1,
ainsi la probabilité que la valeur clo x est comprise dans les limites
x=:a— fl et x=a+fl'jestégale à
1 ,..ld.V.i„ d:V' ,,-.,' - df.V* , . ip P)
^ {^+;T:r^ + -?--....s.4.i^+"'°}-'^- '
On voit par le d* s3 du premier Livre, que dans le cas où^ a pour
facteurs, des fonctions de * élevées à de grandes puissances de
l'ordre - , a. étant une fraction extrêmement petite , alors U est
le plus souvent de l'ordre j/i, ainsi que ses' différences succes-
<f 17* d* I/^
sives; U, -^ , ^ , etc. sont respectivement des ordres v^«^
j ..'
« , a', etc.j d'où il suit que la convergence des séries de la for-
mule (3), exige que y et 2* ne soient pas d'un ordre supérieur
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See THÉORIE ANALYTIQUE
6i l'on suppose 9^6'^ alors on a à fort pen prés 7^ 7*, et la
formule (3) se réduit , en négligeant les termes de l'ordre « y à Vin-
tégrale ^ '".- , prise depuis t^ — 7" jusqu'à <=:T'i ce qui revient
en négligeant le carré de la diflerence 7**— 7*, à doubler Tinté-
grale précédente , et à la prendre depuis ( nid jusqu'à
or on a
7"=log r— log^,
et l'on peut supposer
Iog^ = ;.log^,
fp étant nne fonction de a? ou de a -^ d , qui ne renferme plus de
facteurs élerés à de grandes puissances } en nommant donc
^>^'^* etc., ce que deviennent, lorsque 8 est nul, 9)^*
2^> etc. ; en observant ensuite que la conditioD de 7* ou 4 , un
maximum , donne ^ :^ o , on aura
En changeant 6 dans — 9 , on aura la valeur de aT* ; on aura donc ,
en négligeant les termes de l'ordre «%
partant ,
Faisons
3 'at.dxi''
a »/: V
l=^/_^=^/Z:
V 3*.ic» V !
la probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites
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Digilized b
MS PROBABILITÉS. 567
a./df.c-"
riutégrale étant prise depuis ttsso, et pourant être oMenue
d'une manière fort approchée, par les Ë)nnule3 da n* 37 du pre-
mier livre.
Il résulte de cette expression, que !a râleur de dr la plus pro-
bable est a , ou celle qui rend l'événement observé , le plus pro-
bable; et qu'en multipliant à l'infini les événemens simples dont
l'événement observé se compose, ou peut à la fois resserrer les
limites adb-^X^t ^t augmenter]» probabUité que la valeur de x
tombera entre ces limites; ensorte qu'à rinfînl , cetinterralle devient
nul, et la probabilité se coufijud-avec ta certitude.
Si l'événement observé dépend d'événemens simples de deux
différens genres, en nommant j: et x' les possibilités de ces deux
genres d'événemens, on verra par les raisoimemens précédens,
que^ étant alors la probabilité de révéuemcnt composé , la fractioo
sera la probabilité des valeurs simultanées de * et de «', les inté-
grales du dénominateur étant prises depuù x= o jusqu'à jr=i ,
et depuis 3^=0 jusqu'à ^= 1. En nommant a et a' les valeurs
de X et de jc^ qui rendent^ un maximum y et disant x=s=a+9,
a:' = a'-H6', on trouvera, par l'analyse du n* 37 du premier Livre,
que si l'on suppose
_!_ . / /âÀY\ -, 0:^5?) / 3K"
/ir* V ~V^?-;— ^— ï? — V —Tâmr'b
y , //ddY\ /ddy\ Tddr'y .
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568 THÉORIE ANALTnQUE
la fraction (4) prendra cette forme
l.es intégrales du âénomioateur doivent être prises depuis f =s -~ oo
jusqu'à t==oo, et depuis f*^ — oo jusqu'à t'=3o; car les inté-
grales relatives à x et x' de la fraction (4) étant prises depuis s=o
.et j;'=s= o jusqu'à X et j:^ égaux à Ttinité, et à ces limites , les va-
leurs de 6 et de fl' étant —a et 1 — a; — a' et i—a', les limite»
de f et de t* sont égales à ces dernières limites multipliées par des
quantités de l'ordre — ^ : tiinsi responentielle tr-**— ^* est excessi-
vement petite à ces limites , et l'on peut sans erreur sensible ,
, étendre les intégrale^ du d^ominateur de la fraction précédente ,
jusqu'aux valeurs infinies positives et négatives des variables t et/';
ce dénominateur devient ainsi égal à 7; et la probabilité que les
valeurs de 6' et do 9 sont comprises dans les limites
B-n fl— ^V^ ._i •y^^g?; / »r
les intégrales étant prises depuis f et *' nuls.
On voit par cette formule, que dans le cas de deux genres
différera d'événemens sitQpIes , la probabilité que leurs possibilités
respectives gont celles qui rendent l'événement composé , le plus
probable, devient de plus en plus grande , et finit par se confondre
avec la certitude; ce qui a lieu généralement pour un nombre quel-
conque de genres diflërens d'événemens simples, (jui entrent dans
l^rénement observé,
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DES PaOBABILÏTÉS. ' 5^
Si l'on conçoit une urne renfermant une infinité de boules de
plusieurs coiûeurs différentes , et qu'après en avoir tiré un grand
. -nombre n , p sur ce nombre , aient été de la première couleur ,
y de la seconde , r de la troisième , etc. ; en désignant par x , x\
af'y etc. les probabilités respectives d'amener dans un seul tirage,
une de ces couleurs , la probabilité de l'événenaent observé sera le
terme quiapour&cteurx^.x''.x"'. etc., dans le développement da
polynôme
(x + a:' + x"+etc.)",
où Ton a
x+x'+a/'+etc. = 1 ,
P+ g + r-\- etc. = B ;
on pourra donc supposer ici ^=it'.j;'*.j:"'.etc. ; et alors on a
pour les valeurs de x, «', x", etc. qui rendent révénement observé
le plus probable, -
..=e.
x's=2, :e'=^L^
Ainsi les valews les plus probables sont proportionnelles aux
nombres des arrivées des couleurs ; et lorsque le nombre n eât
un grand nombre, les probabilités respectives des couleurs, sont
à très-peu près égales aux nombres de fois qu'elles sont arrivées ,
divisés par le nombre des tirages.
37. Pour donner une application de la fî>rinule précédente ,
considérons le cas où deux joueurs jéetJB jouent ensemble avec
cette condition , que celui qui sur trois coups en aura gagné deux,
gagne la partie ; et supposons que sur un très-^;rand nombre n de
parties , ^ en ait gagné un nombre i. En nommant x la probïdiilité
de A pour gagner un coup , et par conséquent 1 — w , la probabi-
lité correspondante de if j la probabilité de ^ pour gagner une
partie, sera la sonome des deux premiers termes du binôme
(ar-l- 1 — xy-y et la probabilité correspondante de B, sera la
eonunc des deux derniers termes. Ces probabilités sont donc
«'.(5 — 3«) et (1 — x)'.(i-j~ax); ainsi la probabilité que sur n
parties, yi .en gagnera t, et B, n — i, sera proportionnelle à
x^-^S^ 3xy.( 1 — ^x)""^.(i H- 2x)'~'; en nommant donc^ cette
47
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^fo THÉORIE AI^ALYTIQUE
rfonctlon, et A la valeur de x qui la rend un maximum ^ ta pro-
baUlité que la valeur de x est comprise dans les Umites a-^S et
a 4- Ô, sera
• fydx'
l'intégrale du niimératear étant prise depuis « = a — fi jusqu'à
«=«+9, et celle du dénominateur étant prise depuis «s=o jus-
qu'à »== 1. Si Ton fait
on aura par le numéro précédent ,
^ = x*".(5 — fla;)*'.(i — x)— *'.(!+ ax)'-'.
La condition du maximum de ^ ou de ^ , donne dp = o j par
conséquent a étant la valeur de :f corrospondouto à co maximum,
on aura -
o =5 ^' — „"'' _ "■(■— JQ 3(1 — JQ _
""* a ~~ 3 — aa 1 — a i 4-aa '
d'où l'on tire
i'=a'.(5— ao), 1— i'=(i— a)'.(i-i-3a)j
ensuite on a
â*,itE-~ (3'-fi«).Ci+aa)~~
La probabilité que la valeur de x est comprise dans les limites
a ± --^ , sera donc , par le numéro précédent y égale à
6 Va r^^^^CS— 3û).(i+3a)^
|/9r.(3— .aa).(i + aa) *
, On verra lacilement que ce résultat s'accorde avec celui que
nous avons trouvé dans le n* i6, par une analyse moins directe
que celle-ci.
La partie finit en deux coups , si ^ ou 5 gagne les deux pre-
miers coupa j le troisième coup n'étant pas joué, parce qu'il devient
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DES PROBABILITÉS. S71
inutile. Ainsi les nombres des parties gagnées par l'un et Tautre
des joueurs , n'indiquent pas lé nonibre des toups joués ; -mais ils
mdiquent que ce dmiiet nombre est contenu dans des limites
données, avec une probabilité qui croît sans cesse , à mesure. que
les parties se multiplient. La recherche de ce nombre et de cette
probabilité étant très-propre à édaircir l'analyse précédente j nous
' allons nous en occuper. ;
La probabilité que A gagnera une partie en deqs coups, est x%
X exprimant, comme ci-dessus , sa probabilité de gagner à chaque
coup. La probabilité qu'il gagnera la partie en trois coups, est
ax'.{i — x), La somme a:'.(5— ax) de ces deux probabilités , est
la probabilité que À gagnera la partie. Ainsi pour avoir la proba-
Inlité que sur z parties gagnées par le joueur A^ » seront de deux
coups , il £tut élever à la puissance t , le binraue
x'.(3— ar) *^ »•. (3— 8J!) '
3 — or ~ *
et le terme c •— « + 1 du déreloppeotent de ceUe pinssiuice, sm%
cette probabilité qui est ainsi égale à
i.a.5....i'. &*"'■(! — 3;)*~
,.(i_,).(3 — ax/
Le plus grtmd terme de ce développement est , par le n* 16 ,
celui dans lequel les exposans « et i^ s tnx premier et du second
terme du binôme sont « très- peu prés dao» le rapport de ces
termes , ce qoi donne
Noua nommerons «' cette quantité , et nous ferons
* = *'+/;
on aura , par le n* 16,
. / i ~ ,, as'.ii — O
■ ,Digi1ized
b, Google
«7* THÉORIE ANALTHOrE
ponr la probabOité de * ^ coirespondaDte à Padresse jc Aa Jooeiif ^.
On trbuvera pareillement , qne si Ton nomme z le nombre des
parties de denx coups , gagnées par le joueur B , sur le nomlHv
n—i de parties qu'il a gagnées; la valeur de x la plus probrite
sera —^'i et qu'en désignaiU par z' cette quantité, et disant
la probabilité dé z correspondante à x sera
/:
a»'.(n-i-*').
.dT.
Le produit de ces deux probabilités est donc la probabilité corres-
pondante à X , que le nombre des parties de deux coups , gagnées
par le joueur ^', sera s'-\-l, taudio <{ue le B<»cdl>rc des parties do
deux coups, gagnées par le joueur B y sera z'~\-l'. Soit
(>u aura poiar ceue probabilité composée >
11 faut multiplier cette probabilité par celle de x, qui, comme on
l'a TU doDS le noméro précédent , est ^^ i le produit est
l'intégrale du dénominateur doit être prise depuis x=o jusqu'à
jc ^ 1 j et par le u* 37 du premier Livre , cette ÎDtégrale e9t à très-
peu près ,
Si l'on nomme X la fonction
Digilizedby VjOOQIC
DES PROBABILITES. SyS
et que Von désigne par a' la valeur de x , qui rend Xj^ un maximum^
et par X' et Y', ce que deviennent X et ^ , lorsqu'on y change
X en fl'j on aura, par le numéro précédent, en disant a:=:a'H-fl,
Il est facile de voir que a' ne diffère de la valeur a de x, qui
rendj' un maximum, que d'une quantité de l'ordre «, que nous
désignerons par fa ; en- substituant dans F, a -{-fi. au lieu de a',
pour en former y, et développant par rapport aux puissances de
a, on verraque 3- étant nul, parce que Keat \à maximum àfi y ,
Y' ne diffère de Y, que de quantités de l'ordre a, ; ainsi l'on a ,
. aux quantités prés d'un ordre inférieur à celui que l'on c«nserre,
et en observant que ^7^ '^^ xQ;? peuvent être négligées par rap-:
porta p^i
j*.xr __ d'Y
la fonction (a) devient par là
On doit dans cette fonction , supposer x^a, ce qui donne , en
substituant pour * , sa valeur no*. (3 — aa) ,
Ensuite , x étant égal à a' 4- 0, il est égal à a -f-/* + fl ; en né-
gligeant donc les quantités de l'ordre a, on aura
Maintenant le nombre des parties de deux coups , étant
dby Google
574, THEORIE ANAtïTIQUE
ce nombre sera
' U3-»-)' 0+»)-J ^ ^ '
et désignons par 9" la quantité
ddr
qui , apr^ toabes les réducttona, se réduit à
9.(3— ao).CH:ao) ^
k fonction (e*) deviendra
En l'intégrant depuis /= — oo jusqu'à /=oo, et depuis /'^— oo,
jusqu'à ^=00, on aura la probabilité que le nombre des parties
de deux coups , sera égal à
Cette dernière intégrale, prise depuis Z=— oo jusqu'à l=<x>, est,
par ce qui précède.
db, Google
DES PROBABILITÉS. 576
Ed la multipliant par dl\ et la mettant sous cette forme,
et l'intégrant depuis r=— 00 jusqu'à /= w; on aura
- -?<?"■'' .
' . (j 99'-hï?'-l-9 ?'_
. V'îV'-Hv'+'ïV'
La fonction (*") intégrée par rapport à i et 2*, dans les limites infi-
nies positives et négatives de ces variables , devient fiinsi
Ainsi la probabilité que le nombre de parties de deux coups, sera
compris dans les limites
5— 1- —7"'- db (= n.(a*-U l—a* ) ±t
est égale au double de l'intégrale de la diBfêrentielle précédente
prise depuis / nul. On doit observer que ç , g', g" sont de l'ordre - ,
ensorte que la quantité ^Jlji.jp est du même ordre. Représen-
tons-la par — , et Élisons t=s-r. y'n; on aura
-ç^.fkdr.c , (.")
pour rexpression de la probabilité que le nombre de parties de
deux coups , sera compris dans les limites
«.{«'+ 1— 'a )±r.y'n,
l'intégrale étant prise depuis rnnl. L'intervalle de ces deux limites
est arKi, et le rapport de cet interyallc au nombre n de parUcs,
db, Google
576 THÉORIE ANALYTIQUE
est -^; ce rapport diminue sans cesse, à mesure que n aug-
mente , et r peut en même tems croître indéfiniment ; de sorte
que rintégrale précédente approche indéfiniment de l'unité.
Le nombre total des coups , est le triple du nombre des parties
de trois coups , plus le double du nombre des parties de deux
coups, ou le triple du nombre total n des parties , moins le nombre -
des parties de deux coups \ il est donc
2n.(i + a —q* ) =p r. »/n ,
l'intégrale (e"') est donc l'expression de la probabilité que le nombre
des coups sera compris dans ces limites,
Si au lieu de connaître le nombre i des parties gagnées par le .
joueur ^, et le nombre total n de parties , on connaît le nombre
i et le nombre total des coups; la même analyse pourra servir à
déterminer le nombre inconnu n des parties. Pour, cela, désignons
par Ajle nombre total des coups^ on aura, par ce qui précède >
les deux équations
a 3 — ao~~i — a 1+ aa'
Ces équations donnent a et n en fonctions de A±r. kn. Supposon»
on aura , en réduisant en' série ,
n^ï.'4(^)=*=»''V«' — 2jp^ + etc.j
on substituera dans t', au lieia de n et de a , (.4 (j) et r (J\ ;
l'intégrale (*'") est alors la probabilité que le nombre n des parties ,
est compris dans le? limites
s8.
3i1izedby VjOOQIC
MS PROBABILITES. " 377
28. Cesï prîncîpaîemeot aux naissances, que l'analyse précc-.
dente est applicable , et l'on peut en déduire non-seulement pour
l'espèce humaine , inals pijur toutes les espèces d'êtres organisés ,
des résultats intéressans. Jusqu'ici les observations àk ce genres
n'ont été faites en grand noinbre, que sut. l'espèce humaine : nous
allons soumettre au calcul , les principales. ■ -
Considérons d'abord les naissances observées à Paris, à Londres,
et dans le royaume de Naples. Dans l'espace des 4o années écoulées
depuis le commencement de la^ , époque où l'on a commencé à
distinguer à Paris, sur tes registres^ les naissances des deux sexes,
jusqu'à la fin de 1784, on'a baptisé dans cette capitale, 'SgSSSâ
garçons, et 577655 filles, les enlâns trouvés étaiit comprïs dans
ce nombre : cela donne à peu prés -7 pour le rapport des baptêmes
^s garçons à ceux des fiUêa,
L Dans l'espace des 95 aunées écoulées cle^aig lé coiiimencfement
de i664 jusqu'à lafinde 1758, il est né à Londres, 757639 garçons,
et 698968 filles ; ce qui donne ^ à peu près , pour le riçport des
naissances des garçons à celles des filles.
Enfin, dans l'espace des neuf années écoulées depuis le commen-
cement de 1774 jusqu'à la fin de 1783 ,il est né dans le royaume
de Naples, la Sicile non-comprise, 78a353 garçons, et 746831 filles ;
ce qui donne — pour le rapport des naissances des garçon^ à celles
des filles.
Les plus petits de ces nombres de naissances, sont relatifs à
Paris ; d'ailleurs , c'est dans cette ville que les n^sances des garçons
et des filles, approchent le plus de l'égalité. Par ces deux raisons ,
la probabilité que la possibilité de la nai$3ance d'au garçon suçasse
-, 4oit y être moindre qu'à Londres et dans le royaume de Nazies.-
Déterminons numériquement cette probabilité.
Nommons p le nombre des naissances masculines observées à
Paris , g celui des naissances fêmimnes , et x la possibilité d'une
naissance masculine , c'est-à-dire la probabilité qu'un enfaut qui
doit naître , aefa un garçon ; 1 — x sera la poasii^ité d'un^ nais.-,
eauce fémiiùue, etTon aurak probabîËté que surp+V naissances,''
dby Google
578 THEORIE ANAirriQUE
p seront masculines , et q seront réminmes y égale à
COI iàiaant donc
la probabilité que la valeur de x est comprise dans des Hmites^
données^ sera par le n* 96, égale à
llntégrale du dénominateur étant [Mise d^^mis aezco ju6qu*RX=siy
et celle du numérateur étant prise dans les limites données. Si
Ton prend zéro et ^ pour ces limites , on aura la probabilité que
la valeur de x ne surpasse pas 7. La valeur qui currespoud au
nuucûnum de^, est -^ ; et vu la grandeur des nombres j9 et 7, l'«xoè8
de —^ sur 7, est trop considérable pour employer ici la for-
mule (c) du n* 27 du premier Livre, dans l'approximation de l'in-
tégrale _/j"^'aJ> prise depuis j:=o jusqu'à :r=:~; il faut donc, dans
ce cas, làire usage de la formule (A) du n* aa du même Livre.
Ici l'on a
ydx g.(i — x)
^ 'fy ~~ P — iP + <l)-^'
la formule citée (A) donne ainsi pour fintégrale^tfx, prise depula
« = o jua^'à a;^7,
Qiumt à l'întép^Iej^'-'^; prise d^HÛSd:sE=o jusqu'à x= i^ona,
parle n' a6,
^<te=r.[F+i.^+ete.].»/;,
7* étant ce que devient^ à son maximum , ou ](orsqu\>B j substituo
^ P_
— ^ pottf X. V est ici égal à' -p+g_ _ ^^ ^^^ ^^^^
' Digilizedby VjOOQIC
DES PROBABIIJT£S. 379
ce que deviennent </, -t^, etc., Iorsqu*on y &it, après lès diffô-
rentiations, jsa ^- . On trouve ainsi pour l'intégrale j^'da:, prise
depuis X nul jusqu'à x = 1 ^
la probabilité qiie la valeur de « ne surpasse pas f, est doue
égale à
. ■ .(,_„.^-..£^+* /+'.,'+* .
Pour appliquer de grands nomlirca « .cette fofmule* il &udrait
aToir les logarithmes dep,^ dp- — g, avec douze décimales au
inoins : on peut y suppléer de cetxe manière. On a
'•«m:7-J=-'-'»«('+^-»-i<'6('-?^'
X^orsque les logariliunes sont h jpeii)oiiqué6 , le second membre de
«ïette équation , réduit en série, devient
on aura donc par celle série très-convergente , le logarithme hjper-
iwfique de ^V^-' En le multipliant par o,454b9448, on le con-
Tertira en logarithme tabulaire; et en lui iqoutant le logarithme
î ■
tdlHilure de ^^-^^-y^x^y <m aura ie Iwarithmé titulaire du
a.ip — q).Vapqw
&cteur qui muItipHe la série (o). Si Ton nomme - ce &cteur, et si
tifa Mi
p =3B 595586, 9 s= 577565; (
y Google
58o THÉORIE ANALYTIQtE
on trouve eu logarithme tabulaire
log jit = 73,a5i 1 780,
la série (o) deyient
i.(i — 0,0050761 -f- etc.).
Cette quantité d'une petitesse èïce.ssire, retranchée de l'unité,
donnera la probabilité qu'à Paris , la possibilité des naissances des
garçons , surpasse celle des fiUes ; d'oïi l'on voit que Ton doit re-
. garder cette probabilité comme étant égale, au moins, à celle à^
laits historiques les plus avérés.
Si l'on applique la formule (o) aux naissances observées dans les
principales villes de l'Europe , on trouve que la supériorité des nais-
sances des garçons sur les naissances de»filles, observée partout de-
puis Naples jusqu'à Pétersbourg , indique une plus grande possibilité
des naissances des garçnns; «vec une' probabilité extr^emcot
approchante de la certitude j ce résultat paraît donc éh* une 1<m
générale , du moins en Em'ope; et si dans quelques petites vifles,
où l'on n'a observé qu'un nombre peu considéridale de naissances,
- la nature semble s'en écarter ; il y a tout heu de croire que cet
écart n'est qu'apparent, et qu'à la longue, les naissauces observées
dans ces villes offriraient, en se multipHant , un résultat semblable
à'célui des grandes villes. Plusieurs philosophes, trompés par ces
anomalies, ont cherché la cause de phénomènes qui ne sont qne
l'effet du ha^rdj ce qui prouve la nécessité de feire précéder de
pareilles recherches » par celle de la probabilité avec laquelle les
observations indiquent los phénomènes dont on veqt déterminer la
cause. Je prends pour exemple, la petite ville de Vïtteaux, dans
laquelle, sur 4i5 naissances observées pendant cinq années , il est
né 3o5 'garçons et sia filles, p étant ici moindre que g, l'ordre na-
lurelparaîtxenversé. Voyons quelle eçt d'après ces observations,
la probabilité que les facilités des naissances des garçons surpassent
dans cette ViUe , celles: deis naissances des fill'és. Cette. ^rc^KïbiKté
est %^,; l'intégrale du numérateur étant prise depuis *=i jusqu'à
x=:i, et celle du dénominateur étant prise depuis x=:o jusqu'à
»=i. La forinul^(<ï)-qui, retranchée de, l'unité, donne cette
dby Google
DES PROBABILITÉS. ' 38i
fraction , devient ici divei^ente j noBa emploierons alors la formule
(3 ) du n' a6 , qui se réduit à fort peu près à son premier terme
^:1_ , Tintégrale étant prise depuis la valeur de f qui correspond
à x=:j jusqu'à la valeur de t qui correspond à x= i. Or on a,
par le numéro cité ,
*'=ïoig T — 1(^^,
j- étant a:*.(i-- la:)*, et T étant la vîdeur de\y correspondante aa
maximum de ^ , qui a lieu lorsque x := — ^ ; la valeur de /• qui
correspond à xsài, est — logl ^ q* 1'^^ logarithme étant hy-;
perbolique, et étant donné , par ce qui précède , par une série très-
convergente, lia valeur de t' ijui correspondà a:=a,e8tr=ooj
on a donc ainsi les deux limites de l'intégrale yd/.c— *", intégrale
qu'il sera &cile d'obtenir par leâ formules que nous avons données
pour cet objet. On trouve ainsi la probabilité qu'à Vitteaux , les feci-
lités des naissances des garçons l'emportent sur celles des filles ,
égale à o,33 ; la supériorité de la facilité des naissances des filles ,
est donc indiquée par ces observations , avec ime probabilité égale
à 0,67 , probabilité beaucoup trop faible pour balancer l'analogie
qui noua porte à penser qu'à Vitteaux , comme dans toutes les
villes où l'on a olrâervé un nombre considérable de naissances ,
la possibilité des naissances des garçons l'emporte sur celle des
naissances des filles.'
ag. On a vu qu'à. Londres , le rapport observé dea naissances
des garçons à celles des filles, est égal à ^, tandis qu'à Paris,
celui des baptêmes des garçons à ceux des filles , n'est que ^. Cela
semble indiquer une cause constante de cette di£fêrence. Détenni-
nons la probabilité de cette cause.
Soient/? et 7 les nombres des baptémea des garçons et des filles,
faits à Paris cUtns l'intervalle du commencement de 1745 à la fia
de i784j ea désignant par x, la possibilité du baptême d'ungarçon,
dby Google
38a ' THÉORIE ANALYTIQUl
et £ûsaBt, comme dana te ouiaéro précédent,
la valeur de x la plus probable, sera celle qui rendj'Ull maximumi
elle est donc -~— ; en supposant ensuite
"—-t — 1-6;
ta' probabilité de la T^eur de 0 sera, par le n* 96, égale &
i/x V w . • .
En désignant par p', / et fl', ce que deviennent p, ç t>< ^ lionr
Londres , on aura
l/<r V apY •"
pour la probabilité de 6'; le produit
(p+oy ,. y+oT
'"'"'■ i/tp+<)'-(p'-H'y - w ■'' v?"
v
""5?7t
de ces deux probabilités, sera donc la probabilité de l'existence
simultanée de fl et de fl'. Faisons
la fonction diffîrentielle précédente devient
iP-Hf
- .. ■ ,-fy -
■»■<", /O'+tfO'-H')' ^ w "pY A^ {i>+qW+<>'>)
En l'intégrant pour toutes les valeurs possibles de fl, et ensuite
pour toutes les valeurs positives de *; on aura la probabilité que
la possibilité des baptêmes des garçons est plus grande à Londres
qji'à Paria. Les valeurs de fl peuvent s'étendre depuis 8 égal à — -^
Digilizedby VjOOQIC
DES PROBABILITES. 583
Josqu'à fl égal à i £— ; mais lorsque p et y sont de trés-granda
nombres, le fecteur c ^^ est si petit à ces deux limites ,
qu'on peut le regarder comme mil ; on peut donc étendre l'inté-
grale relative à À, depuis 6:= — oo jusqu'à d=:po. On voit par la
même rais<m, que l'intégrale relative à t, peut être étendue depuis
l=o jusqu'à t = 06. En suivant le précédé du n* 37 pour ces
intégrations multiples, on trouvera fecilement que si l'on lait
ce qui donne tMssi^j la di^entiene précédente intégrée d'abord
par rapport à f' depuis ^= — 00 jusqu'à t' sa 00 , et ensuite depuis
ts^o jusqu'à t infini , domiera
rudt
Jl/w
Mt — R'.Çt— A)«
pour la probabiVté qu'à Londres, la possibilité des baptâmes des
garçons est plus grande qu'à Paris. Si l'on fait
cette intégrale devient
l'intégrale étant prise déliais f"= — Mjuaqa'à^^ssao; et il est
visible qn'elle est égale à
-m
l*mt^ale étant prise depuis ("=: M jusqu'à f iniîni. De là H suit,
par le a' 37 .du premier livre, que ai Ton suppose ,
•. p''f (.p +'i)'+pit-ip' +i'y
0- +?)•(/>'+ ?')■(/? -m")"
db, Google
584 THÉORIE ANALYTIQUE
la probabilité que la possibilité des baptêmes des garçons est plus
grande à Londres qu'à Paris' , a pour expression ,
Eu Élisant dans cette formule ,
elle devient
p = 593586 , 7 Œ 377655,
y= 73763g , y'= 698968,
n y a donc 5a8a68 à parier contre un, qu'à Londres, la possibîr
lité'des baptêmes des garçons est plus grande qu'à Paris. Cette
probabilité approche tellement de la certitude, qu'il y a lieu d«
rechercher la cause de cette supériorité.
Parmi les causes qui peuvent la produire , il m'a paru que les
baptêmes des enfens trouvés , qui font partie de la liste annuelle
des baptêmes à Paris , devaient avoir une influence sensible sur 1«
rapport des baptêmes des garçons à ceux des filles ; et qu'ils devaient
diminuer ce rapport , si , comme il est naturel de le croire , les
parens des campagnes environnantes , trouvant de l'avantage à
retenir près d'eux les en&ns mâles , en avaient envoyé à l'hospice
des Enfans trouvés de Paris , dans un i^apport moindre que celui
des naissances des deux sexes. C'est ce que le relevé des registres
de cet hospice m'a fait voir avec une très-grande probabihté.
Depuis le commencement de ly-iô jusqu'à la fin de 1809 , on y a
baptisé 165499 garçons et i594o5 filles, nombre dont le rapport
est ^, et diffère trop du rapport -7 des baptêmes des garçons et
des filles à Paris, pour être attribué au simple hasard.
3o. Déterminons,, d'après les principes précédens, les probabi-
lités
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DES PR0BA3ILÎTÉS. 585
lités des résultats fondés sur les tables de cQQrtalité ou d'assurance,
construites sur un grand nombre d'observations. Supposons d'abord
que sur «n nombre p d'individus d'un âge donné A, on ait observé
qu'il en existe encore le nombre y , à l'âge A -{-a; on demande
la probabilité que sur p* individus de l'âge A, il en existera y'+z
à l'âge A-\-a j la raison dep' et q' étant la même que celle de
p à y.
Soit X la probabilité d'un individu de l'âge A , pour vivre à l'âge
^-f-a; la probabilité de l'événement observé est alors. te terme
du binôme {x + i—xy qui a xi pour fecteur ; cette probabilité
est donc
— — ':^ -P .3e>.U—xy-^i
i.a.3..;p— fl.i,a.3...ç
ainsi la probabilité de la râleur de xy prise de l'éTénement ob-
servé est
'fx'dx.li—x'if-^'
l'intégrale du dénominateur étant prise depuis x = b )usqu'à x^=i i.
La probabilité que sur les p' individus de l'âge A , g' H- z vivront
à l'âge A+a , est
5 — ; j , \ ' " 'f — T-j— -7-^.a/"**'.fi-^xy'~!'~',
i.fl.3...(ç'+*).i.a.3. ..(p' — ^^^»j ^ ■'
En multipliant cette probabilité par la probabilité précédente de
la valeur de x; le produit intégré depuis x = o jusqu'à x sn i ,
sera la probabilité de l'existence de ç'+z personnes à l'â^e A -ha;
en nommant donc P cette probabilité , on aura
„ i.a 5. . .p' .fjfi^'-*-'dx.(_i-'x)^*F^r-i'~'
■^ i.a.3...C9'+i).i.a.3...(/)'— t'— »)./x'ic.O— xy-t*
les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis
X =o jusqu'à x=i.Ou a parle u*. a8, à trés-peu pi^,
dby Google
586 T8È0R1E ANALYTIQUE
=i/--[(m')-(.+ï+7)i ,
Ensuite , par le n* 53 do prenrier livre , on a
1.2.3 j,'^^"*"^. c~'' . »/S;,
...5 (ç'+^W^+'+'-O+y/*'^* •«-^-'- ^"-
„,3...(,._^._,)=(pW/-^-'^-0-,-é7)
endii ona g' = ^. Cela posé , on trouye après toutes les ré-
ductions, ^^
■ .X'+^) <'-H?=i=?) :
a l>Mi prcad le li^aritiime hyperboliqMe àa sBOond membre *
cette équation, que lion nédinse ce legarithmemi série ardonnte
par rapport aux puissances de j , et que l'on néglige les puis-
sances aupérieuM» sa «arre ; ea «ara «a repassant ^Jaiogarillims
à la fonction ,
Pj^tp' étant supposes de très-grands nombres de l'ordre ;» '"^
Digilizedby VjOOQIC
DES PROBABILITÉS. 58?
coefficient de z est très-petit de l'ordre a. ; celui de. — ** est trè»-
petit et du même ordre. Mais si l'on suppose z de l'ordre \/»^
on pourra négliger dans l'expression précédente , le terme dépen-
dant de la première paîsaance de z , comme très-petit de Tordre
V^. De plus , ce terme se détruit lui-même , lorsque l'on a égard
à la fois aux valeurs positives et négatives de z. Eu le négligeant
donc, on aura
'•Vçp'-cp-ç).
JpWT^'
•fdz.^
a^f^-ip—l)-(.P+p">
pour l'expression de la probabilité que sur pf individus de Fâge ^ ,
le nombre de ceux qui parviendront à l'âge -^+a sera compris
dans les limites q'^z, Tintégrale étant prise depuis znul.
Supposons maintenant que Ton ait trouvé par l'observation ,
que sur p iaàmâas de l'âge J^ q vivaient encore à l'i^e A -{•a y
et 7- à l'âge -^ + o + «' i on demande la probabilité que sur p'
individus du même âge -rf, — +« vivront à l'âge d+a^ et
yH-z' vivront à l'âge J-^a-\-a'.
La probabilité que sur p' individus de l'Âge ^ , — + r vivront à
l'âge A 4- a est , . par ce qui précède , '
p'»'
p* *ï/-Cp-9J-CP+P0.
»9P''C/>— 9)-Cp+P')-*'
On aura la probabilité que sur ^+2 individus de l'âge A-i-a,
Q£^g\ ^ + M vivront à l'âge A'^a-ho^, en changeant dans
la fonction précédente, p' dans — H~<>J> en ^, 7 en r, et 2 eu u;
ce qui donne , en négligeant z par rapport à — .
v/=
/-.
52; "p'-Cï-OCHl''),
%e produit de ces deux pr<^)abi&tés, 'est la probabiMlé dci l'existctiee
db, Google
588 THÉORIE ANALYTIQUE
simultanée de 2 et de » ; or on a
(f^+')J+"=?+''
ce qui donne
en faisant donc
«'■=-
If
"a>)>'.(9— r).(p+pT
■La probabilité P de l'existence simultanée des valeurs de r et d^
js' sera"
__ fiJi C'd^- -''■'■'-^'x—j)
En suivant cette analyse , ou trouve généralement que si l'on
ftit
"p'-Ct— •)(p+p')'
—aip-.o-. ).(? + /)'
etc. ; .
la probabilité P que sur p' individus de l'âge ^ , lés nombres de
ceux qui vivront aux âges ^+a, -^-(-a+a',^-t-a-(-a'-t-a">etc.
seront compris dans les limites respectives
est
P=r£-.£i^;!:^.etc:.^-^^"<'^vT-^-('-^='".;
J Kir y'-jr v^w • •
On peut apprécier par cette formule , les probabilités respectives
des nombres d'une table de mortalité , construite sur un grand
nombre d'observations. La manière de former ces tables , est très-
simple. On prend sur les registres des naissances et des morts , un
Digi1Jzed*by
Google
bES PROBABILITÉS. 58g
grand nombre ^enfiins que l'on suit pendant }e cours de leur vie ,
en déterminant combien il ça reste à la fin de chaque année de
leur âge; et l'on inscrit ce nombre vis-à-vis de chaque année finis-
sante. Mais comixie dans les deux ou trois premières années de la
vie, la. mortalité est très rapide; il feut, pour plus d'exactitude,
indiquer dans ce prranler âge , le nombre des survivons à la fin
de chaque demi-année. Si le nombre p des enfàns était infini, on
aurait ainsi des tables exactes qui représenteraient la vraie loi de la
mortalité dans le lieu et à l'époque de leur formation. Mais le
nombre d'enfons que l'on choisit étant fini; quelque grand qu'il
soit, les nombres de la table sont susceptibles d'erreurs. Repré-
sentons par p', q', r*, *', ^y etc. , ces divers nombres. Les vrais
nombres, pour un nombre p' de naissances , sont ~, — , ^ i
nT P P P
— , etc. Si l'on iàit y'=s:5^-f-«, z sera l'erreur de ç'j pareillement
L'expression précédente de P est donc la probabilité que les erreurs
de y', r*, s\ etc. sont comprises dans les limites zéro et z, zéro et
2', zéro et z", etc. Les valeurs de f , C, etc. dépendent de j), q,
r, etc. qui sont inconnues ; mais la supposition de p infiju donne
■ C'^—r^ ,. -
On peut substituer sans erreur sensible , ^ au lieu de ^ , ce aui'
donne
aq-.ip' — ^y
On aura de la même manière,
etc.
y
ar-
■w-
■r'f
ay
■W-
■A-
Si l'on ne veut considérer que l'erreur d'un des nombres de la
table , tel que s' ; alOTS on intégrera l'exiHresaiou de P, relativement
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Sgo THÉORIE ANALYTIQUE
à *'", 2'% etc. , depuis les valeurs infinies négatives de ces variables
jus^'à leurs valeurs infimes positives ; et alors on a
Les intégrâtes relatives à 2 et 2' doivent être prise» depras leurs
valeturs inSnies négatives, jusqu'à leurs valeurs infiues positives;
oïl trouvera ainsi, par le procédé dont nons avons souvent fait
usage pour ce gemre d'int^ation?, que si Ton suppose
on aura
La probabilité que l'areur d'un nombre ^elconque de la table ,
sera comprise. dans les limites zéro et une quantité quelconque,
est donc indépendante , soit des nombres intermédiaires , soit des
nombres subséqueos.
Si Ton feit yz" :c= t\ ôû aura
■V'-
a-(p'-»')
et la probabilité P que le rapport de l'erreur du nombre s' de
la table, à ce nombre lui- même, sera compris dans les limites
sfci.l
Il r^t —
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Fintégrale étant prise depuis ( nul. On voit ainsi que la valeur de f,
et par conséquent la probabilité P restant les mêmes, ce rapport
ïiugmentê lorsque *' diminue ; ainsi les nombres de la table sont
d'autant moins sûrs, qii'ils sont plus éloignés du premier />'. On voit
ercore que ce rapport diminue à mesure que p' augmente , ou à
mesmre que Ton multiplie les observations; de manière que l'on
peut par cette multiplication, diminuer à la fois ce rapport et
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DES PROBABILITÉS. Sgi
augmenter if ; ce rapport devenant nul lorsque p' est infini , et P.
devenant alors égal à Tunité.
3i. Appliquons l'analyse précédente à la recherche de la popu-
lation d'un grand empire. L'un des moyens les plus simples et lea
pins -propres à déterminer cette population^ est l'observation des
naissances annuelles dont on est obligé de tenir compte pour dé-
terminer l'état civil des en&n». Mais ce moyen suppose que l'on
connaît k trés-peu près le rapport de la population aux naissances
annuelles, rapport que l'on obtient en feisant sur plusieurs points
de l'empire , le dénombrement exact des habitans , et en le compa-
rant aux naissances correspondantes observées pendant quelques
années consécutives : on en conclut ensuite, par une simple pro-
portion , la population de tout l'empire. Le gouvernement a bien
voulu , à ma prière , donner des ordres pour avoir avec précision ,
ces données. Dans trente départemens distribués sur la sur&ce
de la France, de loaiûére à compenser les effets de la variété des
climats , on a &it choix des communes dont tes maires , par leur
zèle et leur înteUigence , pouvaient fournir les renseignemens les
plus précis. Le dénombrement exact des habitans de ces com-
munes, pour le 23 septembre iSoa , s'est élevé à 3037616 individus.
Le relevé des naissances , des mariages et des morts , depuis le
33 septembre 1799 jusqu'au 33 septembre iSoa, a donné pour ce»
trois années ,
Naissances. Mariages. Décès.
iio5i3 garç<ai8» AfioSw io565g mâles,
105387 filles^ 99^45 femelles.
Le rapport des naissances des garçons à celles des fiUes , que ce
relevé présente, est celui de a 3 à 31 ; et les marines sont aux
naissances , comme 5 à i4 : le rapport de la population aox nais-
sances annuelles est 38,5$a845. En supposant donc le nombre de»
naissances annuelles en France , égal à un million, ce qui s'éloigne
peu de ta vérité \ on aura , en multipliant par le rapport précédent ,
ce dernier nombre, la population de la France égale à 3835aS45
individus. Toyona l'erreur que l'on peut craindre dans cette éva-
luation*
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Sga THÉORIE ANALYTIQUE
Pour cela^ concevons une urne qui renferme une iofiiùté de
boules blanches et noires dans un rapport inconnu. Supposons
ensuite qu'ayant tiré au hasard un grand nombre ^ de ces boules ,
q aient été blanches, et que dans un second tirage , sur un nombre
inconnu de boules extraites , il y en ait q' de blanches. Pour en
déduire ce nombre inconnu, on suppose son rapporta q'f le même
que celui de p a q; ce qui donne ^ pour ce nombre. Cherchons
la probabilité que le nombre des boules extraites au second tirage ,
est compris dans les limites ^ =t z. Nommons x le rapport inconnu
du nombre des boules blanches , au nombre total des boules de
l'urne. L